[Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

THMMY.gr > Forum > Μαθήματα Βασικού Κύκλου > 1ο Εξάμηνο > Λογισμός Ι (Moderators: Tasos Bot, tzortzis, Nekt) > [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: 1 ... 3 4 [5] 6 7

Author

Topic: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα (Read 14926 times)

Αιμιλία η φτερωτή χελώνα

Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 15580

Έξω η μπουχεσαρία απ'το ΤΗΜΜΥ

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #60 on: January 27, 2009, 03:13:12 am »

Quote from: sm on January 27, 2009, 02:47:05 am

$\newline \int \frac {sin\left(\frac{x}{2} \right)}{sin\left(\frac{x}{2} \right)+cos\left(\frac{x}{2} \right)}dx$

Στο σημειο που λες αυτο, νομιζω οτι ειναι cos(x/2) στον αριθμητη και οχι sin(x/2), καθως αν πολλαπλασιασουμε αυτο $\newline\int \frac{ 1 }{ tan(\frac{x}{2}) + 1}d(\frac{x}{2})$ με cos(x/2) πανω και κατω προκυπτει αυτο που λεω νομιζω Huh

Αλλα και παλι λυνεται με αναλογο τροπο, σαν αυτο που το συνεχισες.
Κατα τα αλλα , δεν εχω λογια να σε ευχαριστησω


	Logged

"Όσοι περιμένουν να βρουν πατημένα χνάρια θα απογοητευτούν γρήγορα. Όσοι δεν είναι έτοιμοι να πέσουν και να ξανασηκωθούν, να χάσουν τον δρόμο τους και να τον ξαναβρούν, να αγγίξουν όχι μια και δύο αλλά δέκα και εκατό φορές τον πάτο της έσχατης αμφιβολίας για τα σχέδια τους, για τις ιδέες τους, για τους συντρόφους τους, και για τους ίδιους τους εαυτούς τους, να αναμετρηθούν με τα χίλια δυο πρόσωπα της απόγνωσης και να ξανανέβουν στον αφρό, είναι καλύτερα να περιμένουν την κοινωνική αλλαγή απ' τον Αι Βασίλη ή, πράγμα που δεν διαφέρει πολύ, από κάποια αψεγάδιαστη δικαιωμένη "πρωτοπορία" .Εμείς δεν έχουμε να προσφέρουμε παρά την άχαρη γοητεία της καινούριας προσπάθειας, την ιστορική βεβαιότητα για τον σκοπό, την πάλη για τον ποιοτικό εμπλουτισμό του μαζί με την αδιάκοπη κριτική για τα μέσα, την στράτευση σε μια υπόθεση που χρειάζεται μαχητές αλλά θέλει να καταργήσει τους στρατιώτες"

https://www.facebook.com/arage.eaak Knuppel

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 102

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #61 on: January 27, 2009, 15:12:10 pm »

Ξεκινόντας από το τέταρτο ολοκλήρωμα που είναι

$\newline \int \frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx$

και κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε σε μια φάση όπου μπορούμε να απαλείψουμε την ποσότητα cos(x/2) από τον αριθμιτή και από τον παρονομαστή. Αυτό που θα μείνει στον αριθμητή, θα είναι το sin(x/2) και στον παρονομαστή, το άθροισμα sin(x/2)+cos(x/2). Οπότε μετά, διαιρόντας με cos(x/2) αριθμητή και παρονομαστή βγαίνει:

$\int \frac{ tan(\frac{x}{2})}{ tan(\frac{x}{2}) + 1}dx$

Πολλαπλασιάζοντας το

$\int \frac{ 1 }{ tan(\frac{x}{2}) + 1}d(\frac{x}{2})$

με cos(x/2) θα δώσει συνημίτονο στον αριθμητή αλλά αυτό είναι το πρώτο ολοκλήρωμα (με μεταβλητή ολοκλήρωσης την x/2 αντί της x!) και όχι το τέταρτο. Ίσως δεν κατάλαβα πολύ καλά αυτό που θελεις να πεις Jeremiah...

Πάντως, παρατήρησε πως γνωρίζοντας τώρα το τέταρτο ολοκλήρωμα, μπορείς να βρεις κατευθείαν και το πρώτο! Wink

Αν θες, δες και κάτι διορθώσεις που έκανα στο προηγούμενο post (την απόλυτη τιμή και τη σταθερά) ώστε η περιγραφή να είναι πιο σωστή.


	Logged

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #62 on: January 28, 2009, 21:42:28 pm »

I'm back..

Sorry για το λάθος αποτέλεσμα στο τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα... Μου φύγε ένας παρανομαστής...

Τα υπόλοιπα τρια γίνονται:

$\int\frac{1}{\tan x+1}dx=\frac{1}{2}\left(x+\ln|-\cos x-\sin x|\right)+c$

$\int\frac{xe^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{e^{\arctan x}(x-1)}{2\sqrt{1+x^2}+c$

$\int\frac{x-7}{\left(x^2-x+1)^2}dx=\frac{5-13x}{3(1-x+x^2)}-\frac{26\arctan\left[\frac{\sqrt{3}(-1+2x)}{3}\right]}{3\sqrt{3}}+c$

Στέλιος


« Last Edit: January 29, 2009, 03:42:48 am by mostel »	Logged

http://www.youtube.com/watch?v=qQL0RAkDOSk
...

"Σκίζω τον τοίχο, βρίσκομαι στους δρόμους, χρωματισμένους εφιαλτικά κι οι μπάντες να χτυπάνε στους ρυθμούς ξέφρενα, ενώ εγώ χάνομαι μέσα στον χρόνο, μόνος, έρημος, μέσα από εκεί που ήρθα, αφήνοντας πίσω μου ένα χαμόγελο παντοτινό στη μνήμη των ανθρώπων. Γιατί ποτέ κανείς δεν θα γνωρίσει αν ήρθα, αν έφυγα κι αν πράγματι υπήρξα κάποτε τυχαία ανάμεσά τους."

Μάνος Χατζιδάκις

Sartre

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 2010

ΜΠΛΕ!!!!!

Συναδελφοι Τους Προβολεις σας

« Reply #63 on: February 05, 2009, 18:33:10 pm »

Αυτα τα ολοκληρωματα τα εχει υπολογισει κανεις; υπαρχουν παρομοια στα φυλλαδια του κ.Ξενου αλλα ουτε ο ιδιος θυμαμαι να εκανε καποιο απ'αυτα.....

υποπτευομαι οτι κατι παιζει με αντιστροφη συναρτηση, αλλα εχει κολλησει το μυαλο μου.....


	Logged

Αν δε διεκδικήσουμε σήμερα το αδύνατο, αύριο θα βρεθούμε αντιμέτωποι με το αδιανόητο. Murray Bookchin

Γιώργος

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3796

Re: Συναδελφοι Τους Προβολεις σας

« Reply #64 on: February 05, 2009, 18:43:52 pm »

$\int\arctan{x}dx=\int(x)'\arctan{x}dx=x\arctan{x}-\int x\cdot\frac{1}{1+x^2}dx\\ =x\arctan{x}-\frac{1}{2}\int\frac{(1+x^2)'}{1+x^2}dx=x\arctan{x}-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c$

Είναι η τεχνική που κάναμε στο Λύκειο για να βρούμε το $\int\ln{x}dx$ .
Η φιλοσοφία είναι η εξής: το μόνο που ξέρω να κάνω μ' αυτήν την συνάρτηση είναι να την παραγωγίζω. Tongue

Γι' αυτό και κάνουμε αυτήν την τεχνική.

Τα υπόλοιπα τα αφήνω σε σένα. Tongue

Ελπίζω να με μαγειρέψεις κάνα πεσκέσι για τον κόπο μου, ε; Cheesy


« Last Edit: February 05, 2009, 18:54:37 pm by Γιώργος »	Logged

class Windows extends Throwable implements Failure

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: Συναδελφοι Τους Προβολεις σας

« Reply #65 on: February 05, 2009, 19:33:06 pm »

Ακριβώς με την ίδια λογική όπως λέει και ο Γιώργος.

Π.χ. επίσης:

$\int\arcsin x=x\arcsin x-\int x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d(1-x^2)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+c$

Με παρόμοιο τρόπο, υπολογίζεται και το $\int(\arcsin x)^2dx$ . Τι θα γίνει όμως αν έχουμε $\int(\arcsin x)^n dx$ ? Οι λεπτομέρειες επαφίονται στον αναγνώστη Wink


	Logged

Sartre

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 2010

ΜΠΛΕ!!!!!

Re: Συναδελφοι Τους Προβολεις σας

« Reply #66 on: February 05, 2009, 23:14:23 pm »

Ευχαριστω.....

Γιωργο, ελα, τιγανιζω το σκιουρο... Tongue


	Logged

Αν δε διεκδικήσουμε σήμερα το αδύνατο, αύριο θα βρεθούμε αντιμέτωποι με το αδιανόητο. Murray Bookchin

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #67 on: February 06, 2009, 16:46:43 pm »

Παιδιά, any simple way για αυτό το ολοκλήρωμα ;

$\int\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}dt$

Έχω βρει έναν τρόπο, αλλά είναι too brutal force....

Any ideas are welcome

Στέλιος


	Logged

AlessandroNesta1899

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Gender:

Posts: 158

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #68 on: February 06, 2009, 17:02:08 pm »

Δοκίμασε να θέσεις t=tanu.. Wink


	Logged

Signature Signature Signature Signature Signature Signature

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #69 on: February 06, 2009, 17:11:11 pm »

Quote from: AlessandroNesta1899 on February 06, 2009, 17:02:08 pm

Δοκίμασε να θέσεις t=tanu.. Wink

Βασικά αυτό που λες όντως ισχύει, απλώς στο βιβλίο που 'χω μπροστά μου γράφει συγκεκριμένα: "βγαίνει εύκολα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες" , και ψάχνω να βρω πού είναι αυτό το τόσο εύκολο στους κατά παράγοντες και δε το βλέπω!


	Logged

galletti

Guest

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #70 on: February 06, 2009, 17:18:13 pm »

η παρασταση μεσα στο ολοκληρωμα γινεται (1+t^2)^(-1) και μετα ''παιζεις'' με το διαφορικο


	Logged

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #71 on: February 06, 2009, 17:34:38 pm »

Quote from: galletti on February 06, 2009, 17:18:13 pm

η παρασταση μεσα στο ολοκληρωμα γινεται (1+t^2)^(-1) και μετα ''παιζεις'' με το διαφορικο

Aν θες παίξε λίγο μπάλλα και πες τι ακριβώς κάνεις .. Ο εκθέτης είναι στην -2, υπόψη.


	Logged

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 102

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #72 on: February 07, 2009, 14:58:23 pm »

Βασικά Mostel θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις το ότι:

$\left( \frac{1}{1+t^2} \right)' = \frac{-2 t}{\left(1+t^2\right)^2} \Rightarrow \frac{1}{\left(1+t^2\right)^2} = -\frac{1}{2t}\left( \frac{1}{1+t^2} \right)'$

Έτσι το ολοκλήρωμα γράφεται:

$I=\int{\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}}dt=-\int{\frac{1}{2t}\left(\frac{1}{1+t^2}\right)}dt = -\int{\frac{1}{2t}d\left(\frac{1}{1+t^2}\right)}$

Εφαρμόζοντας εδώ κατά παράγοντες ολοκλήρωση μπορούμε να πάρουμε:

$I=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}+\int{\frac{1}{1+t^2}d\left(\frac{1}{2t}\right)}=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t^2}\frac{1}{1+t^2}}dt$

Η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα τώρα σπάει αρκετά εύκολα σε μερικά κλάσματα. Αν, για τη διάσπαση θεωρήσουμε το t^2 σαν μια νέα ποσότητα x, το κλάσμα διασπάται ως εξής:

$\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x}$

Έτσι, το ολοκλήρωμα που μένει είναι:

$\int{\frac{1}{t^2}\frac{1}{1+t^2}}dt = \int\frac{1}{t^2}dt - \int\frac{1}{1+t^2}dt = -\frac{1}{t} - arctan(t) + c'$

Και το αρχικό προκύπτει:

$I=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{2t} +\frac{1}{2}arctan(t)+c = \frac{t}{2(1+t^2)}+\frac{1}{2}arctan(t)+c$

Όπως το βλέπω, νομίζω πως η δυσκολία έχει να κάνει με το ότι δεν μπορείς να διασπάσεις κατευθείαν την αρχική ποσότητα σε μερικά κλάσματα, καθώς, ο παρονομαστής είναι ήδη μια διπλή ρίζα. Οπότε, προτείνεται να βρεθεί ένας τρόπος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, ώστε το πρόβλημα της ολοκλήρωσης να περάσει σε ποσότητα που δεν θα εμφανίζει διπλές ρίζες και θα μπορεί να διασπαστεί σε απλούστερες εκφράσεις. Το θέμα είναι να βρεθεί αυτός ο τρόπος. Με άλλα λόγια, νομίζω πως η εκφώνηση που ανέφερες Mostel είναι από αυτές στις οποίες η υπόδειξη δεν είναι για να δώσει κατευθείαν τη λύση, αλλά έχει ρόλο "υποερωτήματος" στο όλο πρόβλημα! Wink


	Logged

mostel

Θαμώνας

Gender:

Posts: 436

Think well, sleep well, love well

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #73 on: February 07, 2009, 15:54:22 pm »

Αυτός είναι ο brute force που είχα γράψει στο προηγούμενό μου ποστ. Το θέμα είναι, δε ξέρω κατά πόσο "προφανές" είναι αυτό (ή "εύκολο"), όπως γράφει στην υπόδειξη. Γιατί σε κάποια φάση πριν φτάσω σε αυτό που γράφεις, θεωρούσα ότι θα 'ναι κάτι αισθητά πιο εύκολο και αισθανόμουν μαλάκας που στην ουσία δεν έβρισκα αυτό το εύκολο. Αλλά απ' ό,τι βλέπω, this is the way.

Στέλιος


	Logged

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 102

Re: [Λογισμός Ι] Απορίες σε ολοκληρώματα

« Reply #74 on: February 07, 2009, 18:55:32 pm »

Α, ok τότε. Προσωπικά δεν μου φαίνεται και τόσο "brute force" γιατί η πρώτη σχέση προκύπτει από την ερώτηση "Ποια απλή αρχική θα μπορούσε να δώσει κάτι παρόμοιο με αυτό που έχω" η οποία είναι μια συνήθη ερώτηση που γίνεται όταν ψάχνουμε κάτι. Παρόλα αυτά, η ίδια η κατά παράγοντες ολοκλήρωση πράγματι δεν είναι προφανής με την πρώτη ματιά.


	Logged

Pages: 1 ... 3 4 [5] 6 7

Jump to: