[Γρ. Άλγεβρα] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου 2025-2026]

Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου 2025-2026

[RAFI]

2016 Φεβρ Α
Θ3
ιδιοτιμές-ιδιοδιανύσματα

[1   0   0]                        |1-λ    0      0|
[5   0  -1] ~> |Α-λΙ|=0 =>  |5      -λ     -1| = 0  =>
[1   1   2]                        |1      1    2-λ|

=> (1-λ)|-λ    -1| = 0   =>  (1-λ) [(-λ)(2-λ) + 1]=0
           |1    2-λ|


άρα (1-λ)=0 => λ₁=1
ή (-λ)(2-λ)+1=0 => λ²-2λ+1=0
όπου Δ=0
λ_2,3=1

βγαίνει όντως τριπλή ιδιοτιμή ;
και πώς λύνεται αυτό ;

[jiannist]

Ναι, έτσι βγάινει. Βγάζεις ιδιοδιάνυσμα t*[0 1 1]. Οπότε, επειδή δεν έχεις 3 γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, δεν είναι διαγωνιοποιήσιμος.

[jiannist]

Το θεμα 5 βγαινει με δεσμη επιπεδων (το θεμα ειναι οτι αυτην την στιγμη δεν θυμαμαι ποια ειναι η κεντρικη κι ποια η αξονικη , αλλα χρησιμοποιεις μια απο τις 2 )

Το θεμα 6 παρε τις δυο σχεσεις κι μετα απο πραξεις θα βγαλεις απο την μια οτι u καθετο w και u//w , για να συμβαινουν κι τα 2 πρεπει τα u,w=0 αρα ισα μεταξυ τους

Το θεμα 7 δεν μου ερχεται και αλλα πρεπει να χρησιμοποιησεις σιγουρα το γεγονος οτι οι συντελεστες των χ^2 ψ^2 ζ^2 ειναι ισοι

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις! Έβγαλα τα 6, 7. Στο 5, παίρνεις αξονική δέσμη, και βρίσκεις λ για να είναι παράλληλο στον άξονα y;

[steveng8]

καποιος μια βοηθεια για θεμα 1 φεβρ 2016;

[ChrisKaloy-Kakou]

καποιος μια βοηθεια για θεμα 1 φεβρ 2016;

(α) Θέλεις μια βάση του διαν. χώρου που σχηματίζουν οι στήλες του πίνακα, δηλ. τα διανύσματα Α={(1,0,0),(1,1,1),(0,-1,-1),(1,1,-1)}. Δηλαδή θέλεις έναν ελάχιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, ώστε και τα διανύσματα του Α να είναι γραμμικοί συνδυασμοί αυτών. Μεθοδολογία: αν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και γεννάνε τον χώρο, τότε έχεις ήδη τη βάση. Αν όχι, τότε ξεκινάς και βρίσκεις ένα διάνυσμα που να είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων και το διώχνεις. Επαναλαμβάνεις μέχρι να είναι όλα γραμμικά ανεξάρτητα και τότε θα έχεις τη βάση.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το Α δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο. Ισχύει ότι (1,0,0)=(1,1,1)+(0,-1,-1), οπότε διώχνουμε το (1,0,0) και μας μένουν τα {(1,1,1),(0,-1,-1),(1,1,-1)}. Αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα, άρα να μια βάση του χώρου. Να σημειώσω ότι όλες οι βάσεις ενός χώρου έχουν τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων και αυτός ο αριθμός ονομάζεται διάσταση του χώρου. Πχ εδώ κάθε βάση αυτού του χώρου θα έχει 3 διανύσματα, άρα αυτός ο χώρος που μας έδωσε είναι τρισδιάστατος.

(β) Ο πυρήνας του Α είναι το σύνολο των διανυσμάτων u ώστε Au=0. Οπότε θεώρησε ένα διάνυσμα u=(α,β,γ,δ), πολλαπλασίασέ το με τον Α και βρες τα α,β,γ,δ ώστε να βγει Au=0. Θα βρεις διάφορες τιμές των α,β,γ,δ, άρα διάφορα διανύσματα u τα οποία θα σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρος. Βρες μια βάση όπως στο (α).

[steveng8]

καμια ιδεα για 2ο φεβρ 2015;

[leukosaraphs!]

καμια ιδεα για 2ο φεβρ 2015;

παρε τα 2 μελη και πολλαπλασιασετα με αβγδ
συνεχισε με ισοδυναμιες , κι στο πρωτο μελος βαλε στην αντιστοιχη σειρα βαλε το καθε γραμμα
βγαλε κοινο παραγοντα το αβγδ ... και ετοιμος ...(με ισοδυναμια ολα αυτα)

[stefaniab]

Μπορει καποιος να περιγραψει λιγο πιο αναλυτικα τις λυσεις για τα θέματα 5,6 και 7 τουΦεβρ.16'?

[Egkelados]

Εδώ είναι η λύση της 6 http://prntscr.com/ca9ux2. Οι  5,7 λύνονται όλες με μεθοδολογίες. Δε κάνεις τίποτα μόνος. Στο 5 για παράδειγμα από την τομή των 2 επιπέδων βρίσκεις μια ευθεία η οποία ανήκει στο επίπεδο και σύμφωνα με το γεγονός ότι το επίπεδο είναι παράλληλο στον y'y βρίσκεις την εξίσωση του. Η μεθοδολογία είναι στις σημειώσεις Ατρέα. Στην 8η θα πρέπι αρχικά οι συντελεστές μποστά από τα x², y², z² να ειναι ίσοι αλλιώς δεν είναι σφαίρα. 2ον υπάρχει ένας τύπος λογικά που σου δείχνει την ακτίνα της σφαίρας  σύμφωνα με τους συντελεστές οποτε και από κει βγάζεις μια εξίσωση και η 3η εξίσωση βγαίνει από τον τύπο που σου δίνει το κέντρο της σφαίρας συναρτήσει των α,β,γ τα οποία θα πρεπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου που σου δίνει. Ελπίζω να βοήθησα κάπως γιατί τα έχω ξεχάσει από το φλεβάρη 

[vasilis94]

Μπορει καποιος να περιγραψει λιγο πιο αναλυτικα τις λυσεις για τα θέματα 5,6 και 7 τουΦεβρ.16'?

Δε ξέρω αν χρησιμοποιείται το βιβλίο του Ξένου ή σημειώσεις πλέον αλλά λογικά θα υπάρχουν οπουδήποτε...

Για την 5:
> Βρίσκεις την αξονική δέσμη επιπέδων, δηλαδή το σύνολο των επιπέδων που διέρχονται από μια ευθεία (ορισμός 2.11, σελ 308 - Ξένος). Αν έχεις την ευθεία ως τομή 2 επιπέδων με γνωστές εξισώσεις, μπορείς άμεσα να χρησιμοποιήσεις τον τύπο 2.20, σελ 308.
> Μένει να προσδιορίσεις το λ, δηλαδή το συγκεκριμένο επίπεδο της οικογένειας που είναι παράλληλο προς τον άξονα y. Αρκεί να μηδενίσεις το συντελεστή του y( B1+λ*Β2=0).

Για την 6:
> Από την πρώτη: u (v-w)=0. Από τη δεύτερη υ x (v-w)=0. Λόγω της επιμεριστικότητας εσωτερικού εξωτερικού γινομένου.
> Θέτω k=v-w ένα νέο διάνυσμα.
> Έχω ότι το k είναι κάθετο στο u (uk=0) και ότι είναι παράλληλο στο u(u x k=0). Ο μόνος τρόπος δεδομένου ότι το u μη μηδενικό είναι να είναι το k μηδενικό.
Διαφορετικά, πάρε τη σχέση με τη γωνία. Από το εσωτερικό: |u| |k| cosθ=0, από το εξωτερικό |u| |k| sinθ=0. Δεδομένου ότι δε μηδενίζονται ταυτόχρονα τα τριγωνομετρικά έχεις |k|=0 -> k=0 -> v-w=0

Για την 7:
> Γενική εξίσωση σφαίρα x²+y²+z²+Ax+By+Γz+Δ=0, τύπος 5,3, σελ 438. Άρα, θέτω α-2=β-3=γ+2=k (k<>0)
> Διαιρώ με k. Έχω πλέον την παραπάνω μορφή. Το κέντρο είναι το (-Α/2,-Β/2,-Γ/2) με πχ Α=-8/k. Απαιτώ να ανήκει αυτό το σημείο στο επίπεδο, δηλ: 2*(-Α/2)+(-Β/2)-4(-Γ/2)=0 και αντικαθιστώ τα α,β,γ που υπάρχουν με κ+2,κ+3,κ-2 από την αρχική αντικατάσταση.
> Λύνω την πρωτοβάθμια ως προς κ(κ=-1,α=1,β=2,γ=-3 αν δεν έχω κάνει λάθος)

Με πρόλαβε ο Egkelados 

[Egkelados]

Με πρόλαβε ο Egkelados 

Ο egkelados μερικά πασαλλείματα έκανε τα credits δικά σου 

[stefaniab]

ευχαριστω πολυ και στους 2!!   

[snek]

Ειναι θεματα γραμμικης αλγεβρας μαρτιος 2013,μηπως εχει ιδεα κανεις πως λυνεται το θεμα 3 ?

[Egkelados]

Ειναι θεματα γραμμικης αλγεβρας μαρτιος 2013,μηπως εχει ιδεα κανεις πως λυνεται το θεμα 3 ?

Εκτος υλης

[Mandalorian]

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει λίγο στο θέμα 4ο Σεπτέμβριος 13;
Είναι κάτι προφανές και δεν το βλέπω;