THMMY.gr

Εδώ μπορείτε να σχολιάζετε τα θέματα και
να συζητάτε τις όποιες απορίες σας πάνω σε παλιά θέματα της
Γραμμικής Άλγεβρας.
(Τα παλιά θέματα υπάρχουν στον τομέα Downloads)

Μπορεί κάποιος να πει όταν μια ευθεία στο χώρο δίνεται ως τομή δύο επιπέδων πως τη μετατρέπουμε στην αναλυτική της μορφή; Έχω στα χέρια μου κάτι ασκήσεις που κυκλοφόρησαν και στις εκφωνήσεις η ευθεία δίνεται πάντα ως τομή δυο επιπέδων, στο βιβλίο όλα τα παραδείγματα δίνονται με την αναλυτική εξίσωση της ευθείας. Δοκιμάσα αρκετά πράματα για επίλυση αλλά...!

Ελα ρε εσυ εισαι ο Λαζαρος στη λιστα? Σου απαντησα κι εκει, αλλα το αντιγραφω κι εδω μηπως ενδιαφερει κανεναν αλλον:

Οταν εχεις ενα επιπεδο δοσμενο στη μορφη Ax+By+Cz+D=0, τοτε το διανυσμα με συντεταγμενες τους συντελεστες των μεταβλητων, δηλαδη το n=(A,B,C) εχει διευθυνση καθετη στο επιπεδο. (Δεν ξερω πώς και αν το αποδεικνυει ο Ξενος στο βιβλιο, αλλα θα το μαθεις σιγουρα στο Λογισμο ΙΙ)

Εχεις λοιπον π.χ. τα επιπεδα:
(Π1): Ax+By+Cz+D=0
(Π2): Ex+Fy+Gz+H=0
με αντιστοιχα καθετα διανυσματα τα:
n=(A,B,C)
και
m=(E,F,G)

Προσπαθησε να φερεις στο νου σου την εικονα των δυο επιπεδων που τεμνονται σε μια ευθεια...
Θα δεις πως το διανυσμα κατευθυνσης της ευθειας, ειναι καθετο καί στα δυο διανυσματα (δεν εχω χρονο να σου φτιαξω σχημα τωρα, εγω παιδευομαι με τους πινακες των γραμμικων απεικονισεων :D )
Παρε λοιπον το εξωτερικο γινομενο nxm και θα εχεις το διανυσμα κατευθυνσης της ευθειας.
Ε μετα χρειαζεσαι μονο ενα σταθερο σημειο, απο το οποίο περναει η ευθεια. Αν δεν σου το δινει, ψαξ' το στις εξισωσεις των επιπεδων....
Οποτε η διανυσματικη παραμετρικη της εξισωση θα ειναι
(x,y,z) = λ(nxm) + (σταθερο σημειο)
Απο 'δω και περα φανταζομαι ξερεις να πας στις αλλες μορφες της εξισωσης...............

Αντε καλο διαβασμα και καλη μας επιτυχια :P

Παιδιά SOS!!! Σώστε με...

Στην σελίδα 356 του βιβλίου, έχει ένα παράδειγμα για την εύρεση είδους επιφάνειας δοθούσης της εξίσωσης της. Δεν μπορώ να καταλάβω αυτό που λέει στην μέση της σελίδας για τα ορθομονάδιαια ιδιοδιανύσματα.
ΠΩΣ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΑΥΤΑ;;;;

Μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος παρακαλώ.....

Τα παραγεις μονος σου, διαιρωντας το καθενα με το μετρο του!

Ευχαριστώ συνάδελφε.....

Πάλι μπερδεύτηκα....τόσο σε αυτό όσο και στο επόμενο παράδειγμα της σελίδας 358-359 δεν μπορώ να καταλάβω πως προκύπτουν τα ορθοκανονικά διανύσματα που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα με ιδιοτιμή με πολλαπλότητα 2. Δηλαδή δεν μπορώ να υπολογίσω τα μέτρα τους.....

Μήπως υπάρχει ευκολότερη μέθοδος;; Η αυτήν προτείνει ο Ξένος;;;

Μηδενιζεις πρωτα την πρωτη παραμετρο, και μετα τη δευτερη.

Αν ας πουμε, απο ιδιοτιμη με πολλαπλοτητα 2 σου προκυψει:

w(1,2,3) + z(4,5,6)

μηδενιζεις πρωτα το w, και μετα το z

Αρα ενας συνδυασμος ιδιοδιανυσματων ειναι ο { (1,2,3) , (4,5,6) }

και πάλι ευχαριστώ.... ;)

Εδώ είναι φωτογραφίες απο της Εξετασεις Γραμμικής Άλγεβρας 2006! ;)

Να 'σαι καλά ρε Naki! Μας άνοιξες τα μάτια!

Χμμ, του Κεχαγιά μου φαίνονται εύκολα...

Του Ξένου όμως... αλαμπουρνέζικα!

Στα θέματα που ανέβασε ο Naki έχει μια άσκηση που σου δίνει έναν 2x2 πίνακα (Α)  και σου ζητάει τον e^Α!!

    | 2    2|
Α=|        |
    |0    2 |

Πώς θα το κάνω?

Έχει ίδιο παράδειγμα στο βιβλίο! Τι σε προβληματίζει; Γιατί μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Δεν το έχω δει να σου πω την αλήθεια!!

Και  κάτι ακόμη.Πως βρίσκω τον βαθμό ενώς πίνακα!!!

Με ταλαιπωρει συνεχεια αυτο! :P
Δες τον ορισμο...νομιζω ειναι το πληθος των γραμμικων ανεξαρτητων διανυσματων. βρισκεις δηλαδη ιδιοδιανυσματα!

Ένας απλός τρόπος για α βρεις το βαθμό ενός πίνακα είναι να βρεις τη διάσταση του μεγαλύτερου τετραγωνικού υποπίνακα ο οποίος έχει μη μηδενική ορίζουσα.

Ακόμη, ο βαθμός ενός πίνακα ισούται με τον αριθμό των κόμβων του ισοδύναμου κλιμακωτού πίνακα.

Μπορείς να κατεβάσεις τις σημεώσεις του κ. Κεχαγιά από τη σελίδα του http://users.auth.gr/kehagiat/ .  Είναι πολύ καλές και περιεκτικές.  Έχει και ασκήσεις παρόμοιες μ' αυτή που ζητάς, αν θυάμαι καλά.

Δεν είμαι σίγουρη, αλλά νομίζω πως με τον Κεχαγιά δεν έχουμε φτάσει στην ύλη σε ασκήσεις της μορφής e^Α, όπου Α πίνακας. Νομίζω λάθος?Παρακαλώ διορθώστε με αν κάνω λάθος και παραπέμψτε με στο ανάλογο μάθημα από τις σημειώσεις του καθηγητή...

Έχουμε φτάσει σε τέτοιες ασκήσεις, στα τελευταία μαθήματα...  Στο 9 από τς σημειώσεις (Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα), στην παράγραφο 20.

Θα με τρελάνεις βρε Δημήτρη?Αφού στο κεφ. 9 δεν αναφέρεται τπτ για ασκήσεις της μορφής e^Α...
Άσε που δε θυμάμαι και να κάναμε τέτοιες ασκήσεις στη σχολή
(μήπως τελικά παρουσιάζω κενά μνήμης?)

Στο 20 δε λέει "Έστω μια συνάρτηση f(z) η οποία στη γειτονιά του 0 έχει ανάπτυγμα Taylor...";  Και στις λυμένες ασκήσεις του κ. Κεχαγιά, οι 16 και 17 από το κεφάλαιο 8 δείχνουν πώς υπολογίζεται το e^A.

Δίκιο έχεις, sorry..(και είχα την ψευδαίσθηση οτι τελέιωσα με αυτό το μάθημα, σνιφ)

Τις έχω.Αλλά ειδικά με το θέμα του βαθμού ενώς πίνακα έχω μπερδευτεί πάρα πολύ!!

Νομίζω ο πιο εύκολος τρόπος να υπολογίσεις το βαθμό ενός πίνακα είναι να βρεις τους κόμβους του αντίστοιχου κλιμκωτού πίνακα. Για παράδειγμα, αν έχεις τον πίνακα:

| 2  3  2  4 |
| 4  0  1  8 | -->(r2 <- r2-2r1)
| 0 -2 -1  0 |

| 2  3  2  4 |
| 0 -6 -3  0 | -->(r3 <- r3-r2/3)
| 0 -2 -1  0 |

| 2  3  2  4 |
| 0 -6 -3  0 |
| 0  0  0  0 |

Ο κλιμακωτός πίνακας έχει 2 κόμβους (το 2 και το -6), άρα rank(A)=2.

+1, ο ταχύτερος και πρακτικότερος τρόπος (αν είσαι καλός στις πράξεις)

το τελευταιο θεμα ξερει κανεις πως λυνεται?ευχαριστω

Ξερει κανεις που μπορω να βρω(αν μπορω) λυσεις των παλιων θεματων?????? Plz HelPP!!!! 

Δεν γινεται να παρεις κατευθειαν την οριζουσα του και αν αυτη ισουται με μηδεν να παρεις την n-1 οριζουζα και αν αυτη....Με βαση και το θεωρημα rank(A)<=min(i,j)?

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να βρεις το βαθμό ενός πίνακα, απλώς είπα ότι αυτός είναι κατά τη γνώμη μου ο πιο εύκολος ;)  Δεν είναι και το πιο διασκεδαστικό πράγμα να υπολογίζεις ορίζουσες 4x4...

Γινεται να βρεις τον βαθμο απο την κλιμακωτη μορφη?Δεν πρεπει να ειναι στην ανηγμενη κλιμακωτη?

Ο Ξένος έχει υποχρεωτικές μονάδες? :???:

ναι. 1.5 και 1.5 νομίζω...

γαμωτο... :-\

ναι σιγουρα 1,5 και 1,5 πρεπει να γραψουμε.

Μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος κι εμένα τον άσχετο, τι σημαίνει αυτό το "1,5 και 1,5".
Ευχαριστώ...

Σημαίνει ότι για να περάσει κάποιος το μάθημα, δεν αρκεί να έχει πάρει συνολικά βαθμό 5, αλλά πρέπει να έχει πάρει τουλάχιστον 1,5 βαθμό σε κάθε μία από τις ενότητες (κ. Ξένος και κ. Κεχαγιάς).

Τώρα με έφτιαξες!! Ευχαριστώ πάντως!

το θέμα 4β πώς το λύνουμε;πώς τις αναλύουμε για να φθάσουμε στις γνωστές εξισώσεις;

Μήπως μπορεί κάποιος να υποδείξει τον τρόπο λύσης της παρακάτω άσκησης:

Σημείο Μ κινείται στο χώρο R³  έτσι ώστε ΜΒ-ΜΑ=10 , όπου Α(0,0,-4) και Β(0,0,4). Να βρεθεί το είδος και η εξίσωση της επιφάνειας πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ.

Μπορει καποιος να δωσει τα φωτα του για το θεμα 5??? Η καμπυλη C ειναι η τομη τους ή η z+4=0  ειναι η γενετειρα της πρωτης εξισωσης που ειναι η καμπυλη???   :-\

Για πείτε, πως σας φάνηκαν τα σημερινά θέματα; Δεν ήταν κάπως πολλά για την ώρα που είχαμε; Δεδομένου ότι χρειάζονται αρκετές πράξεις για να βρίσκεις αντίστροφους πίνακες, ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα και ότι δεν επιτρέπονταν κομπιουτεράκι.

lol egw evgala to cumpiouteraki kai ekana tis praxeis mou mprosta tou kiolas :P

Πολλα ηταν... Και νομιζω η κατανομη των θεματων ηταν κακη. Μας ζητουσε ιδια πραγματα. πχ αντιστροφο πινακα. Αλλα γενικα παλευοντουσαν...  ^victory^

Δύσκολα δεν ήταν, πολλά ήταν! Σε αρκετά θέματα δεν έφτασα μέχρι το τέλος, έγραψα κάνουμε τις πράξεις κτλ..

θέλετε να τα ανεβάσετε; αν τα φωτογραφισε κανείς ή αν τα θυμάστε..

Sorry κιόλας!!Δεν θα σου τα πάρει σωστά.

Ρε γαμώτπραγματικά ήταν πανεύκολα!Ήξερα όλα τα θέματα αλλά μέχρι να γράψω τέσσερις μονάδες στον Κεχαγιά είχε περάσει μιαμιση ώρα!!

Κόβεται ολόκληρη η άσκηση αν δεν την έχεις ολόσωστη;  Ή κόβεται εν μέρει αν έχεις κάποιο λάθος;

Κοξε κατι genious....     :P

genious μόνο ο Αθάνατος με λέει και δεν ξέρω τον λόγο!!!  ^dontknow^(Μάλλον του έχω κάνει εντύπωση)Αλλά τα θέματα ήταν πολύ απλά!!!Του Κεχαγιά ειδικά ήταν απλή εφαρμογή θεωρίας!!!Του Ξένου ήθελε λίγη σκέψη αλλά είχε παραδείγματα μέσα στο βιβλίο ίδια!!
Μόνο η άσκηση που ήθελε απλή αναγνώριση ήταν σωστή(μικρή και με αυξανόμενη δυσκολία!!)

Σε σχέση με τα περσινά;; Τι λέτε;

Μηπως ξέρει κανείς πότε μπορούμε να πάμε να δούμε τα γραπτά μας στην Γραμμική?

Μόνο την Παρασκευή 28/09 στις 12.00 στο γραφείο το κ. Κεχαγιά. Αλήθεια, που είναι αυτό; Στο ισόγειο μαζί με τα άλλα του γενικού τμήματος;

xerei kanies pote tha bgoun  bathmoi??

Βγήκαν, μπροστά από τις σκάλες στην πτέρυγά μας ;)

Εδώ και λίγο καιρό ψάχουμε ασκήσεις και θέματα με τις λύσεις τους για το μάθημα. Μήπως μπορείτε να μας βοηθήσετε; Thnx anyway.

επιπλέον από τις λυμένες του Κεχαγιά;

Xairetw k egw me ti sira mu.
Ime prwtoeteis k den paw poli sixna sta mathimata. An diavazw apo vivlia k simiwseis ime kalimenos i prepi na ksekinisw na pigenw pio sixna?

Έχει και εδώ στην κατηγορία downloads και από σημειώσεις στο βιβλιοπωλείο Α4 και σημειώσεις από τη λέσχη, τώρα το τελευταίο τί σημαίνει θα σε γελάσω :P έτσι το έχω ακούσει από παλαιότερες συζητήσεις...μάλλον στη λέσχη κάπου θα δίνουν και σημειώσεις παλαιότερων φοιτητών..

Ειδικά στην Άλγεβρα από τη δική μου εμπειρία και με τους καθηγητές Ξένο και Κεχαγιά πιστεύω ότι δεν είναι και ζωτικής σημασίας... αλλά καλύτερα να πηγαίνεις αν μπορείς, διότι σως σου λυθούν στο αμφιθέατρο και κάποιες απορίες που ενδεχομένως να έχεις.

Φίλε aantoniou παρακαλείσαι να μη γράφεις με λατινικούς χαρακτήρες γιατί τα μηνύματά σου δεν είναι ευανάγνωστα από τα υπόλοιπα μέλη της κοινότητας.

θυμάται κανείς το 3 η 4 θεμα απο τον περασμενο σεπτεμβρη ήταν ενας πίνακας και ζητούσε ιδιοτιμες νομιζω και ιδιοδιανυσματα... ο πινακας ηταν τετραγωνικος? ? (παιζει και να εχω καει απο το διαβασμα μετα απο τοσους μηνες απραξιας)

ξερει κανει πως λύνετε η ασκηση ποθ δίνει δύο εξισώσεις και θέλει να βρο΄θμε την ακτίνα και το κέντρο του κύκλου;

οι 2 εξισώσεις που λές λογικά είναι μιας σφαίρας και ενός επιπέδου

1)το κέντρο του κύκλου είναι η προβολή (έστω Κ' ) του κέντρου Κ (-Α/2,-Β/2,-Γ/2)  της σφαίρας πάνωστο επίπεδο.

2)για την ακτίνα ίσως υπάρχει καλύτερος τροπος αλλα σκέφτηκα το εξής: έστω r η ζητούμενη ακτίνα και R η ακτίνα της σφαίρας. Επειδή το ΚΚ'  είναι κάθετο στο επίπεδο του κύκλου (αρα και στην ακτινα του ρ), τα ΚΚ' , r, R  θα σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.Απο το Πυθαγόρειο βρίσκεις το r....

Δίνεται η καμπύλη C:{3(x^2−y^2)=4(1+2xy), z+4=0} .
i) Με τη βοήθεια των ιδιοτιμών να προσδιοριστεί το είδος της καμπύλης.
ii) Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας που έχει οδηγό καμπύλη την С
και γενέτειρες παράλληλες προς το διάνυσμα u

υπαρχει καποιος που εχει παλια θεματα της γραμμικης να τα postari??(εκτος απο αυτα που υπαρχουν στα Downloads)

Επιτρεπονται τα κομπιουτερακια η οχι?

έλεος,τι μαγικά κάνει ο Κεχαγιάς στι ς ασκήσεις του για να βρει τον e^A αφού τον δίνει τον Α γιατί τον ξαναβρίσκει μέτα με άλλη μορφή? Πολύ συνοπτικά τα γράφει και δε καταλαβαίνω χριστοοοοοοοοοο....το ζήτησε και σε εξετάσεις κιολας :'( :'( :'( :'( :'( :-[ :-[ :( :( :( :D :D


κατάλαβε κανείς?? ^beg^

διάβασες το βιβλίο και δεν κατάλαβες;;;

Στο βιβλίο  απότι είδα δεν γράφει πουθενά πως να βρίσκεις το e^A!! Βέβαια δεν το έψαξα και εξονιχιστηκά ;D Σε ποια σελίδα το εξηγεί?

Δες σελίδες 188 και εξής για τις συναρτήσεις πινάκων...

έχω και κάποιες άλλες απορίες στα ιδιοδιανύσματα...

1)Αν μια ιδιοτιμή ενός πίνακα Α δίνει ιδιοδιάνυσμα μηδέν, το απορρίπτουμε?
2) Αν ένας πίνακας Α έχει ιδιοτιμές λ₁=λ₂=2 (διπλή ρίζα) οι οποίες δίνουν ιδιοδιάνυσμα

1 0

πώς μπορούμε να βρούμε τον πίνακα Α με τον τρόπο του κεχαγιά?   :-\

thanks...

αν δίνει ιδιοδιάνυσμα 0 δεν είναι ιδιοτιμή :)

κάνεις την ίδια διαδικασία με το f(λ)=υ(λ) και μετά παίρνεις παράγωγο...
Μα τα λέει το βιβλίο, κάνε έναν κόπο να το δεις... ειδικά το new version, τα σπάει..

ευχαριστώ vasso πιστεύω το κατάλαβα! . :) Όταν όμως πάω να λύσω το θέμα 3 :  ζητάει το e^A με Α=

2 2 0 2

βρ'ισκω  e^A=

e2   2e2 0     e2 ενώ το matlab βρίσκει  eA= e2     0 0     e2 τι μπορεί να φταίει????   :???:

Για να σου βγαλει η matlab το e^A πρεπει να γραψεις expm(A)... Προφανως θα γραφεις exp(1)^A γιαυτο σου βγαζει λαθος αποτελεσμα...

Πράγματι, το ξαναδοκίμασα κ μου έβγαλε το σωστό, thanks!

Από τους διανυσματικούς χώρους τι είναι sos και τι ασκήσεις μπορεί να πέσουν?

Μήπως υπάρχει κάποιος που μπορεί να μας διαφωτίσει που κυμαίνονταν τα περσινά θέματα??Ήταν του ίδιου επιπέδου με του 2006. ?Επίσης πόση ώρα ακριβώς γράφουμε???   ^que^ ^que^ ^que^

για αυτο που αναφερθηκε και προηγουμενως,αν δηλαδη  μια ιδιοτιμη δινει ιδιοδιανυσμα 0 θα την απορριψουμε?ευχαριστω πολυ.

Πέρσι οι εξετάσεις είχαν 11 θέματα, και μας άφησαν 2 ώρες και 45 λεπτά.  Δεν ήταν ιδιαίτερα δύσκολα, αλλά είχε πολύ γράψιμο...

στα θεματα του 2006 θεμα 4ο ii) πως τις αναγνωριζουμε?μονο οπτικα??μπορει καποιος να το εξηγησει λιγο πως γινεται η αναγνωριση που ζηταει!!

Ναι, το ιδιοδιάνυσμα είναι μή μηδενικό.

Αν εννοείς καμπύλες, τότε είναι ψιλοστάνταρ η αναγνώρισή τους, με βάση τις περιγραφές που έχει και μέσα το βιβλίο ;) Τα εξηγεί μέσα πολύ καλά. Αν θες γράψε λίγο τις καμπυλες, επειδή δεν έχω τα θέματα.

(χ-1)^2+y^2-z^2=4

(χ-1)^2+y^2-z^2=0

y^2-2yz=1

x^2-(2y+z)^2=0

x^2-(y-1)^2=z+2

Πρώτη καμπύλη:

Διαίρεσε με το 4 για να γίνει της μορφής αΧ^2+αΥ^2-γΖ^2=1. (όπου Χ μπορεί να είναι και χ-1, δηλαδή το κέντρο να μην είναι στο 0).
Στο βιβλίο γράφει ότι η καμπύλη αυτή είναι μονόχωνο υπερβολοειδές, που προέκυψε από περιστροφή της υπερβολής τάδεΧ^2-δείναΥ^2=1 γύρω από τον Υ (από τη μεταβλητή με το μείον δηλαδή ;) ).

Η Δεύτερη:
Η δεύτερη έχει αν προσέξεις υψωμένες στην ίδια δύναμη (το 2) όλες τις μεταβλητές, με το z να είναι στην άλλη πλευρά! Άρα είναι κωνική επιφάνεια εκ περιστροφής.

Τώρα η τρίτη και η τέταρτη θα σε γελάσω :-[ δεν έχω και το βιβλίο αυτή τη στιγμή για να το τσεκάρω.. πιθανόν να πρέπει να εφαρμόσεις τη γνωστή μεθοδολογία (παίρνω τετραγωνική μορφή κ.λ.π.) για να το βρεις. Πάντως αν ψάξεις στο βιβλίο πιθανότατα θα εντοπίσεις παρόμοια παραδείγματα..

Η πέμπτη (και όχι τέταρτη που έγραψα πριν εκ παραδρομής) είναι προφανώς ελλειπτικό υπερβολικό παραβολοειδές.

βασικα και εγω σε αυτες ειχα προβλημα αλλα δεν νομιζω να παιρνεις τετργωνικη μορφη γιατι θελει πολυ ωρα!!το 5 ειναι σιγουρα αυτο που λεσ??γιατι εχει και το2!!

παιδια τι ειναι αυτα σαν κινεζικα μου φαινονται
παναγια μου που παμε!??!?!?!?!???

Ααα, μα τί λέως :D

Η τέταρτη πρέπει να είναι ζεύγος επιπέδων, πράγμα που βγαίνει αν κάνεις παραγοντοποίηση τις παράστασης!

Με κάθε επιφύλαξη...κοίτα και το βιβλίο για επιβεβαίωση.

Και η τρίτη για ζεύγος επιπέδων μου φαίνεται...

A.N. σόρρυ, ελλειπτικό υπερβολικό παραβολοειδές εννοούσα προφανώς το 5ο. Αφού παραπάνω λέω ότι δεν είμαι σίγουρος για την 4η.

Κάνω edit το ποστ.

Papatanasis δεν παρακολουθούσες Ξένο στα τελευταία μαθήματα; Λογικά θα τα ανέφερε αυτά.. πάντως δεν υπάρχει λόγος να αγχώνεσαι! Το βιβλίο έχει μια συστηματοποίηση για να βρίσκεις το όνομα της κάθε καμπύλης :)

δεν πηγαινα ξενο!!!με τον κεχαγια εκανα αλλα στο νεο ετος μια φορα πατησα!!
ααα
οσο για το βιβλιο δεν μπορω πλεον να διαβασω
τα'χω παιξει!!! :-[ :-[ :-[ :-[

ναι αλλα ουτε το 5ο ειναι ελλειπτικο αφου εχει και το +2!

to z+2=Z και δεν τρεχει τπτ

αυτο ειναι στανταρ??ωραιο...

Ναι, είναι μετατοπισμένο το κέντρο της έλλειψης... πάλι ελλειπτικό παραβολοειδές είναι.


όπως ο κύκλος (χ+2)^2+y^2+(z-7)^2=8. Δεν είναι Χ Υ Ζ αλλά πάλι κύκλος είναι, με κέντρο (-2,0,7)

Μαλλον σφαίρα...

κυκλος ειναι ή σφαιρα?γιατι ειναι στο R^3...

Εεεε σφαίρα, ναι :D

Παιδιά διασταυρώστε και από το βιβλίο επι τη ευκαιρία τα παραπάνω. Προσπαθείστε να δείτε τη λογική και να μην το μάθετε τελείως παπαγαλία. Έτσι θα τα θυμάστε και πιο εύκολα ;)

(τέτοια ώρα τέτοια λόγια, αλλά ευτυχώς δεν θέλουν πολλή ώρα... από όσο γνωρίζω βάζει για αναγνώριση στάνταρ τύπου καμπυλών)

το y^2-2yz=1 μηπωσ ειναι πραβολικοσ κυλινδρος και οχι επιπεδα?

Αχ δεν την παλεύω καθόλου... υπερβολικό παραβολοειδές εννοούσα, όχι ελλειπτικό... διότι το πρώτο σκέλος είναι υπερβολή... το διορθώνω.

Είμαι λίγο κουρασμένος...forgive...

Ααα, =1 λέει;  Τότε ναι, είναι κυλινδρική επιφάνεια...  Νόμιζα ότι λέει =0, συγγνώμη :-[

Wade νομιζω οτι παραβολικο κυλινδρο εχουμε οταν ειναι =0 αλλα στην περιπτωση αυτη ειναι μετατοπισμενο,ε???

Χμμ, επειδή τα έχω ξεχάσει λίγο από πέρσι, μην πάρω κανέναν στο λαιμό μου...  Νομίζω ότι όταν λείπει μια από τις τρεις μεταβλητές γενικά είναι κυλινδρική επιφάνεια...

+1

Αυτο     x^2-(2y+z)^2=0     τι ειναι????

Αν το κάνεις παραγοντοποίηση βγαίνει (χ-2y-z)*(x+2y+z)=0 που από όσο θυμάμαι είναι ζεύγος επιπέδων...
 δηλαδή των χ-2y-z και x+2y+z. Στο βιβλίο λογικά θα έχει μια τέτοια περίπτωση. Τσέκαρέ το διότι δεν ειμαι και 100% σίγουρος..

Παιδιά καλή επιτυχία αύριο! :)

και όχι άγχος.. ό,τι κάνετε.. δεν ήρθε και το τέλος του κόσμου ;)

τι εννοεις αυριο? τριτη δεν γραφουμε?

ρε παιδιά εμένα το scientific workplace για την 2η εξίσωση από αυτές που δίνει ο Α.Ν βγάζει το σχήμα που έχω κάνει attach.Αυτή δεν νομίζω να είναι κωνική επιφάνεια ,όπως είπε ο wanderer ,γιατί οι κων. επιφάνειες διέρχονται από πεπερασμένο σημείο.

διορθώστε με αν κάνω λάθος....

τελικα ποτε γραφουμε???

την τρίτη φυσικά.... 8)  ο wanderer δευτέρα το έγραψε το post!

:P δεν ξες ποτε τι γινεται...thanks

 :D παλικαράδες, ας μου θυμήσει κάποιος πως βγαίνει ρίζα τριτοβάθμιου πολυωνύμου με σταθερό όρο που γέρασα και δεν θυμάμαι...
επειδή δν την πάλεψα με το   googling και ο χρόνος τρέχει..


Muchas Gracias

Πρώτα ελέγχεις αν είναι μια από τις γνωστές ταυτότητες. Π.χ (α-β)³ και αν όχι εφαρμόζεις Horner! Αν δε θυμάσαι τι είναι αυτό ψάξε βιβλίο δευτέρας λυκείου νομίζω!!  ;)

Τριτοβάθμια που σου χρειάστηκε να λύσεις;

Γενικό τρόπο επίλυσης τριτοβάθμιας (και τεταρτοβάθμιας) είχε το παλιό βιβλίο γραμμικής άλγεβρας του Ξένου, στο τέλος του πρώτου κεφαλαίου. Φαντάζομαι θα έχει και το καινούριο, αλλά εσύ είσαι παλιός ;)

Α, και το Horner δουλεύει μόνο αν έχεις βρει πρώτα τη μια λύση... με το μάτι!

sxetika me to ti einai h y^2 -2xy=1 nomizw oti paei ws ekshs:
<=>y^2 - 2yz +z^2=1+z^2<=> (y-z)^2=1+z^2

thetontas twra h=(y-z) kai z=k(oxi gia kapoio logo to deutero) exoume:

h^2 - k^2 =1
ara einai uperbolikh epifaneia( afou einai analoghs morfhs kai leipei h mia metablhth)
dhladh de nomizw na mporeis na kaneis to kolpo me to thesimo otan exeis ginomeno metablhtwn(p.x. -2xy)

Paides mipos xerei kaneis na mou exigisei ligo tin lysh tis askhshs 16 kai tis 17 tou kehagia apo tis lymenes?? ekeini pou zitaei to e^A.. Pos vgazei ton A se sxesi me ta idiodianysmata???

μηπως ξερει καποιος                                                                                              1) αν για να βρω τον  πινακα απεικονισης παιρνω τον αναστροφο αυτου που βρισκω με τον τροπο που λεει το βιβλιο?                                                                                 2)πως λυνεται η εξης ασκηση  δινεται ο γραμμικος τελεστης f(χ,ψ)=f(2χ+ψ,χ-2ψ) να βρεθει ο πινακας του f ως προς τη βαση e1=(-1,1) και e2(1,-1)?μου βγαινει  αδυνατο μαλλον κανω καποιο λαθος...... :-\

Ευχαριστώ παίδες, έβγαλα άκρη..
Άμα ψάχνεις ιδιοτιμές 3Χ3 πίνακα προκύπτει τριτοβάθμιο πολυώνυμο το οποίο μπορεί να μην είναι φτιαγμένο ώστε να απλοποιούνται οι σταθ όροι.

1)ναι. και το βιβλίο τον ανάστροφο δεν παίρνει ?
2)κάπου εκέι μυρίστικα ένα λάθος του βιβλίου αν θυμάμαι καλά...

Στη διαγωνιοποίηση κάναμε : ΑΧ=ΧΛ  , με Χ=[ν₁ ν₂ ν₃ ν₄ ...] , Λ= λ₁ 0 0 0..
                                                                                            [ 0 λ₂ 0 0 0 ]
                                                                                              0 0 λ₃ 0 0
                                                                                              ................
όπου λ₁,λ₂,λ₃... οι ιδιοτιμές και ν₁,ν₂,ν₃... τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα

ΑΧ=ΧΛ  <=>  Α=ΧΛΧ^-1   ;) 8)

ευχαριστω πολυ!!εχω ακομη μια ερωτηση΄πως λυνονται τα εξης για ποιες τιμες του μ η καμπυλη με εξισωση μψ(χ-ψ)=1-χ^2 ειναι υπερβολη και η μψ(χ+ψ)=1-χ^2 ελλειψη?
επισης τι παριστανει η εξισωση μχ(χ+ψ)=1+ψ^2 για τις διαφορες τιμες του μ?

Αρχικά θεωρείς την αντίστοιχη τετραγωνική μορφή και βρίσκεις τον πίνακά της P και Q.Υπολογίζεις τις ιδιοτιμές του πίνακα P,οι οποίες βγαίνουν συναρτήσει του μ. Στη συνέχεια κάνεις διερεύνηση, παίρνεις το γινόμενο των ιδιοτιμών και ελέγχεις που είναι θετικό,που αρνητικό και που μηδενίζει και λες αντίστοιχα ότι για εκείνα τα μ είναι γένους έλλειψης,υπερβολής, κλπ...Αν θέλεις και πιο συγκεκριμένα βλέπεις που μηδενίζει και που όχι η ορίζουσα του Q και σύμφωνα με την θεωρία λες τι παριστάνει..Αυτά με λίγα λόγια..Ελπίζω να βοηθησα..

ευχαριστω πολυ!

να ρωτήσω κι εγώ κάτι...
από την εξίσωση x²-(2y+z)²=0 προκύπτει:
x-2y-z=0 ή x+2y+z=0
Σε αυτή την περίπτωση θα πούμε ότι η εξίσωση παριστάνει είτε το ένα είτε το άλλο επίπεδο;;

πες το ζεύγος επιπέδων

οκ thanks

πώς αποδεικνύουμε οτι τι span{ [1 1 0] , [0 0 1] } έχει διάσταση 2???  ^que^

Κάνεις τον πίνακα:

1 0

1 0

0 1

H μεγαλύτερη μη-μηδενική υποορίζουσα είναι 2η τάξης
Αρα τα 2 διανύσματα του span είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα ο ΔΧ span είναι διάστασης 2

thanks.

και κατι άλλο: αν προηγουμένως μας είχε ζητηθεί μια βάση για το span και βρίσκαμε π.χ {[1 1 0] , [0 0 1]} ,τότε μπορούσαμε να γράψουμε κατευθείαν dim=πλήθος διανυσμάτων βάσης? Ή μήπως θα το ήθελαν πιο αναλυτικά??

νομίζω πως και κατευθείαν να το λεγες αρκούσε..

νομίζω γίνεται και αλλιώς δλδ. Έστω είναι γραμμικά εξαρτημένα. Τότε    1              0
                                                                                                       1    =  α*   0
                                                                                                       0              1   

ΑΤΟΠΟ ,γιατί  1=0
                      1=0
                      0=α
ΑΡΑ γραμμ. ανεξάρτητα οπότε -> βάση του span και  dim=2

Πως λυνονται αυτες:
iii) Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου
C:{x2+y2+z2+2x+4y = 4,x−2y+2z =4}

και

ii) Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας που έχει οδηγό καμπύλη την С
και γενέτειρες παράλληλες προς το διάνυσμα u

έτσι βρίσκεις κέντρο και ακτίνα: http://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1700.msg431634#msg431634 (http://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1700.msg431634#msg431634)

ii) παράδειγμα 3.3 σελ 435

να ρωτήσω κι εγώ κάτι:
 Στον πινακα: [ 2 2 ]
                     [ 0 2]
το κομπιουτεράκι βγάζει ιδιοδιανύσματα τα (1,0) και (-1,0). πως προκύπτει αυτό?

To παλιο βιβλιο δεν εχει τετοιο παραδειγμα :'(

το τα Α,Β,Γ ε΄΄ιναι αυτά που βρίσκουμε απο την εξίσωση της σφαίρας σωστά;

λίγο γρήγορα σου γράφω τί λέει το παράδειμα για οδηγό καμπ C:y=x³, z=0 kai ν=(1,2,-1):έστω Μ(χ,y,z) της επιφάνειας και N(α,β,0) της C ωστε ΜΝ//ν.

τοτε λογω παραλληλίας (χ-α)/1=(y-β)/2=z/-1

παίρνεις 2 απο τις εξισώσεις ,  λύνεις τη μια ως προς α και την άλλη ώς προς β

οι  συντ του Ν επαληθ την y=x³.αυτό που προκύπτει είναι η εξισωση της επιφάνειας


chiller αυτά είναι...

εγώ δεν είπα για το δεύτερο ερώτημα..την ακτίνα του κύκλου ακόμα προσπαθώ να καταλάβω πως την βρίσκω.πως χρησιμοποιώ την εξίσωση του επιπέδου;έτσι όπως εξηγήσατε στο αλλο ποστ δεν κατάλαβα

και κάποιος που την έλυσε ας γράψει το αποτέλεσμα που βρήκε στην ασκηση αυτη για κεντρο και ακτίνα κύκλου..

Στην αναγνώριση καμπυλών-επιφανειών, έχει σημασία με ποια σειρά παίρνουμε τις ιδιοτιμές άρα και τα ιδιοδιανύσματα για να σχηματίσουμε τον πίνακα περιστροφής του συστήματος; Γιατί αν και βγάζω ίδια επιφάνεια-καμπύλη, όλα τα υπόλοιπα είναι διαφορετικά στα παραδείγματα του βιβλίου.

chiller τα πρώτα ήταν για τον ilovegreece

προσπάθησε να φανταστείς στο μυαλό σου το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται.δεν ξέρω πώς να στο εξηγήσω πιο απλά.....

δεσ το μην που σου έστειλα και πές μου τί πραξεις πρεπει να κάνω δηλ;

manoskard δες τα προσωπικά μην σου να δείς τι σου έγραψα

Αν δεν εχω κανει λαθος αυτη ειναι η λυση....

νομίζω στην ακτίνα δεν έβαλες ρίζα..

Ναι εχεις δικαιο... ;DΞεχασα.... ::)

itachi η εξίσωση που βγάζεις στο τέλος πάλι σφαίρα δεν παριστανει στο χωρο??

και ο κύκλος δεν έχει 3 διαστάσεις οπότε δεν γίνεται να βρίσκεις κέντρο με 3 διαστάσεις

σφαιρα είναι

σε αυτο που λετε για ενα επιπεδο και μια σφαιρα και ζηταει  κεντρο κυκλου και ακτινα λεει καποιος σε αλλο τοπικ νομιζω οτι βρισκω για το κεντρο του κυκλου το συμμετρικο του στο επιπεδο και μετα με πυθαγορειο την ακτινα.δεν ξερω αν καταλαβα πως βγαινει το κεντρο ξερει κανεις?

νομίζω ότι βρίσκεις το κέντρο της σφαίρας
και μετά την προβολή του στο συγκεκριμένο επίπεδο
δηλ αν π.χΚ(1,1,1) το κέντρο και Μ(χ,ψ,ζ) η προβολή του

τότε ΚΜ//ν που είναι το κάθετο του επιπέδου και μπλα μπλα

Το κέντρο του κύκλου Μ ανήκει και στο επίπεδο και στην ευθεία που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας και είναί κάθετη στο επίπεδο...Αν λύσεις το σύστημα θα βρεις το κέντρο και μετά με πυθαγόρειο την ακτίνα του κύκλου..

Στα θέματα Σεπ2006 το 5α) πώς γίνεται?

Θεωρείς την αντίστοιχη τετραγωνική μορφή,σχηματίζεις τον πίνακά της και υπολογίζεις τις ιδιοτιμές του...Με βάζει τη θεωρία ελέγχεις αν οι ιδιοτιμές είναι ομόσημες,ετερόσημες κλπ και στη συνέχεια βλέπεις τι ισχύει για την συγκεκριμένη περίπτωση.

βασικά εγώ δν καταλαβαίνω πως λειτουργούν οι υποπεριπτώσεις

δηλ. δεν πρέπει να κάνουμε όλη τη μεταφορά για να αποφανθούμε
αν β3=0(σελ 462)?

Βασικά το θέμα του Σεπτεμβρίου ήταν για καμπύλη οπότε εκεί είναι αρκετά απλά τα πράγματα...Στις επιφάνειες και εγώ δεν καταλαβαίνω που χρησιμεύουν αυτά από την στιγμή που μπορούμε να καταλάβουμε τι επιφάνεια είναι κάνοντας την αλλαγή σε άλλο σύστημα συντεταγμένων...Πάντως δεν είναι λογικό να θυμάσαι όλες αυτές τις περιπτώσεις..

νομίζω ότι με τις ιδιοτιμές πρέπει να γλιτώνεις γράψιμο
αλλά δν καταλαβαίνω πώς χωρίς να προσδιορίσεις τα χ'ψ'ζ'

Στα θέματα Σεπτεμβρίου, δίνει τον πίνακα:
     1 0 0
Α= 1 2 1
     1 0 1

και ζητάει να βρούμε ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.
Οι ιδιοτιμές πολύ εύκολα είναι λ1=λ2=1 και λ3=3

για λ1 και λ2 προκύπτει μόνο ενα γρ. ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα, το τ [ 0 1 -1]
για λ3 μου βγαίνει πίνακας βαθμού 3 οπότε αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή n-r(A-λΙ)=3-3=0 δηλαδή... η ιδιοτιμή δεν έχει ιδιοδιάνυσμα. Τι παίζει;;;

ευχαριστω πολυ,αλλα δυστυχως παλι εχω προβλημα με την ακτινα.μηπως 8α μπορουσατε να μου το εξηγησετε παραπανω?

Οι ιδιοτιμές είναι 1,1 και 2

σωστά. Ευχαριστώ, έκανα λάθος στην αντιγραφή στο τετράδιο :P

Οπότε ο Α έχει δύο γρ. ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα έτσι;

βασικα με τισς εξισωσεις των θεματων αν παρω ως κ' την προβολη και παρω εξωτερικο γινομενο ισο με μηδεν του κκ΄ και του καθετου στο επιπεδο θα βγει μια σχεση μεταξυ χ και ψ (των συντεταγμενων του κ΄ και z=0) την οποια βαζω στο επιπεδο αφου ανηκει και  σε αυτο και τα βρισκω?κανω καπου λαθος?

εχει λυσει καποιος την ασκηση 20 στη σελ 482 του βιβλιου?πχ η (5x-2z +2)^2    -3(z-11)=0  και        (x-y+2z)^2-(z-x+1)^2+(y+2)^2+12=0?    (3x-y-2z)^2+(z-x+1)^2+(y+2)^2=10 πως λυνονται??????????

Έτσι φαίνεται! Και λογικά στο δευτερο ερώτημα γράφεις το [0 1 1] ως γραμ. συνδυασμό αυτών των δυο........

Για εσας που δίνετε αύριο, χαλαρώστε παίζοντας εδώ..
http://www.zefrank.com/string_spin/spin_1.html

Ελπίζω να μην σας φέρνει στον νου τίποτα καμπύλες.. ^superinnocent^

αντε ρε παιδια χαλαρα να το παρουμε μονο να μην βαλει δυσκολα επειδη ειχε δωσει φετος κατι ασκησεις για extra  βαθμους!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :D :D

asta na pane...  ^banghead^ ^boil^
apopse me vlepo kapos etsi:   ^coffepot^ ^sfinaki^ ^eatpaper^ ^ex_shocked^

Πωπω παιδια γαματο το "παιχνιδι"!!!!
Εφτιαξα ενα βουνο!!Τα σπαει λεμε!! ;D ;D ;D ;D

Εγώ κάπως έτσι:
 ^pcsleep^

ηρεμία φίλτατοι, ένας καλός ύπνος και όλα θα σας έρθουν όταν πρέπει
δεν είναι δα και φυσική  :o

εγω ομως δεν ξερω τπτ απο γεωμετρια πως θα μου ερθουν?? :???: :???: :???: :???:
ολη την  νυχτα διαβασμα!!!καλο ξημερωμα!! :D :D :D :D

Μια σφαίρα όπως και να την κόψεις θα σου δώσει κύκλο;

Ναι επίπεδο που τέμνει σφαίρα δίνει πάντα κύκλο (εκτός αν εφάπτεται, οπότε δίνει σημείο)

Στη σελ 292 του βιβλίου η Μπαρμπαρή είχε πει ότι έχει κάποιο λάθος. Τι λάθος έχει; :(

όποιο κι αν είναι το λάθος, ήταν λάθος και στο παλιό βιβλίο. Δεν έχουν διαφορές..

στο σύστημα έχω χ,ψ,ζ...εγω επειδη ζητά κύκλου θα πρέπει να έχω μόνο 2.θα μηδενίσω το ζ; ποια θα πάρω;

| x^2 + y^2     x     y    1  |
|       2           1    -1    1  |  = 0     =>  x^2 + y^2 + 3x -y = 6     (ελ.397)
|       4           0    -2    1  |
|       5           1     2    1  |


μπορει καποιος να με βοηθησει πως βγενει η δεθτερι σχεσι απο την πρωτη ??
thx :-\

το πρωτο μερος της πρωτης σχεσης ειναι μια οριζουσα. Αν την υπολογισεις προφανως θα βρεις αυτη την εξισωση.

thx
μαλλον εκανα καποιο λαθος θα δοκιμασω μια φορα ακομα

Να ρωτήσω κάτι ; Τα θέματα είναι πάντα! ξεκάθαρα διαχωρισμένα σε γραμμικής άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας ;

Από ότι θυμάμαι ναι....Πρώτα ήταν τα θέματα της γραμμικής και μετά της γεωμετρίας.....

Ναι απλά εννοώ αν ξέρει κάποιος αν αυτό είναι γενικός κανόνας... Δηλαδή κάθε φορά βάζουν ξεχωριστά ; (προσπαθώ να κάνω εκπτώσεις στο διάβασμα όπως κατάλαβες). thanks για την απάντηση πάντως.

Ναι, είναι απόλυτα ξεκάθαρο. Και μάλιστα σου λένε οι καθηγητές ότι Γραμμική Άλγεβρα είναι τα θέματα πχ 1-4, και Αναλυτική Γεωμετρία 5-7 και πρέπει να γράψεις στη κάθε ομάδα τουλάχιστον 1,5.

Okay... Ευχαριστω...

Μπορει κάποιος να μου πει πως αναγνορίζουμε χωρίς πράξεις τις παρακάτω επιφάνειες?

α) 3(x-y)²+(y-2)²-(z-y+4)²-10=0

b) 3(x+y)²+z²=(x+y+z)²

Είναι από τα θέματα του Φεβρουαρίου 2008.

Επιφάνειες εκ περιστροφής φένονται αλλά τι ακριβώς απαντάμε?

Βασικά στη δεύτερη περίπτωση μπορούμε να σκεφτούμε ότι τα x,y,z είναι όλα στο τετράγωνο και αφού δεν έχουμε σταθερό ορο είναι κονική επιφάνεια??

'Ετσι όμως στο πρώτο που έχουμε σταθερό όρο που θα ξέρουμε αν είναι είναι ελλειψοειδές ή υπερβολοειδές?

οταν λεει να αναγνορίζουμε χωρίς πράξεις τις παρακάτω επιφάνειες

τι εννοει ???

οτι θα κανουμε εμεις τις πραξεις αλλα αυτος θελει μονο το συμπερασμα να του γραψουμε??

συνήθως είναι θέμα χωρίς πράξεις...
Στηρίζεται απλά στη θεωρία.
Πρέπει να θυμάσαι από τη θεωρία σε τι γραφική αντιστοιχεί κάθε εξίσωση και τι στοιχεί α της μπορείς να βγάλεις από αυτή (π.χ κεντρο , ακτίνα κλπ κλπ)

Για το πρώτο εγώ θα έλεγα ότι είναι μονόχωνο υπερβολοειδές.  Έλαβα υπόψη μου μόνο τα x,y,z που είναι στο τετράγωνο και καταλήγω σε κάτι σαν

x²/a + y²/b -z²/c + P(x,y,z)=1

Δεν ξέρω αν είναι σωστό.... :-\ :-\

mporei kapoios na ekshghsei pws vriskoume to span 3 grammikws eksarthmenwn dianysmatwn?genikotera pws vriskoume to span???

Όσον αφορά τις επιφάνειες, νομίζω πως η εξήγηση είναι η εξής:

Ας πάρουμε την πρώτη που είναι 3(x-y)^2+(y-2)^2-(z-y+4)^2=10. Αυτή κατ' αρχή φαίνεται λίγο σύνθετη αλλά ταυτόχρονα είναι και οργανωμένη με τρόπο ο οποίος να μας λέει πως ως προς τις ποσότητες
u=x-y
v=y-2 και
w=z-y+4

ισχύει η σχέση 3u^2 + v^2 - w^2 = 10 ή ισοδύναμα

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{u^2}{3/10}%20+%20\frac{v^2}{10}%20-%20\frac{w^2}{10}%20=%201)

Δηλαδή, αν ως σύστημα συντεταγμένων λαμβάναμε αυτό που ορίζει ο παραπάνω γραμμικός μετασχηματισμός, τότε, σε αυτό, μεταξύ των νέων συντεταγμένων u,v και w θα ισχύει η παραπάνω σχέση. Αυτή η σχέση, όμως, προσδιορίζει ενα μονόχωνο υπερβολοειδές (αυτό που είναι σαν βάζο!) το οποίο τυλίγεται γύρω από τον άξονα της συντεταγμένης w (και ο οποίος προσδιορίζεται από την ταυτόχρονη ικανοποίηση των σχέσεων u=0 και v=0). Επειδή, τώρα, ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός, στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων η εξίσωση θα παριστά επίσης ένα μονόχωνο υπερβολοειδές, μόνο που αυτό δεν θα είναι όμορφα τοποθετημένο γύρω από τον άξονα z, αλλά, θα τυλίγεται γύρω από την ευθεία που προκύπτει από την τομή των επιπέδων x-y=0 και y-2=0. Δηλαδή, θα τυλίγεται γύρω από μια ευθεία που είναι παράλληλη προς τον άξονα z και περνάει από το σημείο (2,2,0).

Με απλά λόγια, η αρχική εξίσωση εκφράζει μια επιφάνεια, της οποίας η θέση (και τα απλά χαρακτηριστικά) έχει αλλάξει από τη συνηθισμένη που μας επιτρέπει να την εκφράσουμε με απλό τρόπο. Παρ' όλα αυτά, οι όροι της νέας εξίσωσης, έχουν οργανωθεί έτσι ώστε να ορίζουν ποσότητες (νέες συντεταγμένες) ως προς τις οποίες η επιφάνεια αποκτάει απλή και συνηθισμένη μορφή (το πως μπορεί να γίνει αυτό γενικά, νομίζω πως το εξετάζει η θεωρία που παρουσιάζεται στην παράγραφο της ταξινόμησης δευτεροβάθμιων επιφανειών). Άρα, βρίσκουμε τι επιφάνεια χτίζεται με βάση τη σχέση αυτών των νέων ποσοτήτων. Αυτό πάντως που είναι σημαντικό, είναι πως η σχέση των νέων και των παλιών ποσοτήτων είναι γραμμική (είναι γραμμικός μετασχηματισμός) το οποίο σημαίνει πως απλά έχει αλλάξει η θέση και η τοποθέτηση της επιφάνειας στον χώρο. Μπορεί να έχει αλλάξει και το σχήμα αλλά με τρόπο που δεν αλλάζει την κατηγορία της επιφάνειας. Κάτι τέτοιο δεν θα ίσχυε αν η σχέση ήταν μη-γραμμική, όπου εκτός της μετατόπισης, μπορεί να άλλαζε και βασική μορφή της επιφάνειας.

Αυτό μάλιστα που συμβαίνει στη συγκεκριμένη επιφάνεια -όπως το καταλαβαίνω απλά τουλάχιστον- είναι πως ναι μεν τυλίγεται γύρω από τον άξονα της συντεταγμένης w, με τις ελλείψεις που τη χτίζουν να βρίσκονται στα ισοσταθμικά επίπεδα της w (τα οποία είναι παράλληλα στο συντεταγμένο επίπεδο των u,v στο οποίο w=0), αλλά, επειδή το σύστημα συντεταγμένων (u,v,w) δεν είναι ορθοκανονικό, τα επίπεδα των ελλείψεων σχηματίζουν μη-ορθή γωνία με τον άξονα w. Αυτό ίσως θα μπορούσαμε να πούμε πως οφείλεται σε τέντωμα -streching- της επιφάνειας προς κάποια κατεύθυνση διαφορετική από αυτή των αρχικών αξόνων με αποτέλεσμα οι διαδοχικές ελλείψεις να μην τοποθετούνται συμμετρικά η μια πάνω στην άλλη (κάθετα προς την πορεία των κέντρων τους) αλλά τα κέντρα τους να ακολουθούν την πορεία ενός νέου άξονα - του άξονα w. Αν δούμε αυτό το αποτέλεσμα σε γραφική παράσταση (π.χ. στις επισυναπτόμενες εικόνες), μπορεί να μας δώσει την ψευδαίσθηση πως η επιφάνεια τυλίγεται όχι γύρω από τον άξονα w αλλά γύρω από μια ευθεία κάθετη στα επίπεδα w=c! Αυτό δεν είναι σωστό και νομίζω πως η συγκεκριμένη αίσθηση οφείλεται στη μορφή που παίρνει η επιφάνεια λόγω του ότι οι ελλείψεις δεν σχηματίζουν ορθή γωνία με το άξονα w γύρω από τον οποίο σχηματίζονται.

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει πως η δεύτερη επιφάνεια 3(x+y)^2+z^2=(x+y+z)^2 είναι ένας κώνος ο οποίος τυλίγεται γύρω από την ευθεία
x+y=0
z=0

ΜΗΠΩΣ ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΝΕΝΑΣ ΝΑ ΑΝΕΒΑΣΕΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΑΝ ΣΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ?
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!!!

που μπορω να βρω θεματα εκτος απο το τημμυ??οποιος εχει παρακαλω να ανεβασει...

υπαρχει πιθανοτητα να βαλει ο ξενος κατι σχετικο με σφαιρικο σ.σ. ηκυλινδρικο η στροφη,παραλληλη μεταφορα???

Σχετικά με το κομμάτι της Γραμμικής, είμαι καλυμμένος αν διαβάσω τις σημειώσεις του Κεχαγιά απο το blackboard?

δεν νομιζω 100%!!!εγω προσωπικα βλεπω τι μας εκανε στο τετραδιο!!θα κοιταξω και αυτες βεβαια απο το blackboard!!

Nαι, ΟΚ από τις σημειώσεις μου... Από το βιβλίο?

εγω οχι και πολλα πραγματα....δεν παλευεται...ειναι αθλιο!!

Εχω ακουσει παλιους να λενε οτι στο κομματι της γραμμικης σε καλυπτουν οι σημειωσεις του Κεχαγια.
Προσωπικα εχω βρει πολυ χρησιμες τις λυμμενες/αλυτες ασκησεις του και το ζουμι της θεωριας σε καποια σημεια.
Δε βλαπτει και μια αναγνωση απο το βιβλιο νομιζω.

Το χαος της αναλυτικης γεωμετριας ειναι το παλουκι.
Υπαρχουν σημειωσεις του κ. Κεχαγια, για ορισμενα κομματια, εμενα προσωπικα με βοηθησαν να καταλαβω τι παιζει, μεχρι εκει ομως. Δεν ειναι τιποτα δυσκολες ασκησεις, ειναι τα βασικα.
Σε ποστ του ο κ. Κεχαγιας ειχε πει οτι απευθυνονται στους πολιτικους μηχανικους, εντουτοις αποτελουν ενα καλο σετακι ασκησεων. Θα σου προτεινα να τις δεις και αυτες.
Νομιζω ομως οτι και παλι αρκει να γνωριζεις αυτα που τονισε ο κ. Ξενος στο μαθημα του, απ'οτι εχω δει αυτα βαζει. ^ivres^

Γενικα το μαθημα θελω να πιστευω οτι παλευεται....
καλο διαβασμα συναδελφοι.  :)

shmeiwseis kehagia  ^wav^

Πινακες:Κεχαγιας-λυμενες ασκησεις και παλια θεματα

Αναλυτικη γεωμετρια:λυμενες ασκησεις βιβλιου,οτι σας ειπε ο ξενος-μπαρμπαρη για σος και πατε για τουλαχιστον 7... :D

7 χαμενες μοναδες..... ;D

Jeremiah....οχι λεω για 7 κερδισμενες.... :D

Tώρα που το λέω μπορεί να κάψω κανα θέμα...
Σε κανα 2-3 παλιά θέματα που είδα έδινε έναν πίνακα Α 2χ2 ή 3χ3 και ζητούσε το e^Α...

καθε χρονο βαζουν πινακα και ζηταν τον f(A)..
και συνηθως ειναι ο e εις την A γιατι εχει και παραδειγμα στο βιβλιο....μαθετε την διαδικασια...και βγαινει!!

Excusez moi?Qu'est-ce que c'est?

Aπό ότι είδα έχει απλά θεματάκια για να σου δώσουν ενα 4 τουλάχιστον!

ρε συ ιερεμια..ειναι μεσα στο βιβλιο...οριζει την συναρτηση f η οποι παιρνει ως "ανεξαρτητη μεταβλητη" εναν πινακα Α..το λεω λιγο μπακαλικα αλλα ετσι ειναι..εχει μια διαδικασια με ιδιοτιμες και διαφορα πραματα αν θυμαμαι...διαβαστε τα..και ναι οντως περνανε αρκετοι αλλα οχι και αβερτα..

Στανταρ θεμα θα ειναι αυτα τα διχωνα μονοχωνα υπερβολοειδη παραβολοειδη κ.λ.π. που μας εκανε η Μπαρμπαρη στα τελευταια μαθηματα.
100% για μενα θα πεσει τετοιο, συμφωνα και με τα λεγομενα της...

+1...
αφου το ειπε η Μπαρμπαρο θα πεσουν..dont worry!!!!!

θα βαλουν διαφορετικα θεματα οπως και στον λογισμο???ξερει κανενας??και επισης ξερετε αν μπορουμε να εχουμε κομπιουτερακι?

να κανω μια ερωτηση...(επειδη ειμαι παλιος),στα θεματα δε βαζει 5 μοναδες κεχαγιας κ 5 ξενος??κ για να περασεις πρεπει να παρεις 1,5 απο τον καθενα? (δλδ με 4 απο κεχαγια κ 1 απο ξενο δε περνας) καλα δε τα λεω?

Οσον αφορα αυτα με τις μοναδες καλα λες
Για το ποιος βαζει ποσα, δε ξερω

τι εννοεις ποιος βαζει ποσα???

Αυτο με τα θεματα, που λες αν βαζει ενα ο κεχαγιας και ενα ο ξενος

Kοιτάξτε, βάζει την πρώτη ομάδα ο Κεχαγιάς και τη δευτερη οι Ξένος, Μπαρμπαρή... (Μαλλον Ξένος όμως)
Αυτά από ότι έχω δει σε παλιά θέματα...

3 χρονια που δινω (  ;D ;D ;D ,δε διαβαζω ομως) βαζει 5 μοναδες κεχαγιας (πινακες) κ 5 ξενος...go δυνατα φετος(φετος κατεβαινω διαβασμενος  8) 8) 8))

Ξέρει κανένας που μπορώ να βρω παλιότερα θέματα εκτος από αυτά στα downloads? 3 είναι όλα κι όλα

διαβαζω 3ο κεφαλαιο απο του Ξενου και ειναι πανευκολο!παω να κανω ασκησεις και απλα τις χαζευω!ΤΑ ΠΑΡΑΤΑΩ!
υ.γ.¨πεφτουν τετοιες ασκησεις?

απ'οτι εχω δει και εχω ρωτησει τετοια δεν πεφτουν!!!ο ξενος δεν εχεις δει τι βαζει σε παλιοτερα θεματα???κρινε απο τις σημεωσει του τι εχει τονισει!!

οντως ειδα παλιοτερα θεματα και δεν εχει μπει τιποτα παρομοιο!ελπιζω να μην γινει η εξαιρεση με μας!τα θεματα απλα μου φαινονται και συγκεκριμενα παντως..

και μενα το ιδιο!!!καμπυλες ειναι σιγουρο...

τα θεματα μου κανουν στανταρ..........

ναι ειναι σχεδον παντα τα ιδια!!

εχεις δει πολλα θεματα; :D

2-3

Παντα: απαντηση ως αποτελεσμα επαγωγης, αμιγως ατελους. :D

μπορει καποιος να μου πει τι ειναι ο ιδιαζων πινακας?

Αυτός που η ορίζουσα του είναι 0. Ο μη ομαλός δηλαδή.

- Στέλιος

Στο χαρακτηριστικο πολυωνυμο που υπολογιζουμε ριζες δεν εχω σκεφτει πολυ αν αυτο ειναι εφικτο αλλα αν καποια ριζα ειναι μιγαδικη συνεχιζουμε κανονικα τη διαδικασια υπολογισμου ιδιοδιανυσματων?

Και βασικα η απορια μου ειναι η εξης ενας πινακας πραγματικων ειναι δυνατον να εχει μιγαδικες ιδιοτιμες και αν ναι αυτος ο πινακας εχει συγκεκριμενες ιδιοτητες?  :-\

λιγο ασχετος με γραμμικη αλλα μου δημιουργηθηκε η απορια μια και διαβαζω για την τεταρτη αν μπορει καποιος να απαντησει ευχαριστω εκ των προτερων. :)

Σελιδα 222 βιβλιο Ξενου

Ναι γινεται.
Τα στοιχεια του Α ειναι πραγματικοι αριθμοι και οι ιδιοτιμες μιγαδικοι αριθμοι

Για αυτο που λες αν εχουνε συγκεκριμενες ιδιοτητες αυτοι οι πινακες δε ξερω :-[

http://www.sosmath.com/diffeq/system/linear/eigenvalue/complex/complex.html

Απάντηση: Ναι, ορίζονται. Εκτός ύλης δε.

γ@μα την υλη ρε διαβαζουμε που διαβαζουμε κατι αν διαβαζουμε και τα μισα χεσε μεσα τζαμπα χανουμε χρονο thnx για το λινκακι ωραιο ;)

εδιτ πολυ καλο

Κοίτα, αν διαβάζεις τώρα, όπως κι εγώ, γιατί όλο το εξάμηνο είχα καταντήσει αμοιβάδα  , καλύτερα άσε τις γενικές γνώσεις. Κι εγώ κάποια στιγμή θα επιστρέψω στις γενικές γνώσεις, αλλά τώρα δε λέει, γιατί αν αρχίσω και διαβάζω για ερμιτιανούς π.χ. πίνακες, δε θα γράψω ούτε  10 στην μηδενική.

- Στέλιος

χααχαχα εχω την πολυτελεια δεν το δινω πρωτη φορα ;) και επισης δεν με απασχολει να παρω 10(σε οποιαδηποτε δυναμη) οποτε. . .

για την ακριβεια i prefer primes :P

μπορει καποιος να μου στειλει Pm για το πως λυνεται το 5ο θεμα απο της εξετασεις φεβρουαριου 2008 γιατι εχω μπλοκαρει κ μου βγαινει λαθος?Πρεπει να παιρνω λαθος καποια σχεση κ δεν ξερω ποια...αν μπορει καποιος ..Ty

πλζ ρε παιδια καποιος...εχει σαπισει ο εγκεφαλος μου...δε θελω ολη τη λυση ,θελω τις σχεσης που πρεπει να παρω για να βγαλω την ευθεια (τις πραξεις No need φυσικα)

κατσε ρε συ, θα την κανω σε κανα 10λεπτο. την ελυσα προηγουμενως αλλα θελει παλι να την κοιταξω λολ.... ;D

Λοιπον(χωρις να ειμαι 100% βεβαιος):

Αφου το επιπεδο διερχεται απο την ευθεια l, τοτε ειναι παραλληλο προς το διανυσμα q=(1,-1,3).
Επειδη ειναι παραλληλο στην αλλη ευθεια, εχεις οτι ειναι παραλληλο και ως προς το p=(1,4,-1)
Βρισκεις τις παραμετρικες της πρωτης ευθειας(δλδ βρισκεις ενα σημειο του επιπεδου αφου αυτο διερχεται απο την l, ουσιαστικα υπαρχει απλη απειρια τετοιων σημειων)
Ειναι το Μ(t,1-t,3t-2). Κανεις οριζουσα με γραμμες [t 1-t 3t-2 , 1 4 -1, 1 -1 3]=0 και αυτη ειναι η εξισωση του επιπεδου(εχεις παραμετρο μεσα φυσικα, αφου υπαρχουν απειρες τετοιες ευθειες- μπορεις να παρεις ενα t που σε βολευει και να πεις οτι εχεις ενα παραδειγμα τετοιου επιπεδου).

μπλε.-

Είναι η λύση , όχι οι λύσεις... Δεν έκατσα να το λύσω, αλλά λογικά το επίπεδο είναι ένα... Εκτός και αν η εκφώνηση είναι λάθος.

- Στέλιος

οποτε εχουμε επιπεδο που διερχεται απο ευθεια ο ξενος εχει τονισει οτι βολευει να παιρνουμε αξονικη δεσμη της ευθειας!επομενως προσπαθησε ετσι:
c:χ+ψ-1+λ(3χ-ζ-2)=0...το επιπεδο ανηκει στην c και αρα το καθετο διανυσμα του εχει τη μορφη:η=(3λ+1, 1 , -λ)
το η καθετο στο (1,4,-1) περνεις το εσωτερικο γινομενο και βρισκεις το λ!αρα και το επιπεδο!

ευχαριστω  :)

οταν μας δινει ενα κυκλο ως τομη μιας σφαιρας και ενος επιπεδου πως μπορουμε να βρουμε την εξισωση του?π.χ.ασκηση 4ιιι στα θεματα σεπτεμβριου 2006..

συστημα. Εγω ελυσα τη 2η ως προς z αν θυμαμαι καλα...

σε ευχαριστω αλλα προκυπτει γινομενο χ*ψ...αυτο τι το κανουμε?

εχει στο 4ιιι τετοιο γινομενο; :o :o

αν λυσεις την 2η ως προς ζ τοτε καταληγεις ζ=2-χ/2+ψ
αν το υψωσεις στο τετραγωνο(αντικατασταση)προκυπτει  -2χ*ψ

ε μετα κανεις τελεια τετραγωνα.

φιλε δεν γινεται νομιζω!με τετοιο γινομενο δεν μπορεις να κανεις τελεια τετραγωνα τουλαχιστον ετσι νομιζω..Αν μπορεις δειξε πως το κανεις..Και δες και σελιδα 434 παραδειγμα 3,2 πως λυνει κατι αναλογο ο Ξενος...

Εχεις δικιο, εγω ειχα κανει λαθος προσημα και ειχε φυγει το xy.
Λοιπον η μια εξισωση που σου δινει ειναι σφαιρα και η αλλη ειναι επιπεδο. Σωστα; Σωστα.
Ο κυκλος βρισκεται πανω στο επιπεδο και εχει κεντρο το κεντρο της σφαιρας και ακτινα την ακτινα της σφαιρας.
Αρα κανεις τελεια τετραγωνα στην εξισωση της σφαιρας και βρισκεις απο κει το κεντρο και την ακτινα της.
ή τελοσπαντων με ενα τροπο προσδιορισε ακτινα και κεντρο σφαιρας.

ΣΩΣΤΑ!τωρα εβλεπα κατι αναλογο που κανει ο Ξενος αλγεβρικα στο παραδειγμα 3,2 σελιδα 434!κανει την ιδια αντικατασταση και καταληγει σε συστημα που εχει τις ιδιες λυσεισ με την εξισωση της σφαιρας!Ευχαριστω για τη βοηθεια!

Nαι βασικα αν κανεις τελεια τετραγωνα στη σφαιρα και βρεις κεντρο ακτινα μετα βρισκεις ευκολα κεντρο κυκλου αφου ειναι προβολη στο επιπεδο και αν ξες κεντρο και ακτινα σφαιρας ευκολα υπολογιζεις και την ακτινα του κυκλου που ψαχνεις  ;)

ακτινα κυκλου=ακτινα σφαιρας..... κανω λαθος;

ναι μωρε εκτος αν το κεντρο της σφαιρας ειναι πανω στο επιπεδο κανε ενα σχημα θα βοηθησει ;) αλλιως ακτινα κυκλου μικροτερη ακτινα σφαιρας  ;)

α ναι δικιο εχεις. εγω πηρα δε δομενο οτι το κεντρο ειναι πανω στο επιπεδο. Κανονικα πρεπει να το τσεκαρεις. Αν δεν ειναι πως το υπολογιζεις;

το κεντρο του κυκλου? κανονικα βρησκεις την προβολη του κεντρου της σφαιρας πανω στο επιπεδο

να γραψω και πως βρισκεις προβολη σημειου στο επιπεδο η εισαι οκ?

για γραψε αμα δε σου κανει πολυ κοπο.

Aντε βρε Kehagiat να δούμε τι θα κάνουμε το απόγευμα...

Λοιπον εστω Α(α1,α2,α3) το κεντρο του κυκλου αυτο ανοικει στο επιπεδο οποτε εχεις μια εξισωση απο αυτο μετα το διανυσμα ΚΑ (οπου Κ το κεντρο της σφαιρας) ειναι παραλληλο στο καθετο διανυσμα του επιπεδου που ξερεις ηδη απο την εξισωση του νομιζω σαυτην την περιπτωση (2006) ειναι το ν(1,-2,2) οποτε κι αποτ τη σχεση ΚΑ=λ*ν εκφραζεις τα α1,α2,α3 σε συναρτηση του λ το οποιο υπολογιζεις απο την πρωτη εξισωση που εχει του επιπεδου την οποια επαληθευουν τα α1 α2 α3

και ετσι εχεις το κεντρο του κυκλου

μετα υπολογιζεις την ακτινα και οβερ ;)

παιδια, οποιος ξερει τις λυσεις των ασκησεων:

Θεμα εκτο απο το 2008 και της ασκησης 20 σελιδα 482 απ'το βιβλιο (εκδοση 2007)

ας τις ποσταρει παρακαλω.

Μια ολοκληρη μοναδα ειναι αυτη απο τον Ξενο.... μπορει να μας σωσει....

οταν ζηταει να διειξουμε π.χ. οτι dim(R₂)=2 πρεπει να ειξουμε και οτι δεν ειναι τρια???νομιζω ειχε πει πως δεν χρειαζεται στο μαθημα!!

δε θα στο ζητησει. :o

ασκηση 20
1.ελλειψοειδες  2.2χωνο υπερβολοειδες 3. μονοχωνο υπερβολοειδες 4.ελλειψοειδες 5.υπερβολικο παραβολοειδες 6.ζευγος πραγματικων ευθειων 7.ελλειπτικος κυλινδρος 8.ελλειπτικο παραβολοειδες 9.φανταστικο ζευγος ευθειων 10.κωνος 11.παραβολικος κυλινδρος 12.υπερβολικος κυλινδρος

Σ'ευχαριστω πολυ!
μηπως τυχαινει να εχεις συγκεντρωμενα τις περιπτωσεις των εξισωσεων??

λεει για επιφανειες αν δε κανω λαθος. οι ευθειες με τις επιφανεις..... πωτς εγεν αυτο; :o

αν εχει κανεις μαζεμενους τους "τυπικους" κανονες θα κανει ενα δωρο σε οσους θελουν το 1,5 του ξενου  :)

ποιους;

τυπικουσ κανονες?εννοεις τους τυπους?

θεμα 4ιι 2006
Σ1 μονοχωνο υπερβολοειδες
Σ2 κωνος
Σ3 υπερβολικος κυλινδρος
Σ4 ζευγος ευθειων
Σ5 υπερβολικο παραβολοειδες
αν καποιος διαφωνει ας κανει ενα post

Ναι, αυτό θα ήταν πραγματικά πολυ΄καλή βοήθεια! :)

μαλλον εννοει αυτο που παρακαλαω κ εγω να κανει καποιος....
αν εχει δηλαδη συγκεντρωμενες τις εξισωσεις ως προς το τι παριστάνουν να τις ποσταρει...

ε, φανταστικοι συναδελφοι θα το κανετε?????

+1 απλα ας το κανει καποιος πριν τις 2... :P

δεν εχω καταλαβει τι ψαχνετε. 8)

τις εξισωσεις που αντιπροσωπευουν την καθε επιφανεια!

τις εχει ο Κεχαγιας στις σημειωσεις του. 8)

που ρε??

που ρε?? (ξαναλεω)

σημειωσεις αναλυτικης γεωμετριας. εκτος και αν δεν τις εχετε παρει χαμπαρι........... :-\

τις 100 διαφανειες λες???

ναι.

Θεμα 5 του 2008 το χει κανεις; 8)

http://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1700.225 ---tsolarion

ναι, αλλα εδω δεν λεει για ζευγος ευθειων κλπ....

απο τη στιγμη που ζηταει επιφανεις η εκφωνηση, σας ακουγεται λογικο να εχει ζευγη ευθειων; :D :D :D :D

φιλε ζευγος ευθειων ειναι 1000%!το εχει πει και ο Ξενος στο μαθημα!

ε τοτε ειναι μαλακια η εκφωνηση.  ;D

μπορεις να γραψεις λιγο την εξισωση του ζευγους ευθειων ?

χ^2-(2υ+ζ)^2=0

που βρισκεται αυτο στο βιβλιο 'η στις σημειωσεις κεχαγια?

στο βιβλιο μπορεις να το δεις στα παραδειγματα ΚΑΜΠΥΛΩΝ και ουχι επιφανειων. γιαυτο μου κανει εντυπωση.

λπν στη εξισωση που λετε πηγαινουμε το ενα τετραγωνο απο το αλλο μελος αποτετραγωνιζουμε και προκυπτουν 2 ευθειες!!

αθροισμα τετραγωνων εχεις
αρα και οι δυο οροι μηδεν.

βασικα εριξα μια ματια στις σημειωσεις του μαθηματος απο την ταξη αυτα που ειπε ο ξενος δηλαδη κ απ'οτι ειδα δεν τα ονομαζει ζευγος ευθειων αλλα ζευγος τεμνομενων επιπεδων

ναι αυτο ειναι κατι πιο πειστικο.... :D

αν μ'ακουει κανεις... τις σειρες που τις χρησιμοποιουμε ???  :P

μονο στο να ορισουμε συναρτησεις του ΝxΝ?
για τον υπολογισμο τους δεν χρειαζονται, σωστα?

γινε λιγο πιο σαφης αδερφε.

βασικα αυτο που με καιει πιο πολυ.... σελιδα 255 στο (5.7) πως το ελυσε το γαμωσυστημα???

οκ το βρηκα, σορρυ για το πριξιμο φταιει η ωρα  :-\

Οκ. κανενα προβλημα. Εγω θα μεινω λιγο ακομα μεσα. Οποτε ποσταρετε ανετα αποριες, αν μπορω να βοηθησω.

πως βρισκουμε το ορθομοναδιαιο διανυσμα???

ιδιοδιανυσμα/ μετρο ιδιοδιανυσματος.

ποιο ειναι το μετρο του ιδιοδιανυσματος?  :P μπορεις να δωσεις ενα παραδειγμα...?

Σαν το F₀ στην τεχνικη μηχανικη αμιγκο ;)

αν ειναι ενα ιδιοδιανυσμα το [1,2] τοτε το μετρο ειναι ριζα(1²+2²)

οκ?καταλαβες??αν θες τιποτα αλλο ρωτα και αν το ξερω....

ευχαριστω πολυ καταλαβα!

τιποτα!

Αν το δει κανενας το πρωι νωρις να μου πει αν πρεπει να ξερουμε να σχεδιαζουμε τις επιφανειες, πχ διχωνα κλπ

Δεν χρειαστηκε...χεχεχε

Επειδή δεν έχω το βιβλίο της γραμμικής εδώ, υπάρχει κανένας γρήγορος τρόπος να τσεκάρουμε αν ένας γραμμικός μετασχηματισμός είναι ορθοκανονικός ή όχι ;


Στέλιος

Στέλιο, μπορείς να ελέγξεις αν ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ορθογώνιος. Αυτό νομίζω πως αρκεί.

Δε μου λετε ρε :???:
Απο τις σημειωσεις του Κεχαγια για γραμμικη αλγεβρα, τα κεφαλαια 11 και 12 ( Ορθογωνιοτητα Ι και ΙΙ ) ειναι μεσα?

H oρθογωνιοτητα ειναι εκτος αλλα ειναι το κεφ 10  :P :P :P

Αλλες σημειωσεις εχεις εσυ? :o
Σε μενα ειναι το 11 και το 12

για τις σημειωσεις στο blackboard δε λες?

ε, στη θεωρια ειναι το 10 και στις λυμμενες-αλυτες το 9.

ααα
εγω κατεβασα απο τη σελιδα του ενα αλλο Pdf που τα εχει ολα μαζι!!!! :D

απ' οτι βλεπω εγινε upgrade!

αλλα ορθογωνιοτητα δεν θυμαμαι να καναμε ή να διαβασα...

lol,κάναμε ορθογωνιότητα ρε! Δές τε και το βιβλίο καμιά φοράααα,αλλά δεν το κάναμε σε πολυ μεγάλο βαθμό.

Εγω παντως δεν θυμαμαι να λυσαμε ασκησεις σαν τις λυμμενες στο αντιστοιχο κεφ....

Δεν τις έχω δει τις λυμμένες ακόμα,αλλά για να το λες.. 8)

Αν και δεν λεει να σε αμφισβητω...

αλλα στο πρωτο ερχομουν κ γω συνεχεια! :D

Μήπως ξέρει κάποιος πώς λύνεται το 3ο Θέμα των θεμάτων του 2006 που υπάρχουν στα Downloads;

Για τον υπολογισμό του e^A υπάρχει κεφάλαιο στο βιβλίο

Ξέρω αλλά στο συγκεκριμένο πίνακα βρίσκω διπλή ιδιοτιμή λ=2 και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα [1,0]. Τώρα δεν ξέρω πώς να συνεχίσω. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία πρέπει να πάρω ένα πίνακα Χ με στήλες τα ιδιοδιανύσματα, να βρω τον αντίστροφό του κλπ. Στην περίπτωσή μου τι κάνω; Έχω κάνει κάτι λάθος;

Βασικά δεν την έχω κάνει ακόμα την άσκηση,αλλά για να το λες πως βγάζεις διπλή ιδιοτιμή,θα έχεις δίκιο.Μετά μπορείς να χρησιμοποιήσεις τον τύπο με το υπόλοιπο από το αντίστοιχο κεφάλαιο του βιβλίου,όπως αναφέρει και ο Νιελς.Απλά,χρησιμοποιείς μία φορά τον τύπο για f(λ)=e^λ=υ(λ) και για αυτή την ιδιοτιμή παίρνεις και τον τύπο f'(λ)=λe^λ=υ'(λ).Τα λέει πολύ αναλυτικά όμως και το βιβλίο,έχει και τέτοιο παράδειγμα με ιδιοτιμή που έχει αλγεβρική πολλαπλότητα 2 (είναι ουσιατική εφαρμογή του Caley-Hamilton)


(Άν κάνω λάθος,πλζ άς με διορθώσει κάποιος,μην τα γράψω λάθος αύριο :-[)
(Επίσης,δεν έχω δει το θέμα που αναφέρεις iliasT,οπότε μπορεί να κάνω και λάθος,σου λέω απλά τί συμβαίνει γενικά στην περίπτωση που αναφέρεις.)

μήπως είναι f ' (λ)=e^λ=υ'(λ) ?

Δεν ξέρω άν έχει νόημα να παραγωγίζεις τα πάντα και όχι την ίδια την f.Τέσπα,δεν μπορώ να σου απαντήσω τώρα σίγουρα,δεν έχω και το βιβλίο μπροστά μου,άς απαντήσει κανείς άλλος για σίγουρα ;) (Εκτός άν θες να περιμένεις κανα δύωρο)

Μπορεί κάποιος να μου απαντήσει το θέμα 6ο του 2008??? ::) ::)

θες να επαληθευσεις λυσεις???γιατι αν γενικα θες να μαθεις πως λυνονται προσπαθησε τες με τη βοηθεια του βιβλιου!

να επαληθεύσω θέλω κυρίως... ;)

το περιμενα...και δυστυχως εγω δεν μπορω να βοηθησω!!!!

Μπορεί κάποιος να μου πει το σκεπτικό για το πως θα λυθεί το θέμα 5 στα θέματα του 2008

1) Παραβολικός κύλινδρος
2) ελλειψοειδές
3) δίχωνο υπερβολοειδές
4) Ας μας πει κάποιος που τα χει πιο πρόσφατα
5)Κάτι μου λέει κώνος

Έχει μισή ώρα που προσπαθώ να ποστάρω τη λύση της άσκησης που σου λεγα και δεν μπορώ! >:( Κωλοσερβερς σήμερα.
Τέσπα,είχα δίκιο σε αυτό που σου λεγα,θα ξαναπροσπαθήσω να τα ανεβάσω.

λες με αυτον τον τροπο....
ο αλλος ποιος ειναι;
ε;ε;ΕΕΕΕ;;;;

Εμ,όπως λέει και το άλλο παιδί με ιδιοδιανύσματα είναι ο άλλος τρόπος,αλλά δεν βγαίνει εδώ,γιατί έχεις μια διπλή ιδιοτιμή με γεωμετρική πολλαπλότητα 1,κοινώς δεν έχεις 2 γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα όπως θέλει ο άλλος τρόπος,άρα δεν μπορείς να τον εφαρμόσεις.

ευχαριστω ^mad^

Λω λίγο. :P

Nasia μιας που πήρες φόρα δεν μ λύνεις κ μένα την απορία??
μ έχουν σπάσει τα νεύρα οι ασκήσεις...
πάω για 5 >:(

Ως προς τι παραγωγιζεις την f και σου βγάζει  f'(λ)=λe^λ=υ'(λ) αντί για f ' (λ)=e^λ=υ'(λ)?
Δηλαδή η f''(λ) πως θα ήταν?

Lol,προφανώς ως προς λ για να στο βγάλει αυτό,δεν το λέω εγώ,το βιβλίο! :D
Λάθοςςςςςςςςςς μου,μεγάλο κιόλας,η παράγωγος αυτή είναι e^λ,λοοολζ,σορρυ ρε συ(λάθος στην παραγώγιση,δεν την παλεύω πια),άρα τα αποτελέσματα πάνω είναι λάθος,αλλά και πάλι,ο τρόπος είναι σωστός,μην σε νοιάζει το αποτέλεσμα.

Τώρα κατεβάζω να σου πω.

@Sage,νομίζω πως είναι αυτά:
a.Παραβολοειδές(?)
b.Ελλειψοειδές
c.Υπερβολικό παραβολοειδές
d.Μονόχωνο υπερβολοειδές
e.Κώνος

το β γτ μου φαίνεται σφαίρα??

Φαίνεται,δεν είναι,έχει και ένα 2 μπροστά από τον τελευταίο όρο άν δεις.

ελλειψοειδες ειναι

Παιδιά,πείτε λίγο για της ίδιας άσκησης το α,γμτ μου,δε ξέρω τί είναι αυτή η χαζομάρα.

εκ περιστροφης

Σίγουρος?Δεν μου μοιάζει,αλλά για να το λες ;) Θενξ.


edit: Το σβησες?Wtf?

σωστά.... έχεις δίκιο!!

Υ.Γ. Σκατά θα γράψω!!!!  :'(

ναι λαθος ηταν

Kαι τί είναι τελικά?Κανείς καμιά ιδέα?

Για κάθε ευθεία παίρνεις 2 τιμές του x και βρισκεις 2 σημεία, άρα και ένα διάνυσμα για την καθεμία. Τα πολλ/ζεις εξωτερικά και έχεις το κάθετο στο ζητούμενο επίπεδο διάνυσμα(a). Η μία από τις δύο ευθείες ανήκει στο επίπεδο, άρα και τα δύο σημεία, κρατάς το ένα(x_o, y_o, z_o).

Η (x-x_o, y-y_o, z-z_o,)*a = 0 Είναι η εξίσωση του επιπέδου

Μπορεί να υπάρχουν και πιο απλές λύσεις(Όχι μπορεί, υπάρχουν) αλλά αυτή θυμάμαι

Παιδια παιζει να ειναι  ελλειπτικο παραβολοειδες? (τα z² δεν φευγουν με αναπτυξη?)
Nasia κ λοιποι δωστε μ τα φωτα σας γιατι να ειναι κωνος. :???:
Eπισης παιζει να τσεκαρουμε τα αντιστοιχα του Σεπτεμβριου 2006??

Eγώ επιμένω στο α και στο γ. Το α δεν έχει z άρα είναι κύλινδρος. Το ελλειπτικό υπερβολικό παραβολοειδές έχει τέτοια εξίσωση: z = x²/a² - y²/b²

H απάντηση που πιστεύω ότι είναι σωστή είναι

a.Παραβολικός κύλινδρος
b.Ελλειψοειδές
c.Δίχωνο Υπερβολοειδές Υπερβολικό παραβολοειδές
d.Μονόχωνο υπερβολοειδές
e.Κώνος

Δεν έχει παντού τετράγωνα,άρα δεν είναιιιι :D

Κόλλησες βρε,αμάν,για το πρώτο δεν ξέρω,πραγματικά,αλλά κλείνω πιο πολύ σε αυτό που πα και πριν.

Πως είδα z²? Ναι έχεις δίκιο το διορθώνω

Ξαναρωταω το 3(x+y)²+z²=(x+y+z)² γιατι λεμε οτι ειναι κωνος?

Πας το δεξί μέλος από την άλλη και έχεις το όλο να είναι ίσο με μηδέν,την κάθε παράσταση της παρένθεσης την θέτεις ίση με ένα γράμμα,πχ.ξ,η,κ και άρα τρία τετράγωνα είναι ίσα με μηδέν-->κώνος
Αυτό ήταν το δικό μου σκεπτικό,καληνύχτα και καλά να γράψουμε αύριο! ;)



Υ.Γ.Δεν μου κολλάει που το ένα είναι πλην,αλλά πραγματικά δε θέλω να ασχοληθώ άλλο τώρα :(

Ναι ρε, αυτό που σου είπα κι εγώ. Το πλην δεν πειράζει. Στον ελλειπτικό κώνο όπως σου είπα στο πμ z² = x²/a² + y²/b². Aν τα φέρεις απ τη μία θα έχεις πλην

Ντοινγκ,δίκιο έχεις,είμαι ζαλισμένη(btw,δεν μου στειλες κανένα πμ,ή απλά δεν έλαβα εγώ κανένα :D)

Στον hurin μιλούσα :D

 ::)









Ώρα να αποσυρθώ για σήμερα,δε μου φτάνει η φαιά ουσία για αύριο.Gn ladies and gentlemen 8)

καλή ξεκούραση σε όλους εσάς που γράφετε ακόμα ^innocent^ ^nysta^

Παιδια μπας και εχει δει κανενας το 2ο ερωτημα του 1ου θεματος του 2006(Σεπτεμβριος)??Θα χρειαστουμε τον αντιστροφο πουθενα??

αν πας το X₄ από την αλλη μερια μετα εχεις αριστερα τον πινακα Α. μπορεις τοτε να χρησιμοποιησεις τον αντιστροφο...

Σωστος!Ευχαριστω!

Μην γελασετε με την απορια ρε παιδια αλλα το θεμα που πεφτει καθε χρονο στη γραμμικη κ λεει να υπολογισουμε τον πινακα e^A με Α εναν πινακα πως λυνεται??

Άν έβλεπες 2 σελίδες παραπίσω,το είχα λύσει,απλά είχα κάνει ένα λάθος στην παραγώγιση,την κάνεις ως προς λ.

https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1700.msg657677#msg657677

Ο τροπος της Νασιας ειναι ο δυσκολος ομως! 8))

Στο pdf με τις λυμενες ασκησεις του κ. Κεχαγια, στην τελευταια σελιδα ( 47 ) εχει λυμενες ασκησεις επι του θεματος, δες ασκησεις 16 και 17


edit : αυτο το ποστ δεν απανταει για το πως υπολογιζουμε το e^A
αλλα δε θυμαμαι κιολας και που απανταει :P

Βασικά τώρα μόλις θα το διόρθωνα,ο george99 ρωτάει γενικά τον τρόπο που γίνεται αυτό,εγώ εκεί είχα ποστάρει τρόπο για την περίπτωση που έχεις μια διπλή ιδιοτιμή,δεν είχα ποστάρει τον γενικό τρόπο.Anyway,ο γενικός τρόπος υπάρχει στο βιβλίο του Ξένου με κάποια παραδείγματα και μέσα στο φυλλάδιο του κ.Κεχαγιά.

Σελ.416 που αναγνωριζουμε την καμπυλη οι πραξεις στη μετατροπη μονο εμενα μου βγαζουν αλλα αποτελεσματα απ του βιβλιου? δεν αντικαθιστουμε οπου χ στην 7.1 με (χ1-2y1)/sqrt5?

οχι τιποτα αλλο αλλα πεφτει κατι τετοιο συχνα.... :-\

Thanks παιδια!! Δεν ειχα φτασει ακομα σε εκεινο το σημειο.. Κ κατι ακομα, ορθογωνιοτητα ειναι εκτος?

Δες την ασκηση 1.2.13 στη σελιδα 15 εδω --> http://users.auth.gr/~kehagiat/KehCourses/AnGeBook01.pdf

Σε βοηθαει? ;)

[Μη μου πεις οτι δε ξερεις ποιο διανυσμα ειναι παραλληλο σε δοθεισα ευθεια θα σε βαρεσω :D ]

οχι ρε φιλε δεν τα πας και τοσο χαλια με την Γραμμικη..........Thanks παντως με εβγαλες απο χοντρο προβλημα!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ;) ;) ;) ;) ;) ;) ;)

Εννουσα δεν τα παω και τοσο χαλια...........

το καταλαβα ;) :)

Βασικα ασκηση 1.2.13 στην σελιδα 15 δεν υπαρχει...και εξακολουθω να μην καταλαβαινω πως λυνεται ρε γαμωτο.

Selida 10 einai

Εγώ έκανα το εξής...
Χρειαζόμαστε 2 διανύσματα παράλληλα στο επίπεδο και ένα σημείο του επιπέδου για τον προσδιορισμό του..Το ένα παράλληλο διάνυσμα μας το δίνει εύκολα η δεύτερη ευθεία..Το ζητούμενο σημείο το παίρνουνε συναρτήσει των Α,Β,C,D από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων της πρώτης ευθείας και του επιπέδου Αx+By+Cz+d=0.Μας μένει ένα ακόμα διάνυσμα παράλληλο στο επίπεδο..Ένα τέτοιο διάνυσμα θα επαλήθευε την εξίσωση
Αa+Bb+Cc=0.Οπότε επιλέγω το διάνυσμα (Β,-Α,0).Έχω τώρα τα ζητούμενα στοιχεία για τον προσδιορισμό της εξίσωσης του επιπέδου από τον τύπο1.1.6  σελ 7 των σημειώσεων του Κεχαγιά..
Δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της μεθόδου γιαυτό θα χρειαζόμουν μία επιβεβαίωση ή κάποια πρόταση για πιο σύνοτμη επίλυση...

Tι να πω??Τα θεματα του Ξενου ειναι τοσο τραγικα ή ειναι ιδεα μου??Λιγη βοηθεια με το θεμα 5 ρε  παιδια!!PLEASE!!!  :'(!

Mporeis poly apla na breis to deutero dianisma ap thn 1h eutheia

Εννοείς από την προβολή του διανύσματος της πρώτης ευθείας στο διάνυσμα της δεύτερης έτσι??

Γιατί τρελένεσαι συνάδελφε?? :D

Όπως βρήκες ένα διάνυσμα από τη δεύτερη ευθεία, θα βρείς άλλο ένα από την πρώτη. Αφού η ευθεία ανήκει στο επίπεδο, το διάνυσμα θα είναι παράλληλο στο επίπεδο

Αφου λεει διερχεται!!Χα!!τα εχω παιξει...ουτε 3 δεν θα γραψω... :(

Είναι γεγονός :), απλά η εκφώνηση λέει ότι το επίπεδο διέρχεται από την πρώτη ευθεία και υπέθεσα πως εννοεί ότι έχουν ένα κοινό σημείο..Αν θεωρήσουμε ότι και η πρώτη ευθεία είναι παράλληλη στο ζητούμενο επίπεδο τότε τα πράγματα γίνονται σαφώς πιο απλά..

Αν ήταν έτσι θα είχα άπειρα επίπεδα

Μακαρι να ειναι ετσι.Ειναι γελοιο τοτε.thnx παντως!

Υπάρχουν τίποτα tips για αναγνώριση των δευτεροβάθμιων επιφανειών?

θα σκαναρω τωρα πως αναγνωριζουμε επιφανειες

 ^hello^ ^hello^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^super^ ^beer^ ^ivres^ ^band^ ^wav^

Πολυ ωραίος.. :D

ατςςς! ;D

[ τα επισυναπτω ]

επισης, σε μια ασκηση, εκει που βγαζω τον πινακα L, γραφω 1/10 ενω ειναι 1/ ριζα 2 :(

μιλατε ρε σκουληκια
καλες ητανε? 8)) ::)
για οχι?! :'( ^knuppel^ ^knuppel^ ^knuppel^

σκατά χάλια τι γράμματα είναι αυτά  ^sfyri^ ^sfyri^ ^sfyri^ ^sfyri^ ^sfyri^ ^eatpaper^ ^eatpaper^ ^eatpaper^

 :D

τα δικα μου! :)

 ^knuppel^ ^tickedOff^ ^knuppel^ ^tickedOff^

ξερει κανεις τι σημαίνει ιχνος πίνακα??

ειναι ή το γινομενο ή το αθροισμα των στοιχειων της κυριας διαγωνιου
δε θυμαμαι τι απο τα δυο

πολυ καλες απλυτε thx! στην τελευταια αναγνωριση νομιζω οτι απ την αρχη που δινεις την φ(χ) θα πρεπε να γραφει =1  ^dontknow^

α και επισης αυτη η μεθοδολογια για αναγνωριση καμπυλης με μερικες παραγωγους πινακα κτλπα στα παραδειγματα του βιβλιου θελουν του πουστη τις πραξεις η κανω κατι λαθος?και μαλιστα δεν καταληγω και σε σωστο αποτελεσμα....

ευχαριστω απλυτε.. το αθροισμα ειναι τελικα το καταλαβα απο εναν πινακα..

επισυναπτω και λιγες σελιδες απο Α4 για επιφανειες

 ^moon^

παιδια οταν εχω ενα συστημα 0χ+0ψ+0Ζ+0=0
ποιες ειναι οι λυσεις του?

νομιζω οτι ειναι αοριστο... ισχυει δλδ για καθε χ,ψ,ζ

ειναι ταυτοτητα και ισχυει για ολα τα επιπεδα του R₃ νομιζω :P :P :P :P :P :P :P :P :P

ο τριγωνομετρικος αριθμος που μηδενιζεται (αφου τα μετρα ειναι διαφορα του μηδενος)
τι σου λεει για τη γωνια των διανυσματων??? ::)

ρε παιδια πως βρισκει αυτα τα κολοδιανυσματα στη σελ.466 ο ξενος?
δεν επρεπε να ηταν το υ1 και το υ3 οπως εχουν και το υ2 {0,1,-1}?

Στη σελίδα 47 απ' τις λυμένες του Κεχαγιά, άσκ.17. Πώς βγάζει τις ιδιοτιμές 0,1,2??? εμένα η χαρακτηριστική μου βγαίνει

Άντε άντε άπλυτε βοήθα γιατί χανόμαστε...... 8))

we are talking about πραξεις maaaaaaaan

πραξεις πραξεις πραξεις!!!!

κανενας?

Παίρνει τα ιδιοδιανύσματα με μέτρο 1
μλκια πρεπει να ειπα....  :D

οταν λέμε οτι το επίπεδο διέρχεται απο την ευθεια, εννοουμε οτι η εξισωση της ευθειας επαληθευει την εξισωση του επιπεδου??

η ευθεια εχει απειρα κοινα σημεια με το επιπεδο ^wav^

ευχαριστω!!

τομή ε με Ε:
άπειρες λύσεις στο σύστημα ε-Ε-->η ε ανήκει στο Ε
αδύνατο σύστημα-->ε//Ε

όπου ε:η ευθεία και Ε:το επίπεδο

καλη επιτυχια σε οσους γραφουν σημερα!!!

βγαλτε μια φωτογραφια τα θεματα μολις τα παρετε
[οχι για μενα, για σας που θα κοπειτε!!!! :P :P :P :P :P :P ;D ]

χαχαχαχαχα οκ εγινε!! ;D ;D

δε κανω πλακα :???: :???: :???: :???: :???:
ειμαστε μαλακες και δε κραταμε θεματα!!! :-\

οντως!!!

Θερμή παράκληση: ας μου πει κάποιος ενδεικτικά την λύση μιας άσκησης αναγνώρισης επιφανειών, στυλ Θέμα 6ο από Φεβρουάριο 2008, ομάδα Β.   :)

προσπαθεις παντα στο 2ο μελος να εχεις 1 και μετα αναλογα με το ποσες μεταβλητες εχεις στο τετραγωνο και με τα προσημα τους αναγνωριζεις την επιφανεια.


(δεν πιστευω να θες και τη λυση?)

αυτό το ξέρω  ;)

(τη λύση θέλω)

1.παραβολικος κυλινδρος
2.ελλειψοειδες
3.υπερβολικο παραβολοειδες
4.μονοχωνο υπερβολοειδες
5.εγω θα ελεγα οτι ειναι ελλειπτικος κωνος αλλα εχω την εντυπωση οτι δεν πρεπει να εχει αρνητικο προσημο για να ειναι.

σε καθε περιπτωση,δεν παιρνω ορκο για τις απαντησεις και δεν εχω καποιο βιβλιο προχειρο για να τις τσεκαρω.
οποιος βρει λαθος ας την διαφωτισει.

Όταν έχουμε πολλαπλότητα 2 σε μια ιδιοτιμη οπως θέμα 3ο Φεβ2009Β τι γίνεται?

εδιτ: OK είδα την απάντηση στις προηγούμενες σελ!!!!

Έχει λύσει κανείς το Θέμα 6ο Ομάδας Β Φεβρουαριου 2009?

η ευθεια ε και η ζητουμενη προβολη της δημιουργουν ενα επιπεδο εστω Q.Ενα διάνυσμα καθετο στο Q ειναι και καθετο σ'ενα διανυσμα παραλληλο της ε που ειναι το α(1,1,-1) οπως επισης ειναι καθετο και σ ενα αλλο διανυσμα καθετο προσ το επιπεδο Π που ειναι το β(1,-1,1).Παιρνεις μικτο γινομενο αxβ.Η εξισωση λοιπον του επιπεδου Q ειναι ((χ,ψ,ζ)-(0,1,-1))*(αxβ)=0 το (0,1,-1) ειναι το διανυσμα θεσης στην ε. Η ζητουμενη ορθη προβολη ειναι η τομη των Π και Q.δηλαδη λυνοντασ το συστημα των εξισωσεων. ελπιζω να τα ειπα σωστα και να σε βοηθησα. :)

Θέμα 2ο Σεπτεμβριος 2006
i) Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα

         |1 0 0|
Α =    |1 2 1|
         |1 0 1|

.
ii) Να γραφτεί (εάν αυτό είναι δυνατόν) το διάνυσμα
  |0|
  |1|
  |1|

ως γραμμικός συνδυασμός
ανυσμάτων του Α.


Πως λύνεται το ii???

γραψτο καθαρα ρε
διανυσματων, ιδιοδιανυσματων, τι στα σκατα θες να πεις :-\

Καμια ιδεα για θεμα 9ο φεβρουαριου 2009 ομαδα β?? εχω και τα 2 βιβλια για αναλυτικη γεωμετρια αλλα δεν βρισκω κατι παρομοιο.. :-[ :-[ :-[

οπως ακριβώς το λεω, ετσι ειναι μέσα.

Κάποιος λύση για το θέμα 8ο φεβρουάριος 2009 Β ομάδας!! :-\

Όσον αφορά τον προσδιορισμό του πίνακα ως προς τη βάση Ε, υπάρχουν παρόμοια παραδείγματα (δες σελ. 354) μέσα στο βιβλίο.
Για να βρεις τον γραμμικό μετασχηματισμό θα πάρεις ένα τυχαίο σημείο Α(x₁, y₁) και θα βρεις το συμμετρικό του ως προς την ευθεία που δίνει. Για να το κάνεις αυτό βρίσκεις την ευθεία στην οποία ανήκει το Α και είναι κάθετη στην δοσμένη ευθεία, βρίσκεις το σημείο τομής των δύο το οποίο θα έχει και ως μέσο, συντεταγμένες ((x₁+x'₁)/2, (y₁+y'₁)/2), όπου Α'(x'₁, y'₁) το συμμετρικό σημείο ως προς την δοσμένη ευθεία και λύνεις ως προς x'₁, y'₁.

Δες σελ. 415, ίδιο είναι.

Και να σκεφτείς οτι δεν διάβασα το κεφάλαιο επειδή το θεώρησα κάτι γνωστό!ΕΛΕΟΣ!Ευχαριστώ εν τέλει!

Δυστυχως στα downloads δεν υπαρχουν τα θεματα με το συγκεκριμενο του Κεχαγια που δινει μια σχεση P*A*(δεν θυμαμαι) και ζητα να αποδειξεις ειτε οτι Α=0 ειτε κατι αλλο. Αν θυμαται κανεις ας το αναφερει γιατι ειναι σημαντικο και νομιζω απο εκει κοβομουν συνεχεια

Παιδια τη γνωμη σας για τη λυση των θεματων 4 και 5 του φεβρουαριου 2009 ! pleeeeaaase !

αν Α^2=0 , τοτε Α(I-A)^k κ{1,2,..}
πολ/ζω με Α, και εχω, Α*Α(Ι-Α)^κ=Α*0<=>Α^2(Ι-Α)^Κ=0<=>0(Ι-Α)^Κ=0<=>0=0 ΠΟΥ ΙΣΧΥΕΙ, (ΔΕΝ ΕΙΜΑΙ ΣΙΓΟΥΡΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΥΣΗ, ΑΠ ΟΤΙ ΘΥΜΑΜΑΙ Ο ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΗΡΘΕ ΜΙΣΗ ΩΡΑ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΛΗΞΗ ΚΑΙ ΑΛΛΑΞΕ ΤΟ ΘΕΜΑ)

οσο για το 5ο, ειναι απλο το κανεις με πολλαπλασιασμο πινακων, δηλαδη λες αναλυτικα ποια ειναι τα διανυσματα ν1 ν2... και μετα κανεις πολλαπλασιασμο πινακων. και βγηκε.

Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την ευθεία:
l: x = 1 − y =(z+2)/3
και είναι παράλληλο προς την ευθεία: εε: x − 2 =y+1/4= 2 − z
?????

Για το 5ο σε νιωθω. Τα διανυσματα πως τα συμβολιζεις ;

Για το 4ο προσπαθω να σε νιωσω. Καταλαβαινω τη λογικη απο δυναμη στο τετραγωνο σε δυναμη του κ αλλα γιατι γινεται Α(Ι-Α) ;

η εξισωση του επιπέδου, το οποιο  διερχεται απο την ευθεια, αυτο σημαινει οτι η ευθεια και το επιπεδο εχουν απειρα κοινα σημεια, οποτε δοκιμαζεις  δυο τυχαιες τιμες στην ευθεια, βγαζεις δυο σημεια, και ματα πας και τα βαζεις πανω στην εξισωση του επιπεδου, και εχεις δυο εξισωσεις.

Μετα χρησημοποιεις το αλλο στοιχειο, οτι το επιπεδο ειναι παραλληλο στην ευθεια, αυτο σημαινει οτι η ευθεια και το επίπεδο δεν εχουν κανενα κοινο σημειο, αρα λες οτι εχουν ενα, και μετα πας και το παζεις πανω στο επιπεδο, και μετα λες οτι αυτο δεν πρεπει να ισχυει, αρα πρεπει να μην οριζεται το σημειο το οποιο βρηκες, (ή αλλιως ο παρονομαστης που ειναι συναρτηση των συντελεστων του επιπεδου να ειναι ισος με μηδεν), και ετσι εχεις τρεις εξισωσεις και τελειωσε, υπολογιζεις τους συντελεστες ως προς εναν, και ,μετα απλοποιεις.

μα δεν γινεται πουθενα Α(Ι-Α), και τα διανυσματα τα αναλυεις. σε πινακες στηλες και δημιουργεις εναν πινακα.

Dude στη δικη σου λυση βασιζομαι. Αν δεν εχεις προβλημα επαναδιατυπωσε την σε παρακαλω

Γραψε λαθος σορρυ,καταλαβα τωρα και ευχαριστω για την βοηθεια (εχω καψει εγκεφαλικα κυτταρα,το μυαλο μου ειναι πηνιο σε κατασταση ισορροπιας=βραχυκλωμενο)

Δίνεται ο γραμμικός τελεστής f : R 2 → R 2 με f : (x, y) → (2x + y, x − 2y) .Να
i)
βρεθεί ο πίνακας του f ως προς τη βάση {c1 = (−1,1), c 2 = (−1, −1)}
????Ενα παραδειγμα για να καταλαβω γιατι δεν εχω το βιβλιο του ξενου.

se 2 min sou anebazw apadish :D

ειναι: f(c1)=(2x(-1)+1,-1-2x1)=(-1,-3)
και    f(c2)=(2x(-1)-1,-1-2x(-1))=(-3,1)
αρα ο πινακας Μ(f)=-1 -3
.                             -3  1

βασικα burlitsa πες κι εσυ γιατι δεν ειμαι και τοοοοσο σιγουρη.. :D

to kana se pdf! nomizw padws oti einai swsta.. ap to biblio einai...

Αν χρειαστείς κάτι αναλυτικότερα που λογικό θα ναι αφου δεν έχει βιβλίο, πες!

Βασικά χρειάζομαι κ εγώ λίγη βοήθεια ::)....
Κάποιος με βιβλίο να μου εξηγήσει στην σελ. 422 πως προέκυψε η εξίσωση:
-ριζ.10(χ1^2-ψ1^2)+2(χ1-ψ1)=0.........

Αντικαθιστά απο τη σχέση 7.14 x=x₁/sqrt10-3y₁/sqrt10 και y=3x₁/sqrt10+y₁/sqrt10

ty :D

Τι ειναι εξίσωση ορθης προβολης ευθειας πανω σε επιπεδο?

Νομίζω (χωρίς να είμαι σίγουρος) η προβολή της ευθείας πάνω στο επίπεδο. Σαν να έφερνες κάθετες από κάθε σημείο της ευθείας προς το επίπεδο.

δηλαδη κανονικη προβολη!!! οπως και να χει ευχαριστω.

ναι φίλε μου. Είναι και αργά, οπότε καταλαβαίνεις....

να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του , για τα οποία ισχύει d(M,E)=2M(1,0,0). E: z-4=0
βρήκα

Αν είναι σωστό.. ποίος γεωμετρικός τόπος είναι?

Αν αναφέρεσαι στο 8ο θέμα Φεβρ 2008, θέλει d{M,E}=2 d{M,(1,0,0)} διαφορετικά δεν έχει νόημα να εξισώσεις σημείο με απόσταση..
Αν το πάρεις έτσι θα βγει το οποίο αν υψωθεί στο τετράγωνο θα δώσει ένα παραβολοειδές.

αα σε ευχαριστώ πολύ!!!  ::)

πωσ βρίσκουμε τους αξόνες του νεου συστήματος συντεταγμένων στο οποίο μια δευτεροβαθμια καμπύλη παίρνει μια απ τις γνωστές τισ μορφές :???:?????
οριζω τετραγωνικη μορφη,βρίσκω τ πινακα αυτησ,διαγονοιποιω το πινακα αυτο(με ιδιοτιμεσ ιδιοδιανυσματα),αντικα8ιστω στη δο8είσα εξίσωση και μετα απο πράξεις φτάνω σε μία απ τις γνωστές μορφές............μετά??????ευχαριστω :)

Εστω οτι
 x=ax'+by'
 y=cx'+dy'
Λυνεις ως προς x',y'
Εχεις ηδη βρει την f(x',y')=0 η οποια θα ειναι μετασχητατησμενη σε μια απο τις γνωστες μορφες π.χ X²+Y²=1
Ομως η X και η Υ ειναι συναρτησεις των x',y'.
Αντικαθηστας τα x',y' με τις εκφασεις τους που περιεχουν x,y και οι Χ,Υ θα ειναι οι νεοι αξονες..

θεματα 2008, θεμα 5 που ζηταει να βρεθει το επιπεδο. Τι πρεπει να κανω?

nomiζω οτι.βρισκεισ το παραλλη λο διανυσμα τησ ευθειασ που ειανι πανω στο επιπεδο και τησ αλλησ.......το κανονικο διανυσμα του επιπεδου ειναι το εξωτερικο γινομενο αυτων των δυο...και εχεισ και ενα σημειο του επιπεδου απ την εξισωση τησ ευθειασ........

Δεν ειναι οπως τη λυμμενη ασκηση. Η δευτερη ευθεια δεν ανηκει στο επιπεδο ετσι οπως ειναι η εκφωνηση. Και γω το σκεφτηκα αλλα το εξωτερικο γινομενο δεν θα δινει καθετο διανυσμα στο επιπεδο αναγκαστικα :/

νομιζω δινει καθετο διανυσμα............τα αλλα δυο διανυσματα ειναι παραλληλα στο επιπεδο αρα το εξωτερικο γινομενο ειναι καθετο στο επιπεδο.......

Τωρα που το σκεφτομαι ξανα.. Ισως εχεις δικιο.. Ευχαριστω ;)

ΘΕΜΑ 5ο (1 μονάδα)
Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την ευθεία:
l: x = 1 − y =(z+2)/3
και είναι παράλληλο προς την ευθεία: ε: x−2 = (y+1)/4 = 2−z

Λύση:
απο την l έχω το διάνυσμα a(1,-1,3) και το σημείο Μ(0,1,-2)
από την ε έχω διάνυσμα b(1,4,-1) και σημέιο Κ(2,-1,2)
άρα φτιάχνω τον πίνακα

| x-0 | y-1  | z+2 |
|   1  |  -1    | 3     |    =0
|   1  |   4    |  -1   |

και η ορίζουσα είναι το επίπεδο.
Μπορείς να το επαληθεύσεις
1.με το σημείο Μ
2. με το διανυσμα του επιπεδου n...
2.1. n·a=0
2.2 n·b=0

μπορεί κάποιος να γράψει την συνέχεια??

κάνω τις πράξεις και μου βγένει...


αυτό είναι παραβολοειδές?

εχω την εντυπωση οτι η άσκηση λεει (ΜΣ)=2[/(]ΜΤ) αν κανεισ πραξεισ μην ανοιξεισ τα χ-1^2 και προσπαθησε ν δημιουργησεισ τελειο τετραγωνο για το ζ...........εμενα μου βγαινει στο τελοσ 4(χ-1)^2+4y^2+3*(z+4/3)^2=16+16/3 κανεισ μετασχηματισμο παραλληλησ μεταφορασ κα προκυπτει ελλειψοειδεσ ;).................

δεν κατάλαβα πως σου βγήκε έτσι....

\και το 2 πρεπει ν υψώσεις στο τετραγωνο......

το 2ο μέλος??? το 2ο ήταν σε ρίζα...
μήπως γίνεται να σκανάρεις την απάντηση ή να το γράψεις με latex ?

δεν εχω scanner και δε ξερω latex :-[ σου λεει ΜΣ=2ΜΤ αρα η σχεση που παιρνεισ ειναι (z-4)^2=4*sqr((x-1)^2+y^2+z^2))........ελπιζω να σε βοηθησα.........

αχ ναι βρε.... αυτό το 2 ξέχασα!!! ;)

Τελικα πως λυνεται αφου τα φερουμε ολα στο ενα μελος? για το παραβολοειδες λεω..
Πως το φερνουμε στη μορφη για να μπορουμε να το αναγνωρισουμε?

στο θέμα 4ii) σεπτεμβρης του 2006, το 3 ειναι παραβολικός κύλινδρος ή υπερβολικός όπως ειδα σε προηγούμενη σελίδα του τόπικ? ευχαριστώ εκ των προτέρων

συμπληρωνεισ τα τετραγωνα.........και προκυπτει ελλειψοειδεσ......εμενα ετσι μου βγηκε

Mπορεις να κανεις το κοπο να βγαλεις μια φωτο με τη λυση?? και γω ετσι πηγα να το κανω αλλα καπου κολλησα  :-\

Στο θέμα 7ο του φεβρουαρίου 2008-ομάδα θεμάτων Β τι καμπύλη βγαίνει τελικα;

Na rwthsw..sto 6 twn 8ematwn  tou Septemvrh 2010, to dianusma pou pairnw gia thn eu8eia ε:{2x+z=3,y+2}(sthn opoia einai parallhlh to zhtoumeno epipedo)
8a einai tou tupou v=(a,0,c) ?? An h erwthsh mou einai polu xazh...einai 5:40...

Τα κεφάλαια 9,10,11 από τις σημειώσεις του Κεχαγιά στην γραμμική άλγεβρα είναι εκτός??????????

το 9 ειναι σιγουρα εκτος
το 11 μαλλον εντος υλης και το 10 μαλλον εκτος αλλα δεν ειμαι σιγουρος

Φεβρουάριος 2009 ομάδα θεμάτων Δ:Πώς λύνουμε το σύστημα στο θέμα 2ο;Στο θέμα 1ο υπάρχει κάποιος εύκολος τρόπος για να βγει ο αντίστροφος;

Φεβρουάριο 2009 ομαδα θεμάτων Β το θέμα 5ο έχει κανείς ιδέα πως λύνεται?

Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου
C:{x^2+y^2+z^2+2x+4y = 4, x−2y+2z =4}

ξερει καποιος τη λυση??  :-\

Νομίζω ότι έχει κάποια παρόμοια στις σημειώσεις του κεχαγιά στα πρώτα κεφάλαια :-\

με υπερβολη μοιαζει :P

Αν η απόσταση του επιπέδου από το κέντρο Κ(x0, y0, z0) της σφαίρας είναι
μικρότερη της ακτίνας R, δηλαδή d(S,ε ) < R τότε το επίπεδο τέμνει την σφαίρα.
Η τομή της σφαίρας με το επίπεδο είναι κύκλος. Η ακτίνα r και το κέντρο Ο του κύκλου
υπολογίζονται λαμβάνοντας υπόψη τα εξής:

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:
d^2 + r^2 = R^2 ⇒ r^2 = R^2 − d^2
όπου d η απόσταση του κέντρου της σφαίρας από το επίπεδο Π.

Το κέντρο Ο(x1, y1, z1) του κύκλου υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη ότι
ΚΟ =λn και ότι Ο∈Π .
όπου n= (a,β ,γ ) το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο..

Ελπιζω να βοηθησα...

Φεβρουάριος 2009 Θέμα 6ο?Μπορει κανείς να βοηθήσει?

Για το πρώτο θέμα ο Α είναι διαμερισμένος διαγώνιος σημειώσεις Κεχαγιά σελ(54-55).

Για αυτα τησ ομαδας Β ειναι οπως προειπε και ο συναδελφος.....(και για αυτα τησ ομαδας Δ ιδια ειναι η λυση)


(Βλεπουμε και λιγο τις προηγουμενες σελιδες...)

Ε??Ειναι το 10 κεφαλαιο απο τις σημειωσεις του Κεχαγια εκτος??Δηλαδη ιδιοτιμες κ ιδιοδιανυσματα εκτος??Πολυ περιεργο θα μου φαινοταν να ισχυτι οντως...

Μη λετε βλακεις ορισμενοι.. Ιδιοδιανυσματα ειναι σιγουρο θεμα.

;) ;) ;)να σαι καλα!!!!!απ την αρχη τησ βδομαδασ ψαχνουμε πωσ λυνεται................

Να βρεθει η εξισωση του επιπεδου το οποιο διερχεται απο την ευθεια
χ=1-y=z+2 και ειναι ΚΑΘΕΤΟ προς το επιπεδο 2χ+3y-z=10 ??????????

Λυνεται οπως και η παρακατω ασκηση(θεματα 2009 ομαδα Β ασκ 6). Αυτο που ζητας εσυ ειναι το επιπεδο Q

 ^hello^ ^hello^ ^wav^

Αμα εννοεις απο τις καινουργιες σημειωσεις του κεχαγια ναι τα 9,10 ειναι εξω. :)
Αμα εννοεις απο τις παλιες, ....φιλε ασ το.
Τα ιδιοδιανισματα προφανως ειναι μεσα.

το διανυσμα θεσης οπως λες δεν θα επρεπε να ειναι (0,1,1) και οχι (0,1,-1) .....???

οχι γιατι το Ζ εχει τον συντελεστη -1 μπροστα του

μπορει καποιος να θυμισει πως βγαινει ο πινακας Q απο τον πινακα P..?

   [2 2]
   [0 2]
e^                   η ιδιοτιμη ειναι μονο το λ=2 Πως βγαινουν τα ιδιοδιανυσματα???

σελιδα 411 του βιβλίου...

παιδιά εκεί που λέει για στροφή πίνακα..."και ορίζουμε μετασχηματισμό στροφής ..... αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση ..."
τι κάνει και του βγαίνει το ?

Που την βρικες αυτην την ασκηση?
Με διαγωνιοποιηση του πινακα δεν βγαινουν γιατι εχει αλγευρικη πολλαπλοτητα 2 και γεωμετρικη 1.
Μπορεις να την λυσεις με μια μεθοδο που εχει ο κεχαγιας στις σημειωσεις του με πολυωνυμα, την οποιο παρεπιπτοντως ουτε εγω δεν κσερω να την υλοποιω. Ειναι καινουργιο στις σημειωσεις. Περισυ δεν τα ειχε κανει. Ξερει κανεις αμα τη διδαξε φετος?

οντως τωρα που το βλεπω το ειχε βαλει το 2006 που ηταν διαωορετικη η υλη

τι ηταν η υλη????
 
α διαφορετικη.....

gia to e^A yparxoyn 2 tropoi sas sistinw ton 2o poy den prokeite na xete problima

ποπο ναι ευχαριστω πολυ!  ;D
(ps: το ειχα δει αλλα απανταω σημερα!  :P)

αν C=[2 2]
        [0 2]
τα ιδιοδιανυσματα βγαινουν απο την εξισωση |Α*v|=0, οπου Α =C-λ*I... με λιγα λογια ο Α=[0 2]
                                                                                                                                 [0 0]

αν θυμαμαι καλα βγαινει λιγο περιεργο αποτελεσμα...(τουλαχιστον ετσι μου φανηκε  8)) )

το ιδιοδιανυσμα ομως ποιο ειναι γιατι βγαινει 0χ1 + 0χ2 = 0

Πως βρίσκουμε για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ τι παριστάνει η σχέση λx(x+y)=1+y^2, Θέμα 8 2010 Β'.

Αν εχεις το βιβλιο του Ξενου απ την 415 ως το τελος του κεφαλαιου εχει ιδιες. Αν ψαχνεις παραλληλα στη θεωρια πως κανει τι θα σαι οκ. Τωρα σχετικα με το λ, αλλαζουν οι ιδιοτιμες και η τιμη της οριζουσας που προκυπτει απ τον πινακα Q (a.k.a. των συντελεστων της εξισωσης)οποτε απ' το γινομενο των ιδιοτιμων και απ το αν η οριζουσα ειναι μηδεν η οχι βγαζεις αν η εξισωση σου ειναι καμπυλη γενους υπερβολης, ελλειψης, παραβολης και τα ρεστα... ;)

Δεν το έχω τσεκάρει προσωπικά αλλά αν βγαίνει 0χ1+0χ2=0 τότε το ιδιοδιάνυσμα είναι γεωμετρικής πολλαπλοτητας 0 και ο Α δεν ειναι διαγωνιοποιησιμος. Λύστο με διαιρεση με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Υπαρχει κανενας καλος συναδερφος που να εχει και να ποσταρει τις λυσεις των θεωρητικων θεματων του Κεχαγια;
Αναφερομαι στα Θεματα 2009 και 2010 που υπαρχουν στα downloads...

Edit: Το 5ο θέμα 2009 εννοώ βασικα..

Μια βοηθεια..στην σελιδα 416 που λεει "Η εξισωση (7.1) λογω της (7.2) γραφεται:" πως προκυπτει η παρασταση στην παρακατω σειρα?
Please..!

nai paidia parakalw apantiste sto panw post gt kai gw to xreiazomai!!!!

Μπορείς να κάνεις τον πολλαπλασιασμό στην 7.2 και να αντικαταστήσεις στην 7.1 τα x,y με τα ίσα τους. Αυτό βέβαια απαιτεί πολλές πράξεις και μεγάλη προσοχή. Αλλιώς δες σελίδες 411-412 το θεωρητικό παράδειγμα που το κάνει με πίνακες και σου δίνει έναν έτοιμο τύπο 6.6-6.7 στις σελίδες 412-413

το (2χ-ψ)^2=3χ+1 τι επιφανεια 8α το χαρακτιριζατε?

κυλινδρική γένους παραβολής ?

αυτην την παραβολη την ειχα ψηλιαστει...
οραιος! ευχαριστω!

Από την 7.2,υπολογίζει τα χ,ψ ως προς χι,ψι.Mετά,αυτά που βρίσκει,τα αντικαθιστά στη σχέση 7.1.Τι δεν καταλαβαίνεις ακριβώς,αν μπορώ να βοηθήσω..

Για να δημιουργησεις τον Ρ πινακα που θα διαγωνιοποιησει, εχει καμια σημασια με ποια σειρα θα βαλεις τα ιδιοδιανυσματα για να δημιουργηθει?

Καλως σας βρήκα και στην άλγεβρα! αχχχ για τις παλιες wtf!?
warrel round 2...

Άλλαξε τίποτα στην ύλη? από άλγεβρα μπήκε τίποτα παραπάνω? η γεωμετρία συνεχίζει να ναι όσο χάλια ήταν?  8))

Άστα να πάνε burlitsa...πάλι καλά που δεν έδινες κ μετρήσεις,θα ήμασταν σε όλα τα τόπικ!!! :D

Πάντως εδώ δεν βλέπω κίνηση...Τι γίνεται,δεν δίνει ο κόσμος άλγεβρα??

μάλλον τα χουν 1000πει :P

Άντε,ας κάνω μια ερώτηση,αν και δεν βλέπω κόσμο,οπότε δεν ξέρω αν θα μου απαντήσει κανένας... :(

Ο πίνακας που δίνεται στο θέμα 3ο Σεπτέμβρη 2010,όπως και ο πίνακας στο 1ο θέμα Φεβρουαρίου 2009,είναι διαμερισμένος διαγωνίως.Στο θέμα 1ο του Φεβρουαρίου,ζητάει τον αντίστροφο,για τον οποίο υπάρχει ένας τρόπος για να τον υπολογίσουμε εύκολα(βλ. σελ.46-47 στο φυλλάδιο του Κεχαγιά).Στην άλλη περίπτωση όμως(4ο-Σεπτέμβριος 2010),ζητάει ιδιοτιμές κ ιδιοδιανύσματα.Σε αυτή την περίπτωση τι παίζει??Υπάρχει πάλι κάποιος τρόπος να τα βρούμε πιο εύκολα(γιατί αλλιώς παίζει να έχει αρκετές πράξεις)...

wow πολλές πληροφορίες μαζεμένες σε ένα ποστ... το συγκεκριμένο πρέπει να το χα ψάξει πέρυσι και να μην είχα βρει αποτέλεσμα.. νομίζω οτι κάνεις κανονικά τις πράξεις.. όπως και για να βρεις την ορίζουσα κανονικά τις πράξεις κάνεις.
[αλλά αν υπάρχει κάποιος που ξέρει άλλη απάντηση ας την πει!..]  ::)

Για την ορίζουσα πήγαινε στη σελίδα 46-47 του φυλλαδίου του Κεχαγιά(σε αυτό που έχει τώρα στο site του,γιατί στο παλιό δεν υπάρχει).Δείχνει πως υπολογίζεις τους δύο μικρούς αντίστροφους πίνακες,κάτι σαφώς πιο εύκολο από το να υπολογίσεις τη συνολική.Είμαι σίγουρος ότι κάτι παρόμοιο παίζει κ με ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα,γιατί αλλιώς βγαίνουν λίγο δύσκολες πράξεις...

ετσι πρεπει να ειναι...ουτε εγω απανταω με σιγουρια..

Για να βρεις τις ιδοτιμές πρέπει να βρεις την οριζουσα του πίνακα A-λΙ...Μα ο πίνακας αυτός είναι και πάλι διαμερισμένος διαγώνιος οπότε  η ορίζουσα του θα είναι ένα γινόμενο ίσο με το μηδέν,από το οποίο θα προκύψουν οι ιδιοτιμές :D εύκολα και ξεκούραστααααααααααααααααααααα...

Ναι,όντως,βγαίνει απλά ένας κοινός παράγοντας και παίρνεις πολύ εύκολα τις ιδιοτιμές.
Πάντως,αφού το έλυσα,γίνεται να βρεις τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πάνω και κάτω "υποπίνακα",που βγαίνουν ίδια με του ολόκληρου πίνακα!!!

Καμια ιδεα για θεμα 6ο φεβρουαριος 2009(β ομαδα)??

xristosak,έτσι λύνεται το θέμα που ζητάς.Ελπίζω να καταλαβαίνεις λίγο τη λύση,είναι κάπως περίπλοκη...

Όταν έχουμε αυτή την ευθεία {2χ+ζ=3,ψ+2=0},πως στον πούτσο βρίσκουμε διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία?? :o

oκ ευχαριστω σιγουρα βοηθησες!!

Αν πάρεις 2 σημεία της ευθείας και βρεις μετά την διανυσματική τους ακτίνα;

π.χ. για χ = 0, ζ = 3, ψ = -2

       για χ = 1, ζ = 1, ψ = -2

Άρα παίρνεις το διάνυσμα (0-1, 3-1, -2+2) που θα είναι συγγραμικό (παράλληλο) της ευθείας. Amirite?

Για τον διαμερισμένο πίνακα πάνω. Τα ιδιοδυανύσματα των υποπινάκων δεν θα είναι 2 διαστάσεων και όλου του πίνακα 4?
Άρα παίρνεις τις υπόλοιπες διαστάσεις μηδέν;

Ναι,βασικά,μάλλον βοήθησα κι εμένα,γιατί τώρα που το ξαναδιάβασα κατάλαβα οτί δεν είναι δύσκολο,στην ουσία μια ορίζουσα είναι πάλι.Μάλλον φταίει ότι ήμουν πτώμα χθες...

Κοίτα,για τις δύο ιδιοτιμές που είναι μονές,δεν έχεις θέμα,παίρνεις το ιδιοδιάνυσμα από πάνω μαζί με το κάτω κάπως έτσι:
[x1]  ,  [x3]
[x2]     [x4]  παίρνεις το [χ1 χ2 χ3 χ4] σαν συνολικό ιδιοδιάνυσμα.

Στην περίπτωση που έχεις διπλή ρίζα,ναι.βγάζεις πάλι το πάνω και το κάτω,και βάζεις μηδενικά στα άλλα.

Βέβαια,αυτός δεν είναι κάποιος γενικός τρόπος επίλυσης.Απλά το δοκίμασα και μου βγήκε,και φαίνεται λογικό να ισχύει για όλους τους διαμερισμένους.Βέβαια εδώ έβγαινε εξίσου εύκολα και από το συνολικό,γιατί γινόταν μια παραγοντοποίηση.
Αυτό που ισχύει πάντα για τον διαμερισμένο,είναι αυτό που έχω γράψει παραπάνω για τον αντίστροφο.

Σωστό φαίνεται,thanks!!

Στα θεματα φεβρουαριου 2009 D  στην ασκηση 8 το s1 ειναι ζευγος ευθειων?

Όχι,ζεύγος επιπέδων

οντως , πιο λογικο μου φαινεται να ειναι επιπεδα XD

μα γίνεται να ορίσεις ευθεία σε 3 άξονες;τότε περνάμε σε επίπεδο...
μήπως έχει κάποιο λάθος η εκφώνηση;

Παράγραφος 6.3 του βιβλίου:"H ευθεία στο χώρο R^3".Αυτό??? ::)

Το ψ+2=0 παριστάνει επίπεδο, κάθετο στον άξονα ψ στο -2.
Το 2χ+ζ=3 παριστάνει επίπεδο, φαντάσου όπως η ευθεία ψ=-2χ αλλά στο χώρο, επεκτεινόμενη προς τον 3ο άξονα.

Η τομή των επιπέδων είναι ευθεία! QED  8))

@warrel δε διάβασα βιβλίο ::)
@dimitrist16 got it :-[ ::)

Οκ,δέχομαι ότι δε διάβασες βιβλίο.Ευθεία με αυτή τη μορφή δε συνάντησες πουθενά x-1=y+2=z+1 ??Πάλι στο χώρο είναι!!! ::)

ok sir
λάθος 8))

Αυτες οι σημειωσεις για τις επιφανειες σε μια σελιδα που ειναι ανεβασμενες κατα ποσο καλυπτουν ολες τις περιπτωσεις;

Βαση αυτων για τις επιφανειες που δωθηκαν το 2012 Ομαδα Α μου βγαινουν

1) Μονοχωνο Υπερ
2) Κωνικη Επιφανεια
3) Διχωνο Υπερ
4) Ελλειψοειδες
5) Ζευγος Επιπεδων

Μπορει να το επιβεβαιωσει καποιος;

Στις επιφανειες 1 και 3 εχεις λαθος. Η 1 ειναι διχωνο υπερβ, και η 3 ειναι υπερβολικο παραβολοειδες.
Για να μη μπερδευεσαι αν ειναι μονοχωνο ή διχωνο, κρατα παντα τον σταθερο ορο θετικο και πηγαινε ολα τα αλλα απο
την αλλη πλευρα. Μετρα ποσους αρνητικους ορους εχεις και βουαλα!

kalispera! exw mia aporia stis simeiwseis tou atrea selida 69 , askisi 15. pws vgazei to Α =1−μ ?  :P

γράφουμε με ελληνικούς χαρακτήρες
edit: to pc mou exei mono agglika. se kanena allo topic dn eixa pote provlima. tespa thnx gia to help :p

παιδιά να ρωτήσω λίγο. Όταν εχουμε πινακα 4χ4 και θέλουμε να βρούμε την τιμή της ορίζουσας. κάνουμε ανάπτυξη του πινακα, αλλα μετα μας βγαίνει πίνακας 3χ3! απο εδώ και πέρα τι κάνω?

το ίδιο?? :???:
και βγαίνει 2x2

α ναι??? οκ χαχαχα :D :D να σε καλά

βασικά ή με τον κανόνα του Sarrus για πιο γρήγορα

Ρε παιδια επειδη μπερδευτηκα απο το βιβλιο του Ξενου διαβαζουμε ή απο σημειωσεις?Οι σημειωσεις του Κεχαγια και του Ατρεα που ειδα καπου τι ειναι και που μπορω να τις βρω?Και χρειαζονται ολες?

στο blackboard θα τις βρεις τις σημειωσεις και ναι σου χρειαζονται σχεδον ολες απο εκει να διαβασεις για το μαθημα

ποιο ειναι το λινκ?γιατι βρηκα ενα καπου αλλα δεν εμπαινε.

http://users.auth.gr/kehagiat/
http://users.auth.gr/natreas/

θεμα φλεβαρη 2012 γεωμετρια εκεινο με τον κυκλο ,γιατι βρισκω αλλη καμπυλη με καποιο παραγοντα χ*y και οχι κυκλο;

το τελευταιο απο που προκυπτει οτι ειναι ζευγος επιπεδων ?


EDIT:
την οριζουσα 6χ6 που εβαλε τλκ μαθαμε πως την λυνουμε ? αποδυκνιουμε οτι ισχυει ο τυπος  (0 - 1)^(n-1) * ((n-1)*1 + 0) οπως στην 4.2.39(σελ 76 στις σημειωσεις του) ο κεχαγιας ?

Που λέει για ζεύγη επιπέδων? (βιβλίο ή σημειώσεις)

αφαιρεις την δευτερη απο την πρωτη γραμμη νομιζω και προκυπτει οριζουσα 5χ5.. και συνεχιζοντας βγαζεις -1^5 αν μιλαμε για το ιδιο θεμα..

το θέμα 2ο, απο ΦΕΒ2009  ομάδα Β, το σύστημα το έχει λύσει κανείς? μας δείνει 3 εξισώσεις και 5αγνώστους, με πράξεις βγαίνει πινακας 3χ5, και για τον e^A που λέει?

Δικιο εχεις, βαση αυτων που εχει στα downloads, θα το εβαζα σαν υπερβολικο παραβολοειδες.... Αλλα οπως λεω και πιο πανω, μπορει καποιος να τα επιβεβαιωσει;

Επισης, πως βρισκουμε ορθογωνια βαση;

νομίζω υπάρχει ένας αλγόριθμος.. δεν θυμάμαι το όνομα του όμως

Ναι υπαρχουν 2 Αλγοριθμοι, τους οποιος ονομαζει σαν Α' Αλγοριθμο και Β' Αλγοριθμο. Αυτο εκανα και τον Φλεβαρη. Βρηκα μια βαση, ομως μου το πηρε λαθος γιατι ζητουσε ορθογωνια βαση.
Η ορθογωνια βαση ομως ποια ειναι ;  :-\

σημειώσεις Κεχαγιά
Ορθογωνιότητα ΙΙ
δεν ξερω αν έχουν αλλάξει οι σελίδες σε πιο πρόσφατες σημειώσεις
αλλά έχει τέτοια λυμένη άσκηση εκεί. (σε μενα, στη σελ 98)

Θα την βρεις απο τον αλγόριθμο Gramm-Schmidt αν δεν κάνω λάθος

αν ξερει καποιος τι παιζει με την οριζουσα ας βοηθησει γτ εχω δοκιμασει οτι γραμμοπραξη υπαρχει και δν μου βγαινει!νμζ στους μισους εβγαινε διαγωνιος ο πινακας και στους αλλους μια στηλη η μια γραμμη μηδεν....αλλα εμενα δν μου βγαινει τπτ απο τα 2!

βασικα ξερει κανεις να πει εναν αλγοριθμο για να βγαινει ο πινακας σε κλιμακωτη μορφη? εννοω εχει εναν στο βιβλιο αλλα αν ειναι να θυμαμαι ετσι οπως τα γραφει ο ξενος..

με τις γραμμοπραξεις μονο παιρνεις κλιμακωτη μορφη....δες τις σημειωσεις του Κεχαγια..νμζ τα λεει στα γραμμικα συστηματα

εχει λυσει μηπως κανενας την ασκηση 7 με τον κυκλο?απο τα θεματα του '12 παντα!

εμενα το
1)μου βγαινει διχωνο
και το
3)υπερβολικο παραβολοειδες... :-\

την ασκηση 6 απο τα θεματα του 12 ? τι ισχυει οταν ειναι συμμετρικο ?

επισης την ασκηση 7 και 9 εχει κανεις καμια ιδεα πως την βγαζουμε ??

+1

Πρεπει να εχεις δικιο και στα 2

simeiwseis Atrea selida 60

την 10 απο τα θεματα του 12?

ελα ρε Νικο αλανι!
ευχαριστω!!

οκ εχω καει απο το διαβασμα...για την 7 ηθελα να ρωτησω...σορρυ....

https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1700.msg781466#msg781466

σβηνω τα πιο πανω αφου ηταν λαθος ετσι;

στο θεμα 7 του Σεπτεμβριου του '10 μπορει να μου πει καποιος αν εχει βρει τις ιδιες επιφανειες??
α)διχωνο υπερβολοειδες
2)ελλειπτικο παραβολοειδες
3)φανταστικη κωνικη επιφανεια
4)ζευγος τεμνομενων ευθειων
5)πραγματικη ελλειψη

Για την 7 του Φεβ. 2012
Άμα δεν έχω κάνει λάθος έτσι πρέπει να λύνεται.

Το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο έχει συντεταγμένες (Α1,Β1,Γ1) ; Τους συντελεστές δηλαδή των χ,y,z από την ευθεία του επιπέδου;

Μιας και εχετε ορεξη, μηπως μπορειτε να πειτε και για τα θεματα 6 και 10 του 2012?

εγω θελω να ρωτησω γι'αυτη την αποδειξη που βαζει....
οτι αν Α^2=0 ν.δ.ο Α*(Ι-Α)^κ=0...
εγω σκεφτηκα να τη βγαλω παιρνοντας τιμες για το κ αλλα δν μου φαινεται και πολυ σωστο...εχει κανεις καμια καλυτερη ιδεα?

στη 10 απλα τη σχεση δεν εφαρμοζεις?δεν εκατσα να τη λυσω γτ ειναι θεμα πραξεων..τωρα δεν ξερω αν ειχα λαθος σκεψη απο την αρχη....και για την 6 την ειχε κανει ο Ξενος στην ταξη ειναι σαν την ασκηση 12 σελ 331
παιρνεις την ευθεια που πρνα το Μ με το διανυσμα του επιπεδου που στην ευθεια ειναι παραλληλο μιας και ειναι καθετη στο επιπεδο και βρισκεις Μο το σημειο τομης...μετα λες οτι το σημειο αυτο ειναι το μεσο του Μ και του συμμετρικου του.παιρνεις τη σχεση (ΧΜ+ΧΜ')/2=ΧΜο

Thank You Very Much

ενα δωρακι τωρα που το βρηκα (Θέματα Γραμμική Άλγεβρα Φεβρουάριος 2012 Ομ.Γ)

απο τα θεματα Φεβρουαριου του 2009...ξερει κανεις πς λυνεται το 10?
PS..τς μισω τς τελεστες!!

ασκηση 9 του φεβρουαριου του 12 ποιες οι τιμες που περνει το κ στην ομαδα Α για να συγκρινω τιμες???

Γενικά αν το πάρεις με μαθηματική επαγωγή καταλήγει νομίζω Α=0;
Παίζει να θυμάται κανείς αν έχει κανένα λάθος η εκφώνηση;

αυτη νομιζω ειχε λαθος η ασκηση και εβγαινε = Α και οχι =0 (υπαρχει ιδια σε αλλα θεματα αλλης χρονιας αλλα και στο βιβλιο του ξενου) - δηλαδη νομιζω πως εχει λαθος εκφωνηση-

επισης εγω επαιρνα με τη σειρα τα γινομενα Α(Ι-Α) δηλαδη Α(Ι-Α) * (Ι-Α)^(κ-1) =Α.... (αν κ =1 ειναι απλα Α(Ι-Α)=Α) και συνεχιζα μεχρι να "τελειωσει" το κ αρα ο ορος (Ι-Α)

να "τελειωσει" το κ?αφου παιρνει τιμες απο 0 μεχρι +απειρο!
εγω σκεφτηκα να το κανω μεχρι το κ^4...οπως καναμε την αποδειξη στους μιγαδικους με το i

να τελειωσει το κ εννοουσα να μηδενιστει στην ουσια ο εκθετης του (Ι-Α) .. το ιδιο λεμε βασικα.. στην ουσια Α(Ι-Α)=ΑΙ-Α^0=Α και αυτο γινεται μεχρι να μην υπαρχει ορος (Ι-Α)

οκ ευχαριστω!! :)

Εγω πηρα  (Ι-Α)*(Ι-Α)=Ι-2Α  ΚΑΙ ΜΕΤΑ (Ι-2Α)*(Ι-Α)=Ι-3Α  αρα αποδεικνυω  οτι (Ι-Α)^κ=Ι-κΑ και βγηκε.

Ποτε ενας πινακας λεγεται ορθογωνιος;

Νομίζω   ανάστροφος = αντίστροφος

ρε παιδια η 5 απο τα θεματα του 12 αποκλειεται να θελει ολες αυτες τισ πραξεισ;;δεν υπαρχει καποιος αλλος τροπος;;;

κοιτα εγω με αυτον τον τροπο την ελυσα (ηταν σωστη) και πανω απο 5-10 λεπτα δε μου πηρε
παντως οταν ειχα παει να δω το γραπτο μου αν θυμαμαι καλα ο κεχαγιας μου χε πει οτι λυνεται και με πιο γρηγορο τροπο

Γεια οσους δεν εχουνε κοιμηθει ακομη...στα θεματα φεβρουαριου του '12 η δευτερη ασκηση,το συστημα, πως λυνεται???

+1 μπορει καποιος να απαντησει γιατι και γω δεν ειμαι σιγουρος...
βασικα κανεις gauss
ο επαυξημενος μετα τις γραμμοπραξεις θα ναι αυτος;

2 2 -1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0

και αρα θα χουμε απειρια λυσεων;

Θεωρω πως κανουμε γραμμοπραξεις και μετα με προς-τα-πισω αντικατασταση θα βγουμε σε μια λυση της μορφης x=t*v ( + s*u) , οπου v,u διανυσματα.Εχει π.χ. στις σημειωσεις του μια ασκηση με ενα συστημα 4αρων αγνωστων με 3 εξισωσεις και το λυνει ετσι..

γενικα και με κραμερ βγαινει εχει και εκει παρομοιο παραδειγμα.. απλα βρισκεις τις λυσεις αναφορικα με τις μεταβλητες που περισσευουν...
πχ αφου το συστημα ειναι 3Χ5 λυνεις το 3Χ3 χρησιμοποιωντας ως b τον πινακα π προκυπτει αν αφαιρεσεις απο τον κανονικο το γινομενο των περισσευαμενων Χ και Α.

εδιτ: ετσι οπως το εγραψα ειναι πιο ακαταλαβιστικο ε? :D :D :D

πως λύνεται με πιο γρήγορο τρόπο ?

Με γραμμοπράξεις.

με στόχο τι να καταφέρουμε? Δεν μπορώ να βρω κατι...

last edit: καταλαβα τι ενοεις.

μπορει καποιος να βοηθησει στο θεμα 6 φεβρουαριος 2012 ομαδα Γ?

Στην 10. Φεβρουάριος 2012...
από την ισότητα βρίσκουμε 3 εξισώσεις δευτέρου βαθμου και στην συνεχεια τι κανουμε?

Βρίσκεις την παραμετρική μορφή της ευθείας και μετά δύο σημεία πάνω της (έστω Α, Β). Στη συνέχεια βρίσκεις άλλο 1 σημείο από τη 2η ευθεία (Γ) και λες οτι το εξωτερικό τους γινόμενο είναι κάθετο στο επίπεδο, άρα είναι το κανονικό διάνυσμα του ζητούμενου επιπέδου.  Η συνέχεια δική σου.  :-*


i.88 στην ομάδα Γ απλά βρίσκεις τα διανύσματα ΜΑ, ΜΒ, τα κοτσάρεις στην εξίσωση, κάνεις συμπλήρωση τετραγώνων και βγαίνει.

παιρνω το εξωτερικο γινομενο των διανυσματων ΑΓ και ΒΓ σωστα?
στην συνεχεια δεν χρειαζομαι και ενα σημειο του επιπεδου που θελουμε να ορισουμε?

Αφού η 1η ευθεία είναι μέσα στο επίπεδο, μπορείς να βρεις ένα σημείο του.  ;)

Σωστα!
Ευχαριστω!  :D

Λίγο βοήθεια για το θέμα 7 2/2012 θέλω.

σφαίρα τέμνεται κατα κυκλο με κεντρο Ο(1,2) .... > το z=0 αφου μας λεει τεμνει το επιπεδο Οxy ??
και ακτινα 2=r

η σφαιρα εχει Κ(x1, y1, z1 ),  ακτινα R και ενα σημειο  Μ(-1,2,4)

απο Πυθαγωριο θεωρημα εχουμε:
(ΚΟ)^2 + r^2 = R^2  =>  (ΚΟ)^2 + 4 = (KM)^2 =>
βρισκουμε μια εξισωση με x1, y1, z1 (αν δεν έκανα λάθος -4x+8z-12=0)

σωστά μέχρι εδώ; αν ναι και στην συνέχεια τι κάνουμε?
 

εξισωση σφαιρας

(χ-χ0)^2+(ψ-ψ0)^2 + (ζ-ζ0)^2 = R^2

ζ=0 (χΟψ επίπεδο) παίρνεις την εξίσωση του κύκλου => χ0=-1 & ψ0=2 & μία σχέση για ζ0 και R

το Μ ανήκει στη σφαίρα => δεύτερη εξίσωση για τα ζ0 και R.

σύστημα 2 εξισώσεων με δύο αγνώστους=>...=> ζ0=2 και R^2=8

(νομίζω!)

Χολα,

Μήπως ξέρει κανείς πώς λύνεται το θέμα 1 από του Σεπτεμβρίου του 2015?

επειδή δεν τα βρίσκω θες να τα στείλεις λίγο η να μας πεις τι λέει το θέμα?

Δινονται ΝxN  πινακες Α,Β που διαφερουν μονο στη πρωτη στηλη..Νδο |Α+Β|=2^Ν-1*(|Α|+|Β|) για καθε Ν>=3...any help??

Έστω πίνακας Α (4x5). α) να δείξετε οτι οι στήλες του Α παράγουν (span) το χώρο R^4
                                   b) Μπορούν κάποιες στήλες του Α να διαγραφούν ώστε οι εναπομείναντες στήλες να συνεχίσουν να παράγουν τον χώρο R^4? Αν ναι ποιές είναι αυτές και ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός που μπορούν να διαγραφούν ?


Όπου Α= [5 11 -6 -7 12, -7 -3 -6 6 -9, 11 5 6 -9 -3, -3 6 -7 2 7] όπου κόμμα αλλάζει γραμμή.

a) Για να παράγουν το χώρο R^4 θα πρέπει να έχουμε 4 στήλες(4 διαφορετικά διανύσματα δηλαδη) οι οποίες η ορίζουσα τους να είναι διάφορη του μηδενός.


b) χωρίς να είμαι σίγουρος νομίζω ότι ο ελάχιστος αριθμός για να ορίσεις έναν χώρο R^n είναι n διανύσματα δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση ο μέγιστος αριθμος που μπορούν να διαγραφούν είναι 1.

Λέει να δείξουμε οτι τα 5 διανύσματα παράγουν τον R^4, αυτό δεν σημαίνει οτι όντως τον παράγουν και πρέπει απλά να το αποδείξουμε? Ορίζουσα σε πίνακα 4x5 δεν μπορούμε να βρούμε, Εσυ θα έπερνες όλους τους πιθανούς συνδιασμούς 4ων διανυσμάτων και θα έβγαζες ορίζουσες? Ή η απάντηση είναι οτι δεν τον παράγουν αυτά τον R^4?

όταν έχεις ένα χώρο R^n τοτε αν εχεις εσυ n+1 διανύσματα τότε κάποιο είναι γραμμικός συνδυασμός των προγούμενων οπότε εδώ μας ενδιαφέρουν τα 4. Εγώ κοίταξε δεν μου έρχεται στο μυαλό κάτι καλύτερο οπότε μάλλον θα υπολόγιζα τις ορίζουσες των συνδυασμών ( 4 στήλες) και μόλις έβρισκα μια ορίζουσα η οποία ειναι διάφορη του μηδενός τότε θα έλεγα ότι όντως αποτελούν βάση του R^4.

Δεν ξέρω αν είναι σωστό,αλλά αν δεις την άσκηση 7.2.8 {σελ.130 στο PartI.pdf-που το δίνει σαν υλικό μαθήματος στο ethmmy} κάνει κάτι ανάλογο.
Αν τελικά βρεις τη λύση του στα σίγουρα πες το και σε εμάς ;D

Μπορεί κάποιος να ανεβάσει εδώ τα θέματα Σεπτεμβρίου 2015;

Υπάρχουν στα downloads

Θέματα Φεβρουαρίου 2016, έχει κάποιος ιδέα για τα 5, 6, 7;

Το θεμα 5 βγαινει με δεσμη επιπεδων (το θεμα ειναι οτι αυτην την στιγμη δεν θυμαμαι ποια ειναι η κεντρικη κι ποια η αξονικη , αλλα χρησιμοποιεις μια απο τις 2 )

Το θεμα 6 παρε τις δυο σχεσεις κι μετα απο πραξεις θα βγαλεις απο την μια οτι u καθετο w και u//w , για να συμβαινουν κι τα 2 πρεπει τα u,w=0 αρα ισα μεταξυ τους

Το θεμα 7 δεν μου ερχεται και αλλα πρεπει να χρησιμοποιησεις σιγουρα το γεγονος οτι οι συντελεστες των χ^2 ψ^2 ζ^2 ειναι ισοι

2016 Φεβρ Α
Θ3
ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα

[1   0   0]                        |1-λ    0      0|
[5   0  -1] ~> |Α-λΙ|=0 =>  |5      -λ     -1| = 0  =>
[1   1   2]                        |1      1    2-λ|

=> (1-λ)|-λ    -1| = 0   =>  (1-λ) [(-λ)(2-λ) + 1]=0
           |1    2-λ|


άρα (1-λ)=0 => λ₁=1
ή (-λ)(2-λ)+1=0 => λ²-2λ+1=0
όπου Δ=0
λ_2,3=1

βγαίνει όντως τριπλή ιδιοτιμή ;
και πώς λύνεται αυτό ;

Ναι, έτσι βγάινει. Βγάζεις ιδιοδιάνυσμα t*[0 1 1]. Οπότε, επειδή δεν έχεις 3 γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, δεν είναι διαγωνιοποιήσιμος.

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις! Έβγαλα τα 6, 7. Στο 5, παίρνεις αξονική δέσμη, και βρίσκεις λ για να είναι παράλληλο στον άξονα y;

καποιος μια βοηθεια για θεμα 1 φεβρ 2016;

(α) Θέλεις μια βάση του διαν. χώρου που σχηματίζουν οι στήλες του πίνακα, δηλ. τα διανύσματα Α={(1,0,0),(1,1,1),(0,-1,-1),(1,1,-1)}. Δηλαδή θέλεις έναν ελάχιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, ώστε και τα διανύσματα του Α να είναι γραμμικοί συνδυασμοί αυτών. Μεθοδολογία: αν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και γεννάνε τον χώρο, τότε έχεις ήδη τη βάση. Αν όχι, τότε ξεκινάς και βρίσκεις ένα διάνυσμα που να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων και το διώχνεις. Επαναλαμβάνεις μέχρι να είναι όλα γραμμικά ανεξάρτητα και τότε θα έχεις τη βάση.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το Α δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο. Ισχύει ότι (1,0,0)=(1,1,1)+(0,-1,-1), οπότε διώχνουμε το (1,0,0) και μας μένουν τα {(1,1,1),(0,-1,-1),(1,1,-1)}. Αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα να μια βάση του χώρου. Να σημειώσω ότι όλες οι βάσεις ενός χώρου έχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων και αυτός ο αριθμός ονομάζεται διάσταση του χώρου. Πχ εδώ κάθε βάση αυτού του χώρου θα έχει 3 διανύσματα, άρα αυτός ο χώρος που μας έδωσε είναι τρισδιάστατος.

(β) Ο πυρήνας του Α είναι το σύνολο των διανυσμάτων u ώστε Au=0. Οπότε θεώρησε ένα διάνυσμα u=(α,β,γ,δ), πολλαπλασίασέ το με τον Α και βρες τα α,β,γ,δ ώστε να βγει Au=0. Θα βρεις διάφορες τιμές των α,β,γ,δ, άρα διάφορα διανύσματα u τα οποία θα σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρος. Βρες μια βάση όπως στο (α).

καμια ιδεα για 2ο φεβρ 2015;

παρε τα 2 μελη και πολλαπλασιασετα με αβγδ
συνεχισε με ισοδυναμιες , κι στο πρωτο μελος βαλε στην αντιστοιχη σειρα βαλε το καθε γραμμα
βγαλε κοινο παραγοντα το αβγδ ... και ετοιμος ...(με ισοδυναμια ολα αυτα)

Μπορει καποιος να περιγραψει λιγο πιο αναλυτικα τις λυσεις για τα θέματα 5,6 και 7 τουΦεβρ.16'?

Εδώ είναι η λύση της 6 http://prntscr.com/ca9ux2 (http://prntscr.com/ca9ux2). Οι  5,7 λύνονται όλες με μεθοδολογίες. Δε κάνεις τίποτα μόνος. Στο 5 για παράδειγμα από την τομή των 2 επιπέδων βρίσκεις μια ευθεία η οποία ανήκει στο επίπεδο και σύμφωνα με το γεγονός ότι το επίπεδο είναι παράλληλο στον y'y βρίσκεις την εξίσωση του. Η μεθοδολογία είναι στις σημειώσεις Ατρέα. Στην 8η θα πρέπι αρχικά οι συντελεστές μποστά από τα x², y², z² να ειναι ίσοι αλλιώς δεν είναι σφαίρα. 2ον υπάρχει ένας τύπος λογικά που σου δείχνει την ακτίνα της σφαίρας  σύμφωνα με τους συντελεστές οποτε και από κει βγάζεις μια εξίσωση και η 3η εξίσωση βγαίνει από τον τύπο που σου δίνει το κέντρο της σφαίρας συναρτήσει των α,β,γ τα οποία θα πρεπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου που σου δίνει. Ελπίζω να βοήθησα κάπως γιατί τα έχω ξεχάσει από το φλεβάρη  :D :D :D

Δε ξέρω αν χρησιμοποιείται το βιβλίο του Ξένου ή σημειώσεις πλέον αλλά λογικά θα υπάρχουν οπουδήποτε...

Για την 5:
> Βρίσκεις την αξονική δέσμη επιπέδων, δηλαδή το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από μια ευθεία (ορισμός 2.11, σελ 308 - Ξένος). Αν έχεις την ευθεία ως τομή 2 επιπέδων με γνωστές εξισώσεις, μπορείς άμεσα να χρησιμοποιήσεις τον τύπο 2.20, σελ 308.
> Μένει να προσδιορίσεις το λ, δηλαδή το συγκεκριμένο επίπεδο της οικογένειας που είναι παράλληλο προς τον άξονα y. Αρκεί να μηδενίσεις το συντελεστή του y( B1+λ*Β2=0).

Για την 6:
> Από την πρώτη: u (v-w)=0. Από τη δεύτερη υ x (v-w)=0. Λόγω της επιμεριστικότητας εσωτερικού εξωτερικού γινομένου.
> Θέτω k=v-w ένα νέο διάνυσμα.
> Έχω ότι το k είναι κάθετο στο u (uk=0) και ότι είναι παράλληλο στο u(u x k=0). Ο μόνος τρόπος δεδομένου ότι το u μη μηδενικό είναι να είναι το k μηδενικό.
Διαφορετικά, πάρε τη σχέση με τη γωνία. Από το εσωτερικό: |u| |k| cosθ=0, από το εξωτερικό |u| |k| sinθ=0. Δεδομένου ότι δε μηδενίζονται ταυτόχρονα τα τριγωνομετρικά έχεις |k|=0 -> k=0 -> v-w=0

Για την 7:
> Γενική εξίσωση σφαίρα x²+y²+z²+Ax+By+Γz+Δ=0, τύπος 5,3, σελ 438. Άρα, θέτω α-2=β-3=γ+2=k (k<>0)
> Διαιρώ με k. Έχω πλέον την παραπάνω μορφή. Το κέντρο είναι το (-Α/2,-Β/2,-Γ/2) με πχ Α=-8/k. Απαιτώ να ανήκει αυτό το σημείο στο επίπεδο, δηλ: 2*(-Α/2)+(-Β/2)-4(-Γ/2)=0 και αντικαθιστώ τα α,β,γ που υπάρχουν με κ+2,κ+3,κ-2 από την αρχική αντικατάσταση.
> Λύνω την πρωτοβάθμια ως προς κ(κ=-1,α=1,β=2,γ=-3 αν δεν έχω κάνει λάθος)

Με πρόλαβε ο Egkelados  8))

Ο egkelados μερικά πασαλλείματα έκανε τα credits δικά σου  ;D ;D ;D

ευχαριστω πολυ και στους 2!!   :)

Ειναι θεματα γραμμικης αλγεβρας μαρτιος 2013,μηπως εχει ιδεα κανεις πως λυνεται το θεμα 3 ?

Εκτος υλης

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει λίγο στο θέμα 4ο Σεπτέμβριος 13;
Είναι κάτι προφανές και δεν το βλέπω;

αφαιρεσαι απο την 1η γραμμη την 2η, και απο την 2η την 3η
θα καταληξεις :

| 0  a-b  a²-b² |
| 0  b-c  b²-c² |
| 1   c               c²          |

ανεπτυξε την οριζουσα ως προς την 1η στηλη !
θα βρεις:

| a-b   a²-b² |
| b-c   b²-c² |

βγαλε απο την 1η γραμμη το a-b και απο την 2η το b-c
θα βρεις:

             
(a-b)(b-c) | 1  a+b|
              | 1  b+c|

αν κανεις κι την τελευταια οριζουσα θα βρεις (a-b)(b-c)(c-a)

βγαλε ενα - απεξω και ετοιμος:

-(a-b)(b-c)(a-c)

για το αλλο μισο δεν ξερω :/

Για το αλλο μισο ενδιαφερομουν αλλα thanks anyway  ;)

υποθετω η αρχη με τις αφαιρεσεις ειναι η ιδια , αλλα με τις δυναμεις  δεν ξερω τι παιζει

Το δοκιμασα να το φερω σε μια παρομοια μορφη αλλα κατεληξα σε αδιεξοδο.
Οπως και να χει, ευχαριστω για τη βοηθεια  ;)

Μπορεί κάποιος να εξηγήσει τα θέματα 5 και 6 απο Σεπτέμβριο του 15?  :???:

ΘΕΜΑ 5ο:
Συνθήκη για να είναι δυο ευθείες συνεπίπεδες - Απόσταση δυο ασυμβάτων ευθειών
Θεωρούμε δυο ευθείες (ε1) και (ε2) με εξισώσεις: (ε1):r=r₁+tv₁ και (ε2):r=r₂+tv₂.
Για να είναι οι ευθείες αυτές συνεπίπεδες πρέπει τα διανύσματα Ρ₁Ρ₂,v₁,v₂ να είναι συνεπίπεδα. Επομένως το μικτό γινόμενο:
Ρ₁Ρ₂⋅(v₁×v₂)=0 ή ακόμα

(r₂-r₁)*(ν₁×ν₂)=0

ή απλώς η απόσταση των ασύμβατων να είναι μηδέν.

Μετά το να βρεις το επίπεδο είναι νομίζω εύκολο  ;)

Όσο για το θέμα 6 δεν μπορω να βοηθησω :(


 

Για το έκτο ερώτημα:

a = (1,2,3) = b + c με b⋅c = 0 , όπου b και c οι δύο κάθετες συνιστώσες στις οποίες αναλύουμε το διάνυσμα a

Ακόμα λόγω της εκφώνησης έχουμε ότι b = κu = (κ, 2κ, κ) επειδή τα b και u είναι παράλληλα
Αν θεωρήσουμε ότι κ = 0 έχουμε τη προφανή λύση b = (0,0,0) , c = (1,2,3) που πληροί όλες τις προυποθέσεις
Aν κ≠0:
Από την b⋅c = 0 με πράξεις προκύπτει ότι c₁+2c₂+c₃=0 (1) όπου c₁,c₂,c₃ οι συνιστώσες του c.

Ακόμα έχουμε ότι a = b + c δηλαδή (1,2,3) = (κ,2κ,κ) + (c₁,c₂,c₃)
από την οποία προκύπτουν οι εξισώσεις:
1 = κ   + c₁ (2)
2 = 2κ + c₂ (3)
3 = κ   + c₃ (4)

Λύνοντας το σύστημα των (1), (2), (3), (4) προκύπτει ότι: b = 4/3(1,2,1) και c = 1/3(-1,-2,5)

2015 Σεπτ
Θ3
διακρίνει κανένας-καμία τι λέει ;

δες εδώ (https://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant#Proof_1)

Γραμμικές απεικονίσεις δεν πέφτουν?

Πως λυνεται αυτο?

Αν δεις τα θέματα των τελευταίων χρόνων δε βάζει γραμμικές απεικονίσεις. Αν σε πιέζει ο χρόνος μη τις διαβάσεις καθόλου είναι πολύ πιθανό να μην μπούνε.


Δοκίμασε να βρεις τον πίνακα Α² ή Α³ και κάποιος από τους 2 λογικά θα πρέπει να είναι ίσος με Ι οπότε μετά βγαίνει το αποτέλεσμα. Αν δεν μπορείς να το λύσεις και έτσι πες μπας και βρούμε κάτι άλλο!  ;D ;D ;D

To A² είναι ο μαναδιαίος, όπως μπορείς να δεις αν κάνεις την πράξη αναλυτικά. Οπότε ανά δύο, έχουμε Α²⁰¹⁶=Ι και Α²⁰¹⁵=Α...

Ευχαριστω παιδια!

(Σεπτεμβριος 2016, Θεμα 5) Στο επιπεδο xy δινεται ο κυκλος  με κεντρο (6,3,0) και ακτινα 5. Να βρεθει η σφαιρα που διερχεται απο αυτον τον κυκλο και εφαπτεται στο επιπεδο 3x+2y+4z-1=0. Καποιο hint?

θελεις 4 εξισωσεις για να βρες τα K=(Χκ,Υκ,Ζκ) ρ. Η μια ειναι να απεχει το κεντρο απο το εφαπτομενο επιπεδο αποσταση ιση με ρ, η δευτερη προκυπτει απο πυθαγορειο θεωρημα που θα εφαρμοσεις στο ορθογωνιο τριγωνο που προκυπτει απο το κεντρο της σφαιρας, το κεντρο του κυκλου απο τον οποιο διερχεται και ενα τυχαιο σημειο του κυκλου αυτου (στην ουσια d(K,(6,3,0))^2+5^2=ρ^2). και επειδη αυτο το τριγωνο ειναι ορθογωνιο πρεπει η προβολη του Κ στο επιπεδο που ανηκει αυτος ο κυκλος να ταυτιζεται με το κεντρο του (+2 εξισωσεις)

Μπορεις να εξηγησεις λιγο το τελευταιο κομματι της απαντησης;

Η σφαιρα τεμνει το επιπεδο χy κατα τον κυκλο που σου δινει. Γεωμετρικα αυτο σημαινει οτι η προβολη του κεντρου της σφαιρας στο Οxy , δηλαδη τα Χκ Υκ, ταυτιζεται με το κεντρο αυτου του κυκλου (6,3,0). Αρα εχεις κατευθειαν Χκ=6 Υκ=3.
Δεν ειχα προσεξει οτι ελεγε πως ο κυκλος ανηκει στο Οχy, αρα τελικα εχεις 2 εξισωσεις (αυτο που ειπα για 4 εξισωσεις θα ισχυε αν το επιπεδο του δοθεντος κυκλου ηταν καποιο τυχαιο)

Να ρωτήσω. Το θέμα 3 Σεπτεμβρίου 2016 που ζητάει για ποιες τιμές του n ορίζεται ο αντίστροφος πως λύνεται; Ο στόχος είναι να βρεθεί πότε δε μηδενίζει ή ορίζουσα ή θέλει κάποια άλλη προσέγγιση;

Για n άρτιο δε μηδενίζει η ορίζουσα ενώ για n περιττό μηδενίζει, άρα ορίζεται μόνο για n άρτιο , η λύση είναι ο ανάστροφός του

Γιατι αναγκαστικα ταυτιζεται με το κεντρο του κυκλου? Δεν μπορει να εχει διαφορετικα Χκ και Υκ αλλα παλι να τεμνει τον κυκλο?