[ΣΑΕ ΙΙ] Γενικές απορίες και ανακοινώσεις/επικαιρότητα 2020

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[height=400]

  Όταν ανεβάζουμε φωτογραφίες στις Ανακοινώσεις και Έκτακτα νέα, βάζουμε τη μεγαλύτερη πλευρά 400 (width=400 ή height=400 ). π.χ. [img height=400 (κλείνει η αγκύλη) 

[Thunderlord]

Σε ένα σύστημα μπορώ να έχω παραπάνω από ένα ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ;

[jim.jt]

Σε ένα σύστημα μπορώ να έχω παραπάνω από ένα ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ;

Δεν νομίζω... Έστω ότι ξεκινάς από το x0. Τότε x(t;x0) πρέπει να τείνει και στα δύο σημεία , που είναι αδύνατο αν είναι διαφορετικά.

[Thunderlord]

Ωραία, αυτό σκέφτηκα κι εγώ.

Δύο follow up ερωτήσεις:

α) Αν έχω ένα τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ, μπορώ να έχω κι άλλο ΣΙ;

β) Αν έχω ένα ολικά (σκέτο) ευσταθές ΣΙ, μπορώ να έχω κι άλλο ΣΙ;

Εμένα μου φαίνεται πως και στα δύο είναι ναι η απάντηση, αλλά ας πει και κάποιος άλλος

[Condoriano]

Ωραία, αυτό σκέφτηκα κι εγώ.

Δύο follow up ερωτήσεις:

α) Αν έχω ένα τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ, μπορώ να έχω κι άλλο ΣΙ;

β) Αν έχω ένα ολικά (σκέτο) ευσταθές ΣΙ, μπορώ να έχω κι άλλο ΣΙ;

Εμένα μου φαίνεται πως και στα δύο είναι ναι η απάντηση, αλλά ας πει και κάποιος άλλος

Νομίζω το δεύτερο είναι λάθος γτ το ολικό σημαίνει ότι δεν έχεις κανένα περιορισμό ως προς τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή ξεκινάς απο οπουδήποτε. Συνεπώς για ολική ευστάθεια, απο όπου και να ξεκινήσω θα πρέπει να καταλήξω σε μια περιοχή κοντά στο σημείο ισορροπίας. Αν υπάρχει και άλλο σημείο ισορροπίας και ξεκινήσεις απο αυτό τότε θα παραμείνεις εκεί και δεν θα καταλήξεις στο υποτιθεμένο ολικά ευσταθές σημείο ισορροπίας, δηλαδή η ίδια η λογική με το πως αποδείξαμε για την ασυμπτωτική περίπτωση. Ωστόσο αν αυτό το άλλο σημείο ισορροπίας βρίσκονταν πολύ κοντά στο "ολικά" ευσταθές σημείο ισορροπίας, ίσως να μπορούσες να το πεις αν και δεν είμαι σίγουρος

[Thunderlord]

Νομίζω το δεύτερο είναι λάθος γτ το ολικό σημαίνει ότι δεν έχεις κανένα περιορισμό ως προς τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή ξεκινάς απο οπουδήποτε. Συνεπώς για ολική ευστάθεια, απο όπου και να ξεκινήσω θα πρέπει να καταλήξω σε μια περιοχή κοντά στο σημείο ισορροπίας. Αν υπάρχει και άλλο σημείο ισορροπίας και ξεκινήσεις απο αυτό τότε θα παραμείνεις εκεί και δεν θα καταλήξεις στο υποτιθεμένο ολικά ευσταθές σημείο ισορροπίας, δηλαδή η ίδια η λογική με το πως αποδείξαμε για την ασυμπτωτική περίπτωση. Ωστόσο αν αυτό το άλλο σημείο ισορροπίας βρίσκονταν πολύ κοντά στο "ολικά" ευσταθές σημείο ισορροπίας, ίσως να μπορούσες να το πεις αν και δεν είμαι σίγουρος

Μα για να καταλήγω σε άπειρο χρόνο στο ΣΙ δεν σημαίνει πως αυτό το ΣΙ είναι ασυμπτωτικά ευσταθές; Αν είναι σκέτο ευσταθές, νομίζω πως σημαίνει ότι απλά αν βρεθεί εκεί κοντά θα καταλήξει και εκεί

[Condoriano]

Μα για να καταλήγω σε άπειρο χρόνο στο ΣΙ δεν σημαίνει πως αυτό το ΣΙ είναι ασυμπτωτικά ευσταθές; Αν είναι σκέτο ευσταθές, νομίζω πως σημαίνει ότι απλά αν βρεθεί εκεί κοντά θα καταλήξει και εκεί

Ναι αλλά αν υποθετικά είχες και ένα δεύτερο σημείο ισορροπίας (ας το πούμε Β, το οποίο δεν το έχω χαρακτηρίσει ως προς την ευστάθεια) και ένα άλλο το οποίο το ορίζω ολικά ευσταθές (ας το πούμε Α), τότε υποθετικά αν ξεκινήσω απο το Β θα πρέπει να καταλήξω πάλι κοντά στο Α, αλλά επειδή Β σημείο ισορροπίας, δεν θα μπορείς να κουνηθείς απο εκεί, άρα δεν θα ήσουν "κοντά" στο Α. Αλλά αν η ευστάθεια ορίζεται σε μια κοντινή περιοχή του σημείου ισορροπίας, τότε ποια θα ήταν η διαφορά με την τοπική και την ολική; Ίσως το σκέφτομαι λανθασμένα αλλά η ολική ευστάθεια δεν σημαίνει ότι ξεκίνα απο οποιαδήποτε θέση θέλεις, αλλά όσο περνάει ο χρόνος θα καταλήξεις σε μια κοντινή περιοχή του σημείου ισσοροπίας, ενώ τοπική όταν καταλήγεις σε μια κοντινή περιοχή αλλά θέτοντας κάποιους περιορισμούς ως προς πού θα ξεκινήσεις (τις αρχικές συνθήκες). Η ασυμπτωτική είναι η ειδική περίπτωση (είτε τοπική είτε ολική) που δεν θα είσαι απλά κοντά στο σημείο ισορροπίας, αλλά θα "πέσεις" και πάνω του. Ελπίζω να μην μπερδέψω κανέναν με τις χαζαμάρες μου

[Thunderlord]

Έστω έχω πίνακα Α = [-2 0; 0 -1]

Η λmin του είναι το -2, σωστά; Ή το παίρνουμε κατά απόλυτη τιμή;

[charalava]

Είναι -2 σωστά το είπες, το απόλυτο δεν χρειάζεται

sent from mTHMMY 

[Thunderlord]

Είναι -2 σωστά το είπες, το απόλυτο δεν χρειάζεται

sent from mTHMMY 

Απλά, τότε δημιουργείται το εξής θέμα:

έστω έχω καταλήξει στο x'*A*x. Ξέρω ότι αυτό είναι <= από το -λmin(A)*|x|^2 και για το συγκεκριμένο Α <= 2|χ|^2

Ωστόσο, στις λύσες σου στον Σεπτέμβρη του 18, έχεις ορίσει πρώτα τον πίνακα Q ως -Α και με τον ίδιο συλογισμό καταλήγεις στο ότι η σχέση είναι <= |x|^2 με αποτέλεσμα ο ελεγκτής να βγει διπλάσσιος από ό,τι τον βγάζω εγώ 

[charalava]

Κάτσε, απ'οσο καταλαβαίνω αυτή η ανισότητα ισχύει μόνο για θετικά ορισμένους πίνακες. Γι' αυτό ορίζω
Q = - A που είναι θετικά ορισμένος και ελάχιστη ιδιοτιμη του Q είναι η λ=1. Από αυτό στην συνέχεια βγάζω συμπέρασμα για την ανισότητα του A. Δεν νομίζω ότι μπορούμε απευθείας από τον Α να χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα.

sent from mTHMMY 

[Thunderlord]

Κάτσε, απ'οσο καταλαβαίνω αυτή η ανισότητα ισχύει μόνο για θετικά ορισμένους πίνακες. Γι' αυτό ορίζω
Q = - A που είναι θετικά ορισμένος και ελάχιστη ιδιοτιμη του Q είναι η λ=1. Από αυτό στην συνέχεια βγάζω συμπέρασμα για την ανισότητα του A. Δεν νομίζω ότι μπορούμε απευθείας από τον Α να χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα.

sent from mTHMMY 

Βγάζει νόημα αυτό που λες, αλλά αν δεις σημειώσεις καναβούρα, σελ 85 (και από όσο θυμάμαι και στα βιντεάκια, σε ένα από τα τελευταία με την ευρωστία) πήρε κατευθείαν -λmin(A) με τον Α να είναι αρνητικά ορισμένος και συνέχισε έτσι

[Μπιγκόνια]

Βγάζει νόημα αυτό που λες, αλλά αν δεις σημειώσεις καναβούρα, σελ 85 (και από όσο θυμάμαι και στα βιντεάκια, σε ένα από τα τελευταία με την ευρωστία) πήρε κατευθείαν -λmin(A) με τον Α να είναι αρνητικά ορισμένος και συνέχισε έτσι

μήπως να προσέξεις τα πρόσημα.
 λ_min(A) x² <= x^TAx <= λ_max(A) x²   -->
 -λ_min(A) x² >= -x^TAx >= -λ_max(A) x²   --->
 -λ_min(A) x² >= x^TQx >= -λ_max(A)x²   --->
 λ_min(Q) x² <= x^TQx <= λ_max(Q) x²

άρα λ_max(Q) = -λ_min(A) = 2
και λ_min(Q) = -λ_max(A) = 1

Όπότε να φτάσεις στο  x'*A*x όπως λες αυτό μας <= -||χ||².

Μπορείς να το δοκιμάσεις καθώς για το πίνακα που μας έδωσες έχεις x^ΤAx = -2x₁² - x₂², άρα -2||x||² <= x^ΤAx <= - ||x||².

Τελικό συμπέρασμα και για να μην κάνεις λάθος, να χρησιμοποιείς την ιδιότητα σε θετικά ορισμένους πίνακες.  

Edit: και για να μην γίνει μπέρδεμα Α αρνητικά ορισμένος πίνακας και Q=-A θετικά ορισμένος.

[charalava]

Δεν θα μπορούσες να το θέσεις ποιο ξεκάθαρα Γαρδένια! Niceee

sent from mTHMMY 

[Thunderlord]

Πω τέλεια ευχαριστώ πολύ.

Επίσης, μόλις θυμήθηκα ότι είχε πει ότι θεωρεί εκεί που έλεγα σαν λmin το απόλυτο της τιμής, για αυτό βάζει και ένα -.

Σόρρυ για την αναστάτωση 

[charalava]

Πως σας φάνηκε η εξέταση? Προσωπικά δεν μου άρεσε καθόλου  . Πολύ αγχωτικό σύστημα αυτό με το Θέμα 1

sent from mTHMMY