Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[ονόματα των αρχείων]

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads

με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[thanasiskehagias]

Δίνεται ότι το γινόμενο a_1ka_n2a_4ma₂₅a₅₃ είναι ένα από τους όρους της ορίζουσας |Α|. Να βρεθούν τα k,m,n.

(Δημοσίευση 15:33, 15/10/2007, Λήξη Υποβολής 07:00, 22/10/2007)

[AgentCain]

Λοιπόν κατέληξα στα εξής για ένα πίνακα 2X2

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας 2X2 ταυτοδύναμος είναι

για α₁₂<>0 και α₂₁<>0
α₁₁ + α₂₂ = 1
και
α₁₂ * α₂₁ = α₁₁ * α₂₂
άρα κάθε τετραγωνικός ταυτοδύναμος πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί με αυτά τα κριτήρια

για α₁₂ = 0 και/ή α₂₁=0
προκύπτουν οι πίνακες που έδωσαν οι kinezos και gtpp

Λοιπόν έστω πίνακας Α=
[ a  b ]
[ c  d ]

Για να είναι ένας πίνακας ταυτοδύναμος πρέπει να ισχύει Α*Α=Α
Άρα βρίσκουμε τα στοιχεία του γινομένου με τον κανόνα του πολλ/σμού
(Α*Α)₁₁=a*a + b*c
(Α*Α)₁₂=a*b + b*d
(Α*Α)₂₁=c*a + d*c
(Α*Α)₂₂=c*b + d*d

Όμως
(Α*Α)₁₁=(Α)₁₁    Από τον ορισμό του ταυτοδύναμου
(Α*Α)₁₂=(Α)₁₂
(Α*Α)₂₁=(Α)₂₁
(Α*Α)₂₂=(Α)₂₂

Άρα
a*a + b*c = a <=> a*(1-a)=b*c
a*b + b*d = b <=> b*(a+d-1)=0   "*"
c*a + d*c = c  <=> c*(a+d-1)=0   "*"
c*b + d*d = d <=> d*(1-d)=c*b

Και τώρα παίρνουμε περιπτώσεις

Α) b<>0 και c<>0
τότε ισχύουν τα "*" ότι a+d-1=0 οπότε a+d=1
το ίδιο βγαίνει και από το 2ο "*"
Επίσης λόγο του περιορισμού για το b και c, η 1η και 4η σχέση αν αντικαταστήσουμε  1-a και 1-d με d και a αντίστοιχα βγαίνει ότι a*d=c*b

B)b=0 ή c=0
τότε από τη 1η σχέση a=0 ή a=1
και από τη 4η d=0 ή d=1

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

οπότε οι σχέσεις αυτές δικαιολογούν και τους πίνακες που έγραψαν οι συνάδελφοι παρα πάνω

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

[thanasiskehagias]

Καλό!  Λίγο καλύτερα:

Από τις εξισώσεις έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) b<>0, c<>0=>[(a+d=1=>d=1-a) και (c=a*d/b=>c=a*(1-a)/b)] =>   
                                                                                                        (a,b,c,d)=(a,b,a*(1-a)/b,1-a) 

2) b=0, c<>0 => [(a+d=1 =>d=1-a) και a*(1-a)=0  και d*(1-d)=0] =>
                                                                                                        (a,b,c,d)=(0,0,c,1)
                                                                                                        (a,b,c,d)=(1,0,c,0)

2) b<>0, c=0 => [(a+d=1 =>d=1-a) και a*(1-a)=0  και d*(1-d)=0] =>
                                                                                                        (a,b,c,d)=(0,b,0,1)
                                                                                                        (a,b,c,d)=(1,b,0,0)

4) b=0, c=0 => [a*(1-a)=0  και d*(1-d)=0] =>
                                                                                                        (a,b,c,d)=(0,0,0,0)
                                                                                                        (a,b,c,d)=(0,0,0,1)
                                                                                                        (a,b,c,d)=(1,0,0,0)
                                                                                                        (a,b,c,d)=(1,0,0,1)

Και αυτοί είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί τιμών (a,b,c,d) που καθιστούν ταυτοδύναμο τον

Α=[a b]
    [c d]

Όσο για το

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

Μα ο Ι είναι ταυτοδύναμος και έχει |Ι|=1!

Θ

[AgentCain]

Ναι πράγματι
Απλώς μπερδεύτηκα πέρνοντας τις δεύτερες εξισώσεις, οι οποίες όμως προκείπτουν από διαγραφή ενός όρου. Αν θέσεις a=1 και d=1 στις αρχικές εξισώσεις τότε προκύπτει ο μοναδιαίος!

[marksman]

Λοιπόν κατέληξα στα εξής για ένα πίνακα 2X2

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας πίνακας 2X2 ταυτοδύναμος είναι

για α₁₂<>0 και α₂₁<>0
α₁₁ + α₂₂ = 1
και
α₁₂ * α₂₁ = α₁₁ * α₂₂
άρα κάθε τετραγωνικός ταυτοδύναμος πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί με αυτά τα κριτήρια

για α₁₂ = 0 και/ή α₂₁=0
προκύπτουν οι πίνακες που έδωσαν οι kinezos και gtpp

Λοιπόν έστω πίνακας Α=
[ a  b ]
[ c  d ]

Για να είναι ένας πίνακας ταυτοδύναμος πρέπει να ισχύει Α*Α=Α
Άρα βρίσκουμε τα στοιχεία του γινομένου με τον κανόνα του πολλ/σμού
(Α*Α)₁₁=a*a + b*c
(Α*Α)₁₂=a*b + b*d
(Α*Α)₂₁=c*a + d*c
(Α*Α)₂₂=c*b + d*d

Όμως
(Α*Α)₁₁=(Α)₁₁    Από τον ορισμό του ταυτοδύναμου
(Α*Α)₁₂=(Α)₁₂
(Α*Α)₂₁=(Α)₂₁
(Α*Α)₂₂=(Α)₂₂

Άρα
a*a + b*c = a <=> a*(1-a)=b*c
a*b + b*d = b <=> b*(a+d-1)=0   "*"
c*a + d*c = c  <=> c*(a+d-1)=0   "*"
c*b + d*d = d <=> d*(1-d)=c*b

Και τώρα παίρνουμε περιπτώσεις

Α) b<>0 και c<>0
τότε ισχύουν τα "*" ότι a+d-1=0 οπότε a+d=1
το ίδιο βγαίνει και από το 2ο "*"
Επίσης λόγο του περιορισμού για το b και c, η 1η και 4η σχέση αν αντικαταστήσουμε  1-a και 1-d με d και a αντίστοιχα βγαίνει ότι a*d=c*b

B)b=0 ή c=0
τότε από τη 1η σχέση a=0 ή a=1
και από τη 4η d=0 ή d=1

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

οπότε οι σχέσεις αυτές δικαιολογούν και τους πίνακες που έγραψαν οι συνάδελφοι παρα πάνω

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

huh?   πως τον εβγαλες αυτον τον περιορισμο?

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

οταν a=1, b=1, c=0, d=0  επαληθευονται και οι 4 σχεσεις που εδωσες και το a και το b παιρνουν ταυτοχρονα την τιμη 1.

και  επισης ο πινακας  [1  1]     ειναι ταυτοδυναμος καθως επιβεβαιωνει τις 4εις σχεσεις σου.
                                [0  0] 

[AgentCain]

huh?   πως τον εβγαλες αυτον τον περιορισμο?

τυπογραφικό λάθος, αντί για b εννοούσα d 
η πρόταση αναφέρεται στο Β)
αν δεις πιο πάνω αναφέρω ότι για τη B περίπτωση έχουμε b=0 ή c=0 (όχι και τα δύο αλλιώς θα έγραφα "ή/και")
όμως για a=1 και d=1 βγαίνει άτοπο δεδομένου ότι είτε b=0 είτε c=0
θεωρητικά είχα αρχίσει να γράφω όλες τις περιπτώσεις αλλά επειδή ήταν αργά όταν έγραφα το μήνυμα σταμάτησα σε σημείο που δημιουργεί σύγχυση.

Ο κ. Κεχαγιάς το εξήγησε πράγματι (λίγο) καλύτερα 

[smo]

Επιτρεψτε μου να εμπλουτισω το forum και με ενα δικο μου προβληματακι. (Δυστηχως για τους ματαιοδοξους συναδελφους δεν εχω τη δυνατοτητα να προσφερω καποιο ανταλαγμα ωστοσο εχω την πεποιθηση οτι δεν εκπροσωπουν την πλειοψηφια οποτε συνεχιζω...)
Λοιπον αν υποθεσουμε οτι εχουμε μια σκαλα με την εξις ιδιοτητα αν ανεβαινουμε τα σκαλια
ανα 2 περισσευουν 1
ανα 3 περισσευουν 2
ανα 4                   3
ανα 5                   4
ανα 6                   5
ανα 7                   6
ανα 8                   7
ανα 9                   8
ανα 10                 9
και ανα 11 κανενα (0)

Το ερωτημα ειναι ποσα σκαλια εχει η σκαλα;
P.S Ειναι πιο ενδιαφερον η ανακαληψη της κανονικοτητας που ισχυει παρα ο ιδιος ο αριθμος ο οποιος εξαιτιας της δομης του προβληματος  ειναι σχετικα ευκολος.

Σας ευχαριστω πολυ αν καποιος ασχοληθει να δημοσιοποιησει την απαντηση και να μην μου στειλει κανενα pm.

[vasso]

μπακάλικος τρόπος:


#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
    int i, j;
  for(i=1;;i++)
  {
     if(i%2==1){
          if(i%3==2){
              if(i%4==3){
                  if(i%5==4){
                      if(i%6==5){
                          if(i%7==6){
                              if(i%8==7){
                                  if(i%9==8){
                                      if(i%10==9){
                                          if(!(i%11))
                                          {
                                              printf("%d",i);
                                              break;
                                              }
                                          }
                                      }
                                  }
                              }
                          }
                      }
                  }
              }
          }                               
  }   
  system("pause");
}     

2519

 

[kinezos]

Επισυνάπτω μία λύση σε αρχείο txt.

edit: @vasso: Αν σου παίρνει λιγότερο χρόνο να γράψεις ένα πρόγραμμα σε c από το να λύσεις το πρόβλημα με απλά μαθηματικά, τότε η κατάσταση αρχίζει να ξεφεύγει... Αλλά αποδεικνύεις ότι είσαι άξιο μέλος του ΤΗΜΜΥ.

[smo]

NAI το 2519 ειναι το σωστο και γνωριζοντας το ειμαστε πολυ πιο κοντα στην ιδιοτητα που αυτη ειναι που εχει ενδιαφερον στην ουσια. Thanks για το response εχω και πολυ πιο ενδιαφεροντα λυμμενα τα οποια κ θα ανεβασω μολις βρω χρονο. Please αν κανενας εχει τιποτα καλο ασ το ανεβασει γιατι δεν εχω τιποτα καινουριο να ασχολουμαι.

[smo]

Λοιπον το ζητημα στις παρακατω ακολουθιες ειναι να βρεθει η κανονικοτητα που τις διεπει:

1,3,6,10,15,.....
1,1,2,3,5,8,13,....
1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,.....

Παρατιθονται 3 διαφορετικες ακολουθιες κλιμακουμενης δυσκολιας οπως θα παρατηρησετε η πραγματικη προκληση ειναι η τελευταια οι αλλες δινονται για εκλιματισμο.
P.S το παρων προβληματακι δεν ειναι δικο μου (για να μην γινουν παρεξηγησεις).

[thanasiskehagias]

Η σωστή λύση για το 2ο Πρόβλημα:

Posted by Agent Cain October 15, 2007, 16:44:39 PM

Για το 1)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του γινομένου για τον πίνακα Α με μεταβλητές τις θ και φ έχουμε
(Α(θ)*Α(φ))11=cosθ*cosφ-sinθ*sinφ=cos(θ+φ)
(Α(θ)*Α(φ))12=-sinφ*cosΘ-sinθ*cosφ=-(sinφ*cosΘ+sinθ*cosφ)=-sin(φ+θ)
(Α(θ)*Α(φ))21=sinφ*cosΘ+sinθ*cosφ=sin(φ+θ)
(Α(θ)*Α(φ))22=cosθ*cosφ-sinθ*sinφ=cos(θ+φ)

*οι παραπάνω δυο ταυτότητες θεωρούνται γνωστές από την Ευκλείδεια γεωμετρία

Αποδείχτηκε ότι Α(θ)*Α(φ)=Α(φ+θ)

Για το 2)
Ο πίνακας Α(θ)-1 είναι ο ανάστροφος του Α(θ) δηλαδή ο
[ cosθ sinθ ]
[-sinθ  cosθ]

που προκύπτει από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα Α*Α-1=ε (όπου ε ο μοναδιαίος πίνακας)

Επίσης βαθμό παίρνουν οι
haas που έστειλε στις October 15, 2007, 17:06:52 PM
stefdth που έστειλε στις  October 15, 2007, 17:36:56 PM

Πήρα 24 απαντήσεις, όλες σωστές. Αυτό που είπε μόνο ο δέκατος στη σειρά απάντησης είναι ότι Α(0)=Ι.
Αυτό έχει ενδιαφέρον, επειδή ο πίνακας Α(θ)] είναι πίνακας στροφής στο επίπεδο. Δηλ. αν x είναι ένα διάνυσμα 2Χ1, τότε y=A(θ)x είναι το ίδιο διάνυσμα, περιστραμμένο κατά θ (σκεφτείτε γιατί αυτό ισχύει, κάντε σχήμα!!!). Οπότε ο μοναδιαίος πίνακας, που φέρνει μηδενική μεταβολή στο διάνυσμα x είναι αυτός που αντιστοιχεί σε στροφή 0 ακτινίων. Επίσης σκεφτείτε γιατί , με την ερμηνεία της στροφής, Α(θ)Α(φ)=Α(θ+φ).

Θ

[thanasiskehagias]

Πήρα 12 απαντήσεις.
Η πρώτη σωστή λύση

AgentCain October 15, 2007, 17:09:31 PM

για το 3ο πρόβλημα

σύμφωνα με το κολπάκι που μας διδάξατε και αφού το γινόμενο είναι το a1kan2a4ma25a53
ή ισοδύναμα το a1ka25an2a4ma53

Πρέπει ο πίνακας να είναι 5Χ5, αφού τόσοι είναι και οι όροι του γινομένου
Πρέπει ο 1ος δείκτης κάθε όρου να αυξάνει κατά 1 μέχρι το 5, δηλαδή η σειρά 1,2,3,4,5. Οπότε n=3
Αφού το γινόμενο είναι θετικό, αυτό σημαίνει ότι στη σειρά των 2ων δεικτών του κάθε όρου έγιναν ζυγές μεταθέσεις ζευγών.

Άρα έχουμε τη δοθείσα σειρά των 2ων δεικτών κ , 5 , 2 , m , 3  (1)  και ξέρουμε ότι τα m,k θα πάρουν μία από τις τιμές 1 και 4 (αφού αυτές λείπουν για να συμπληρωθεί η σειρά)

1 , 2 , 3 , 4 , 5
1 , 2 , 4 , 3 , 5
1 , 2 , 4 , 5 , 3
1 , 2 , 5 , 4 , 3
1 , 5 , 2 , 4 , 3

Στη τελευταία σειρά φτάνουμε με ζυγό(4) αριθμό μεταθέσεων άρα η σειρά αυτή είναι και η επιθυμητή μιας και περιέχει τους αριθμούς 5 , 2 , 3 στη σωστή σειρά όπως και η αρχική (1) και τους  1 , 4 στη θέση των k , m
άρα κ=1 m=4

οπότε κ=1 m=4 και n=3

a11a25a32a44a53

Βαθμό παίρνουν επίσης οι
iliasT, October 15, 2007, 21:34:55 PM
zeus90, October 16, 2007, 15:52:39 PM

Θ

[thanasiskehagias]

Δίνονται οι προτάσεις:

(Π1) Τα στοιχεία του Α είναι όλα ακέραιοι αριθμοί.
(Π2) Τα στοιχεία του Α^-1 είναι όλα ακέραιοι αριθμοί.
(Π3) |Α|=1.

1. Δείξτε ότι (Π1)+(Π3) => (Π2).
2. Τι συμπέρασμα (παρόμοιο με την (Π3) ) μπορείτε να βγάλετε από τις (Π1) και (Π2)?
3. Μπορείτε να δώσετε αναγκαία και ικανή συνθήκη για τον Α ώστε να ισχύουν οι (Π1), (Π2), (Π3)?

(Δημοσίευση 13:17, 22/10/2007, Λήξη Υποβολής 07:00, 29/10/2007)

[thanasiskehagias]

1. Έστω τυχόν διάνυσμα x του  R³ και y το διάνυσμα που προκύπτει αν το x στραφεί γύρω από τον άξονα των Z κατά γωνία θ.  Βρείτε τον πίνακα  Α(θ) για τον οποίο ισχύει Α(θ)x=y.
2. Έστω τυχόν διάνυσμα x του  R³ και y το διάνυσμα που προκύπτει αν το x στραφεί γύρω από τον άξονα των Y κατά γωνία φ.  Βρείτε τον πίνακα  Β(φ) για τον οποίο ισχύει Β(φ)x=y.
3. Ισχύει Α(θ)Β(φ)=Β(φ)Α(θ)? Εξηγείστε γιατί ναι ή γιατί όχι.

Θ

(Δημοσίευση 13:32, 22/10/2007, Λήξη Υποβολής 07:00, 29/10/2007)