Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[ονόματα των αρχείων]

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads

με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[thanasiskehagias]

Η λύση του Agent Cain στο 3ο πρόβλημα μου θυμίζει το εξής ερώτημα:

Ονομάζω 1η σειρά εναλλαγών ζευγους στοιχείων αυτή που χρησιμοποιεί ο Agent Cain

1η ΣΜ

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 2 , 4 , 3 , 5
1 , 2 , 4 , 5 , 3
1 , 2 , 5 , 4 , 3
1 , 5 , 2 , 4 , 3

Και εισάγω μια 2η ΣΜ

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 5 , 3 , 4 , 2
1 , 5 , 2 , 4 , 3

Η 1η ΣΜ έχει μήκος 4 και πάει (1,2,3,4,5)->(1,5,2,4,3).
Η 2η ΣΜ έχει μήκος 2 και πάει (1,2,3,4,5)->(1,5,2,4,3).

Δηλ: από κοινή αρχή (1,2,3,4,5) φτάνουμε σε κοινό τέρμα (1,5,2,4,3) αλλά από δρόμους διαφορετικού μήκους. Προφανώς δεν είναι τυχαίο ότι και οι δύο δρόμοι έχουν άρτιο μήκος -- εάν ο ένας δρόμος ήταν άρτιος και ο άλλος περιττος, τότε το πρόσημο μιας μετάθεσης δεν θα ήταν καλά ορισμένο (ΓΙΑΤΊ ????).

Μπορείτε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω (n1,n2,...,nK) μια μετάθεση του (1,2,...,Κ). Έστω
* α1, α2, α3, ... , αΜ μια σειρά εναλλαγών ζευγών η οποία μετασχηματίζει το (1,2,...,Κ) στο (n1,n2,...,nK)
* β1, β2, β3, ... , βΝ μια άλλη σειρά εναλλαγών ζευγών η οποία μετασχηματίζει το (1,2,...,Κ) στο ίδιο (n1,n2,...,nK).
Τότε: ο Μ είναι άρτιος αν  και μόνο αν ο Ν είναι άρτιος.

(εκτός σειράς, χωρίς βαθμό, ποστάρετε τις λύσεις σας ανοιχτά).

Θ

ΥΓ: Μπορεί να σας φανούν  χρήσιμα τα παρακάτω στοιχεία:
1) εναλάσσοντας δύο σειρές μιας ορίζουσας, το πρόσημο αυτής αλλάζει.
2) αν x=[1 2 ... N]^T και Α ένας πίνακας που προκύπτει από τον ΝΧΝ μοναδιαίο Ι εναλλάσσοντας δύο σειρές του, τότε το διάνυσμα Αx είναι μια μετάθεση του [1 2 ... N]^T (ποια?).

[thanasiskehagias]

Φαίνεται ότι ήταν ένα δύσκολο πρόβλημα. Πήρα μόνο δύο απαντήσεις, μερικά σωστές: laserscout και johnnysp και παίρνουν και οι δύο  0.125.

Η λύση του laserscout

1)   Από την θεωρία γνωρίζουμαι οτι  Α^-1= (1/D(A))*adj(A) όμως D(A)=1 οπότε έχω Α^-1=adj(A)
Όμως ο AεΖ και ο adj(A) περιέχει τα στοιχεία του Α αντεστραμένα ως προς την διαγώνιο οπότε και ο adj(A)εΖ, κια επειδη Α^-1=adj(A) τοτε και Α-1εΖ

2)   Εχω παλι Α^-1= (1/D(A))*adj(A) και γνωρίζω πως Α^-1εΖ και adj(A)εΖ, οπότε πρέπει και ο 1/D(A)εΖ δλδ D(A) ανήκει στην ακολουθεία a_n=1/n η στην b_n=-1/n, δλδ με άλλα λογια D(A)=1/k οπου kεΖ

3)   Βρήκα οτι ισχύει οταν τα στοιχεία του πινακα είναι ολα μηδέν με εξαίρεση μια απο απο τις 2 διαγώνιες του που θα αποτελέιται απο μονάδες. 

Για έναν 2χ2 [x y;z w] έχω Α-1=adj(A) και αν πάρω την ιδιότητα του αντιστοφου A*A-1=I τοτε έχω:
Α*Α-1=[X^2+Y^2, XZ+YW;XZ+YW, Z^2+ W^2]=I=[1, 0;0, 1]
Οπότε X^2+Y^2=Z^2+W^2=1  και ΧΖ+YW=0
Για να ισχύει αυτό (επειδη x,z,y,wεΖ) οπότε η x=w=1 και y=z=0 h x=w=0 και y=z=1

Για έναν 3χ3 ισχύουν τα ιδια πράματα και καταληγουμε στι ιδιο αποτέλεσμα δεν μπενω στον κόπω να σας μεταφέρω την απόδειξη για να μην σας κουράσω (κι αλλο)
Υ.Γ. συγνώμη για τον πολύπλοκο τρόπο σκεψης μου, αλλά ποτέ δεν μπορούσα να οργανώσω την σκέψη μου στον γραπτό λόγο (γι’αυτο ειμαι και δυσλεκτικός),
Ευχαριστώ για τον χρόνο σας

Η απάντηση στο (2) είναι λάθος, το σωστό σύμφωνα με αυτά που γράφει είναι ότι |A| είναι της μορφής m/n (δηλ. ρητός). Αλλά μπορούμε να φτάσουμε σε πιο ισχυρό συμπέρασμα:

Έστω |Α|=μ, |Α^-1|=ν, όπυ μ,ν ακέραιοι. Επίσης έχω |Α|*|Α^-1|=|Α*Α^-1|=|Ι|=1. Άρα |Α|=1/|Α^-1| => μ=1/ν. Άρα μ=ν ε {+1,-1}.

Για το (3) η απάντηση του lasercout είναι σωστή αλλά όχι πλήρης. Ούτε εγώ έχω πλήρη απάντηση , αλλά έχω (για δεδομένο Ν) ένα σύνολο ΝΧΝ πινάκων Π  που ικανοποιούν τις (Π1), (Π2), (Π3). Καταλαβαίνουμε ότι

Α ε Π <=> ( |Α|=1 και |Α^-1|=-1 ).

Ένα λοιπόν σύνολο Π^* που είναι υποσύνολο του Π, είναι αυτό που περιέχει όλους τους ΝΧΝ πίνακες που προκύπτουν από μια μετάθεση των γραμμών του ΝΧΝ μοναδιαίου ή, ισοδύναμα, όλους τους ΝΧΝ πίνακες που έχουν μόνο 0 και 1 και ακριβώς ένα 1 σε κάθε γραμμή και στήλη τους. Δηλ. το Π^* είναι το σύνολο των ΝΧΝ πινάκων μεταθέσεων (οι οποίοι έχουν πάντα ορίζουσα +1 ή -1 -- γιατί???).

Δεν ξέρω αν Π^*=Π. Κάθε απάντηση επαυτού είναι ευπρόσδεκτη.

[thanasiskehagias]

Πλήρως σωστή λύση από τον solli144, παίρνει 0.25.

έχουμε το διάνυσμα χ να στρέφετε γύρω από τον άξωνα Ζ κατα θ. Άρα η συντεταγμένη του Χz δαν αλλάζει, αλλά αλλάζουν οι άλλες δύο: Χx,Χy.Αν πάρουμε την προβολή του χ στο επίπεδο xy τότε αυτό θα σχηματίζει μια γωνία α με τον άξωνα x ενώ το μέτρο της προβολής του διανύσματος χ έστω ότι είναι R. Τότε έχουμε: Χx=R*cosα , Χy=R*sinα.

Οι συντεταγμένες του y θα είναι Yx,Yy,Yz. Θα ισχύει:

Yx=R*cos(α+θ)=R*(cosα*cosθ-sinα*sinθ)
Yy=R*sin(α+θ)=R*(sinα*cosθ+cosα*sinθ) και
Yz=Xz όπως εξήγησα προηγουμένως.

Ο πίνακας Α(θ) θα είναι 3x3 έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με τον πίνακα(διάνυσμα) χ που ειναι 3x1 να δώσει 3x1,δηλαδη το y. Έχουμε:

           [Χx]    [Yx]
A(θ) *  [Xy] = [Yy]  =>
           [Xz]     [Yz]

[cosθ  -sinθ  0]   [R*cosα]    [ R*(cosα*cosθ-sinα*sinθ)]
[sinθ   cosθ  0] * [R*sinα ] = [R*(sinα*cosθ+cosα*sinθ)]
[ 0       0     1]   [    Xz   ]    [             Xz                  ]

οπως προέκυψε μετα απο πράξεις ο Α(θ) ειναι:

[cosθ  -sinθ  0]
[sinθ   cosθ  0]
[ 0       0     1].

Ομοιως για στο δεύτερο ερωτημα το διάνυσμα χ να στρέφετε γύρω από τον άξωνα Υ κατα φ.
...
με παρόμοια διαδικασία με το πρώτο ερώτημα βρίσκουμε ότι ο Β(φ) είναι 3x3 και ειναι ο:

          [-sinφ   0   cosφ]
Β(φ) = [  0      1      0  ]
          [cosφ    0   sinφ]

Για το 3ο ερώτημα αν κανουμε τους πολλαπλασιασμους βρίσκουμε ότι δεν ισχύει η ισότητα γιατι:
                  [-Cos[θ] Sin[ϕ]  -Sin[θ]   Cos[θ] Cos[ϕ] ]
Α(θ)*Β(φ)= [-Sin[θ] Sin[ϕ]   Cos[θ]   Cos[ϕ] Sin[θ]  ]
                  [    Cos[ϕ]             0           Sin[ϕ]      ]

ενώ
                  [-Cos[θ] Sin[ϕ]    Sin[θ] Sin[ϕ]     Cos[ϕ]  ]
Β(φ)*Α(θ)= [    Sin[θ]                 Cos[θ]             0     ]
                  [Cos[θ] Cos[ϕ]    -Cos[ϕ] Sin[θ]    Sin[ϕ]  ].

Μερικώς σωστή λύσδη από τους agentcain, lolipopman, παίρνουν από 0.15. Το λάθος τους ήταν στο (3), ισχυρίστηκαν ότι Α(θ)*Β(φ)=Β(φ)*Α(θ) που δεν ισχύει. Και γεωμετρικά είναι σημαντικό ότι δεν ισχύει: στροφή ενός διανύσματος πρώτα γύρω από τον άξονα Ζ και μετά γύρω από τον Υ δίνει διαφορετικό αποτέλεσμα απότι  στροφή πρώτα γύρω από τον Ζ και μετά γύρω από τον Υ !!! Δοκιμάστε το με ένα μολύβι (διάνυσμα) που στρέφεται στον χώρο και θα δείτε το γιατί!!!

Θ

[thanasiskehagias]

Εστω ΝΧΝ πίνακες Α και Β τέτοιοι ώστε Α*Β=Β*Α. Δείξτε ότι

Α*Β^-1=Β^-1*Α
Β*Α^-1=Α^-1*Β
Α^-1*Β^-1=Β^-1*Α^-1

(Προθεσμία 5/11/2007, 07:00)

[thanasiskehagias]

Δίνεται ΝΧΝ πίνακας Α που ικανοποιεί: Α_mn=a όταν m=n, Αmn=b όταν m=/=n.

(α) Αν υπάρχει ο Α^-1 να δειχτεί ότι Α^-1_mn=x όταν m=n, Α^-1_mn=y όταν  m=/=n.

(b) Να βρεθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη μεταξύ των a,b ώστε να υπάρχει ο Α^-1.

(Προθεσμία 5/11/2007, 07:00)

[thanasiskehagias]

Νάμαστε πάλι!!!

Λοιπόν, για το 6ο πρόβλημα η σωστή λύση από τον cls:

A*B=B*A
(A*B)^-1=(B*A)^-1
B^-1*A^-1=A^-1*B^-1



A*B=B*A
A*B*B^-1=B*A*B^-1
A=B*A*B^-1
B^-1*A=B^-1*B*A*B^-1
B^-1*A=A*B^-1


A*B=B*A
A*B*A^-1=B*A*A^-1
B=A*B*A^-1
A^-1*B=A^-1*A*B*A^-1
A^-1*B=B*A^-1

Επίσης σωστές λύσεις από τους stefdh , agentcain

[thanasiskehagias]

Το 7ο πρόβλημα ΓΑ δεν το έλυσε κανείς! Άρα μένει ως άλυτο μυστήριο!!!  :'(


Θ

[thanasiskehagias]

Δίνεται ένας διανυσματικός χώρος U και δύο διανυσματικοί υποχώροι αυτού V,W. Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις αποφανθείτε αν είναι σωστή ή λάθος, αποδείξτε τον ισχυρισμό σας και δώστε ένα παράδειγμα (αν ισχύει) ή αντιπαράδειγμα (αν δεν ισχύει).

(1) Η τομή των V και  W είναι διανυσματικός υποχώρος του U.
(2) Η ένωση των V και  W είναι διανυσματικός υποχώρος του U.

Επειδη το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον και δυσκολία, η σωστή απάντηση αποδίδει 0.35 βαθμούς.

(Δημοσιεύθηκε 20/1/2007, 13:58.Προθεσμία απάντησης 26/11/2007, 07:00).

[thanasiskehagias]

Στο 8ο πρόβλημα έδωσαν σωστή λύση οι N3ikov, Komimis και  Johnnysp. Να η λύση του Komimis.

(1)Σωστή
(2)Λάθος

(1)Έστω x,y ανήκουν VτομήW και k,λ ανήκουν Κ , όπου Κ το σώμα.
   Άρα x,y ανήκουν V και x,y ανήκουν W
   Άρα kx+λy ανήκει V και kx+λy ανήκει W
   Άρα kx+λy ανήκει VτομήW

  Παράδειγμα: για V και W όπως αυτά στο (2) η τομή τους είναι το {(0,0)} που είναι διανυσματικός χώρος.


(2)Aντιπαράδειγμα  Έστω V={(x,x)/xe R} W={(x,-x)/xe R}
αν θεωρήσω το στοιχείο (1,1)ανήκει V και το στοιχείο (1,-1)ανήκει W
το άθροισμά τους (1,1)+(1,-1)=(2,0) δεν ανήκει στην ένωση άρα δεν είναι διανυσματικός χώρος.

Θ

[thanasiskehagias]

Συνεχίζω από το 8ο πρόβλημα.

1) Δείξτε ότι αν ο U είναι ΔΧ και οι V1, V2, ... διαν. υποχώροι του U, τότε η τομή όλων των V1, V2, ...  (δηλ. V=V1/\V2/\... είναι ΔΧ. (Διευκρίνιση: ένα στοιχείο v ανήκει στο V αν και μόνο αν ανήκει στο Vn για n=1,2,... .)

2) Δίνονται τώρα δύο διαν. υποχώροι του U, έστω Χ και Υ. Θεωρείστε το σύνολο διανυσματικών υποχώρων  W που ορίζεται ως εξής:

W={Ζ: Ζ διαν. υποχώρος του U, Χ υποσύνολο του Ζ, Υ υποσύνολο του Ζ}.

Ορίζω το Χ\*/Υ να είναι η τομή όλων των W  που ανήκουν στο W. Δείξτε ότι  το Χ\*/Υ: 
2.1) είναι διανυσματικός υποχώρος,
2.2) είναι υπερσύνολο των Χ και Υ,
2.3) είναι ο μικρότερος (με ποιά έννοια?) διανυσματικός υποχώρος του U που περιέχει τα Χ, Υ.

3) Δώστε ένα παράδειγμα των παραπάνω, με U=R³

4) Σχολιάστε την επόμενη πρόταση: το Χ\*/Υ  είναι η γενίκευση (?) της ένωσης των Χ και Υ.

Το πρόβλημα είναι δύσκολο και γι' αυτό αξίζει 0.5 βαθμούς.Καλή επιτυχια!

(Δημοσιεύτηκε 27/11/2007, 12:18, προθεσμία 3/12/2007, 07:00)

ότι Δείξτε ότι

[thanasiskehagias]

Και ένα εύκολο για 0.25 βαθμού.

Αν τα διανύσματα u, v, w είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δείξτε ότι και τα u+v, u-v, u-2v+w είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητα.

(Δημοσιεύθηκε 27/1/2007, 14:01.Προθεσμία απάντησης 3/12/2007, 07:00).

[thanasiskehagias]

Μοναδική σωστή λύση από τον Sonic, παίρνει 0.50 βαθμού\. Μπράβο, ήταν ένα δύσκολο πρόβλημα.

1)
   εστω Ρ=V1\/V2\/...

v1(- P => v1(-V1 and v1(-V2 and...

v2(- P =>v2(-V1 and v2(- V2 and...

ομως V1,V2,... δ.χ. αρα για τυχοντα κ,m(-R

ισχυει : kv1(-V1 και kv1(-V2 και ...
            mv2(-V1 και mv2(-V2 και ...
και για τον ιδιο λογο
     kv1 + mv2(-V1 και kv1 + mv2(-V2 and ... =>
=>kv1 + mv2 (- P δηλ. ο Ρ ειναι δ.χ.
2)
i)εστω Αi τα στοιχεια του W
τοτε Χ\*/Υ=Α1/\Α2/\...
λογω (1) το Χ\*/Υ δ.χ. ενω ειναι επισης υποσυνολο του U ως τομη υποσυνολων του
αρα το Χ\*/Υ δ.υ. του U
ii)
 το Χ υποσυνολο του Αi για i=1,2,...
αρα χ(-Χ=> χ(-Αi για ι=1,2,... => x(-A1/\A2/\...=Χ\*/Υ
 λογω της σχεσης χ(-Χ => χ(-Χ\*/Υ
το Χ\*/Υ υπερσυνολο του Χ
ομοια και για το Υ

iii) αρκει να δειξω οτι το Χ\*/Υ ειναι υποσυνολο καθε υποσυνολου του U που περιεχει τα Χ,Υ
εστω λοιπον Β ενα τυχαιο υποσυνολο του U το οποιο περιεχει τα Χ,Υ
δηλ Χ,Υ υποσυνολα του Β.
τοτε ομως Β (- W
ενω Χ\*/Υ=Α1/\Α2/\.../\Β/\...
προφανως λοιπον το Χ\*/Υ υποσυνολο του Β

3) εστω U=R^3, X={[x,y,z]/x=y=z}, Y={[x,y,z]/x=y=-z}
τοτε W θα ειναι το μονομελες συνολο
W ={E} , οπου Ε το επιπεδο που οριζουν οι ευθειες x=y=z και x=y=-z
και το Χ\*/Υ ταυτιζεται με το W δηλ. Χ\*/Υ=Ε
το Χ\*/Υ ειναι δ.χ. ως επιπεδο του R^3 που διερχεται απ την αρχη των αξονων
τα Χ,Υ παριστανουν ευθειες του επιπεδου αρα πραγματι Χ,Υ υποσυνολα του Χ\*/Υ
 ο μοναδικος δ.υ. του R^3 που περιεχει τα Χ,Υ ειναι το ιδιο το R^3
(χωρις να λαμβανουμε υπ οψην το Ε) το οποιο ειναι προφανώς υπερσυνολο του Χ\*/Υ

4) τα στοιχεια του Χ\*/Υ ανηκουν ή (στο Χ) ή (στο Υ) ή (στο Α1/\Α2/\... χωρις να ανηκουν στα Χ,Υ)
αρα το Χ\*/Υ αποτελει γενικευση του Χ\/Υ
 με την εννοια οτι Χ\/Υ υποσυνολο του Χ\*/Υ.

[thanasiskehagias]

Σωστή λύση από johnnysp, Sonic, N3ikoN, Salvation, gt. ¨ολοι από 0.25 βαθμού.

Έστω x,y,z ανήκουν στο R

x(u+v)+y(u-v)+z(u-2v+w)=0
xu+xv+yu-yv+zu-2zv+zw=0
(x+y+z)u+(x-y-2z)v+zw=0

Αφού τα u,v,w είναι γραμμικά ανεξάρτητα ισχύει:
x+y+z=0 => x+y=0 => x=0
x-y-2z=0 => x-y=0 => y=0
z=0

Οπότε το σύστημα είχει μόνο την μηδενική λύση και άρα τα διανύσματα u+v,u-v,u-2v+w είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

[thanasiskehagias]

Δείξτε ότι:

1) Ένας ΜxN πίνακας Α είναι βαθμού 1 αν και μόνο αν μπορεί να γραφτεί στη μορφή Α=a*b ,όπου a  είναι Μx1 και b είναι 1xΝ.
2) Ένας ΜxN πίνακας Α είναι βαθμού 2 αν και μόνο αν μπορεί να γραφτεί στη μορφή Α=a*b ,όπου a  είναι Μx2 και b είναι 2xΝ.

(Δημοσίευση 11:53 , 4/12/2007, προθεσμία 07:00 , 11/12/2007, αξία 0.25 βαθμοί)

[thanasiskehagias]

Δύο σωστές λυσεις: smo (0.25) και AgentCain (0.35).

Η λύση του smo πιο απλή:

Αν ο πινακας Μ*Ν γραφεται ως (Μ*1)*(1*Ν) τοτε ειναι υποχρεωτικα 1ου βαθμου καθως απο τον ορισμο του πολσμου πινακων ολες οι γραμμες η οι στηλες (εξαρταται απο τη σειρα με την οποια πολζουμε τα Μ*1 και 1*Ν) ειναι πολλαπλασια της πρωτης.
Αν τωρα ο πινακας ειναι 1ου βαθμου τοτε ειναι πρωφανες οτι ολες οι γραμμες θα ναι ολες μαζι αλλα και ανα δυο γραμμικως εξαρτημενες αρα θα μπορουν ολες να προκυψουν απο μια πολσμενες επι καποιον αριθμο.Οποτε αν βαλουμε σε ενα μονοδιαστατο πινικα πχ Μ*1 μια γραμμη και σε εναν αλλο 1*Ν τα αντισοιχα πολλαπλασια ετσι ωστε να προκυψουν οι αλλες γραμμες πολλαπλασιαζοντας τους
δειξαμε οτι αυτο ισχυει και αντιστροφα.

Για πινακα 2ου βαθμου ακολουθουμε ακριβως την ιδια διαδικασια αλλα πρεπει να πρσεξουμε οτι ολες οι γραμμες προκυπτουν ως γραμμικοι συνδιασμοι των δυο ανεξαρτητων και δεν ειναι απλα πολλαπλασια κατα τα αλλα ο τροπος ειναι ακριβως ο ιδιος και μας οδηγει στην αντιστοιχη ισοδυναμια με την πρωτη για πινακα 2ου βαθμου.

Αλλά η λύση του AgentCain είναι πιο πλήρης, προσέχει μια λεπτομέρεια που μου είχε διαφύγει.

Για το 1ο
Υποθέτουμε ότι οι πίνακες a και b είναι μη μηδενικοί.
Έχουμε
a=[α₁ ]
    [α₂ ]
    [α₃ ]
    [ :  ]
    [α_m]

και b=[ b₁ b₂ b₃ ... b_n ]

το αποτέλεσμα του πολλ/σμού θα είναι το:

Α=a*b=
[α₁b₁  α₁b₂  ... α₁b_n]
[α₂b₁                     ]
[    :                       ]
[α_mb₁      ...    α_mb_n]

Αν επιχειρήσουμε να βρούμε το βαθμό του πίνακα Α, θα ξεκινήσουμε από τον υπολογισμό της μεγαλύτερης υποορίζουσας του (της ΜxN αν M=N ή κάποιας ΝxΝ αν Μ>Ν)
Σύμφωνα με ένα θεώρημα όμως όταν μια ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με ένα αριθμό, τότε κάθε γραμμή (ή στήλη ανάλογα) πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό αυτό.

Δουλεύοντας με γραμμές, θα βγάλουμε από την ορίζουσα το αντίστοιχο a άρα θα έχουμε

|Α|=α₁α₂...α_κ | b₁ b₂ ... b_κ |
                    | b₁ b₂ ... b_κ |
                    |  :               |
                    | b₁ b₂ ... b_κ |

όπου κ ένας δείκτης επιλεγμένος κατάλληλα ώστε να ορίζεται ορίζουσα ΚxΚ (Κ=Μ=Ν 1η περίπτωση ή Κ=Ν<Μ 2η περίπτωση)

Βάσει θεωρίας η υποορίζουσα αυτή είναι 0. Άρα ξέρουμε ότι ο βαθμός του πίνακα δεν είναι Κ.
Με το ίδιο σκεπτικό κινούμενοι προς μικρότερες υποορίζουσες φτάνουμε στο ότι ακόμα και η υποορίζουσα 2x2 είναι μηδενική.
Η μόνη μη μηδενική υποορίζουσα που μπορούμε να βρούμε είναι μια υποορίζουσα 1ου βαθμού. Θα υπάρχει σίγουρα 1 μιας και οι πίνακες είναι μη μηδενική.
Η υποορίζουσα αυτή δηλώνει γραμμική ανεξαρτησία, και άρα ο βαθμός του πίνακα Α είναι 1.

Για το 2ο
Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του Α δεν θα είναι 0 (αφού ο πίνακας δεν είναι μηδενικός).
Ο βαθμός του θα είναι το πολύ ίσος με το βαθμό του ενός εκ των πινάκων a και b.
Δηλαδή θα είναι 1 ή 2. (αν οι πίνακες a,b έχουν τουλάχιστον 1 μη μηδενική υποορίζουσα 2ου βαθμού) βάσει το θ. σελ 184.
Αν πάρουμε μια υποορίζουσα 2x2 του Α και την υπολογίσουμε τότε προκείπτει το γινόμενο 2 υποοριζουσών 2x2 των πινάκων a και b.
Aφού όμως οι πίνακες αυτοί έχουν έχουν τουλάχιστον 1 μη μηδενική υποορίζουσα 2ου βαθμού, η αντίστοιχη υποορίζουσα 2ου βαθμού του πίνακα Α θα είναι μη μηδενική.
Άρα ο βαθμός του Α είναι 2.

Σημ νομίζω ότι είτε ο συλλογισμός μου κρεμάει κάπου είτε το πρόβλημα έχει μια παράμετρο που δεν λήφθηκε υπόψην.
Συγκεκριμένα, το βιβλίο αναφέρει ότι ο βαθμός ενός πίνακα που προκείπτει από πολλ/σμό 2 άλλων πινάκων θα είναι το πολύ ίσος με το βαθμό ενός από τους 2 πίνακες.
Άρα πρέπει οπωσδήποτε ο ένας εκ των πινάκων α,b να είναι 2ου βαθμού.
Τι συμβαίνει όμως αν ο ένας είναι 1ου και ο άλλος 2ου?