Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[ονόματα των αρχείων]

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads

με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[vasso]

Δάσκαλε αυτό είναι μόνο για το 1ο έτος έτσι; για τους 2οετείς κανένα παρόμοιο παιχνιδάκι προβλέπεται;

[thanasiskehagias]

Η γρήγορη ανταπόκριση σας με πολλές σωστές λύσεις ήταν για μένα πολύ ευχάσριστη έκπληξη. Μου φαίνεται χρήσιμο να αλλάξω κάπως τους κανόνες του παιχνιδιού.

1. Αν υπάρχει αντίστοιχη ανταπόκριση και σε επόμενα προβλήματα, θα συντομεύω την προθεσμία υποβολής αλλά και θα δίνω προβλήματα με μεγαλύτερη συχνότητα.
2. Όπως έγραψα και στο προηγούμενο μήνυμα, μάλλον θα δίνω extra  βαθμό στις 2 ή 3 πρώτες σωστές λύσεις, ειδικά αν υπάρχει κάτι που να κάνει κάποια λύση να ξεχωρίζει.
3. Μην ξεχνάτε στην υποβολή σας να συμπεριλαμβάνετε το όνομα και ΑΕΜ σας.

Θ

[corina]

Δάσκαλε αυτό είναι μόνο για το 1ο έτος έτσι; για τους 2οετείς κανένα παρόμοιο παιχνιδάκι προβλέπεται;

Ναι, ναι!!

Καλά, όχι για βαθμό σε μάθημα - άλλωστε κάποιοι το έχουμε περάσει - αλλά θα ήταν ωραία! Σε άλλο τόπικ βέβαια...(γιατί έχουμε καταντήσει να κάνουμε spam!!)

[thanasiskehagias]

Παράκληση: Μην ποστάρετε spam και πλακίτσες (ή τέλος πάντων με μέτρο). Θα ήθελα αυτό το topic  να παραμείνει εστιασμένο στα μαθηματικά.

Αλλά νομίζω θα είναι πολύ χρήσιμο να ποστάρετε σχόλια επί των λύσεων που δημοσιεύονται, παραλλαγές (των λύσεων ή/και των προβλημάτων) κτλ.

Η τήρηση των παραπάνω, όπως καταλαβαίνετε , επαφίεται στην συνειδητοποίηση και καλή θέληση όλων μας.

Τώρα, για το ζήτημα να ξεκινήσει ένα παράλληλο topic με προβλήματα για όλους τους φοιτητές. Εμένα μου φαίνεται πολύ καλή ιδέα. Σημειώνω δύο σημαντικά στοιχεία.

1. Όπως καταλαβαίνετε σε κάτι τέτοιο δεν μπορεί να υπάρχει βαθμολογική ανταπόδοση (τουλάχιστον όχι από μένα, αφού το μόνο μάθημα ΤΗΜΜΥ που διδάσκω φέτος είναι η Γραμμική.
2. Επίσης δεν έχω αρκετό χρόνο για να μανατζάρω κάτι τέτοιο. ΑΛΛΑ αν κάποιος άλλος το ξεκινήσει, υπόσχομαι να βοηθήσω κι εγώ. Θα μπορούσε να είναι κάτι σαν μια μόνιμη (εβδομαδιαία?) στήλη γρίφων και προβλημάτων. Αν ενδιαφέρεστε για κάτι τέτοιο, ας κάνουμε μια αρχική συνάντηση ανταλλαγής απόψεων, εγώ τουλάχιστο έχω κι άλλες ιδέες επί του θέματος.

Θ

[miguel]

Ωραίες οι λύσεις που παρουσιάστηκαν. Σκέφτηκα και κάτι άλλο και θα ήθελα να μάθω αν μπορεί να γίνει δεκτό ως σωστή λύση:
Είχαμε πει ότι υπάρχει μοναδικός πίνακας Ι τέτοιως ώστε Α*Ι=Ι*Α=Α και αυτός λέγεται μοναδιαίος. Ξεκινώντας από τα δεδομένα λοιπόν ( Α και Β ταυτοδύναμοι ), υποθέτω ότι ο Α θα είναι μοναδιαίος ή μηδενικός ( το ίδιο και για τον Β)
Έτσι λοιπόν έχω 4 περιπτώσεις:
1) Α και Β  μοναδιαίοι
2) Α και Β μηδενικοί
3) Α μοναδιαίος και Β μηδενικός
4) Α μηδενικός και Β μοναδιαίος.

Θα ελέγξω τις περιπτώσεις μία προς μία:
1) αν Α και Β μοναδιαίοι τότε ο Α+Β δεν θα είναι μοναδιαίος ούτε μηδενικός καθώς η κύρια διαγώνιος θα περιέχει τον αριθμό 2. Οπότε ο Α+Β δεν θα είναι ταυτοδύναμος ( αφού η κύρια διαγώνιος του (Α+Β)*(Α+Β) θα περιέχει τον αριθμό 4 )
Επίσης αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι τότε Α*Β ΔΕΝ θα ήταν 0.
Άραη πρώτη περίπτωση αποκλείεται!
2) αν και οι 2 ήταν μηδενικοί τότε και ο Α+Β μηδενικός και συνάμα ταυτοδύναμος και συνεπάγεται και Α*Β=Β*Α=0
3) Αν ο Α μηδενικός και Β μοναδιαίος τότε ο Α+Β θα είναι μοναδιαίος και συνάμα ταυτοδύναμος και επίσης Α*Β=Β*Α=0 αφού κάθε στοιχείο θα πολλαπλασιάζεται με 0.
4) Αν ο Β μηδενικός και ο Α μοναδιαίος τότε ισχύει το ίδιο όπως στην περίπτωση 3.

Ουσιαστικά στηρίζομαι στο γεγονός ότι ο Α και ο Β δεν υπάρχει περίπτωση να είναι άλλος πίνακας εκτός από μοναδιαίος ή μηδενικός. ( Γεγονός  για το οποίο έχω μια αμφιβολία στη λύση μου).
Αποκλείω την 1η περίπτωση γιατί αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι δεν θα ίσχυε τίποτα από τα 2 : Α+Β ταυτοδύναμος και Α*Β=Β*Α=0

Μένουν λοιπόν οι υπόλοιπες 3 περιπτώσεις στις οποίες επαληθέυεται και το i) και το ii) από όπου κι αν ξεκινήσουμε...

[miguel]

Κύριε, κατανοώ ότι δεν είναι μαθηματική η επίλυσή μου ή η σκέψη μου τέλος πάντων αλλά, έχει όντως νόημα? Ή είμαι τελείως λάθος από την αρχική υπόθεση?...
Ευχαριστώ πολύ!

[haas]

kurie kathigita exoume parei ena PSEVDO-AEM apo ta paidia stin nisida ipologiston ala oute kan thimame (oute kan to ksero vasika) pio einai.....ara emis pou den kseroume to AEM vgenoume apo to pexnidi?pos tha ginei na paroume kanoniko AEM?

[AgentCain]

Ωραίες οι λύσεις που παρουσιάστηκαν. Σκέφτηκα και κάτι άλλο και θα ήθελα να μάθω αν μπορεί να γίνει δεκτό ως σωστή λύση:
Είχαμε πει ότι υπάρχει μοναδικός πίνακας Ι τέτοιως ώστε Α*Ι=Ι*Α=Α και αυτός λέγεται μοναδιαίος. Ξεκινώντας από τα δεδομένα λοιπόν ( Α και Β ταυτοδύναμοι ), υποθέτω ότι ο Α θα είναι μοναδιαίος ή μηδενικός ( το ίδιο και για τον Β)
Έτσι λοιπόν έχω 4 περιπτώσεις:
1) Α και Β  μοναδιαίοι
2) Α και Β μηδενικοί
3) Α μοναδιαίος και Β μηδενικός
4) Α μηδενικός και Β μοναδιαίος.

Θα ελέγξω τις περιπτώσεις μία προς μία:
1) αν Α και Β μοναδιαίοι τότε ο Α+Β δεν θα είναι μοναδιαίος ούτε μηδενικός καθώς η κύρια διαγώνιος θα περιέχει τον αριθμό 2. Οπότε ο Α+Β δεν θα είναι ταυτοδύναμος ( αφού η κύρια διαγώνιος του (Α+Β)*(Α+Β) θα περιέχει τον αριθμό 4 )
Επίσης αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι τότε Α*Β ΔΕΝ θα ήταν 0.
Άραη πρώτη περίπτωση αποκλείεται!
2) αν και οι 2 ήταν μηδενικοί τότε και ο Α+Β μηδενικός και συνάμα ταυτοδύναμος και συνεπάγεται και Α*Β=Β*Α=0
3) Αν ο Α μηδενικός και Β μοναδιαίος τότε ο Α+Β θα είναι μοναδιαίος και συνάμα ταυτοδύναμος και επίσης Α*Β=Β*Α=0 αφού κάθε στοιχείο θα πολλαπλασιάζεται με 0.
4) Αν ο Β μηδενικός και ο Α μοναδιαίος τότε ισχύει το ίδιο όπως στην περίπτωση 3.

Ουσιαστικά στηρίζομαι στο γεγονός ότι ο Α και ο Β δεν υπάρχει περίπτωση να είναι άλλος πίνακας εκτός από μοναδιαίος ή μηδενικός. ( Γεγονός  για το οποίο έχω μια αμφιβολία στη λύση μου).
Αποκλείω την 1η περίπτωση γιατί αν και οι 2 ήταν μοναδιαίοι δεν θα ίσχυε τίποτα από τα 2 : Α+Β ταυτοδύναμος και Α*Β=Β*Α=0

Μένουν λοιπόν οι υπόλοιπες 3 περιπτώσεις στις οποίες επαληθέυεται και το i) και το ii) από όπου κι αν ξεκινήσουμε...

Παρατηρώντας το σκεπτικό σου και με γνώμονα την τακτική του καθηγητή μας σε τέτοια ερωτήματα προκύπτει το παρακάτω πρόβλημα:
Να εξετάσετε αν τα δεδομένα του προβλήματος ισχύουν για πίνακες πέρα των μοναδιαίων και μηδενικών   

[thanasiskehagias]

Κύριε, κατανοώ ότι δεν είναι μαθηματική η επίλυσή μου ή η σκέψη μου τέλος πάντων αλλά, έχει όντως νόημα? Ή είμαι τελείως λάθος από την αρχική υπόθεση?...
Ευχαριστώ πολύ!

Είναι δύσκολο (=χρονοβόρο) να ΄διορθώνω / σχολιάζω κάθε απόπειρα επίλυσης χωριστά. Θα σου συνιστούσα να συζητήσεις τη λύση σου με άλλους επιλύσαντες, για να προάγεται και η συζήτηση. Εναλλακτικά, από τα προηγούμενα χρόνια έχει δημιουργηθεί στο μάθημα η συνήθεια του "μετά τις 9". Το συζητάμε την Τρίτη -- ή ρώτα φοιτητές προηγουμένων ετών.

Πάντως, χρόνου επιτρέποντος, διατηρώ το δικαίωμα να απαντώ επιλεκτικά σε κάποιες ερωτήσεις (ας πούμε -- χωρίς παρεξήγηση -- αυτές που μου φαίνονται πιο ενδιαφέρουσες). Λοιπόν:

Είχαμε πει ότι υπάρχει μοναδικός πίνακας Ι τέτοιως ώστε Α*Ι=Ι*Α=Α και αυτός λέγεται μοναδιαίος. Ξεκινώντας από τα δεδομένα λοιπόν ( Α και Β ταυτοδύναμοι ), υποθέτω ότι ο Α θα είναι μοναδιαίος ή μηδενικός ( το ίδιο και για τον Β)
Έτσι λοιπόν έχω 4 περιπτώσεις:
1) Α και Β  μοναδιαίοι
2) Α και Β μηδενικοί
3) Α μοναδιαίος και Β μηδενικός
4) Α μηδενικός και Β μοναδιαίος.
...
Ουσιαστικά στηρίζομαι στο γεγονός ότι ο Α και ο Β δεν υπάρχει περίπτωση να είναι άλλος πίνακας εκτός από μοναδιαίος ή μηδενικός.

ΔΕΝ είναι σωστά τα παραπάνω.  Π.χ. ο

    [ 1 0 ]
Α=[ 0 0 ]

είναι ταυτοδύναμος (τσεκάρετε!).

Ερώτημα: Ποιά είναι η γενική μορφή του 2Χ2 ταυτοδύναμου πίνακα. 'Η αλλιώς: ποιες συνθήκες είναι αναγκαίες και ικανές για να είναι ένας 2Χ2 πίνακας ταυτοδύναμος? Ο ΝΧΝ πίνακας? (Αυτό είναι το ερώτημα που θέτει και ο AgentCain)

Και Ερώτημα: Τι τιμές μπορεί να πάρει η ορίζουσα ενός ταυτοδύναμου πίνακα? (Αυτό θέλει λίγο διάβσμα παρακάτω στις σημειώσεις.)

Ας θεωρήσουμε το  ερώτημα/συζήτηση ανοιχτό. Δηλ. ποστάρετε εδώ, όχι σε PM, όποπιος θέλει, αδιακριτως έτους.

[kinezos]

Πίνακες της μορφής

[1 0]      [1 x]     [0 0]     [0 x]
[x 0]      [0 0]     [x 1]     [0 1]

είναι ταυτοδύναμοι. Επίσης προφανώς ο μοναδιαίος είναι ταυτοδύναμος. Υπάρχουν και σε άλλες μορφές;

[gtpp]

Idempotent. Σαν βρισια ακουγεται.

Εχει σχεση με τις ιδιοτιμες ή οπως μας τις μαθανε eigenvalues.

[Wade]

Και Ερώτημα: Τι τιμές μπορεί να πάρει η ορίζουσα ενός ταυτοδύναμου πίνακα? (Αυτό θέλει λίγο διάβσμα παρακάτω στις σημειώσεις.)

Αν θεωρήσουμε ταυτοδύναμο πίνακα Α, τότε θα είναι:

|Α| = |Α*Α| =|Α|*|Α|=|Α|² =>
=> |Α|=|Α|² => |Α|*(|Α|-1)=0

Άρα |Α|=0 ή |Α|=1.

Αλλά όπως φαίνεται αυτή η συνθήκη είναι αναγκαία, αλλά όχι ικανή για να είναι ένας πίνακας ταυτοδύναμος...

[gtpp]

Πίνακες της μορφής

[1 0]      [1 x]     [0 0]     [0 x]
[x 0]      [0 0]     [x 1]     [0 1]

είναι ταυτοδύναμοι. Επίσης προφανώς ο μοναδιαίος είναι ταυτοδύναμος. Υπάρχουν και σε άλλες μορφές;

και ο

[0 0]
[0 0]

[AgentCain]

Λοιπόν κατέληξα στα εξής για ένα πίνακα 2X2

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας 2X2 ταυτοδύναμος είναι

για α₁₂<>0 και α₂₁<>0
α₁₁ + α₂₂ = 1
και
α₁₂ * α₂₁ = α₁₁ * α₂₂
άρα κάθε τετραγωνικός ταυτοδύναμος πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί με αυτά τα κριτήρια

για α₁₂ = 0 και/ή α₂₁=0
προκύπτουν οι πίνακες που έδωσαν οι kinezos και gtpp

Η λύση βγαίνει αν δουλέψεις με τους τύπους, και είναι λίγο κουραστικό να τη γράψω λεπτομερώς εδώ  (όλοι αυτοί οι δείκτες...)

π.χ. ο πίνακας Α=
[ 3  2]
[-3 -2]

είναι ταυτοδύναμος

Φαντάζομαι ότι η συνθήκη για πίνακες ΝxN είναι παρόμοια

[thanasiskehagias]

Ορίζω Α(θ)=         

[ cosθ  -sinθ ]
[ sinθ   cosθ ]

1. Δείξτε ότι Α(θ)Α(φ)=Α(θ+φ).
2. Βρείτε τον Α(θ)^-1 χωρίς να κάνετε καθόλου πράξεις.

(Δημοσίευση 15:31, 15/10/2007, Λήξη Υποβολής 07:00, 22/10/2007)