[Λογισμός ΙΙ] Απορίες σε Ασκήσεις

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πληροφορίες Καθηγητών]

Πληροφορίες Καθηγητών

[sarovios]

τωρα ξερω οτι ειναι λιγο χαζο αυτό που ρωτάω αλλα επειδη εχω μπερδευτεί μπορεί καποιος να μου εξηγήσει γιατι το grad είναι καθετο διανυσμα στην καμπύλη???ο τρόπος με τον οποίο χρησιμοποιείται στα διαφορα κεφάλαια του βιβλίου με μπερδεύει....πχ ειναι καθετο στο εφαπτόμενο διανυσμα μονο αν η καμπύλη ειναι ισοσταθμικη...τι αλλες φορές όμως τι συμβαίνει???

Μην μπερδευεις την ισοσταθμικη επιφανεια με την καπμυλη. Το Διανυσμα dr/ds ειναι εφαπτομενο σε μια καμπυλη r(s).Το gradf ειναι το καθετο διανυσμα σε μια ισοσταθμικη επιφανεια f(x,y,z).Ριξε μια αναγνωση τη σελ 134-135 στο μπλε και νομιζω οτι θα το ξεκαθαρισεις...

[Matzika]

τωρα ξερω οτι ειναι λιγο χαζο αυτό που ρωτάω αλλα επειδη εχω μπερδευτεί μπορεί καποιος να μου εξηγήσει γιατι το grad είναι καθετο διανυσμα στην καμπύλη???ο τρόπος με τον οποίο χρησιμοποιείται στα διαφορα κεφάλαια του βιβλίου με μπερδεύει....πχ ειναι καθετο στο εφαπτόμενο διανυσμα μονο αν η καμπύλη ειναι ισοσταθμικη...τι αλλες φορές όμως τι συμβαίνει???

Μην μπερδευεις την ισοσταθμικη επιφανεια με την καπμυλη. Το Διανυσμα dr/ds ειναι εφαπτομενο σε μια καμπυλη r(s).Το gradf ειναι το καθετο διανυσμα σε μια ισοσταθμικη επιφανεια f(x,y,z).Ριξε μια αναγνωση τη σελ 134-135 στο μπλε και νομιζω οτι θα το ξεκαθαρισεις...

ναι γενικά εχω πιάσει το νόημα απλά δεν το "νιώθω" ( )βασικα μπερδευομαι που το ονομαζει κλίση του βαθμωτου πεδίου και ετσι δεν καταλαβαίνω γιατι ειναι παντα κάθετο...

[pmousoul]

ngine γιατί να είναι όμως πάντα η = -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k και όχι η = fx(a,b) i + fy(a,b) j - k ? δε θα είναι ανάλογα με τι προσανατολισμό έχει η επιφάνεια??

Βασικά το κάθετο διάνυσμα εξαρτάται από την παραμετροποίηση της επιφάνειας και ο προσδιορισμός της θετικής όψης της επιφάνειας γίνεται πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά το κάθετο διάνυσμα με το μοναδιαίο στον άξονα των z, στην περίπτωση που η επιφάνεια δίνεται από την z = f(x,y). Όταν το αποτέλεσμα είναι θετικό, δηλαδή η γωνία του καθέτου και του μοναδιαίου είναι οξεία, τότε το κάθετο δείχνει την θετική όψη.

π.χ. έστω ότι z = f(x,y)

τότε το η = -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k δείχνει την θετική όψη της επιφάνειας γιατί :

(0,0,1) . η = 1 > 0

Όταν η επιφάνεια δίνεται από την x = f(y,z) τότε το κάθετο δίνεται από την ηΧ = ( 1 , -fy , -fz ) και η θετική όψη από το εσωτερικό γινόμενο του ηΧ με το μοναδιαίο στον x άξονα.

Όταν η επιφάνεια δίνεται από την y = f(x,z) τότε το κάθετο δίνεται από την ηY = ( -fx , 1 , -fz ) και η θετική όψη από το εσωτερικό γινόμενο του ηY με το μοναδιαίο στον y άξονα.

Τέλος στον διανυσματικό λογισμό, στα επιφανειακά ολοκληρώματα, έχουμε προσανατολισμό της επιφάνειας.

π.χ.

Έστω ότι ζητείται η ροή του διανύσματος ( 0 , y^2 , z) δια της εξωτερικής επιφάνειας του παραβολοειδούς z = x^2 + y^2. Σε αυτήν την περίπτωση ορίζεται το διάνυσμα προσανατολισμού γ, το οποίο είναι :

γ = (+ -) η , όπου η το κάθετο διάνυσμα όπως ορίστηκε πιο πάνω.

Επειδή στο παράδειγμα θέλουμε την εξωτερική επιφάνεια και επειδή σε αυτήν την περίπτωση το κάθετο στην εξωτερική με τον άξονα των z σχηματίζει αμβλεία γωνία θα πρέπει να πάρουμε :

γ = - η για τον υπολογισμό του συγκεκριμένου επιφανειακού ολοκληρώματος.

[sarovios]

Mπορει καποιος να μου εξηγησει πως μετασχηματιζει ενα διπλο ολοκληρωμα σε πολικες συντεταγμενες?Κοιταω τις ασκησεις και εχω μπερδευτει παρα πολυ...

[pmousoul]

Mπορει καποιος να μου εξηγησει πως μετασχηματιζει ενα διπλο ολοκληρωμα σε πολικες συντεταγμενες?Κοιταω τις ασκησεις και εχω μπερδευτει παρα πολυ...

Το πρόβλημά σου είναι στα όρια ολοκλήρωσης?

[sarovios]

Δεν το εθεσα και πολυ καλα.Ναι ουσιαστικα στα ορια.Δεν μπορω να καταλαβω ποια σχεση πρεπει να παρω για να βρω τη θ και ποια σχεση για την ρ...

[pmousoul]

Σημασία στα διπλά ολοκληρώματα έχει ο τόπος ολοκλήρωσης.

Πρώτα πρέπει να βρεις τον τόπο ολοκλήρωσης με τα αρχικά όρια, στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων (ένα πρόχειρο σχήμα βοηθάει).

Μετά θα πεις για να ολοκληρώσω στον ίδιο τόπο στο καινούριο σύστημα συντεταγμένων τι τιμές θα πρέπει να παίρνουν τα ρ, θ? Δηλ. από που μέχρι που πρέπει να μεταβάλλονται?

Ρίξε κανένα π.χ. να το δούμε..

[sarovios]

Νομιζω πως καταλαβα τι παιζει,Θα το δω λιγο ετσι. Thanks!

[Θάνος]

στα ίδια θέματα, στο τελευταίο της Κων/δου που λέει να εκφραστεί με τριπλό ολοκλήρωμα ο τόπος :
z^2 > χ^2 + y^2 , z>0 , x^2 + y^2 <4
το σχήμα είναι ο κύλινδρος από 0 ως 2 , μείον το ρόμβο z^2=x^2+y^2 για χ από -2 ως 2??
δείτε το λίγο και πείτε ρε παιδιά...!

[Johnny English]

Εγώ το έκανα έτσι.. (και δε ξέρω αν είναι σωστό.. κάτι μου βρωμάει να σου πω την αλήθεια)

Δες και ασκήσεις 11 και 12 στις σελ 458 κσι 459 του πορτοκαλί..

[Johnny English]

Βασικά με χαλάει το z² >= x² + y².. έχω την εντύπωση ότι αυτό που κάνω είναι για z² <= x² + y² όμως αν είναι με >= πάει μέχρι το άπειρο?? 

[pmousoul]

στα ίδια θέματα, στο τελευταίο της Κων/δου που λέει να εκφραστεί με τριπλό ολοκλήρωμα ο τόπος :
z^2 > χ^2 + y^2 , z>0 , x^2 + y^2 <4
το σχήμα είναι ο κύλινδρος από 0 ως 2 , μείον το ρόμβο z^2=x^2+y^2 για χ από -2 ως 2??
δείτε το λίγο και πείτε ρε παιδιά...!

Το z^2 > χ^2 + y^2  είναι ο χώρος έξω από κώνο.

Τα z>0 , x^2 + y^2 <4 σου λένε ότι περιορίζεσαι στα θετικά του z στον κύλινδρο με ακτίνα 2. Αυτό σημαίνει ότι ο κώνος z^2 = χ^2 + y^2 δεν μπορεί να έχει μεγαλύτερο z από 2.

Άρα ο τόπος είναι ο όγκος που περικλείεται

από τον κύλινδρο με ακτίνα 2 και ύψος 2 και η μία του βάση κάθεται στην αρχή των αξόνων

και

από το εξωτερικό του κυκλικού κώνου που βρίσκεται μέσα στον κύλινδρο.

  

[Θάνος]

άρα ο όγκος του κυλίνδρου μείον τον όγκο του κώνου..

[Johnny English]

άρα σε αυτό που ανέβασα τα z αντί από 0 εώς sqrt(x²+y²) είναι από sqrt(x²+y²) εώς 2..

[pmousoul]

άρα ο όγκος του κυλίνδρου μείον τον όγκο του κώνου..

Ακριβώς!