[Λογισμός 1] Άσκηση πάνω σε σειρές

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Αντιστοίχηση Μαθημάτων ΝΠΣ με ΠΠΣ]

Επίσημη ενημέρωση για Αντιστοίχηση Μαθημάτων ΝΠΣ με ΠΠΣ και η συζήτηση στο forum.

[Emfanever]

Έχω μια απορία πάνω στις σειρές.Ο Ξένος μας είχε δώσει 2-3 ασκήσεις σειρών που περιλαμβάνουν λογάριθμο αλλά δεν μας έδειξε πως λύνονται.
Συγκεκριμένα παραθέτω την παρακάτω σειρά η οποία πρέπει να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση:

Σ ln(n)/ 2n³-1     

μπορεί κανείς να με βοηθήσει;;;; 

ευχαριστώ!

[ion]

Λοιπόν το έψαξα αρκετά πριν απαντήσω και για άλλη μια φορά με έσωσε ο γκαρούτσος

ισχύει lnn/2n^3-1<=lnn/n^2 n>=1

ο γκαρούτσος χρησιμοποιεί το θεώρημα του ολοκληρώματος
ότι δηλαδή αν το ολοκλήρωμα μιας σειράς είναι πεπερασμένο τότε η σειρά συγκλίνει
δεν ξέρω αν υπάρχει στο βιβλίο
πάντως μετά βρίσκεις το ολοκλήρωμα της σειράς Σlnn/n^2 ή μάλλον της συνάρτησης
lnx/x^2 το οποίο είναι 1 και άρα η σειρά συγκλίνει
επειδή η αρχική σειρά ειναι μικρότερη αυτής που δημιουργήσαμε συγκλίνει και αυτή.

Δεν μου ήρθαν βέβαια ουρανοκατέβατα. Δηλαδή πρώτα δοκιμάζεις απλώς όριο σου βγαίνει 0 άρα δεν ξερεις αν συγλίνει ή όχι. Μετά πήρα D'alembert βγήκε 1 άρα πάλι δεν εφαρμόζεται, και στο τέλος βρήκα αυτό με το ολοκλήρωμα που είναι ο μόνος τρόπος που εντόπισα μέχρι τώρα

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.
γενικότερα δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη μεταχείρηση οι λογάριθμοι στις σειρές
ελπίζω να βοήθησα ευχαριστώ που με έβαλες να το ψάξω!

[Emfanever]

Λοιπόν το έψαξα αρκετά πριν απαντήσω και για άλλη μια φορά με έσωσε ο γκαρούτσος

ισχύει lnn/2n^3-1<=lnn/n^2 n>=1

ο γκαρούτσος χρησιμοποιεί το θεώρημα του ολοκληρώματος
ότι δηλαδή αν το ολοκλήρωμα μιας σειράς είναι πεπερασμένο τότε η σειρά συγκλίνει
δεν ξέρω αν υπάρχει στο βιβλίο
πάντως μετά βρίσκεις το ολοκλήρωμα της σειράς Σlnn/n^2 ή μάλλον της συνάρτησης
lnx/x^2 το οποίο είναι 1 και άρα η σειρά συγκλίνει
επειδή η αρχική σειρά ειναι μικρότερη αυτής που δημιουργήσαμε συγκλίνει και αυτή.

Δεν μου ήρθαν βέβαια ουρανοκατέβατα. Δηλαδή πρώτα δοκιμάζεις απλώς όριο σου βγαίνει 0 άρα δεν ξερεις αν συγλίνει ή όχι. Μετά πήρα D'alembert βγήκε 1 άρα πάλι δεν εφαρμόζεται, και στο τέλος βρήκα αυτό με το ολοκλήρωμα που είναι ο μόνος τρόπος που εντόπισα μέχρι τώρα

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.
γενικότερα δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη μεταχείρηση οι λογάριθμοι στις σειρές
ελπίζω να βοήθησα ευχαριστώ που με έβαλες να το ψάξω!

ευχαριστώ πολυ για τον κόπο σου! Πάντως δε νομίζω να πέσει τετοιο....... γιατί 

[johnnysp]

Έχω μια απορία πάνω στις σειρές.Ο Ξένος μας είχε δώσει 2-3 ασκήσεις σειρών που περιλαμβάνουν λογάριθμο αλλά δεν μας έδειξε πως λύνονται.
Συγκεκριμένα παραθέτω την παρακάτω σειρά η οποία πρέπει να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση:

Σ ln(n)/ 2n³-1     

μπορεί κανείς να με βοηθήσει;;;; 

ευχαριστώ!

Βασικά στο βιβλίο δεν αναφέρει κάτι για ολοκληρώματα και δεν ξέρω αν είναι αποδεκτό...
Πάντως από τη στιγμή που δουλεύουμε για n>=1 το lnn>0,άρα lnn/2n³-1<=1/2n³-1
Όμως το Σ1/2n³-1 συγκλίνει και άρα συγκλίνει και το αρχικό που θέλουμε!!

[AgentCain]

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.
γενικότερα δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη μεταχείρηση οι λογάριθμοι στις σειρές
ελπίζω να βοήθησα ευχαριστώ που με έβαλες να το ψάξω!

Είσαι σίγουρη?
Θυμάμαι χαρακτηριστικά ότι ο κΡόθος (δεν ξέρω σε ποιον πηγαίνεις) είπε ότι ΔΕΝ μπορείς να εφαρμόσεις Del'hospital επειδή η ακολουθία παριστάνει γραφικά ένα συνολο διακεκριμένων σημείων και άρα δεν δέχεται εφαπτομένη, πάνω στην οποία βασίζεται η όλη λογική.
Απτην άλλη ούτε συνεχή μπορείς να τη θεωρήσεις.

Βέβαια αν θεωρήσεις ότι η ακολουθία ανήκει σε μία συνάρτηση (όπως προτείνεις), και να εξετάσεις τη συνάρτηση, το όλο σύστημα δουλεύει. Είναι όμως αποδεκτό μαθηματικά?

Πάντως συμβουλή μου είναι να κρατάμε το del'hospital σαν τελευταία λύση. Δεν ξέρουμε πως θα του έρθει του καθηγητή εκείνη την ώρα της διόρθωσης.

[Emfanever]

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.
γενικότερα δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη μεταχείρηση οι λογάριθμοι στις σειρές
ελπίζω να βοήθησα ευχαριστώ που με έβαλες να το ψάξω!

Είσαι σίγουρη?
Θυμάμαι χαρακτηριστικά ότι ο κΡόθος (δεν ξέρω σε ποιον πηγαίνεις) είπε ότι ΔΕΝ μπορείς να εφαρμόσεις Del'hospital επειδή η ακολουθία παριστάνει γραφικά ένα συνολο διακεκριμένων σημείων και άρα δεν δέχεται εφαπτομένη, πάνω στην οποία βασίζεται η όλη λογική.
Απτην άλλη ούτε συνεχή μπορείς να τη θεωρήσεις.

Βέβαια αν θεωρήσεις ότι η ακολουθία ανήκει σε μία συνάρτηση (όπως προτείνεις), και να εξετάσεις τη συνάρτηση, το όλο σύστημα δουλεύει. Είναι όμως αποδεκτό μαθηματικά?

Πάντως συμβουλή μου είναι να κρατάμε το del'hospital σαν τελευταία λύση. Δεν ξέρουμε πως θα του έρθει του καθηγητή εκείνη την ώρα της διόρθωσης.

Συμφωνώ.Αν θυμάμαι καλά ο Ξένος είχε πει στις αρχές του μαθήματος ότι δε γίνεται να εφαρμόσεις Del' Hospital σε σειρά γιατί δεν είναι συνεχής.Εξάλλου ως συνήθως το πρόβλημα λύνεται με τους κλασσικούς τρόπους (Κριτήρια σύγκρισης,D'alemebert κτλ).

[Emfanever]

Έχω μια απορία πάνω στις σειρές.Ο Ξένος μας είχε δώσει 2-3 ασκήσεις σειρών που περιλαμβάνουν λογάριθμο αλλά δεν μας έδειξε πως λύνονται.
Συγκεκριμένα παραθέτω την παρακάτω σειρά η οποία πρέπει να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση:

Σ ln(n)/ 2n³-1     

μπορεί κανείς να με βοηθήσει;;;; 

ευχαριστώ!

Βασικά στο βιβλίο δεν αναφέρει κάτι για ολοκληρώματα και δεν ξέρω αν είναι αποδεκτό...
Πάντως από τη στιγμή που δουλεύουμε για n>=1 το lnn>0,άρα lnn/2n³-1<=1/2n³-1
Όμως το Σ1/2n³-1 συγκλίνει και άρα συγκλίνει και το αρχικό που θέλουμε!!

Δεν νομίζω να ισχύει αυτό που λες.Συμφώνω ότι lnn>0 (γιατί n>=1).Όταν όμως lnn>1 ,δλδ lnn>lne που είναι πολύ πιθανό αφου το n τείνει στο άπειρο ισχύει το ανάποδο, δηλαδή  lnn/2n³-1 >1/2n³-1   αρα δεν εφαρμόζεται κριτήριο σύγκρισης.

[evageliav]

Πράγματι, αν θέλουμε να εφαρμόσουμε κάπου το κριτήριο De' hospital στις ακολουθίες ,εξετάζουμε τη συμπεριφορά της αντίστοιχης συνάρτησης  στο άπειρο,δηλαδή   a)αν είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του +άπειρο και   b) αν ορίζονται τα αντίστοιχα όρια (αριθμητή και παρονομαστή).Και αν  καταλήξουμε οτι η συνάρτηση πληροί τις προϋποθέσεις, τότε αφού είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του + άπειρο(σε κάθε σημέιο αυτής) ,θα  είναι και για τα μεμονωμένα σημεία  της ακολουθίας στην ίδια περιοχή. (το ίδιο για τη συνέχεια )

[AgentCain]

τότε αφού είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του + άπειρο(σε κάθε σημέιο αυτής) ,θα  είναι και για τα μεμονωμένα σημεία  της ακολουθίας στην ίδια περιοχ

διόρθωση:
Η ακολουθία δεν θα είναι παραγωγίσιμη, απλώς θα εμφανίζει τα κοινά χαρακτηριστικά της με την συνάρτηση (π.χ. αύξουσα κτλ κτλ) η οποία την αντιπροσωπεύει.

Πήγαινες στο μάθημα του Ξένου?
Διότι ο Ρόθος ουδέποτε χρησιμοποίησε τέτοια μέθοδο και όταν την πρότεινε ένα παιδί είπε ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί.

[Netgull]

http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergence_tests

[ion]

αυτό που είπα για το δελ'οπιταλ( ) το μετέφερα λέξη προς λέξη από τον γκαρούτσο

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.

και εννοώ φυσικά αυτό που είπε και ευχαριστώ για την επεξήγηση

Πράγματι, αν θέλουμε να εφαρμόσουμε κάπου το κριτήριο De' hospital στις ακολουθίες ,εξετάζουμε τη συμπεριφορά της αντίστοιχης συνάρτησης  στο άπειρο,δηλαδή   a)αν είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του +άπειρο και   b) αν ορίζονται τα αντίστοιχα όρια (αριθμητή και παρονομαστή).Και αν  καταλήξουμε οτι η συνάρτηση πληροί τις προϋποθέσεις, τότε αφού είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του + άπειρο(σε κάθε σημέιο αυτής) ,θα  είναι και για τα μεμονωμένα σημεία  της ακολουθίας στην ίδια περιοχή. (το ίδιο για τη συνέχεια )

ωστόσο το άκουσα αυτό μέσα στην τάξη ότι δεν πρέπει να το χρησιμοποιούμε κλπ
πάντως μαθηματικά είναι σωστό
μάλλον δεν προτείνεται γιατί μπερδεύει
-το κριτήριο του ολοκληρώματος υπάρχει στο βιβλίο;
αν δεν λύνεται έτσι αυτή πως λύνεται;

[AgentCain]

-το κριτήριο του ολοκληρώματος υπάρχει στο βιβλίο;

Δεν νομίζω

[MARIOS]

Νομίζω είναι το κριτήριο του Cachy.Γενικά όμως δεν βάζει τέτοια.

[ion]

όχι ρε του cauchy είναι με τη ρίζα

[MARIOS]

Ναι ε???

Ε όταν θα τα ξαναδιαβάσω (για 4η φορά  ) θα τα ξαναθυμηθώ(για 4η φορά  )