THMMY.gr

       Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί υπάρχει διαφορά προσήμου στον τύπο (Α) σελίδα 275 και στον τύπο (Β) σελίδα http://www.thmmy.gr/smf/Themes/scribbles2_114/images/icons/modify_inline.gif
http://www.thmmy.gr/smf/Themes/scribbles2_114/images/icons/modify_inline.gif277; Δηλαδή στον τύπο (Β) για n=1 προκύπτει άλλο πρόσημο και δεν ταυτίζεται με τον τύπο (Α);

Πρόσεξε την παρατήρηση 3.1 στη σελίδα 275. Λέει ότι για τον τύπο Α η φορά διαγραφής της c' είναι ίδια με τη φορά διαγραφής της c.

Στον τύπο Β φορά διαγραφής της c' (δηλαδή της c1) είναι αντίθετη της c, όπως φαίνεται στο και στο σχήμα της σελ 278. Η παρατήρηση 3.2 της σελ 278 το ξεκαθαρίζει περισσότερο

Ναι!!! Βέβαια! Έχεις απόλυτο δίκιο. Θεώρησα δεδομένο ότι η φορά της C' είναι αυτή του σχήματος, ενώ είναι η αντίθετη. Ευχαριστώ πολύ!

Πορτοκαλί βιβλίο, κεφάλαιο 5:
Στην άσκηση  6 (σελ206) το κάθετο διάνυσμα βρίσκεται ως gradF. Με τον ίδιο τρόπο όμως βρίσκεται και η κλίση της συνάρτησης στην ασκηση 19 (σελ 214). Τί δεν καταλαβαίνω; ::)

Λοιπόν...

Για f(x,y)=z :

grad(f)=(fx, fy) διάνυσμα όπου fx, fy μερικές παράγωγοι της f ως προς x,y.

αλλά το κάθετο διάνυσμα n_o στην f(x,y)=z στο (x,y,z) σημείο ορίζεται ως εξής :

n_o=(-fx, -fy, 1) διάνυσμα όπου fx, fy μερικές παράγωγοι της f ως προς x,y.

Έτσι παρατηρούμε ότι το grad(f) είναι η αντίθετη προβολή του n_o στο επίπεδο ΟΧY και συνάμα ότι είναι κάθετο στις ισοσταθμικές καμπύλες f(x,y)=const.
 

Σε κάποια παλιά θέματα υπάρχει το εξής ερώτημα: Έστω η εξίσωση F(x,y,z)=0. Στη συνέχεια, δίνεται ο τύπος της εξίσωσης, ένα σημείο, και θέλει να αποδείξουμε ότι στη "γειτονιά" του σημείου αυτού ορίζεται μοναδική συνάρτηση z(x,y) με την ιδιότητα F(x,y,z(x,y))=0. Τι ακριβώς κάνουμε σε τέτοιες ασκήσεις;  ^lypi^

Μάλλον χρησιμοποιούμε το θεώρημα στη σελίδα 237 του κίτρινου βιβλίου...

Λες ρε παιδί μου στο σημείο P(x0,y0,z0) αν η F είναι 0 και συνήθως την βγάζεις!!!Μετά βρίσκεις την Fx,Fy,Fz και λές αν η Fz είναι διάφορη του μηδενός που συνήθως είναι και λες ότι υπάρχει συνάρτηση z=f(x,y) με τα χαρακτηριστικά που σου δίνει!!!Μετά για τα ακρότατα βρίσκεις τις μερικές παραγώγους από το θεώρημα και κάνεις την μελέτη!!

Δηλαδή αυτό που είπε και ο Wade!!!

Στο μπλε βιβλίο, στις ασκήσεις 19-20 σελ 311,312 πως επιλέγει τα πρόσιμα των ολοκληρωμάτων σύμφωνα με τις φορες διαφραφής των καμπυλών

Σε μια κλειστή καμπύλη, θετική φορά διαγραφής θεωρείται αυτή κατά την οποία η καμπύλη έχει την περικλειόμενη επιφάνεια στα αριστερά της.

Λογικά στο σχήμα της άσκησης 19, η φορά διαγραφής της C₂ δεν θα έπρεπε να έχει φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού όπως μας λέει στην εκφώνιση

Ναι, κι εγώ έχω την ίδια απορία... Αφού στην εκφώνηση δεν αναφέρει κάτι για διαφορετικούς προσανατολισμούς της κάθε καμπύλης, πώς προκύπτουν οι φορές των καμπυλών στο σχήμα; ^dontknow^

Αν οι φορές είναι αντίθετη από αυτό που απαιτεί η θεωρία, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ισούται με το μείον ολοκλήρωμα της καμπύλης με αντίθετη φορά.

Σύμφωνοι μ'αυτό που λες!  :)
Το σχήμα όμως πώς προκύπτει;  :???:

Το σχήμα είναι το δεδομένο μας...  Αυτοί που έφτιαξαν την άσκηση απλώς αποφάσισαν να δώσουν αυτό τον προσανατολισμό στις καμπύλες ;)

Σελ.133

Παράδειγμα 1.2

Χρησιμοποιεί ιδιοτήτων των αναλογιών και λέει (xdx+ydy+zdz)/0
και βγάζει την πρώτη επιφάνεια x^2+y^2+z^2=c1

Και μετά λέει ισχύει επίσης dx/(3y-2z)=2dy/(2z-6x)=3dz/(6x-3y)=dx+d(2y)+d(3z)/0 από που βγήκαν τα 1,2,3?

Σελ.155

Και στο πρώτο λυμένο παράδειγμα

στο τέλος της σελίδας λέει
β)...
...
...=(xdx+ydy+zdz)/(-x^2z-y^2z-z^3)=(xdx+ydy+zdz)/[-z(x^2+y^2+z^2)]

Ακόμη

(xdx+ydy+zdz)[/-z(x^2+y^2+z^2]=(xdx+ydy)/[-2z(x^2+y^2)]

από που βγήκε η τελευταία ισότητα??

Στα κλασματα dx/(κατι), dy/(κατιαλλο) κλπ κανε λιγο τον εξης παραλληλισμο:

Σου δινεται οτι 1/2=2/4=3/6
Αρα αφου ειναι ισα, μπορεις να προσθεσεις αριθμητη και παρονομαστη
1/2=2/4 = (1+2)/(2+4)=3/6

Αφου dx/(κατι) = dy/(κατιαλλο)
τοτε αυτο θα ειναι ισο και με (dx+dy)/(κατι+κατιαλλο)

Επισης, αφου a/b = 3a/3b
Αν εχεις λοιπον dx/(κατι) = dy/(κατιαλλο) = 2dy/(2κατιαλλο)
τοτε αυτο θα ειναι ισο και με (dx+2dy)/(κατι+2κατιαλλο)

Μια ερώτηση για τα διπλά ολοκληρώματα......
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πώς γίνεται αυτή η αντιστροφή της τάξης ολοκληρώσεως;;;;;
Υπάρχουν επιπλέον σημειώσεις της Κωνσταντινίδου να τις διαβάσω μήπως και καταλάβω;;;;
Γιατί το βιβλίο δεν με βοηθάει και πολύ...... :(

Eλα ρε συ δεν ειναι τιποτα φοβερο αυτο απλα αν ενα ολοκληρωμα τελειωνει σε dxdy ολοκληρωνεις πρωτα ως προς dy με τα αντιστοιχα ακρα βεβαια.
Δεν ειναι τιποτα διαβασε το λυμενο 4.1 στην 373 και θα το πιασεις ;)

Οσο για σημειωσεις ας σε βοηθησει καποιος αλλος μια και δεν εχω ιδεα τι γινοταν στο μαθημα :-[

(Υπάρχουν στον Γκαρούτσο :P )



Έστω ότι το χωρίο σου είναι κανονικό ως προς x (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Areabetweentwographs.svg).


Τότε έχεις τα δύο άκρα x1, x2 για άκρα της ολοκλήρωσης ως προς dx (εξωτερικό ολοκλήρωμα) και τις δύο περιβάλλουσες ως προς y=y(x) ως άκρα του dy (εσωτερικό ολοκλήρωμα). Θα πρέπει να δεις αρχικά αν είναι και κανονικό ως προς y.

Έστω πχ:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Esempio-formulediriduzione-r2.svg
(http://upload.wikimedia.org/math/1/b/0/1b0092a9ac42b4063dbb6a36572f873e.png)


Και θες το:
(http://upload.wikimedia.org/math/4/8/4/484fa1ecc19fda97fa231a5986e7f56b.png)



Αν δεις είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y. Τότε:
(http://upload.wikimedia.org/math/f/f/4/ff4d386965a9c8fabec18293b36b2e3e.png)
(http://upload.wikimedia.org/math/2/0/0/200b71e89038e46788dd32427fe687f9.png)

Αλλά επειδή είναι και κανονικό ως προς y:
(http://upload.wikimedia.org/math/f/f/6/ff671db5e693ef041d48371a9a855610.png)


Και βγάζει το ίδιο. :)
Αν δεν είναι κανονικό ως προς y, το "σπας" σε κανονικά ως προς y χωρία.


Για περισσότερα: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral#Normal_domains_on_R2

μηπως ξερει καποιος πως λυνεται η ασκηση 25 στην σελ 217 του πορτοκαλι βιβλιου ?και μια ακομη ερωτηση στην σελ 208 παλι στο πορτοκαλι στην ασκηση 8 το διανυσμα το  παραλληλο σε μια ευ8εια αχ+βψ+γ=0 δεν ειναι το (α,β)? γιατι λεει καθετο?τι συμβαινει? :(

Για την  25 παίρνει διάνυσμα παράλληλο στην τομή των επιπέδων και για να βρεί τις συντεταγμένες του υπολογίζει ορίζουσες όπου πχ 
                          u1=y1  z1
                               y2  z2         κλπ για u2 ,u3

Νομίζω μετά δεν εχει καποια ιδιαίτερη δυσκολία καθώς εφαρμόζεις τη μερική παραγώγιση στο σημείο Ρ και πολλαπλασιαζεις με το u για να εχει την ζητούμενη κατεύθυνση....

Το (α,β) είναι κάθετο στην ευθεία αχ+βψ+γ=0

ξερει καποιος πως βρισκει την εξισωση του κυκλου σε πολικες συντεταγμενες στο πχ 5,6 σελ 384 του πορτοκαλι?λογικα δεν αντικαθιστουμε χ=rcosθ και ψ=rsinθ?κατι κανω και δεν μου βγαινει... :(

Για μετατροπή από καρτεσιανό σε πολικό αυτή είναι η αντικατάσταση. :)

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta)


Κι η Ιακωβιανή (αν είναι άσκηση με ολοκληρώματα) θα πρέπει να σου βγει r. :)

Παιδιά, postaro κάτι που με παραξένεψε και όποιος ξέρει κάτι ας βοηθήσει άν μπορεί.

Στις σημειώσεις του Κάππου , η τελευταία-τελευταία παράγραφος του pdf σχετικά με το Θεώρημα Green, αναφέρει ότι δεν μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση δυναμικού για ένα πεδίο με ιδιάζοντα σημεία, καθώς δυο καμπύλες γ1,γ2 που περνάνε από αντίθετες πλευρές ενός ιδιάζοντος σημείου θα δώσουν δύο διαφορετικές τιμές.


Δηλαδή ; Θεωρούμε έναν τόπο D μείον (χο,ψο, συντ. του ιδιάζοντος, ή και μείον ιδιάζουσα περιοχή) όπου εκεί επιτρέπεται να οριστεί ; Ή δεν ορίζεται συνάρτηση δυναμικού, τέρμα.

-με μπερδεύει πχ.η άσκηση 7, (σελ 355 μπλέ βιβλίο). Είναι μια περίπτωση σαν αυτή που αναφέρω παραπάνω τελικά η όχι ;


Όποιος μπορεί ας με φωτίσει λίγο γτ έφαγα ένα από αυτά τα μη-επικοδομιτικά-bad-timing-κολλήματα  8)


Ευχαριστώ

ωραια παιδια δεν καταλαβαινω πως γινεται αυτη η αλλαγη....δεν μπορω να βρω με τιποτα τα σωστα ορια....παιζει τιποτα με τα σχηματα???πρεπει να φτιαχνουμε την γραφικη παρασταση για να βγαλουμε ορια????και 2ον αν δεν ειναι κανονικα(και αυτο αν μπορει καποιος να μου πει) και τα σπαμε παλι τα ορια πως βγαινουν.....ευχαριστω και σορρυ αλλα εχω κολλησει πολυ ασχημα

Αντιστροφή της τάξης ολοκλήρωσης γίνεται πιό εύκολα αν ξέρεις το χωρίο Τ. Δηλαδή κάνε τις γραφικές παραστάσεις και βρές τον Τ της ολοκλήρωσης. Είναι σχετικά απλό.

Πχ είσαι στον y. Αν θέλεις ως προς χ, φαντάζεσαι ότι τώρα ο άξονας των x είναι ο y. Δλδ "βλέπεις" το σχήμα από την άλλη πλευρά. Εξετάζεις ποιά καμπυλη είναι απο κάτω ή από πάνω, έτσι όπως το βλέπεις (δλδ με βάση τον χ άξονα). Εξετάζεις αν το χωρίο είναι κανονικό (δλδ αν μια κάθετη στον χ άξονα τέμνει το όριο του dΤ μόνο σε 2 σημεία και όχι σε παραπάνω) και στη συνέχεια βάζεις στο ολοκλήρωμα ως προς χ από ποιά τιμή του χ θέλεις μέχρι ποιά, και στο ολοκλήρωμα ως προς y, βρίσκεις τις καμπύλες που περικλείουν το χώρο σου σαν y(χ), δλδ τις λύνεις ως προς χ. Και τώρα έχουν τη μορφή y=f(x). Τη μορφή f(x) των 2 καμπύλων τη βάζεις στα όρια ολοκλήρωσης του ολοκληρώματος ως προς y.

Τα εξήγησα κάπως μπερδεμένα, αν κ ο Γιώργος τα χει εξηγήσει καλύτερα.

μια μικρή συμβουλή από μένα : μη διαβάζεις με πανικό. Δεν θα καταλαβαίνεις τπτ έτσι, θα περνάνε μαύρες σελίδες μπροστά στα μάτια σου. Χαλάρωσε και ό,τι κάτσει.

Μπορει να βοηθησει καποιος στο πως βρισκουμε τα ακρα ολοκληρωσης στα τριπλα ολοκληρωματα?Στα διπλα γινεται ευκολα και το σχημα και βγαινουν με το σχημα.Αλλα στα τριπλα μπερδευτικα καπως και δεν ξερω τι μου γινεται   :P :P

εχει κανεις καποια ιδεα για τα παρακατω?
1)στο μπλε βιβλιο σελ 609 ασκηση 8 γιατι παιρνουμε ετσι την φορα διαγραφης της καμπυλης?μονο για να βγει ισο με το επιφανειακο?

2)στισ ασκησεις του Καππου πως επαληθευουμε τον stokes στην 14 πως ειναι δηλαδη το σχημα εκει?

3)παλι στις ασκησεις του Καππου στην 17 πως βγαινει η αποδειξη που λεει? τι εννοει να παρουμε απλως το επικαμπυλιο?
 :( :( :( :( :(

να ρωτήσω και εγώ με τη σειρα μ τη δικια μ ασχετη (με τα προηγούμενα ) ερώτηση...
Εχει καταλάβει κανείς τι παιζει με τις διανυσματικές γραμμες?φαίνεται απλό αλλα δεν μπορώ να καταλάβω τι γίνεται στη σελ 133 του μπλε εκει που μηδενίζει τον παρονομαστή...μπορεί να βοηθήσει κάποιος?

αυτο το κανει γιατι εχουμε ορίσει ως θετική φορά της καμπύλης την εξωτερική επομένως το n πρέπει να εχει κατεύθυνση προς τα κατω και αρα και η καμπυλη προς τα αριστερα...
εγώ αλλο δεν καταλαβαίνω σαυτή την ασκηση...γιατι παίρνει dS=dxdy...??? :-\

μηπως παιρνει τον τελευταιο τυπο σελ 449 για z=4?δεν ξερω σιγουρα...σ αυτο που μου εγραψες,επειδη το η διανυσμα ειναι προς τα κατω καθοριζει  την φορα διαγραφης της καμπυλης?

ναι το διανυσμα καθορίζει τη φορα...καντο  και με τον αντίχειρα του δεξιού σ χεριού και θα καταλάβεις τι εννοω..αν ο αντίχειρας (διάνυσμα ) δειχνει προς τα κατω τα υπολοιπα δαχτυλα (φορα καμπύλης) εχουν αριστεροστροφη φορα..αν ειναι προς τα πανω το αντίθετο..ενας μπακάλικος τρόπος αλλα βοηθάει.... :P :P ;)

Καποιος λιγη βοηθεια με τα τριπλα ολοκληρωματα...  ^beg^

Δεν τα ξερω και πολυ καλά αν μπορώ να βοηθήσω σε κάτι!

Περιπου το ίδιο ειναι και στα τριπλα, μαλλον πρέπει να το φανταστείς το σχήμα.

συνηθως η μία μεταβλητή θα είναι standard και θα βάλεις κανονικά τα όρια της. Έπειτα σου μένει ένα διπλό ολοκλήρωμα από όπου βάζεις στη μία μεταβλητή τα όρια και στην άλλη εξαρτημένα όρια από τον τόπο ολοκλήρωσης.

π.χ. σε ένα ημισφαίριο όπου χ^2+y^2 = 4 και -2<ζ<2 βάζεις στο πρώτο ολοκλήρωμα -2 έως 2
στο δεύτερο που είναι για χ πάλι -2 έως 2 (ο κύκλος) και στο τρίτο που είναι για y βάζεις -ρίζα(4-χ^2) έως +ρίζα(4-χ^2). και τα διαφορικά είναι dydxdz με αυτή τη σειρά!

Δεν ξέρω αν σε βοήθησα καθόλου. :-[

thanks!Κατι εκανες απλα το προβλημα μου ειναι οταν το σχημα ειναι καπως πολυπλοκο και δεν μπορο να το κανω...Επλιζω να μη βαλει κατι τετοιο.Ευχαριστω ετσι και αλλιως ομως

Θα σε βοηθήσει σημαντικά αν δεις λίγο και το πρώτο κεφάλαιο από το πορτοκαλί βιβλίο όπου λέει για τις επιφάνειες...έτσι αν έχεις ενα πολύπλοκο σχήμα θα μπορέσεις να το φανταστείς ευκολότερα...
πχ αν εχεις χ^2+y^2=4 και μια αλλη επιφάνεια χ^2+y^2=z^2(κώνος) το ζ θα πέρνει τιμες από το 0 μεχρι 4 και αντίστοιχα για τον κύκλο....
ελπίζω να σε βοήθησα αν και ούτε εγώ δεν έχω ευχέρια με τα τριπλά.... :(

Αναφερει καπου στο βιβλιο οταν εχουμε συγκεκριμενη επιφανεια ποιο ειναι το Νο?? Για παραδειγμα στην ασκηση 12 σελ. 536 λεει εδω εχουμε επιφανεια S2(z=0) αρα ειναι Νο=-κ.  Πως το βρισκει αυτο?

επειδη πέρνεις ότι η εξωτερική επιφάνεια ειναι η θετική το No θα είναι προς τα κάτω για το επιπεδο Zo=0 έτσι έχει τη φορά του αρνητικού αξονα των z επομενως Νο=-k

Σελιδα 608 ασκηση7. Στην πρωτη σειρα παιρνει μερικες παραγωγους του z.Για να βρει το Νο υποθετω.Το Νο ομως δεν θα ηταν gradf/|gradf| με f(χ,y,z)=x^2+y^2+z-4.H τουλαχιστο δε θα επρεπε να βγει ιδιο αποτελεσμα? Τι ακριβως κανει εδω.Σωστε με καποιος....

Έχει σχέση με το DS. Δες σελίδα 437 για να καταλάβεις...

Ακόμα καλύτερα νομίζω φαίνεται στη σελ. 613

mporei kapoios na m bohthhsei s mia aporia pou exw?sth sel 167(portokali biblio) askhsh 22 etsi opws bgazei th fuu m fainetai swsto alla otan paw akribws me t typo xwris na antikatasthsw th timh t x m bgainoun alloi 2 paragontes p t exei k sto typo!

To καταλαβαινω οπως το κανει αλλα δεν θα επρεπε να ωα πολλαπλασιαζει το rotF με το μοναδιαιο Ν? Παροαυτα φαινεται οτι πολλαπλασιαζει μονο με τον αριθμητη του κλασματος Νο.Η ριζα δεν φενεται πουθενα....Εχω μπερδευτει καπως ειναι η αληθεια

Παιδιά έχει ασχοληθεί κανένας με τις ασκήσεις που ανέβασε ο κ.Κάππος 9/06/08?
Ξέρει κανείς αποτελέσματα των ασκήσεων?  :-\

Έριξα μία ματιά στις ασκήσεις του φυλλαδίου(ο ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ήταν από τα αγαπημένα μου μαθήματα) στα θέματα που εγραψα στην μοναδική εξεταστική του 2007 οι ασκήσεις 4,14,15 ήταν τα θέματα εξετάσεων του κ.κάππου(5.5 μονάδες).

oi ipolipes askiseis pos sou fanikan? Einai san autes pou sinithizei o kappos? tha doso gia proti fora to mathima tora to septevrio giauto!

to proto erotima tis 4, pos lunetai???? :???:

Για τα α ερώτημα της 4ης άσκησης.Έστω ότι ο πίνακας Α γράφεται ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα δηλαδη Α=Β+C.Tότε Α(Τ)=Β(Τ)+C(Τ)=Β-C.Άρα έχουμε τις σχέσεις Α=Β+C (1) και Α(Τ)=Β-C (2)
Aφαιρείς και προσθέτεις τις (1),(2) κατα μέλη και έχεις το ζητούμενο.Το β ερώτημα είναι απλές πράξεις.....εμένα τουλάχιστον στις εξετάσεις μου βγήκε εύκολα. ;) ;)

auto pou den boro na katalavo einai ti sxesi exei auto me tous pinakes...me:
"Epomenos die3te oti kathe grammiko dianismatiko pedio mporei na grafei san a8risma enos pediou me mhdeniki peristrofi kai enos me mideniki apoklisi" Pos deixno auto to skelos? :-\

Πολλαπλασιάζω αυτό που έδειξα με το r +TΕΛΟΣ

dld to de3i melos paristanei ena pedio me mideniki peristrofi kai ena me mideniki apoklisi??? giati?
 Ar=1/2(A+A(T))r+1/2(A-A(T))r

Ξερει κανείς γιατί στην άσκηση 13 σελ 460 του πορτοκαλί βιβλίου παίρνει 0<ρ<ριζα( 8 ) ?και όχι 0<ρ<2?δλδ λεει ότι z=ρ?και αν ναι γιατι?

Άλλο το ρ στις κυλινδρικές και άλλο το r στις σφαιρικές.

εχει καταλάβει μήπως κανείς τι παίζει με την αναπαραμέτρηση στις σημειώσεις του Κάπου να μου εξηγήσει και εμένα?μιλάω για την πρώτη σειρά σειμειώσεων (που έχει όνομα CurvesVC)

στιν ασκηση 9 σελ.296 απο μπλέ :γιατι για τις παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης 1 παιρνουμε το  t μεταξύ π και 3π/2? ,δλδ 3ο τεταρτιμοριο αφού η ζητούμενη επιφάνεια βρίσκεται το 1ο τεταρτημοριο??

Επειδη εχω μπερδευτει παρα πολυ με τις πεπλεγμενες συναρτησεις μπορει να μου πει καπιος πως παραγωγιζει.Για παραδειγμα στην ασκηση 4 σελ 261(πορτοκαλι) λεει : Παραγωγιζουμε την (1) ως προς y και εχουμε..... Αλλα παραγωγιζει και ως προς χ.Γιατι? Please help!

Για να λυθει μονοσημαντα ως προς χ πρεπει η Fx στο σημειο να μην ειναι 0. το  βγαζει αυτο.
μετα βρισκει κ το Fy, αυτο που λες την (1) ως προς y.
k εφαρμοζει τον τυπο x' = -(Fy/Fx)
απλα αυτος το γραφει Fy+Fx*x' =0

Γιατι παραγωγιζει ως προς χ δεν καταλαβαινω...

Για να βγαλει το Fx και να το αντικαταστησει στον τυπο..
αν εννοεις γιατι βγαζει χ' =.....
ετσι ειναι ο τυπος 1.6 σελ.235

στη σελ 487 ασκηση 15 απο μπλε...γιατι για τον τόπο D βαζει χ=y???

με μια πολυ γρηγορη ματια εχω την εντυπωση οτι ειναι τυπογραφικο..επρεπε να λεει κ πανω ψ στ τετραγωνο.. αλλα ασ πει καποιος γ σιγουρα!

στη σελ 457 απο πορτοκαλί ασκηση 9...γιατι παίρνει τη γωνία 0<θ<π/4?γιατι δεν μπορούμε να τη παρουμε π/4<θ<π/2?βοήθεια plizz.....

γιατι με τον τροπο που εχει ορισει της παραμετρικες ετσι βγαινουν τα σημεια. . .


ας με διορθωσει καποιος αν ειμαι λαθος

φ ονομάζεται η γωνία μεταξύ του άξονα οz και του διανύσματος θέσης r της συνάρτησης(με αυτήν την σειρά),άρα γι'αυτό παίρνουμε 0<φ<π/4(προσοχή!! δεν παίρνουμε -π/4<φ<π/4 γιατί το κομμάτι -π/4<φ<0 καλύπτεται λόγω συμμετρίας από το 0<θ<2π,και γι'αυτό ουσιαστικά λέμε την γωνία φ "μικρή γωνία",καθώς παίρνει τιμές 0<φ<π ενώ την θ την λέμε "μεγάλη γωνία" καθώς παίρνει τιμές 0<θ<2π)

Και τώρα αν ρωτήσεις γιατί παίρνουμε 0<φ<π/4 και όχι πχ  0<φ<π/6 η απάντηση είναι ότ ο συγκεκριμένος κώνος σχηματίζει γωνία π/4 με την γενέτειρα επιφάνειά του(δεν είναι και τόσο δύσκολο να το αποδείξεις)

Μπορεί κάποιος να μ εξηδήσει γιατί στην ασκ.8 σελ. 294-295 μπλε βιβλίο, το πάνω ακρο του ολοκληρώματος είναι Θ0+π/2;;; ^confused^

Φαινεται απο το σχημα.Το ΟΑ σχηματιζει γωνια θ₀ με τον χχ'.Αρα η στα ακρα η γωνια θα ειναι θ₀<θ<θ₀+(π/2)

δεν ρωτάω γιατι δεν παιρνει την γωνία μεχρι π/6 αλλα γιατι την παιρνει 0<φ<π/4 και οχι π/4<θ<π/2?

Naι αλλα γιατι π/2; Δε θα επρεπε να δινει χ,ψ>0 για να ισχυει αυτο;

θα μπορουσε απλα να πάρει (όπως θα ήταν και το αναμενόμενο) 0<θ<θο..όμως αυτό το κάνει γιατι με θο+π/2 συμπεριλαμβάνει και το συνημίτονο και έτσι εκφράζονται και τα δύο τριγωνομετρικα μεγέθη

Tωρα μάλιστα! thanks!

γιατί ρε σι όπως σου είπα η γωνία φ ορίζετα ως η γωνία από τον άξονα οz μέχρι το διάνυσμα θέσης r(με αυτή την φορά).Δλδ ουσιαστικά "πηγαίνουμε" από τον άξονα z μέχρι το σημείο που θέλουμε,και αυτή είναι η γωνία που μας ενδιαφέρει και όχι κάποια άλλη.

στα θεματα του 2001 έχει λύσει κανεις το τριπλό ολοκλήρωμα??(δλδ το 3 ii)

και κατι ακομα απλα για επιβεβαίωση.....όταν θέλουμε 2 επιφάνειες Φ1 και Φ2 να τέμνονται καθετα θελουμε στην ουσία το εξωτερικό γινόμενο των div τους να ειναι 0 σωστά?

εε... βασικα θέλουμε τα δύο κάθετα διανύσματα των επιφανειών να τέμνονται κάθετα άρα το εσωτερικό γινόμενό τους να είναι 0, σωστά;

άρα.. το εσωτερικό γινόμενο των rot τους να είναι 0.. σωστά?

Εκτός αν λέμε το ίδιο πράγμα και δε το έχω παρει χαμπάρι γιατί ακόμα δεν έκανα επανάληψη :P

βασικα αυτο δε μ φαινεται να στεκει... :( ας πει ομως κ καποιος αλλος ....

λοιπον τώρα που το σκέφτηκα κατέληξα στο εξής.... :P

και οι δυο πρέπει να είμαστε λάθος...λογικα θέλουμε 2 διανύσματα καθετα το καθένα στην καθε επιφάνεια αρα ζητάμε τα div τους και επειδη θέλουμε να είναι κάθετα και μεταξύ τους πρεπει το εσωτερικό τους γινόμενο οπως είπες να είναι 0 αρα divF1*divF2=0... σωστο?ας πει καποιος που να ξέρει σίγουρα γιατι είναι και αργα και το κεφάλι έχει κολλήσει ... :)

εδιτ:Wade βλεπω ότι κοιτάς το τόπικ...please βοήθεια! :D

Γιατί όχι το εσωτερικό γινόμενο των grad?


Υ.Γ. : Εσωτερικό ήθελα να πω..

Αυτο που θυμαμαι  εγώ ειναι οτι γενικως οταν θελουμε σχεσεις επιφανειων( αν ειναι καθετες μεταξυ τους, εφαπτόμενη επιφάνεια κτλ)παίρνουμε πάντα το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια, δλδ εδω που θες να ειναι καθετες μεταξυ τους οι επιφανειες, θελεις ουσιαστικα να ειναι καθετα μεταξύ τους τα κάθετα σε αυτές διανύσματα, άρα το εσωτερικό γινόμενο των καθέτων στις επιφάνειες να ειναι 0. (με ξαθε επιφυλαξη γιατι εχει καποια χρονια που το δωσα)..

@ngine  αφού το gradF είναι διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια F, το εσωτερικό γινόμενο των gradF δεν πρέπει να πάρει;

οκ κ γω αυτο ψηφιζω παιδια  :)   

παιδια :
Πρέπει όντως 2 δ/τα το καθε ένα καθετο στην καθε επιφανεια με εσωτερικό γινόμενο 0.
Τώρα αν η μία επιφάνεια δινεται ως F1(x,y,z)=0 ,τότε ένα κάθετο σε αυτην δ/μα ειναι τπ η1=gradF1. όμοια για την 2η επιφάνεια η2= gradF2. Άρα πρέπρι η1*η2=0
Αν τώρα οι επιφάνειες δίνονται παραμετρικά ως r1(u,v) =x1(u,v)*i+y1(u,v)*j+z1(u,v)*k kai       r2(u,v) =x2(u,v)*i+y2(u,v)*j+z2(u,v)*k , τότε στην καθεμια το καθετο δ/μα είναι:                   η1=(θr1/θu)x(θr1/θv) k η2=(θr2/θu)x(θr2/θv), οπότε θες πάλι η1*η2=0

Thats it.

Βασικά αυτό που έλεγα εξαρχής ήταν για τις δοσμένες παραμετρικά επιφάνειες.. (διάβαζα το 7 πριν) (και μπέρδεψα το εξ. γινόμενο με το rot..)

Παίδες ένα λεπτό...

εάν μία επιφάνεια δίνεται στην μορφή : z=f(x,y) τότε το κάθετο στο σημείο P(a,b) είναι :

η = -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k

όπου fx, fy μερικές παράγωγοι στο σημείο Ρ.

εάν όμως δίνεται στην μορφή g(x,y,z) = 0 τότε το grad(g) είναι το κάθετο και θα έχει προφανώς την ίδια έκφραση με πιο πάνω.

Γιατί θεωρείστε ότι z - f(x,y)  = 0 = g(x,y,z). (Τώρα φαίνεται καλύτερα το -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k = grad(g))


Αν έκανα κάτι λάθος μιλάτε... :) 

Έκανα μερικές αλλαγές πιο πάνω.. τώρα νομίζω ότι είναι σωστό. :)

ngine γιατί να είναι όμως πάντα η = -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k και όχι η = fx(a,b) i + fy(a,b) j - k ? δε θα είναι ανάλογα με τι προσανατολισμό έχει η επιφάνεια??

Μπορεί κάποιος να μ εξηγήσει γιατί στην άσκηση 25 σελ 219 κίτρινο βιβλίο,το παράλληλο διάνυσμα στην τομή των επιπέδων είναι αυτό....;

οκ κατάλαβα γιατί .άκυρο!

τωρα ξερω οτι ειναι λιγο χαζο αυτό που ρωτάω αλλα επειδη εχω μπερδευτεί μπορεί καποιος να μου εξηγήσει γιατι το grad είναι καθετο διανυσμα στην καμπύλη???ο τρόπος με τον οποίο χρησιμοποιείται στα διαφορα κεφάλαια του βιβλίου με μπερδεύει....πχ ειναι καθετο στο εφαπτόμενο διανυσμα μονο αν η καμπύλη ειναι ισοσταθμικη...τι αλλες φορές όμως τι συμβαίνει??? :(

Μην μπερδευεις την ισοσταθμικη επιφανεια με την καπμυλη. Το Διανυσμα dr/ds ειναι εφαπτομενο σε μια καμπυλη r(s).Το gradf ειναι το καθετο διανυσμα σε μια ισοσταθμικη επιφανεια f(x,y,z).Ριξε μια αναγνωση τη σελ 134-135 στο μπλε και νομιζω οτι θα το ξεκαθαρισεις...

ναι γενικά εχω πιάσει το νόημα απλά δεν το "νιώθω" ( :D)βασικα μπερδευομαι που το ονομαζει κλίση του βαθμωτου πεδίου και ετσι δεν καταλαβαίνω γιατι ειναι παντα κάθετο...

Βασικά το κάθετο διάνυσμα εξαρτάται από την παραμετροποίηση της επιφάνειας και ο προσδιορισμός της θετικής όψης της επιφάνειας γίνεται πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά το κάθετο διάνυσμα με το μοναδιαίο στον άξονα των z, στην περίπτωση που η επιφάνεια δίνεται από την z = f(x,y). Όταν το αποτέλεσμα είναι θετικό, δηλαδή η γωνία του καθέτου και του μοναδιαίου είναι οξεία, τότε το κάθετο δείχνει την θετική όψη.

π.χ. έστω ότι z = f(x,y)

τότε το η = -fx(a,b) i - fy(a,b) j + k δείχνει την θετική όψη της επιφάνειας γιατί :

(0,0,1) . η = 1 > 0

Όταν η επιφάνεια δίνεται από την x = f(y,z) τότε το κάθετο δίνεται από την ηΧ = ( 1 , -fy , -fz ) και η θετική όψη από το εσωτερικό γινόμενο του ηΧ με το μοναδιαίο στον x άξονα.

Όταν η επιφάνεια δίνεται από την y = f(x,z) τότε το κάθετο δίνεται από την ηY = ( -fx , 1 , -fz ) και η θετική όψη από το εσωτερικό γινόμενο του ηY με το μοναδιαίο στον y άξονα.

Τέλος στον διανυσματικό λογισμό, στα επιφανειακά ολοκληρώματα, έχουμε προσανατολισμό της επιφάνειας.

π.χ.

Έστω ότι ζητείται η ροή του διανύσματος ( 0 , y^2 , z) δια της εξωτερικής επιφάνειας του παραβολοειδούς z = x^2 + y^2. Σε αυτήν την περίπτωση ορίζεται το διάνυσμα προσανατολισμού γ, το οποίο είναι :

γ = (+ -) η , όπου η το κάθετο διάνυσμα όπως ορίστηκε πιο πάνω.

Επειδή στο παράδειγμα θέλουμε την εξωτερική επιφάνεια και επειδή σε αυτήν την περίπτωση το κάθετο στην εξωτερική με τον άξονα των z σχηματίζει αμβλεία γωνία θα πρέπει να πάρουμε :

γ = - η για τον υπολογισμό του συγκεκριμένου επιφανειακού ολοκληρώματος.

Mπορει καποιος να μου εξηγησει πως μετασχηματιζει ενα διπλο ολοκληρωμα σε πολικες συντεταγμενες?Κοιταω τις ασκησεις και εχω μπερδευτει παρα πολυ...

Το πρόβλημά σου είναι στα όρια ολοκλήρωσης?

Δεν το εθεσα και πολυ καλα.Ναι ουσιαστικα στα ορια.Δεν μπορω να καταλαβω ποια σχεση πρεπει να παρω για να βρω τη θ και ποια σχεση για την ρ...

Σημασία στα διπλά ολοκληρώματα έχει ο τόπος ολοκλήρωσης.

Πρώτα πρέπει να βρεις τον τόπο ολοκλήρωσης με τα αρχικά όρια, στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων (ένα πρόχειρο σχήμα βοηθάει).

Μετά θα πεις για να ολοκληρώσω στον ίδιο τόπο στο καινούριο σύστημα συντεταγμένων τι τιμές θα πρέπει να παίρνουν τα ρ, θ? Δηλ. από που μέχρι που πρέπει να μεταβάλλονται?

Ρίξε κανένα π.χ. να το δούμε.. ;)

Νομιζω πως καταλαβα τι παιζει,Θα το δω λιγο ετσι. Thanks!

στα ίδια θέματα, στο τελευταίο της Κων/δου που λέει να εκφραστεί με τριπλό ολοκλήρωμα ο τόπος :
z^2 > χ^2 + y^2 , z>0 , x^2 + y^2 <4
το σχήμα είναι ο κύλινδρος από 0 ως 2 , μείον το ρόμβο z^2=x^2+y^2 για χ από -2 ως 2??
δείτε το λίγο και πείτε ρε παιδιά...!

Εγώ το έκανα έτσι.. (και δε ξέρω αν είναι σωστό.. κάτι μου βρωμάει να σου πω την αλήθεια)

Δες και ασκήσεις 11 και 12 στις σελ 458 κσι 459 του πορτοκαλί..

Βασικά με χαλάει το z² >= x² + y².. έχω την εντύπωση ότι αυτό που κάνω είναι για z² <= x² + y² όμως αν είναι με >= πάει μέχρι το άπειρο??  :o

Το z^2 > χ^2 + y^2  είναι ο χώρος έξω από κώνο.

Τα z>0 , x^2 + y^2 <4 σου λένε ότι περιορίζεσαι στα θετικά του z στον κύλινδρο με ακτίνα 2. Αυτό σημαίνει ότι ο κώνος z^2 = χ^2 + y^2 δεν μπορεί να έχει μεγαλύτερο z από 2.

Άρα ο τόπος είναι ο όγκος που περικλείεται

από τον κύλινδρο με ακτίνα 2 και ύψος 2 και η μία του βάση κάθεται στην αρχή των αξόνων

και

από το εξωτερικό του κυκλικού κώνου που βρίσκεται μέσα στον κύλινδρο.

  

άρα ο όγκος του κυλίνδρου μείον τον όγκο του κώνου..

άρα σε αυτό που ανέβασα τα z αντί από 0 εώς sqrt(x²+y²) είναι από sqrt(x²+y²) εώς 2..

Ακριβώς!  :)

έτσι νομίζω κι εγώ ;)

Στην ασκηση 5 σελ. 603 απο το μπλε γιατι μεσα στο επιφανειακο κ*n₀=1.Στην συγκεκριμενη περιπτωση δε θα επρεπε να ηταν 2z μεσα στο ολοκληρωμα?

δεν παιρνεις το no απο το διανυσματικο πεδίο αλλα απο τη γραφική παράσταση όπου φαίνεται ότι το κάθετο διάνυσμα ειναι το no=k ..έτσι προκύπτει no*k=k*k=1

εχει λύσει κανεις το τελευταίο θέμα του σεπτεμβρίου 2007??αν μπορεί να μ πει πως βγαίνει η λαπλασιανή 0?

Eχει κανεις τα αποτελεσματα απο τις ασκησεις 11 και 12 που ειναι στο φυλλαδιο του Καππου??  :-\

Μάτζικα να σε ρωτήσω ρε συ σ'αυτό το θέμα.. η συνάρτηση έτσι όπως τη δίνει είνα βαθμωτή? ή παίζει κάτι με το r? δε μπορώ να καταλάβω, δε θα πρεπε να μας δώσει και κάτι άλλο?

11 μου βγήκε 24π

12 μου βγήκε -192π

ναι βαθμωτη ειναι

παίρνεις την κλιση που ειναι (-χ/(χ^2+Υ^2+ζ^2)^3/2,-Υ/μπλα/-Ζ/΄μπλα)

και μετά αναδελτα  κ βγαίνει
 πράξεις ειναι καπου χανεις κανενα προσημο

Παιδιά η άσκηση 8 του Κάππου έχει κάποιο πρόβλημα?  :P

οχι

κανε κανονικα τον πινακα γ rοτF κ βαλε 0 οπου R

θ σ βγει αστροβιλο αρα συντηρητικο

μα το rotF το πήρα και βγαίνει 5k.. wtf?

Στην άσκηση 9, το πεδίο ορισμού είναι το x > 0 και y E R έτσι? Μετά εκείνα τα * τί σκατά είναι? :P

Γενικά, how the fuck is this shit solved?

Άστο άστο.. ήταν τυπογραφικό σε αυτά που είχα εκτυπώσει last time. Βλέπω τώρα σε αυτό που κατέβασα πρόσφατα ότι έχει διορθωθεί..

λοιπόν κουλ.
Το rotF ειναι το εξης (στην 8 ασκ Κάππου)

rotF=[i      j     k
        d/dx d/sy d/dz
        2x+y 6y+x  0]

Ειναι 0

στην ασκ. 9 αυτο που κτλβα εγω ειναι οτι το χ*,Υ* ειναι συντεταγμενες

δν ξερω αλλη λύση

εδιτ : το αφηνω εδω για παν ενδιαφερομενο

Aχα, δηλαδη να βρουμε την συναρτηση δυναμικου και μετα να το βρουμε το ολοκληρωμα σε οποια διαδρομη θελουμε αναμεσα στα σημεια (0,χ*) και (0,y*)??? H οτι να ναι λεω??:P

ναι συμφωνώ για την 9

τώρα για την 8 κ εγω δν βγαζω ακρη στη συνεχεια

αφου δν δινει καμπύλη τι;

πάντως σελ 278 εχει κτ παρομοιο

Λογισμός Κωνσταντινιδου Σελ .88 Ασκ3ιι)
lim         1-cos(x³+y³)
_(x,y)->(0,0)  x²y⁴+ x⁴y²


Δεν βγαίνει με πολικό. Δε μπορώ να αλλάξω τον παρονομαστή ωστε να βγεί lim sin(u)/u =1. Με ακολουθίες σημείων βγαίνει η (1/n,1/n) αλλά η (1/n,-1/n) μου βγάζει απροσδιοριστία.
 :-[ :-[ :-[ :-[ :-[ :-[ :-[

Plz help!!!

Διωρθώθηκε!!!!!

Στο λογισμό ΙΙ έχεις το δικαίωμα να πας στο σημείο σου με όποιον δρόμο θες..

π.χ.  x=y και το x -> 0 ή y->0

έτσι εάν βρεις έστω και έναν δρόμο όπου το όριο δεν υπάρχει τότε λες ότι δεν υπάρχει, γιατί όταν υπάρχει, υπάρχει για κάθε δρόμο.. νομίζω!

Δες την θεωρία πρέπει να ξεκαθαρίζει αυτό το σημείο.. :)


Υ.Γ. : Ο παρονομαστής είναι  x^2y^4+ x^4y^2 στην άσκηση..

Εάν θέσεις πάντως x=y τότε βγαίνει το (sin(u)/u)^2 όπου u = x^3.. αν σε βοηθάει.. :)

για x=y γίνεται :

(1-cos(2x^3)) / 2x^6

αλλά (1-cos(2x^3)) / 2 = (sin(x^3))^2

έτσι έχουμε τελικά ( sin(x^3)/χ^3 )^2 το οποίο είναι (sin(u)/u)^2



Δεν τα θυμάμαι και πολύ καλά.. αλλά νομίζω ότι είμαι κοντά. :)

Υ.Γ. : Εάν όμως πάρουμε την διαδρομή (0,y) ή (0,χ) θα βγει αρχικά 0/0 και μετά από 2 φορές De L'Hospital βγαίνει 1/0 που είναι άπειρο.. άρα.. για δύο διαφορετικές διαδρομές έχουμε δύο διαφορετικά όρια, άρα το όριο δεν υπάρχει.. νομίζω! :P

Εννοείς (x,0) (0,y); Αν ναι τότε είναι λάθος γτ και στον παρονομαστή και στον αριθμητή τα x και y είναι σε "ανάλογες θέσεις οπότε δε γίνεται να βγαίνει άλλο όριο.
Αν εννοείς (0,x), (0,y), τότε γίνε λίγο πιο αναλυτικός, γιατί δεν καταλαβαίνω.

Πάντως το βιβλίο δείνει απάντηση ότι δεν υπάρχει.

Το όριο όταν πάρεις x=y (x,x) βγαίνει 1 όπως αποδείχτηκε πιο πάνω :

Εάν θέσεις πάντως x=y τότε βγαίνει το (sin(u)/u)^2 όπου u = x^3.. αν σε βοηθάει.. Smiley

για x=y γίνεται :

(1-cos(2x^3)) / 2x^6

αλλά (1-cos(2x^3)) / 2 = (sin(x^3))^2

έτσι έχουμε τελικά ( sin(x^3)/χ^3 )^2 το οποίο είναι (sin(u)/u)^2



εάν πάρεις όμως την διαδρομή (x,0) βγαίνει άπειρο.


Εφόσον το όριο είναι ανεξάρτητο της διαδρομής θα έπρεπε να είναι το ίδιο.. εφόσον δεν είναι το ίδιο σημαίνει πως δεν υπάρχει.


:)

Ευχαριστώ!!!!
^notworthy^

Ασκησεις του κ Καππου, ασκ 2

Μπορω να βρω και το c, αν ναι πώς?

Φχαριστω εκ των προτερων...

Grrrrr ρε παιδια κανενας που να δινει λογ ΙΙ υπαρχει?

Να συζητησω μαζι του καμια απορια... ^beg^

απο βδομαδα εγω!!

Αχαχαχαχα...
Αντε καλα περιμενω  ;)

κοίταξε.. εάν γράψεις ένα περίπου την άσκηση ή τουλάχιστο που θα την βρούμε.. μπορεί κάποιος να απαντήσει.

γιατί έχει που το περάσαν, αλλά θα απαντούσαν εάν ήξεραν κάτι. :)

Οι ασκησεις του Καππου βρισκονται στο blackboard auth και συγκεκριμενα http://blackboard.lib.auth.gr/webapps/portal/frameset.jsp?tab=courses&url=%2Fbin%2Fcommon%2Fcourse.pl%3Fcourse_id%3D_250_1

Σ' αυτες αναφερομαι

άστο...δεν θα διαβάσω τελικά!!απογοητέυτηκα απο την ύλη...με το καλό τον σεπτέμβριο!!

Σωστός ο παίκτης

ασε
με το που ανοιξα τα βιβλια να δω τι εχουμε ηταν ακαριαια η αποφαση μου!! ;D ;D

Μπορει καποιος να μου εξηγησει ποια η διαφορα (πρακτικα) του διανυσματος και του μοναδιαιου διανυσματος?? (πχ του εφαπτομενου διανυσματος της καμπυλης)
Εχω φαει ενα κολληματακι...

Το μοναδιαίο είναι το διάνυσμα διαιρεμένο με το μέτρο του,πρακτικά! ;)

Θεωριτικα τοτε.Γιατι το βρησκουμε δεν καταλαβαινω...

το μοναδιαιο εχει μετρο 1 και γενικα ισχυει:
F=|F|*Fo οπου Fο to μον.διανυσμα.....ουσθαστικα δηλωνει την κατ/ση του διανυσματος

Ανάλογα την περίπτωση βασικά..(πρώτον,γιατί μας το λένε να το βρούμε :P)
και δεύτερον,ανάλογα την άσκηση,θα σε βοηθούσα παραπάνω,απλά τώρα πρέπει να πάω και εγώ να συνεχίσω με την ύλη! :-[

thx!

Αν αναφέρεσαι στην θεωρία καμπυλών,μας ενδιαφέρουν τα μοναδιαία διανύσματα για να σχηματίσουμε μια ορθοκανονική βάση(ένα νέο 3ορθογώνιο σύστημα) και να εκφράζουμε τα πάντα σε σχέση με αυτό μιας και δεν έχουμε τπτ καλύτερο να κάνουμε ;D

^hello^ ^hello^ ^hello^

Στη σελ. 102 απο το μπλε βιβλιο πως προκυπτει το                                                                                                     db₀/ds = ση₀ <=> σ = db₀/ds * η₀ ???

Εύκολο,πολλαπλασιάζει εσωτερικά το δεξί και το αριστερό μέλος της εξίσωσης με ηο
edit:επειδή το ηο*ηο εσωτερικά μας κάνει μονάδα

thx man

στη σελ. 99 απο το πορτοκαλι βιβλιο λεει:
οπως γνωριζουμε ......................... και το διακυσμα i+df/dxj ειναι το εφαπτομενο της C στο Q.

Απο που το γνωριζουμε???

Καλή ερώτηση :P

Νομίζω κατάλαβα:Έστω ότι έχεις την y=f(x) με γράφημα την καμπύλη C και θέλεις να υπολογίσεις το εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο της Q.Αυτό το διάνυσμα για να είναι εφαπτόμενο πρέπει να έχει λόγο y/x=f'(xq,yq) σωστά?Αφού η παράγωγος της f στο q σου δίνει την κλίση της σε εκείνο το σημείο.Προφανώς με χ=1 το y πρέπει να είναι df/dx ώστε ο λόγος y/x=κλίση_στο_q.Φαντάζομαι ότι και το διάνυσμα (2,2df/dx) θα είναι εφαπτόμενο στην f.

Αν έχω την καμπύλη C:xy^3-3xy=2 και το σημείο Ρ(-1,1) και θέλω να βρώ τη κάθετο της C στο Ρ τότε αυτή ουσιαστικά δεν θα είναι το διάνυσμα (Fx,Fy) στο σημείο Ρ?
Αν θέλω να βρώ την εφαπτομένη της C στο ίδιο σημείο πώς δουλεύω?(εκτός βέβαια από το προφανές βρίσκω πρώτα την κάθετο και μετά επειδή το εσωτερικό γινόμενο της καθέτου και της εφαπτόμενης είναι 0  να την προσδιορίσω).

Left_Behind επειδη βλεπω εχεις συγκεκριμενη καμπυλη και σημειο μπορεις να μας γραψεις λιγο σελ , ασκ και βιβλιο? ( για να τα δουμε και καλυτερα... )

Παιδια, λυνει κανενας ασκησεις Καππου? Γιατι εχω βρει ενα αποτελεσμα στην ασκ 13 του φυλ στο blackboard αλλα θελω να το ελεγξω και με αλλους ( btw βρισκω π ! )

Δες το γενικά.Έχεις μια καμπύλη και ένα σημείο και θες να βρείς την κάθετο στο σημείο αυτό.

Καλησπέρα παιδιά... πορτοκαλί βιβλίο, κεφάλαιο 4, παράδειγμα 2.6 στη σελίδα 146 (κάτω-κάτω): προφανώς το μέγιστο λάθος στον υπολογισμό του όγκου είναι 13% και όχι 0,13% όπως γράφει το βιβλίο σωστά;

Ευχαριστώ!

Σωστά. ;)
Μην κολλάτε όμως και σε τετοιες λεπτομερειες.Θα χαθείτε...

Γενικά θα σου δίνεται η καμπύλη με παραμέτρηση (ή θα τη βρίσκεις εσύ) και μετά:

1. το εφαπτόμενο διάνυσμα θα'ναι το διάνυσμα της ταχύτητας r'(to) = dr/dt (στο to σημείο)
2. το κάθετο θα'ναι αυτό που θα δίνει (r-r0)•r'(to)=0. Προφανώς r0=(xo,yo,zo) και r=(x,y,z)

Αν κάνω λάθος (ποτέ δεν αποκλείεται!), διορθώστε με.

Να ρωτήσω... Το διπλό ολοκλ. των θεμάτων του 2007 κόβεται σε 4 ολοκληρώματα; μπορεί κάποιος να δώσει τα άκρα;

Ερώτηση... στο φυλλάδιο του Ρόθου με τις ασκήσεις στα ολοκληρώματα:

Άσκηση 2.1, ερώτημα (3): ζητείται το εμβαδό του τόπου με x από 0 ως 2 και y από 0 ως [1-(x-1)^2]^(1/2).

Είναι προφανώς το πάνω κομμάτι του κυκλικού δίσκου με κέντρο το (1,0). Αν θελήσουμε να σχεδιάσουμε τον τόπο στο r,θ επίπεδο θα πάρουμε:

(Είναι x & y μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός άρα θ ε [0,π/2].)

x=2 ... rcosθ=2 ... r=2/cosθ
y=[1-(x-1)^2]^(1/2) ... r=2cosθ

Η πρώτη από τις δύο καμπύλες αυξάνει ασυμπτωτικά με τον άξονα θ=π/2. Ποιος είναι εδώ ο τόπος ολοκλήρωσης στο επίπεδο r-θ; (Κάτι βασικό θα μου διαφεύγει...)

Ευχαριστώ!

Αυτο το φυλλαδιο υπαρχει καπου? Αν οχι μπορει να το ανεβασει καποιος?

Στο eTHMMY.

Βασικα ας ξεκινησουμε απο αυτο, μηπως η απαντηση που δινει στην ασκηση ειναι λαθος...
Γιατι αν δεν μπλεξεις με ολοκληρωματα αλλα το δεις γεωμετρικα οπως σωστα ειπες λυνοντας το διπλο βρισκουμε το μισο εμβαδο του κυκλικου δισκου.
Ομως Ε=πr² αρα Ε/2=π/2 αρα ακυρος ο ασσος
( σωστα τα λεω ή λεω μαλακιες? )  :D :D :D

Σωστά το λες... και με το μάτι (και υπολογιστικά) έτσι βγαίνει.

Να δούμε τώρα κι αυτό που λέω; Τι τόπος θα'ναι αυτός με γραμμές r=2cosθ (εδώ όλα OK) και... r=2/cosθ (που τείνει προς το άπειρο!);

ΥΓ: Ποιος είναι ο Μ/Σ στην άσκηση 2.6; Μ'αυτήν παιδεύομαι τώρα...

Νομιζω πως μπορεις να χρησιμοποιησεις γενικευμενα ολοκληρωματα, αλλα εφοσον την ελυσες την ασκηση μην κολλας ( εχει πααααααρα πολλες ασκησης να δεις  :D )

Τωρα οσον αφορα το Μ/Σ που λες... Δεν ξερω/δεν απαντω!  ^crazy^

Βασικα το θ ε [0,π/2] και το r ε [0,2cosθ] οποτε σου βγαινουν μια χαρα!

Αυτό βγαίνει από την εποπτεία του σχήματος (κι έτσι το έλυσα).

Το πρόβλημα μου είναι το εξής: το σύνορο x=2 μεταφράζεται στην r=2/cosθ... η οποία είναι περίεργη. Τι συμβαίνει εδώ; Αυτό!

Πορτοκαλι βιβλιο σελ 385 β' περ

Νομιζω οτι σε καλυψα  ^yue^

Εννοείς το παράδειγμα 5.7; (Ενδέχεται το βιβλίο μου να'ναι παλιό.)

Ναι οντως παιζει να χεις παλιο βιβλιο εγω αναφερομαι στο κεφ αλλαγη μεταβλητων σε διπλα ολοκληρωματα υποκεφαλαιο μετασχηματισμος σε πολικες συντεταγμενες

η δικια μ εκδοση ειναι του 08...

το παρ που λες ειναι αυτο που λεει να υπολ το εμβαδον του τοπου Τ κλπ κλπ με C:χ x² + y² = riza( x² + y ² ) + x

ΟΚ, σ'αυτή την περίπτωση το ερώτημα μου δεν καλύπτεται (δε ρωτώ πώς λύνονται γενικά τέτοιες ασκήσεις... ρωτώ πως ερμηνεύεται το x=2/rcosθ) αλλά δε θα επιμείνω άλλο, υπάρχει ακόμα ύλη που πρέπει να καλύψω! (Σ'ευχαριστώ πάντως!)

Παιδια μπορει καποιος να μου εξηγησει πώς διαολο βγαζει το παραλληλο διανυσμα στην τομη των 2 επιπεδων ασκ 25 πορτοκαλι βιβλιο σελ 219-220?  ^sfinaki^

Τα κάθετα στα 2 επίπεδα διανύσματα έχουν συντεταγμένες τους αντιστοιχους συντελεστές. Για το πρωτο: x+y-z=3 το κάθετο διανυσμα θα είναι v1=(1,1,-1) και για το άλλο
v2=(2,1,-1). Για να πάρουμε το παράλληλο στην τομή διάνυσμα πολλαπλασιάζουμε εξωτερικά. v1 x v2=   i     j     k  =u. Άρα το u θα έχει τις συντεταγμένες που προκύπτουν από την ορίζουσα                                                                                                                                           1   -1    1
                                                                                                                                                        2   1   -1   

Ακριβώς. Ισχύει ό,τι και στο 6ο κεφάλαιο (εφαπτόμενο επίπεδο, κτλ.) για την ευθεία που δίνεται ως τομή δύο επιφανειών.

Θενκσ!

Παιδια θεματα σεπτεμβριου 2007 ερ 2 ( εκει με το μεγιστο ντε! ) Ριξτε καμια ιδεα για να ξεκινησω γιατι θα το σπασω  ^banghead^ ^banghead^ ^banghead^

με μεθοδολογια ροθου

θετεις g(x)=y+x-4 και παρ/ζεις ωσ προς χ και y

μετα λες θf/θx=λ*θg/θx
ομοιως για y και λυνεις το συστημα

συμφωνοι, αυτο που λες ειναι μονο για τον ελεγχο ακροτατων πανω στην ευθεια ( δεσμευμενα ) η ασκηση ζηταει στο εσωτερικο του σχηματιζομενου τριγωνου...

Αλλα κατι καταλαβα... Οκ θενκσ!

νομιζω πως επαληθευεται μονο για χ=y=2  ;)

x=y=-2
ναι οντως αλλα μεχρι να φτασεις σ αυτο πρεπει να ελεγξεις ολες τις περιπτωσεις... γρουμφ!!!

Guyzzz στα θεματα της κωνσταντινιδου σεπ 07 στο ερ με τον τοπο Τ...
Το διπλο στις καρτεσιανες θελει να ειναι ενα ?
Δηλ θελει το εμβαδο να το εκφρασουμε ως αθροισμα διπλων ή σαν ενα διπλο???

Νομίζω ότι μιλάμε για αυτό έτσι;

Ψάχνουμε στάσιμα σημεία στο εσωτερικό, βρίσκουμε μόνο το (0,0) που δεν ανήκει στο εσωτερικό άρα τίποτα εδώ...

Ψάχνουμε στις ευθείες x=0 και y=0, η συνάρτηση εκεί όμως είναι σταθερή και ίση με το 0.

Ψάχνουμε στα σημεία (0,-4), (0,0) & (4,0)... σε όλα είναι f=0.

Τέλος για την y=-4+x πάμε με Lagrange και προκύπτει x=y=-2 και f=4 που είναι και η μέγιστη τιμή.

Διαφωνίες;

Στις ασκησεις στο μπλε βιβλιο οταν κανει μετασχηματισμο σε κυλινδρικες συντεταγμενες παντα γραφει ρdθdz.
Ενω αν κανεισ το μετασχηματισμο οπως τον λεει στη θεωρια (με jacobi...) βγαινει ρdρdθdz.
Υπαρχει καποιος λογος που το παραλειπει αυτο?
Παραδειγμα στην ασκηση 23 σελ 554

εγω καμια!

+1 ;)

Ωραία :)

Θέματα Κωνσταντινίδου (Σεπτέμβριος 2007):

Θέμα 1. β) βρείτε την παράγωγο dw/dt

Να υποθέσω ότι είναι dw/dt = (∂w/∂x)*(dx/dt)+(∂w/∂y)*(dy/dt)+(∂w/∂z)*(dz/dt) όπου τα x,y,z είναι πλεγμένα με το t. Σωστός ή δεν το'χω καθόλου;

Θέμα 4. Μπορείτε να γράψετε την απάντηση; Ελπίζω μέσα στο επόμενο δεκάλεπτο να το'χω βγάλει... Αυτό το z μεγαλύτερο ή ίσο του x^2+y^2 με προβληματίζει... στο άπειρο θα πηγαίνει δηλαδή;

το 1 ολοσωστο,εφαρμογη τυπου

επειδη τωρα κι εγω μ αυτο παιδευομαι και σε αντιδιαστολη με την ασκηση 12 ( λυμενες ) κεφ 9 πορτοκαλι νομιζω οτι αυτο το >= σημαινει οτι θελει το εσωτερικο του κυκλικου κωνου...

και μαλιστα ως απαντηση εδωσα: ολ[-2,2] ολ[-sqrt(4-x²),sqrt(4-x²)] ολ[sqrt(x²+y²),2]dzdydx...

Σωστός!


Μήπως το τελευταίο ολοκλήρωμα (για z) είναι από (x^2+y^2)^(1/2) [κάτω] ως 2 [πάνω];

Και μετά όταν το ζητά σε πολικές, εννοεί μάλλον σφαιρικές έτσι;

Τέτοιες ασκήσεις όπως η 1α απότα θέματα Σεπτεμβρίου 2007 π ζητάει προσεγγιστικά την τιμή,θυμίστε μου σε ποιο κεφάλαιο είναι η μεθοδολογία.

ναι δικιο εχεις για το οριο ( μ ξεφυγε τωρα το διορθωσα )

ή σφαιρικες ή κυλινδρικες μαλλον... ( γιατι και αυτες παιζουν )

Πρωτα πρωτα τα 2 διαφορικα αναφερονται σε διπλο ολοκληρωμα ενω τα τρια σε τριπλο...

Διαφορικά, γραμμική προσέγγιση. Νομίζω 4ο.

Στην άσκηση 37, σελίδα 175 στο πορτοκαλί βιβλίο (είναι παλιά έκδοση η δική μου οπότε σε εσάς ίσως είναι αλλού)... έχουμε R=E/I και στη λύση γράφει R=(∂R/∂E)*ΔΙ+(∂R/∂I)*ΔΕ...

Προφανώς τα ΔΙ και ΔΕ πρέπει να μπουν αντίθετα έτσι;

Προφανως... Αλλα και σε μενα ( που εχω εκδοση 08 ) παλι ετσι το 'χει ( αμαν αυτα τα λαθη διαβαζεις και μετα αναρωτιεσαι τα καταλαβα ή δεν καταλαβα τιποτα? )

Btw το συμβολισμο της μερικης παραγωγου πώς τον βαζεις?

Copy & paste από εδώ (http://htmlhelp.com/reference/html40/entities/symbols.html), απλά το'χω πρόχειρο στο clipboard. (Είμαι βέβαιος ότι υπάρχει ευφυέστερος τρόπος για να γραφτεί αυτός ο χαρακτήρας βέβαια!)

Παιδιά αν βγάζω φυσική παραμέτρηση s μιας καμπύλης ανεξάρτητη από το t(σταθερή) είναι φυσιολογικό? :P
Δηλαδή παίρνω τον τύπο ds/dt=|dr/dt| και ολοκληρώνω ως προς t και βγάζω s σταθερό.Μάλλον είναι χαζή ερώτηση αλλά το μυαλό μου έχει βαλτώσει :P

Μαλλον δεν ειναι φυσιολογικο Merlin, γιατι για να βγαζεις s=c ( σταθ )
παει να πει οτι ειχες ds/dt = 0 ( ! ) Πραγμα που απαγορευεται βασει ( δοτικη ειναι με ητα ή με εψιλον ιωτα γραφεται??? ) των σημειωσεων του καππου ( σελ 11 αυστηρα μεγαλυτερο )

Τωρα αν εχει τυπογραφικο δεν ξερουμε  ::)

ΥΓ: Ο πολυς ο λογισμος με εχει πειραξει...  ^ivres^ ^ivres^ ^ivres^

Ας επιβεβαιωσει καποιος μη το καψω το παιδι...

Ο συλλογισμός σου λάθος δεν φαίνεται.

Ta xei sto word re...

Στα θέματα (μάλλον Σεπτ 2007) 1ο θέμα -με τη συνάρτηση w=y x^2 e^z, στο γ)ερωτημα που ζητάει την παράγωγο κατά τη διεύθυνση της τομής των επιπέδων y-x+z=3 και 2y+x-z=3 κατα αυξανόμενα y στο Ρ(-1,2,0), ποιό είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που παίρνουμε?

Άσκηση 25 πορτοκαλί, p.218

Να ρωτήσω κάτι τους παλιότερους. Σε κάθε κεφ. σχεδόν της Διανυσματικής Ανάλυσης έχει εφαρμογές. Έχει πέσει ποτέ κάτι από εκεί?

Xmmm, η απαντηση μου ειναι δεν ξερω, γιατι δεν εχω διαβασει εφαρμογες του μπλε...

Ωστοσο απο το 2007 και μετα ( που αρχισε να βαζει θεματα ο καππος ) εχει αλλαξει ο χαρακτηρας των θεματων, δες και εδω (http://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=1709.60) )

Καλο ειναι νομιζω να δεις τη θεωρια που ανεβασε ο καππος, τα οποια λυμενα εχει εκει και τα θεματα του 07 και του 08 ( ειναι και λυμενα μαλιστα τα τελευταια )

Το μπλε βιβλιο ειναι πολυ καλο βιβλιο αλλα εδω που φτασαμε δες το σα βοηθητικο!

Α λυσε και καμια ασκηση ( καππου ) επαληθευση green, stokes, gauss ξερεις...

Thnx. Τώρα το μπλε το χω βγάλει ήδη. Oι σημειώσεις που είναι ακριβώς?

εδω (http://blackboard.lib.auth.gr/webapps/portal/frameset.jsp?tab=courses&url=%2Fbin%2Fcommon%2Fcourse.pl%3Fcourse_id%3D_250_1)

thnx και πάλι

Παιδιά απόδειξη αυτούσια,πχ το θεώρημα του gauss,έχει βάλει ποτέ?Να τις μάθω?όχι ότι μπορώ αλλά τεσπα :P

Στην ασκηση 19 απο το μπλε βιβλιο (σελ 311)  μηπως εχει λαθος προσημα?
Στο ολοκληρωμα της C2 δεν θα επρεπε να ειναι +??

παιδια μηπως μπορει να εξηγησει καποιος στην ασκηση 4 απο το φυλλαδιο του Καππου στο β ερωτημα,εκει που ρωταει ποιος ορος του F ειναι αστροβιλο και ποιος ασυμπιεστο τι απανταμε?ευχαριστω!!

Ο ασυμπίεστος όρος θα είναι αυτός που είναι η περιστροφή ενός πεδίου(rotG ας πούμε) επειδή η απόκλιση του στροβιλισμού είναι μηδέν,και ο αστρόβιλος όρος θα είναι εκείνος που εκφράζεται σαν κλίση ενός άλλου(gradf) επειδή ο στροβιλισμός της κλίσης είναι μηδέν.

No mercy!!!!! Καλή μας επιτυχία αύριο!

Ξερει καποιος να μου πει αν μπορω να βρω καπου τις λυσεις απο τις ασκησεις που εχει ο Καππος στις σημειωσεις του?
Εχω ακουσει οτι με αυτες ρις ασκησεις ειμαστε καλυμμενοι.Ισχυει αυτο?

Εκτος απο τις λυσεις στις ασκησεις μπορει να επισυναψει καποιος τα κεφαλαια Gauss και Stokes απο τις σημειωσεις του Καππου γτ στο blackboard μου τις βγαζει κατεστραμενες?

ελεοσ ολα κατεστραμμενα στο blackboard ελεοσ... αν εχει κανεις σημειωσεις και ασκησεις ας τις επισυναψει παρακαλω ... :(

οριστε..
τον green δεν μ τον ανοιγει..αλλα τα αλλα δεν μ ταβγαζε κατεστραμμενα ;)

πφφ 2 μερες πριν τις εξετασεις... τουλαχιστον ασ βοηθησει κανεις... 1.5 θελω στον καππο ζηταω πολλα?? :(

Όλα τα κεφάλαια είναι απολύτως εντάξει -- μόλις τα κατέβασα δοκιμαστικά ένα-ένα. Αν σας κολλήσει ένα, κάνετε pause και ξαναρχίστε το download.

οπ! Δεν ήξερα ότι ο κ. Κάππος παρακολουθούσε τις συζητήσεις!

The big brother is watching us  ^suspicious^ ^suspicious^ ^suspicious^
 :P

asdasd

κι αλλα

Τα τελευταια,αντε νωρις θυμηθηκατε να διαβασετε :P

Θα ήθελα να ρωτήσω κάτι.Η άσκηση 11 του Κάππου στο φυλλάδιο μοιάζει με την 13 σελ 530 στο μπλε.Όμως στο S2 όπου στο μπλε βγαίνει μόνο το z,στην άσκηση του κάππου υπάρχει και x.Δλδ έχουμε διπλο ολοκλ. στον τόπο Dxy του χ επί dxdy.Στην περίπτωση αυτή βάζω κανονικά τα όρια για το χ και για το y στα άκρα κ λύνω το διπλό ολοκλήρωμα κανονικά ή κάνω κάτι άλλο?

Ο καππος εκανε καποια εισαγωγικα τα οποια τα βρηκα και στο blackboard τα διαβασα και ειδα οτι εχει και 4 ασκησεις στο τελος. Για την πρωτη ασκηση που λεει να βρεθει ο πυρηνας των απεικονισεων και δινει 2 πινακες ξερει κανεις τι πρεπει να κανεις?