[Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

THMMY.gr > Forum > Μαθήματα Βασικού Κύκλου > 1ο Εξάμηνο > Λογισμός Ι (Moderators: Tasos Bot, tzortzis, Nekt) > [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: 1 2 3 [4] 5 6 7

Author

Topic: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα (Read 16000 times)

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #45 on: January 24, 2009, 17:59:16 pm »

Λοιπόν...

Έχομεν και λέμε:

Στις δύο πρώτες εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι:

$\left[f^{-1}(x)\right]'=\frac{1}{f'(x)}$

Οπότε κάνουμε την αντικατάσταση:

Στη 1η:

$x=\tan^{-1}(u)$

Στη δε 2η:

$x=\tan u$

Στην 3η, οι μεθοδολογίες που λέγαμε..... Σελίδα 243 και άγιος ο Θεός. (Προσοχή η διακρίνουσα έχει μιγαδικές ρίζες .. Οπότε αναγκαστικά θα την πας με τον αναδρομικό τύπο).

Στην 4η, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι:

$\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$

και

$\cos x=\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$

μετά μπαίνει στον αυτόματο πιλότο...

Στέλιος


	Logged

http://www.youtube.com/watch?v=qQL0RAkDOSk
...

"Σκίζω τον τοίχο, βρίσκομαι στους δρόμους, χρωματισμένους εφιαλτικά κι οι μπάντες να χτυπάνε στους ρυθμούς ξέφρενα, ενώ εγώ χάνομαι μέσα στον χρόνο, μόνος, έρημος, μέσα από εκεί που ήρθα, αφήνοντας πίσω μου ένα χαμόγελο παντοτινό στη μνήμη των ανθρώπων. Γιατί ποτέ κανείς δεν θα γνωρίσει αν ήρθα, αν έφυγα κι αν πράγματι υπήρξα κάποτε τυχαία ανάμεσά τους."

Μάνος Χατζιδάκις

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #46 on: January 24, 2009, 18:05:28 pm »

Ευχαριστω πολυ!!!! NotWorthy

Ξεκιναω και βλεπομεν....


	Logged

"Όσοι περιμένουν να βρουν πατημένα χνάρια θα απογοητευτούν γρήγορα. Όσοι δεν είναι έτοιμοι να πέσουν και να ξανασηκωθούν, να χάσουν τον δρόμο τους και να τον ξαναβρούν, να αγγίξουν όχι μια και δύο αλλά δέκα και εκατό φορές τον πάτο της έσχατης αμφιβολίας για τα σχέδια τους, για τις ιδέες τους, για τους συντρόφους τους, και για τους ίδιους τους εαυτούς τους, να αναμετρηθούν με τα χίλια δυο πρόσωπα της απόγνωσης και να ξανανέβουν στον αφρό, είναι καλύτερα να περιμένουν την κοινωνική αλλαγή απ' τον Αι Βασίλη ή, πράγμα που δεν διαφέρει πολύ, από κάποια αψεγάδιαστη δικαιωμένη "πρωτοπορία" .Εμείς δεν έχουμε να προσφέρουμε παρά την άχαρη γοητεία της καινούριας προσπάθειας, την ιστορική βεβαιότητα για τον σκοπό, την πάλη για τον ποιοτικό εμπλουτισμό του μαζί με την αδιάκοπη κριτική για τα μέσα, την στράτευση σε μια υπόθεση που χρειάζεται μαχητές αλλά θέλει να καταργήσει τους στρατιώτες"

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #47 on: January 24, 2009, 18:06:36 pm »

Θέλω κι εγώ μερίδιο απ' τα 10 euro του Γιώργου .


	Logged

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #48 on: January 24, 2009, 19:06:51 pm »

Στο 1 και το 3 φτανω σε ολοκληρωματα που εχουνε στον παρονομαστη κατι επι (χ^2+1) και εκει μου γυρνανε τ'αντερα
Το 2 το ελυσα
Στο 4 φτανω στο ολοκληρωμα που επισυναπτω και εφαγα κολλημα.Νομιζω οτι η λυση του ειναι γελοια αλλα εφαγα κολλημα.....


	Logged

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #49 on: January 24, 2009, 22:51:20 pm »

Θα δώσω μια συνοπτική λύση στο 4... Δυστυχώς βγαίνω έξω σε λίγο .. Αύριο αν θες θα δω και τις άλλες.

Μάλλον κάπου έχεις χάσει στις πράξεις στο 4ο ολοκλήρωμα. Ύστερα από πράξεις με την αντικατάσταση που σου είπα ανωτέρω, παίρνουμε εν τέλει:

$\frac{2\tan\frac{x}{2}}{2+2\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$

Από τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα:

$\frac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\cos^2\frac{x}{2}$

Θα έχουμε τελικώς:

$cos^2\frac{x}{2}\cdot\tan\frac{x}{2}$

Θέτοντας λοιπόν $\tan\frac{x}{2}=u$ , έχουμε:

$\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}dx=du$

Έτσι η ολοκληρωτέα γίνεται :

$\int udu=\frac{u^2}{2}+c =\frac{\tan^2\frac{x}{2}}{2}+c$

Q.E.D.

Φιλικά,

Στέλιος


« Last Edit: January 24, 2009, 22:53:23 pm by mostel »	Logged

Emfanever

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5284

Πολίτης

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #50 on: January 25, 2009, 00:37:11 am »

Quote from: JEREMIAH on January 24, 2009, 19:06:51 pm

Στο 1 και το 3 φτανω σε ολοκληρωματα που εχουνε στον παρονομαστη κατι επι (χ^2+1) και εκει μου γυρνανε τ'αντερα
Το 2 το ελυσα

Τι ακριβώς είναι αυτό το κάτι ? το ολοκλήρωμα του 1/(χ^2+1) είναι τοξεφχ


	Logged

tonis

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Gender:

Posts: 121

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #51 on: January 25, 2009, 03:58:29 am »

Quote from: JEREMIAH on January 24, 2009, 17:49:14 pm

Του Γροθου

Μα τι θα γινει τωρα, θα το πειτε πολλοι ακομα το γροθος?
Το ξερω οτι ειναι αλλα εσεις δεν πρεπει να ξερετε τι σημαινει.......
Για ενα clopyright ζουμε και μεις οι κρητικοι...... Angry


	Logged

Πρεπει να γραψω κατι εμπειρο εδω, ε?

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #52 on: January 25, 2009, 12:53:00 pm »

Quote from: mostel on January 24, 2009, 22:51:20 pm

$\frac{\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}$

Γκρρρρρ!
Το κοιταω και το ξανακοιταω, το κανω και το ξανακανω και μου βγαινει το κλασμα του quote αλλα χωρις τετραγωνο στον παρονομαστη, σκετο tan(x/2)......
:'( :'( :'( :'( :'(


	Logged

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

Emfanever

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5284

Πολίτης

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #53 on: January 25, 2009, 14:49:45 pm »

Quote from: JEREMIAH on January 25, 2009, 12:53:00 pm

Quote from: mostel on January 24, 2009, 22:51:20 pm

$\frac{\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}$

Δοκίμασε να προσθέσεις και να αφαιρέσεις τη μονάδα στον αριθμητή και το κλάσμα θα σπάσει σε

1 - $\frac{\1}{1+\tan\frac{x}{2}}$ , ίσως σε διευκολύνει...

edit: Βασικά βγαίνει εύκολα μετά αν κάνεις αντικατάσταση 1+tanx/2 = u και χρησιμοποιήσεις ότι 1+tan^2(x/2)= 1/cos^2(x/2)


« Last Edit: January 25, 2009, 14:57:58 pm by Emfanever »	Logged

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #54 on: January 25, 2009, 15:49:18 pm »

Quote from: Emfanever on January 25, 2009, 14:49:45 pm

Quote from: JEREMIAH on January 25, 2009, 12:53:00 pm

Quote from: mostel on January 24, 2009, 22:51:20 pm

$\frac{\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}$

Κατεληξα σε αυτο που επισυναπτω Sad

Αρχιζω κ χανω την υπομονη μου, τα προχειρα φυλλα κανουνε βουναλακια Grin


	Logged

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

Emfanever

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5284

Πολίτης

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #55 on: January 25, 2009, 16:04:25 pm »

Σωστά , έτσι βγαίνει , αλλά μετά δε θυμάμαι τι ακριβώς παίζει με τις μιγαδικες ρίζες, με κάποιο τρόπο πρέπει να το ξανασπάσεις λογικά, δες στο βιβλίο κάτι θα λέει.


	Logged

Sartre

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 2010

ΜΠΛΕ!!!!!

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #56 on: January 25, 2009, 17:26:45 pm »

σπαει με αλγεβρικες γνωσεις, δλδ παραγοντες της μορφης Α/u για τις πραγματικες ριζες και παραγοντες Αχ+Β/τριωνυμο για τις μιγαδικες, λαμβανοντας υποψιν την πολλαπλοτητα. Υπαρχει στο βιβλιο.


	Logged

Αν δε διεκδικήσουμε σήμερα το αδύνατο, αύριο θα βρεθούμε αντιμέτωποι με το αδιανόητο. Murray Bookchin

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #57 on: January 25, 2009, 17:42:18 pm »

Δε νιωθω


	Logged

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

nasia!!

Veteran
Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 6224

I lost control again..

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #58 on: January 25, 2009, 20:42:38 pm »

Πώ ρε φίλε..και εγώ σε εκείνο το σημείο το χα φτάσει αλλα μετά δεν ήμουν καλά..με είχε σαλέψει από την πολλή βλακεία μαζεμένη και τελικά τα παρατησα Cheesy

..αλλά έχω να πω και εγώ ένα ευχαριστώ!!You've been pretty helpful!! Wink


	Logged

"It's hot in Topeka και εδώ ο καιρός επιτέλους έγινε καλύτερος.."

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 102

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #59 on: January 27, 2009, 02:47:05 am »

Βασικά Jeremiah, για το τέταρτο μπορούν να γίνουν οι εξής πράξεις:

$\newline \int \frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx = \int \frac{sin(2 \frac {x}{2})}{sin(2 \frac{x}{2})+ 2 cos^2(\frac{x}{2})}dx = \newline \int \frac{2 sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}{2 sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2}) + 2 cos^2(\frac{x}{2})}dx = \int \frac{ sin(\frac{x}{2})}{ sin(\frac{x}{2}) + cos(\frac{x}{2})}dx = \newline \int \frac{ tan(\frac{x}{2})}{ tan(\frac{x}{2}) + 1}dx$

Αυτό το αποτέλεσμα επισης πρόκύπτει και αν γίνει και η αντικατάσταση των ημιτόνων και συνημιτόνων από τις αντίστοιχες εκφράσεις συναρτήσει της εφαπτομενης. Στη συνέχεια μπορείς να κάνεις το εξής:

$\newline \int \frac{ tan(\frac{x}{2})}{ tan(\frac{x}{2}) + 1}dx = \int \frac{ tan(\frac{x}{2}) +1 -1}{ tan(\frac{x}{2}) + 1}dx = x - 2 \int \frac{ 1 }{ tan(\frac{x}{2}) + 1}d(\frac{x}{2})$

οπότε αν έχεις λύσει το πρώτο ολοκλήρωμα έχεις έτοιμη και τη λύση!

Αν τώρα δεν γνωρίζεις το αρχικό ολοκλήρωμα, για να συνεχίσεις τη μελέτη του συγκεκριμένου, μπορείς να συνεχίσεις κανονικά κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής u=tan(x/2) και εξετάζοντας το πολυώνυμο που προκύπτει ακολουθώντας τη συνηθισμένη πορεία (σπάζοντας το σε επιμέρους απλούς όρους και ολοκληρώνοντας). Αυτό, βέβαια, θέλει κάποια διαδικασία και το αποτέλεσμα προκύπτει λίγο σύνθετο.

Για το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα μπορεί να ακολουθηθεί και ένας πιο σύντομος "παράδρομος" Wink

ο οποίος μπορεί να οδηγήσει κατευθείαν στο ζητούμενο, χρησιμοποιώντας όμως μια ιδιαίτερη παρατήρηση.

Αυτή είναι ότι:

$\newline sin(\frac{x}{2}) = \frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2}) + sin(\frac{x}{2}) - cos(\frac{x}{2})}{2} = \newline \frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2}) + sin(\frac{x}{2}) - cos(\frac{x}{2})}{2}= \frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2}) - 2 \left[ sin(\frac{x}{2}) + cos(\frac{x}{2})\right ]'}{2}$

Ονομάζοντας το άθροισμα του ημιτόνου και συνημιτόνου s:

$\newline s=sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})$

Αυτή η σχέση γράφεται:
$sin \left ( \frac{x}{2} \right) = \frac{s - 2 s'}{2}$

Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση στο ολοκλήρωμα, προκύπτει:

$\newline \int \frac {sin\left(\frac{x}{2} \right)}{sin\left(\frac{x}{2} \right)+cos\left(\frac{x}{2} \right)}dx= \frac{1}{2}\int \frac {s-2 s'}{s}dx =\newline \frac{x}{2} - \int \frac{s'}{s}dx = \frac{x}{2} - \int \frac {1}{s} ds = \frac {x}{2} - ln(\left|s\right|)+c$

Έτσι, βγαίνει σχετικά άμεσα πως το ολοκλήρωμα είναι:

$\newline \int \frac {sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx= \frac {x}{2} - ln\left[\left|sin\left(\frac{x}{2} \right) +cos\left(\frac{x}{2} \right) \right|\right]+c$


« Last Edit: January 27, 2009, 14:36:23 pm by sm »	Logged

Pages: 1 2 3 [4] 5 6 7

Jump to: