Απορία στη Γραμμική Ανάδραση Καταστάσεων

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[12:00-13:30]

Η γραμματεία είναι ανοιχτή καθημερινά 12:00-13:30

[Faidon]

Στην άσκηση 11-3 (σελίδα 124) του βιβλίου ζητάει να σταθεροποιηθεί το σύστημα:

Χ'    =    [-4  7]     Χ      +     [1 ]            u
             [ 0  6]                    [0 ]


Το ζεύγος Α,Β δεν είναι ελέγξιμο. Μάλιστα όπως φαίνεται ο μη ελέγξιμος πόλος είναι ο ασταθής (+6). Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα δεν σταθεροποιείται;


-----------
Εγώ από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: (s+4)(s-6)=s²-2s-24
Υλοποίησα το σύστημα σε ελέγξιμη κανονική μορφή:

Χ'    =    [ 0   1]     Χ      +     [0 ]            u
             [20  2]                    [1 ]

Από εδώ υπολογισα το Κ ώστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να γίνει (s+4)(s+1)=s²+5s+4:

Κ=[0   7]

Αυτό είναι λάθος;

[Καμένος]

Θα σε παραπέμψω στην σελίδα 102, κεντρική παράγραφος.

Απ' ότι καταλαβαίνω επειδή οι τρόποι εύρεσης του Κ για ΓΑΚ είναι αλγεβρικοί, θα βγάζουν πάντα κάποια λύση. Παρ' όλα αυτά αν το αρχικό σου σύστημα δεν είναι ελέγξιμο, το ΓΑΚ αυτό δεν θα οδηγεί στο επιθυμητό σύστημα.

Δες και την παράγραφο μετά το παράδειγμα στη σελίδα 123.

Επίσης το πρόβλημα αυτό δεν λύνεται ούτε με αντισταθμιστή σειράς γιατί όπως λέει σελίδα 208 δεν μπορείς να απαλείψεις ασταθή πόλο προσθέτοντας ασταθές μηδενκό.

Νομίζω ότι αυτός που μας έκανε ασκήσεις μας είχε πεί κάτι παρόμοιο ότι μπήκε τέτοια άσκηση παλιά και οι πιο πολλοί υπολόγισαν κατευθείαν το Κ, πράγμα που είναι λάθος. Έπρεπε πρώτα να δούν αν οι ασταθείς πόλοι είναι στο ελέγξιμο μέρος και μετά να σταθεροποιήσουν το ελέγξιμο μέρος με ΓΑΚ.

Ελπίζω να σε κάλυψα..

[Faidon]

Αυτό νομίζω είναι κατανοητό από τις σελίδες που με παραπέμπεις. Δηλαδή:

Μη ελέγξιμοι πόλοι δεν μπορούν να μετακινηθούν με ΓΑΚ.

Αυτό σημαίνει ότι για ένα ελέγξιμο ζεύγος [Α,Β] όλοι οι πόλοι μπορούν να μετακινηθούν με ΓΑΚ;

Αν ναι, τότε κάθε ζεύγος [Α,Β] (ελέγξιμο ή μη) μπορεί να τεθεί στην ελέγξιμη κανονική μορφή που είναι πάντα ελέγξιμη. Έτσι με ΓΑΚ μετακινείς τους πόλους στο νέο (ελέγξιμο) ζεύγος [Α,Β].

Ισχύει αυτό; Ή η ελέγξιμότητα του ζεύγους [Α,Β] δεν συνεπάγεται την ελεγξιμότητα όλων των πόλων του Α;

Μήπως από μία υλοποιήση με εξισώσεις κατάστασης δεν επιτρέπετε να βρεις τη συνάρτηση μεταφοράς και να υλοποιήσεις εκ νεου;

Αχ! Πολλές απορίες... μπέρδεμα...

[Faidon]

Συγκεκριμένα σε παραπέμπω στην άσκηση 11-5) σελίδα 124 και στη θεωρία σελίδα 67.

Λέει αν υπάρχουν κοινοί παράγοντες σε αριθμητή και παρανομαστή η ελέγξιμη κανονική μορφή είναι πάντα ελέγξιμη αλλά όχι παρατηρήσιμη.

Τότε στην άσκηση 11-5 θα υλοποιήσεις τη συνάρτηση μεταφοράς σε ελέγξιμη κανονική μορφή που είναι πάντα ελέγξιμη. Τότε είναι δυνατή η αλλαγή της συνάρτησης μεταφοράς και στο β). Αφού αλλάζουν μόνο οι πόλοι.
Δε μου φαίνεται σωστό όμως...

[Καμένος]

Δηλαδή με ρωτάς ότι αν γενικά ο Α έχει μή ελέγξιμους πόλους, αν μπορείς μέσω γραμμικού μετασχηματισμού (ή όχι) να βρείς τον αντίστοιχο Α' που θα είναι σε ελέγξιμη κανονική μορφή και να κάνεις τη δουλειά σου..

Απάντηση σελίδα 68:

Συμπερασματικά αναφέρουμε ότι οποιεσδήποτε εξισώσεις κατάστασης και εξόδου ενός συστήματος ΜΕΜΕ μπορούν μέσω κάποιου γραμμικού μετασχηματισμού, να μετασχηματιστούν στην ελέγξιμη κανονική μορφή αν και μόνο αν οι εξισώσεις είναι ελέγξιμες.  κτλ..

Δηλαδή αν σου δίνει τον πίνακα Α και έχεις μή ελέγξιμους και ασταθείς πόλους την έκατσες. Δεν μπορείς να κάνεις τίποτα.

Σου αναφέρω και Ερώτημα 1 εξετάσεων 11-9-2003:

Μπορεί να σταθεροποιηθεί το σύστημα με γραμμική ανάδραση καταστάσεων;

dx1/dt=21x2-7u
dx2/dt=x1+4x2+u
y=x2

Επίσης να υπολογίσετε μία ελέγξιμη υλοποίηση.

Απάντηση:  ...Δεν είναι ελέγξιμο, παίρνω πίνακα P και κάνω τον μετασχηματισμό. Ο Α' προκύπτει:

Α'=|-3   -1|      Β'=|1|
     |0    7 |           |0|

Παρατηρούμε ότι ο μή ελέγξιμος πόλος είναι το 7. Άρα την κάτσαμε. Άρα δεν μπορεί να σταθεροποιηθεί το σύστημα με ΓΑΚ.

Η άπάντηση στην ερώτηση "να υπολογίσετε μία ελέγξιμη υλοποίηση" είναι ότι η ελέγξιμη υλοποίηση είναι το ελέγξιμο κομμάτι του πίνακα Α'.

Άρα η ελέγξιμη υλοποίηση είναι dx1/dt=-3x1+u, y=x1.

Όσο και για την άσκηση 11-5, εφ' όσον δεν σου δίνει την υλοποίηση μπορείς να το φέρεις σε όποια μορφή θές περιλαμβανομένης και της ελέγξιμης κανονικής.Επαναλαμβάνω: Αν όμως σου δίνει τον Α και δεν είναι ελέγξιμοι οι ασταθείς πόλοι τότε finito.

Αυτά...                   

[dictator23]

Eγω εχω αλλη απορια στην ασκηση 11-1 σελ 123.Δε θα επρεπε να να μας δινει και την σχεση Υ=CX+EU με γνωστους τους C,E ωστε να υπολογισουμε την Η(s) και μετα την ελεγξιμη κανονικη μορφη;

[Faidon]

Δηλαδή αν σου δώσουν το ζεύγος [Α,Β] δεν είναι σωστό να υπολογίσεις το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και να υλοποιήσεις εκ νέου. Α;


Όσο για την απορία του dictator:
Για την υλοποίηση σε ελέγξιμη κανονική μορφή δε χρειάζεσαι τον αριθμητή της συνάρτησης μεταφορας. Χρειάζεσαι μόνο τον παρανομαστή (χαρακτηριστικό πολυώνυμο).
Εγώ τουλάχιστον υπολόγισα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και βρήκα μόνο τον Α και τον Β της ελέγξιμης κανονικής μορφής.

Μετά όμως από αυτά που λέει ο Καμένος δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστός ο τρόπος...
Ας δούμε τι θα πει και ο ίδιος.

[Καμένος]

Εγώ είπα ότι αν δεν είναι ελέγξιμο δεν μπορείς να κάνεις τίποτα. Αν είναι ελέγξιμο μπορείς να του τραβήξεις όποιο γραμμικό μετασχηματισμό θές, άρα μπορείς να το μετασχηματίσεις σε όοια μορφή θές, πχ την κανονική ελεγξιμη.

Απάντηση σελίδα 68:

Συμπερασματικά αναφέρουμε ότι οποιεσδήποτε εξισώσεις κατάστασης και εξόδου ενός συστήματος ΜΕΜΕ μπορούν μέσω κάποιου γραμμικού μετασχηματισμού, να μετασχηματιστούν στην ελέγξιμη κανονική μορφή αν και μόνο αν οι εξισώσεις είναι ελέγξιμες.

Αν στην 11-1 το ζεύγος [Α][Β] είναι ελέγξιμο τότε σωστά το έκανες.
Αν δεν είναι ... ας βρεί τη λύση ο Πετρίδης!!

Πρέπει να έχω βρεί 1-2 ασκήσεις που λέιπαν στοιχεία..

Όλα τα παραπάνω με κάθε επιφύλαξη.. μην πάρω και κανέναν στο λαιμό μου!! Αν δεί το τόπικ και κανένας άλλος που έχει άποψη επί του θέματος ας την πεί.

[Faidon]

Έχεις απόλυτο δίκαιο. Τώρα το κατάλαβα:

Η σύγχυσή μου δημιουργείται γιατί η ελέγξιμη κανονική μορφή δεν προκύπτει από καθαρά και αυστηρά μαθηματικά, αλλά από κάποιον έτοιμο τύπο (σελίδα 65). Υπάρχει όμως ο περιορισμός:

Συμπερασματικά αναφέρουμε ότι οποιεσδήποτε εξισώσεις κατάστασης και εξόδου ενός συστήματος ΜΕΜΕ μπορούν μέσω κάποιου γραμμικού μετασχηματισμού, να μετασχηματιστούν στην ελέγξιμη κανονική μορφή αν και μόνο αν οι εξισώσεις είναι ελέγξιμες.  κτλ..

Δηλαδή τους τύπους της σελίδας 65 μπορείς να τους χρησιμοποιήσεις μόνο για συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει από κάποιο ελέγξιμο ζεύγος [Α,Β].


Επίσης καταλήγω στην εξής διαπίστωση (Άσκηση 11-5):
Όταν υπάρχει κοινός παράγοντας σε παρανομαστή και αριθμητή συνάρτησης μεταφοράς. Τότε μπορούμε να υλοποιήσουμε έτσι τη συνάρτηση μεταφοράς που αυτός ο πόλος (του κοινού παράγοντα) να είναι ή μη παρατηρήσιμος ή μη ελέγξιμος ή και τα δύο.

Όπότε στην 11-5) μόνο η γ) είναι αδύνατη που απαιτεί μετακίνηση μηδενικού.

[Καμένος]

Φυσικά. Η ΓΑΚ δεν επηρρεάζει τα μηδενικά. Μόνο με αντισταθμιστή σειράς μπορείς να τα αλλάξεις.

(Καλά με αντισταθμιστή σειράς του κάνεις ότι θές!!)

[Faidon]

Απορία στην άσκηση 11-14.

                                    [ k₁₁  k₁₂  k₁₃ ]
Θα χρησιμοποιήσουμε Κ=[ k₂₁  k₂₂  k₂₃ ]
                                    [ k₃₁  k₃₂  k₃₃ ]

Όμως χρησιμοποιώντας τον Αλγόριθμο 1 για την εύρεση του Κ προκύπτουν 3 εξισώσεις (όσες και οι καταστάσεις). Οπότε θα πρέπει 6 από τους αγνώστους να τους δώσουμε εμείς τιμή (έστω μηδέν).

                                                                      [ 0     0     0    ]
Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε εξαρχής ότι Κ=[ k₂₁  k₂₂  k₂₃ ]
                                                                      [ 0     0     0    ]

Σωστό δεν είναι αυτό;

[Καμένος]

Λοιπόν, απ' ότι κατάλαβα οι περιπτώσεις ΠΕΠΕ απαιτούν ειδική αντιμετώπιση.

Για να επιλυθούν απαιτουν συγκεκριμένο αλγόριθμό που αναφέρεται σελίδα 119-120.

Μάλλον δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τους αλγόριθμους για τα ΜΕΜΕ στα ΠΕΠΕ, διότι στον αλγόριθμο για τα ΠΕΠΕ διαλέγεις αυθαίρετα έναν πίνακα f. Εμμέσως εσύ διάλεξες στο παράδειγμα που ανάφερες πάνω τον
   [ 0 ]
f=[ 1 ]
   [ 0 ]

Παρ' όλα αυτά, όπως λέει κι ο αλγόριθμος σελίδα 119-120 ο f διαλέγεται μεν αυθαίρετα, αλλά με τρόπο που δεν μηδενίζει τον ~PBf.

Άρα κατά την γνώμη μου καλύτερα να χρησιμοποιήσεις αυτόν τον αλγόριθμο όπως είναι και να μήν φέρεις αλγόριθμους ΜΕΜΕ στα μέτρα των ΠΕΠΕ, γιατί μάλλον δεν ισχύει.

[Faidon]

Ο Αλγόριθμος 1 για συστήματα ΜΕΜΕ είναι στην ουσία η λύση του προβλήματος με χρήση αυστηρών μαθηματικών. Οπότε θα ισχύει και για συστήματα ΠΕΠΕ:

Βρίσκεις το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που προκύπτει από τη ΓΑΚ (με συντελεστές αγνώστους τα k₁₁, k₁₂, k₁₃ κ.τ.λ.) και στη συνέχεια δίνεις τιμές στα k ώστε το πολυώνυμο αυτό να ισούται με το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Λογικό δεν είναι;

Όσο για τον περιορισμό του β=~PBF. Χρειάζεται μόνο για το βήμα ε. του αλγορίθμου.

[Καμένος]

Ο Αλγόριθμος 1 για συστήματα ΜΕΜΕ είναι στην ουσία η λύση του προβλήματος με χρήση αυστηρών μαθηματικών. Οπότε θα ισχύει και για συστήματα ΠΕΠΕ:

Βρίσκεις το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που προκύπτει από τη ΓΑΚ (με συντελεστές αγνώστους τα k₁₁, k₁₂, k₁₃ κ.τ.λ.) και στη συνέχεια δίνεις τιμές στα k ώστε το πολυώνυμο αυτό να ισούται με το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Λογικό δεν είναι;

Όσο για τον περιορισμό του β=~PBF. Χρειάζεται μόνο για το βήμα ε. του αλγορίθμου.

Το ότι είναι λύση με αυστηρά μαθηματικά σημαίνει ότι εφαρμόζεται και στα ΠΕΠΕ αυτούσιος??? Κάτι θα ξέρει ο Πετρίδης που στα ΠΕΠΕ έχει μόνο έναν αλγόριθμο..
Τί να σου πώ... Αλλιώς θα έγραφε ότι ισχύουν οι αλγόριθμοι των ΜΕΜΕ με επεκτάσεις για τα ΠΕΠΕ.

Άλλο τι είναι λογικό, άλλο τι ισχύει.

Ο περιορισμός β=~PBF, όντως χρειάζεται μόνο για το βήμα ε. του αλγορίθμου αλλά με την γενίκευση του αλγορίθμου για τα ΜΕΜΕ που έκανες στα ΠΕΠΕ δεν το λαμβάνεις πουθενά υπ' όψιν σου. Άρα...???

[Faidon]

Λέω ότι αυτός ο περιορισμός χρειάζεται να ληφθεί υπόψην μόνο αν χρησιμοποιηθεί ο συγκεκριμένος αλγόριθμος.

Μου φαινεταί σχετικά απλό: Έχεις δύο πολυώνυμα και τα εξισώνεις...

Πάντως έστειλα e-mail στο Σταμούλη.