THMMY.gr

Από το 2ο φυλλάδιο του Ρόθου ( http://www.thmmy.gr/smf/index.php?action=dlattach;topic=20817.0;attach=26287;image )

Από την 1 το τελευταίο:
(http://i111.photobucket.com/albums/n127/RattleheadGR/olokl1.jpg)

Και από τη 2η το 2ο, 3ο και 5ο... (προς το παρόν!):
(http://i111.photobucket.com/albums/n127/RattleheadGR/olokl2.jpg)
(http://i111.photobucket.com/albums/n127/RattleheadGR/olokl3.jpg)
(http://i111.photobucket.com/albums/n127/RattleheadGR/olokl4.jpg)

Χεεεεεελπ!!

το πρώτο λύνεται με προσέγγιση, το λέει στην αριθμητική ανάλυση :P

Και το τελευταίο επίσης. :P

Και με Λογισμό Ι πως λύνεται; :P Τι είδους προσέγγιση;

Ρούγκε-Κούτα πχ. :P


Μα δεν λύνονται αυτά με κλασικές μεθόδους. Τώρα γιατί υπάρχουν στο Φυλλάδιο του Λογισμού Ι θα μου πεις... :Χ



Η απάντηση είναι απλή:


Αλλάχ αλ άκμπαρ! ("Ο Θεός είναι μεγάλος")

στο δευτερο αν θεσεις u=x^2(οποτε du=xdx)
εχεις στον παρονομαστη τριωνυμο οποτε λυνεται.

στο τριτο χωρισε σε δυο κλασματα.ενα με αριθμιτη χ^2 και ενα με χ^2. αυτο
μετο χ^2 λυνεται οπως παραπανω(αν θεσεις υ=χ^3). για αυτο με το χ^3 αν θεσεις
υ=χ^2 εχεις αριθμιτη υ και παρονομαστη υ^3+1 και αυτο βγαινει αμα αναπτυξεις το
u^3+1 και κανεις λιγες αλχημειες.

Οκ το τρίτο, το βγαλα, το δεύτερο κι εγώ έτσι το κανα, αλλά μετά οι ρίζες του τριωνύμου βγαίνουν περίεργα νούμερα οπότε υπέθεσα ότι πρέπει να υπάρχει άλλος τρόπος.. :(

THANKS!

βασικα εγω ειμαι μικρο(οπως λενε καποιοι :) ;))  και δεν ξερω αριθμητικη αναλυση οποτε μονο και μονο για να πω τη γνωμη μου θα σου προτεινα να δοκιμασεις να αντικαταστησεις στο πρωτο με εφ(χ) ισως να βγαλεις κατι ;)

Έστω και λίγο καθυστερημένα, γιατί τώρα σιγά-σιγά βλέπω μερικά threads...


Για το τελευταίο, νομίζω πως με μια αντικατάσταση -x=u, θα έχουμε ανάπτυγμα Taylor στο νέο ολοκλήρωμα (άκρα από 1 έως +οο)



Στέλιος

μπα, δε γίνεται, άντε και αναλύεις το e^u/u σε Taylor (που είναι από μόνο του μαζοχιστικό :P ) μετά το ολοκλήρωμα του Taylor δε βγαίνει σε καμία περίπτωση..!

Θα το δω με ησυχία το βραδάκι που θα γυρίσω από το πόκερ και θα σου πω.  :P

Πάντως σε σειρά αναπτύσσεται

Βασικά δεν πρέπει να υπάρχει το ολοκλήρωμα ...  !@#(!#*

Δε συγκλίνει ομοιόμορφα.

Αν και σε δυναμοσειρά βγαίνει (http://www.mostel.gr/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_{k=0}^{\infty}%20\frac{%20x^k}{k!*k})  (το αόριστο)

Κοίτα αυτό που γίνεται είναι να πεις ότι δε σε νοιάζει πόσο ακριβώς κάνουν οι παράγωγοι f^(k)(α) με f(x)=e^x/x γιατί ούτως η άλλως βγαίνει αριθμός οπότε δε σε πειράζει για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος και τότε η λύση του αορίστου βγαίνει Σf^(k)(α)(x-a)^k+1/(k+1)! (δεν ξέρω πως το έβγαλες εσύ αυτό το αποτέλεσμα, πάντως έπρεπε να πάρεις α διαφορετικό του 0 γιατί δεν ορίζεται στο 0 η f. Αλλά όπως και να χει η διαδικασία αυτή δε νομίζω ότι βοηθάει και πολύ :P

Μα το ξέρουμε από το Λύκειο ότι δεν συγκλίνει, τι το ψάχνουμε; :P
Το γιατί εμένα προσωπικά δεν με ενδιαφέρει. :P



Απλά ο Ρόθος είχε κεφάκια! :D

Αναπτύσσω την e^x με Taylor και διαιρώ με x. Βρίσκω το γενικό τύπο και ολοκληρώνω εκεί πάνω...

Χμμ ναι, έτσι βγαίνει αυτό το αποτέλεσμα θέτοντας x διαφ. του 0! Αλλά το ορισμένο πως το βρίσκεις; :P

Αυτό είναι το αόριστο.


Για το ορισμένο σου λέω ότι δεν υπάρχει, γιατί η σειρά δε συγκλίνει ομοιόμορφα, άρα και δε μπορώ να ολοκληρώσω στον Taylor...

Δες και τη και εσύ λίγο, αλλά νομίζω πως σωστά το 'χω κάνει.

Ναι, δε συγκλίνει... There's has to be another way... Ή μπορούμε να πούμε ότι μπήκε κατα λάθος στο φυλλάδιο και να ξεμπερδεύουμε :D

The best way to get rid of it :D

Απλά από περιέργεια δοκίμασα να βάλω το πρώτο από τα ολοκληρώματα στο Mathematica, ώστε να δω αν θα προκύψει τίποτα συμμαζεμένο και, όλως περιέργως, το αποτέλεσμα είναι πολύ απλό (δεδομένου του μπλεξίματος που επικρατεί στην υπο ολοκλήρωση συνάρτηση!). Προσπάθησα, λοιπόν, να δω εάν το αποτέλεσμα που μου έδωσε το Mathematica μπορούσε να βγει με χρήση συνηθισμένων μεθόδων ολοκλήρωσης και έβαλα τα συμπεράσματα στο επισυναπτόμενο αρχείο.

Ωραία λύση, αλλά κάτι μου λέει πως υπάρχει shorter way to do it.


Btw, επειδή από εδώ που τρέχω δεν έχω mathematica, check out το τελευταίο ολοκλήρωμα αν μπορείς και πες μας τι σου βγάζει...


Στέλιος

thanks!Δεν είναι και πολύ απλό λ0λ :D

Το τελευταίο ολοκλήρωμα, όπως είπατε και παραπάνω παιδιά, αποκλύνει. Αυτό βγάζει και το Mathematica αλλά φαίνεται και πιο άμεσα από:
(http://farm4.static.flickr.com/3142/2884968397_00fc362b04_o.gif)

Σε αυτή τη σχέση το τελευταίο ολοκλήρωμα αποκλείνει, οπότε, θα αποκλείνει και το πρώτο. Το ολοκλήρωμα αυτό θα συνέκλεινε εάν η μεταβλητη στον εκθέτη δεν είχε το αρνητικό πρόσημο. Τότε θα ήταν:
(http://farm4.static.flickr.com/3048/2884978497_6650fab2f5_o.gif)

όπου η συνάρτηση Ei(x) ουσιαστικά ορίζεται από το ολοκλήρωμα που ψάχνουμε:
(http://farm4.static.flickr.com/3002/2884978499_e4878e0d32_o.gif)
(http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral)

Tώρα, αυτό το ολοκλήρωμα, απ' ότι ξέρω, έχει αποδειχθεί πως δεν μπορεί να εκφραστεί με χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων και, επιπλέον, η συνάρτηση Ei(x) είναι κάπως προχωρημένη ώστε δεν τη μελετάμε ποτέ στα πέντε χρόνια της σχολής (νομίζω!). Έτσι μου φαίνεται κάπως απίθανο ο Ρόθος να ήθελε τον υπολογισμό του συγκεκριμένου ολοκληρώματος (χωρίς το μείον στον εκθέτη)

Αυτό ακριβώς λέω και εγώ... Aυτό το ολοκλήρωμα (http://www.mostel.gr/cgi-bin/mimetex.cgi?\not\exists)


@sm

Ευχαριστώ για τον κόπο σου  ;)

@mostel πρωτοετής δεν είσαι υποτίθεται? Που ξέρεις για taylor κτλ?

Πρέπει να 'ναι πρωτοετής για να ξέρει; :P

 :???: :???: :???:
Δεν κατάλαβες μάλλον. Δυναμοσειρές , taylor κτλ δε διδάσκονται στο λύκειο και απότι κατάλαβα ο mostel τώρα ξεκινά τη σχολή, γι'αυτό ρωτάω που τα ξέρει.

Ναι, πρωτοετής είμαι.

Όποιο σοβαρό βιβλίο ανάλυσης πάρεις, τα γράφει αυτά μέσα, μιας και θεωρούνται πολύ στοιχειώδη. Εγώ τα είχα διαβάσει αυτά απ' τον Apostol (Volume I), αλλά σίγουρα υπάρχουν και άλλα αξιόλογα (spivak, rudin, ίσως και αυτό του Ρασσιά στα ελληνικά).


Στέλιος

Του Ρασσιά indeed είναι καλό. :) :)
Saves up δύο Γκαρούτσους. :P

Είναι μασημένη τροφή actually :P


Αλλά ρε παιδιά δε μπορεί, για να το έβαλε ο τύπος, λογικά το τελευταίο ολοκλήρωμα κάπως θα βγαίνει. Δηλαδή μου φαίνεται εντελώς άκυρο να το έβαλε για να γράψεις ότι το ολοκλήρωμα που ζητείται δεν υπάρχει. lawl.

Μπορεί να είναι παγίδα :D

Βασικά δεν μπορώ να φανταστώ πως θα μπορούσε να συνδεθεί με κάποια πεπερασμένη έννοια εκτός και αν π.χ. το τοποθετήσουμε σε κανένα εκθέτη όπως:

(http://codecogs.izyba.com/gif.latex?\200dpi%20e^{\int_{-\infty}^{-1}{\frac{e^{-x}}{x}dx}}=0)     :D :D

Καλή αρχή πάντως mostel (ή μάλλον Στέλιο ;) ) αν ξεκινάς τώρα. Διαφορετικά καλή ...συνέχεια!  :)

Καλωσήρθες στο Πανεπιστήμιο.

Βρήκα κάτι παρόμοιο

e^x = ∑ xⁿ/n!

e^x / x = 1/x + ∑ xⁿ / (n+1)!.


∫e^x / x dx = ln|x| + ∑ xⁿ / (n·n!) + C.

That's all you can get. :)


Το πρόβλημα είναι ότι απλά σε κλειστή μορφή δεν μπορείς να το εκφράσεις.

Θετω χ=α * sint
Το sin2t ως προς χ πως ειναι;

Enjoy!


//το παραπάνω είναι για x=sint, οπότε μπορείς ελπίζω πάνω-κάτω να βγάλεις πώς πάει κι αυτό που θες.

Merci beaucoup mon ami!   :)

10€ :P

Κατσε θα ποσταρω κι αλλες αποριες.....
Να στα δωσω ολα μαζι  ;)

Οποιαδηποτε ιδεα για τη λυση των παρακατω ολοκληρωματων ειναι καλοδεχουμενη. :P
Εγω παλεψα μονο το 2, οπου εβλεπα τις παραγωγους του tan^(-1)x και της ριζας x^2+1 αλλα και παλι τπτ....
Το βιβλιο δε μου ανοιξε κ πολυ τα ματια.... :o :o :o
Βασικα η λυση του 3 πρεπει να ειναι ΠΟΛΥ μεγαλη οποτε αφηστε το....

ΕΝΑΣ-ΕΝΑΣ ΠΑΙΔΙΑ!ΜΗ ΓΙΝΕΙ ΧΑΜΟΣ!

ποιανου ειναι αυτες οι ασκησεις;

θα τις κοιταξω πιο μετα.




το κακο με τα ολοκληρωματα ειναι οτι θελουν μερικες σελιδες πραξεις.

Του Γροθου

ενταξει τοτε δεν τις κοιταω. Για την εφαπτομενη, βαλε tanx=sinx/cosx και δες τι βγαινει.

Δεν εβγαλα ακρη ετσι.Εθεσα x=tan^(-1)t αλλα και παλι δεεεεν....

Λοιπόν...


Έχομεν και λέμε:

Στις δύο πρώτες εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι:



Οπότε κάνουμε την αντικατάσταση:

Στη 1η:



Στη δε 2η:




Στην 3η, οι μεθοδολογίες που λέγαμε..... Σελίδα 243 και άγιος ο Θεός. (Προσοχή η διακρίνουσα έχει μιγαδικές ρίζες .. Οπότε αναγκαστικά θα την πας με τον αναδρομικό τύπο).


Στην 4η, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι:



και




μετά μπαίνει στον αυτόματο πιλότο...



Στέλιος

Ευχαριστω πολυ!!!! ^notworthy^
Ξεκιναω και βλεπομεν....

Θέλω κι εγώ μερίδιο απ' τα 10 euro του Γιώργου .

Στο 1 και το 3 φτανω σε ολοκληρωματα που εχουνε στον παρονομαστη κατι επι (χ^2+1) και εκει μου γυρνανε τ'αντερα
Το 2 το ελυσα
Στο 4 φτανω στο ολοκληρωμα που επισυναπτω και εφαγα κολλημα.Νομιζω οτι η λυση του ειναι γελοια αλλα εφαγα κολλημα.....

Θα δώσω μια συνοπτική λύση στο 4... Δυστυχώς βγαίνω έξω σε λίγο .. Αύριο αν θες θα δω και τις άλλες.


Μάλλον κάπου έχεις χάσει στις πράξεις στο 4ο ολοκλήρωμα. Ύστερα από πράξεις με την αντικατάσταση που σου είπα ανωτέρω, παίρνουμε εν τέλει:



Από τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα:



Θα έχουμε τελικώς:




Θέτοντας λοιπόν , έχουμε:



Έτσι η ολοκληρωτέα γίνεται :




Q.E.D.


Φιλικά,

Στέλιος

Τι ακριβώς είναι αυτό το κάτι ? το ολοκλήρωμα του 1/(χ^2+1) είναι τοξεφχ

Μα τι θα γινει τωρα, θα το πειτε πολλοι ακομα το γροθος?
Το ξερω οτι ειναι αλλα εσεις δεν πρεπει να ξερετε τι σημαινει.......
Για ενα clopyright ζουμε και μεις οι κρητικοι...... >:(

Γκρρρρρ!
Το κοιταω και το ξανακοιταω, το κανω και το ξανακανω και μου βγαινει το κλασμα του quote αλλα χωρις τετραγωνο στον παρονομαστη, σκετο tan(x/2)......
 :'( :'( :'( :'( :'(

Δοκίμασε να προσθέσεις και να αφαιρέσεις τη μονάδα στον αριθμητή και το κλάσμα θα σπάσει σε

1 -       , ίσως σε διευκολύνει...

edit:  Βασικά βγαίνει εύκολα μετά αν κάνεις αντικατάσταση 1+tanx/2 = u  και χρησιμοποιήσεις ότι 1+tan^2(x/2)= 1/cos^2(x/2)

Σωστά , έτσι βγαίνει , αλλά μετά δε θυμάμαι τι ακριβώς παίζει με τις μιγαδικες ρίζες, με κάποιο τρόπο πρέπει να το ξανασπάσεις λογικά, δες στο βιβλίο κάτι θα λέει.

σπαει με αλγεβρικες γνωσεις, δλδ παραγοντες της μορφης Α/u για τις πραγματικες ριζες και παραγοντες Αχ+Β/τριωνυμο για τις μιγαδικες, λαμβανοντας υποψιν την πολλαπλοτητα. Υπαρχει στο βιβλιο.

Δε νιωθω  :P

Πώ ρε φίλε..και εγώ σε εκείνο το σημείο το χα φτάσει αλλα μετά δεν ήμουν καλά..με είχε σαλέψει από την πολλή βλακεία μαζεμένη και τελικά τα παρατησα :D :D..αλλά έχω να πω και εγώ ένα ευχαριστώ!!You've been pretty helpful!! ;)

Βασικά Jeremiah, για το τέταρτο μπορούν να γίνουν οι εξής πράξεις:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20\int%20\frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx%20=%20\int%20\frac{sin(2%20\frac%20{x}{2})}{sin(2%20\frac{x}{2})+%202%20cos^2(\frac{x}{2})}dx%20=%20\newline%20\int%20\frac{2%20sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})}{2%20sin(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})%20+%202%20cos^2(\frac{x}{2})}dx%20=%20\int%20\frac{%20sin(\frac{x}{2})}{%20sin(\frac{x}{2})%20+%20cos(\frac{x}{2})}dx%20=%20\newline%20\int%20\frac{%20tan(\frac{x}{2})}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}dx)

Αυτό το αποτέλεσμα επισης πρόκύπτει και αν γίνει και η αντικατάσταση των ημιτόνων και συνημιτόνων από τις αντίστοιχες εκφράσεις συναρτήσει της εφαπτομενης. Στη συνέχεια μπορείς να κάνεις το εξής:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20\int%20\frac{%20tan(\frac{x}{2})}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}dx%20=%20\int%20\frac{%20tan(\frac{x}{2})%20+1%20-1}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}dx%20=%20x%20-%202%20\int%20\frac{%201%20}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}d(\frac{x}{2}))

οπότε αν έχεις λύσει το πρώτο ολοκλήρωμα έχεις έτοιμη και τη λύση!

Αν τώρα δεν γνωρίζεις το αρχικό ολοκλήρωμα, για να συνεχίσεις τη μελέτη του συγκεκριμένου, μπορείς να συνεχίσεις κανονικά κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής u=tan(x/2) και εξετάζοντας το πολυώνυμο που προκύπτει ακολουθώντας τη συνηθισμένη πορεία (σπάζοντας το σε επιμέρους απλούς όρους και ολοκληρώνοντας). Αυτό, βέβαια, θέλει κάποια διαδικασία και το αποτέλεσμα προκύπτει λίγο σύνθετο.

Για το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα μπορεί να ακολουθηθεί και ένας πιο σύντομος "παράδρομος"  ;) ο οποίος μπορεί να οδηγήσει κατευθείαν στο ζητούμενο, χρησιμοποιώντας όμως μια ιδιαίτερη παρατήρηση.

Αυτή είναι ότι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20sin(\frac{x}{2})%20=%20\frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})%20+%20sin(\frac{x}{2})%20-%20cos(\frac{x}{2})}{2}%20=%20\newline%20\frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})%20+%20sin(\frac{x}{2})%20-%20cos(\frac{x}{2})}{2}=%20\frac{sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2})%20-%202%20\left[%20sin(\frac{x}{2})%20+%20cos(\frac{x}{2})\right%20]%27}{2})

Ονομάζοντας το άθροισμα του ημιτόνου και συνημιτόνου s:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20s=sin(\frac{x}{2})+cos(\frac{x}{2}))

Αυτή η σχέση γράφεται:
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?sin%20\left%20(%20\frac{x}{2}%20\right)%20=%20\frac{s%20-%202%20s%27}{2})

Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση στο ολοκλήρωμα, προκύπτει:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20\int%20\frac%20{sin\left(\frac{x}{2}%20\right)}{sin\left(\frac{x}{2}%20\right)+cos\left(\frac{x}{2}%20\right)}dx=%20\frac{1}{2}\int%20\frac%20{s-2%20s%27}{s}dx%20=\newline%20\frac{x}{2}%20-%20\int%20\frac{s%27}{s}dx%20=%20\frac{x}{2}%20-%20\int%20\frac%20{1}{s}%20ds%20=%20\frac%20{x}{2}%20-%20ln(\left|s\right|)+c)

Έτσι, βγαίνει σχετικά άμεσα πως το ολοκλήρωμα είναι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20\int%20\frac%20{sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx=%20\frac%20{x}{2}%20-%20ln\left[\left|sin\left(\frac{x}{2}%20\right)%20+cos\left(\frac{x}{2}%20\right)%20\right|\right]+c)

Στο σημειο που λες αυτο, νομιζω οτι ειναι cos(x/2) στον αριθμητη και οχι sin(x/2), καθως αν πολλαπλασιασουμε αυτο (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline\int%20\frac{%201%20}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}d(\frac{x}{2})) με cos(x/2) πανω και κατω προκυπτει αυτο που λεω νομιζω :???:
Αλλα και παλι λυνεται με αναλογο τροπο, σαν αυτο που το συνεχισες.
Κατα τα αλλα , δεν εχω λογια να σε ευχαριστησω  :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) ^peace^ ^peace^ ^peace^

Ξεκινόντας από το τέταρτο ολοκλήρωμα που είναι

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\newline%20\int%20\frac{sin(x)}{sin(x)+cos(x)+1}dx)

και κάνοντας τις πράξεις φτάνουμε σε μια φάση όπου μπορούμε να απαλείψουμε την ποσότητα cos(x/2) από τον αριθμιτή και από τον παρονομαστή. Αυτό που θα μείνει στον αριθμητή, θα είναι το sin(x/2) και στον παρονομαστή, το άθροισμα sin(x/2)+cos(x/2). Οπότε μετά, διαιρόντας με cos(x/2) αριθμητή και παρονομαστή βγαίνει:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int%20\frac{%20tan(\frac{x}{2})}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}dx)

Πολλαπλασιάζοντας το

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int%20\frac{%201%20}{%20tan(\frac{x}{2})%20+%201}d(\frac{x}{2}))

με cos(x/2) θα δώσει συνημίτονο στον αριθμητή αλλά αυτό είναι το πρώτο ολοκλήρωμα (με μεταβλητή ολοκλήρωσης την x/2 αντί της x!) και όχι το τέταρτο. Ίσως δεν κατάλαβα πολύ καλά αυτό που θελεις να πεις Jeremiah...

Πάντως, παρατήρησε πως γνωρίζοντας τώρα το τέταρτο ολοκλήρωμα, μπορείς να βρεις κατευθείαν και το πρώτο! ;) Αν θες, δες και κάτι διορθώσεις που έκανα στο προηγούμενο post (την απόλυτη τιμή και τη σταθερά) ώστε η περιγραφή να είναι πιο σωστή.

I'm back..

Sorry για το λάθος αποτέλεσμα στο τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα... Μου φύγε ένας παρανομαστής...


Τα υπόλοιπα τρια γίνονται:









Στέλιος

Αυτα τα ολοκληρωματα τα εχει υπολογισει κανεις; υπαρχουν παρομοια στα φυλλαδια του κ.Ξενου αλλα ουτε ο ιδιος θυμαμαι να εκανε καποιο απ'αυτα.....

υποπτευομαι οτι κατι παιζει με αντιστροφη συναρτηση, αλλα εχει κολλησει το μυαλο μου.....

Είναι η τεχνική που κάναμε στο Λύκειο για να βρούμε το .
Η φιλοσοφία είναι η εξής: το μόνο που ξέρω να κάνω μ' αυτήν την συνάρτηση είναι να την παραγωγίζω. :P Γι' αυτό και κάνουμε αυτήν την τεχνική.


Τα υπόλοιπα τα αφήνω σε σένα. :P




Ελπίζω να με μαγειρέψεις κάνα πεσκέσι για τον κόπο μου, ε; :D

Ακριβώς με την ίδια λογική όπως λέει και ο Γιώργος.

Π.χ. επίσης:





Με παρόμοιο τρόπο, υπολογίζεται και το . Τι θα γίνει όμως αν έχουμε ? Οι λεπτομέρειες επαφίονται στον αναγνώστη  ;)

Ευχαριστω.....

Γιωργο, ελα, τιγανιζω το σκιουρο... :P

Παιδιά, any simple way για αυτό το ολοκλήρωμα  ;



Έχω βρει έναν τρόπο, αλλά είναι too brutal force....

Any ideas are welcome :)


Στέλιος

Δοκίμασε να θέσεις t=tanu.. ;)

Βασικά αυτό που λες όντως ισχύει, απλώς στο βιβλίο που 'χω μπροστά μου γράφει συγκεκριμένα: "βγαίνει εύκολα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες" , και ψάχνω να βρω πού είναι αυτό το τόσο εύκολο στους κατά παράγοντες και δε το βλέπω!

η παρασταση μεσα στο ολοκληρωμα γινεται (1+t^2)^(-1) και μετα ''παιζεις'' με το διαφορικο

Aν θες παίξε λίγο μπάλλα και πες τι ακριβώς κάνεις .. Ο εκθέτης είναι στην -2, υπόψη.

Βασικά Mostel θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις το ότι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left(%20\frac{1}{1+t^2}%20\right)%27%20=%20\frac{-2%20t}{\left(1+t^2\right)^2}%20\Rightarrow%20\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}%20=%20-\frac{1}{2t}\left(%20\frac{1}{1+t^2}%20\right)%27)

Έτσι το ολοκλήρωμα γράφεται:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=\int{\frac{1}{\left(1+t^2\right)^2}}dt=-\int{\frac{1}{2t}\left(\frac{1}{1+t^2}\right)}dt%20=%20-\int{\frac{1}{2t}d\left(\frac{1}{1+t^2}\right)})

Εφαρμόζοντας εδώ κατά παράγοντες ολοκλήρωση μπορούμε να πάρουμε:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}+\int{\frac{1}{1+t^2}d\left(\frac{1}{2t}\right)}=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{t^2}\frac{1}{1+t^2}}dt)

Η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα τώρα σπάει αρκετά εύκολα σε μερικά κλάσματα. Αν, για τη διάσπαση θεωρήσουμε το t^2 σαν μια νέα ποσότητα x, το κλάσμα διασπάται ως εξής:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{x}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})

Έτσι, το ολοκλήρωμα που μένει είναι:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int{\frac{1}{t^2}\frac{1}{1+t^2}}dt%20=%20\int\frac{1}{t^2}dt%20-%20\int\frac{1}{1+t^2}dt%20=%20-\frac{1}{t}%20-%20arctan(t)%20+%20c%27)

Και το αρχικό προκύπτει:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=-\frac{1}{2t}\frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{2t}%20+\frac{1}{2}arctan(t)+c%20=%20\frac{t}{2(1+t^2)}+\frac{1}{2}arctan(t)+c)

Όπως το βλέπω, νομίζω πως η δυσκολία έχει να κάνει με το ότι δεν μπορείς να διασπάσεις κατευθείαν την αρχική ποσότητα σε μερικά κλάσματα, καθώς, ο παρονομαστής είναι ήδη μια διπλή ρίζα. Οπότε, προτείνεται να βρεθεί ένας τρόπος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, ώστε το πρόβλημα της ολοκλήρωσης να περάσει σε ποσότητα που δεν θα εμφανίζει διπλές ρίζες και θα μπορεί να διασπαστεί σε απλούστερες εκφράσεις. Το θέμα είναι να βρεθεί αυτός ο τρόπος. Με άλλα λόγια, νομίζω πως η εκφώνηση που ανέφερες Mostel είναι από αυτές στις οποίες η υπόδειξη δεν είναι για να δώσει κατευθείαν τη λύση, αλλά έχει ρόλο "υποερωτήματος" στο όλο πρόβλημα!  ;) ;) :)

Αυτός είναι ο brute force που είχα γράψει στο προηγούμενό μου ποστ. Το θέμα είναι, δε ξέρω κατά πόσο "προφανές" είναι αυτό (ή "εύκολο"), όπως γράφει στην υπόδειξη. Γιατί σε κάποια φάση πριν φτάσω σε αυτό που γράφεις, θεωρούσα ότι θα 'ναι κάτι αισθητά πιο εύκολο και αισθανόμουν μαλάκας που στην ουσία δεν έβρισκα αυτό το εύκολο. Αλλά απ' ό,τι βλέπω, this is the way.



Στέλιος

Α, ok τότε. Προσωπικά δεν μου φαίνεται και τόσο "brute force" γιατί η πρώτη σχέση προκύπτει από την ερώτηση "Ποια απλή αρχική θα μπορούσε να δώσει κάτι παρόμοιο με αυτό που έχω" η οποία είναι μια συνήθη ερώτηση που γίνεται όταν ψάχνουμε κάτι. Παρόλα αυτά, η ίδια η κατά παράγοντες ολοκλήρωση πράγματι δεν είναι προφανής με την πρώτη ματιά.

Αν μπορεί κάποιος, ας βοηθήσει με τη λύση του 2ου και 3ου ολοκληρώματος στο Θέμα 3, Σεπτέβριος 2006 :(

2ο ολοκληρωμα: σελ 241 Ξενου
3π ολοκληρωμα: κανεις την αντικατασταση μισης γωνιας στο cosx.

Στο δευτερο ο παρονομαστής γράφεται  (x+1)(x-4)     , άρα σπας το κλάσμα σε A/(x+1) + B(x-4)

και στο τρίτο μπορείς να κάνεις  2/2 ( 1+ cosx) = 2 * cos^2(x/2)  και απλοποιείται το τετράγωνο με τη ρίζα

μετά κάνεις το sinx = 2 sinx/2 * cosx/2  και απλοποιείται το cosx/2

Το πρόβλημα μου είναι στο στο σημείο ασυνέχειας καθώς το ολοκλήρωμα είναι γενικευμένο.
Π.χ. Lim b τείνει στο -1 του ln[x^2-3x-4] απο -3 μέχρι b. Πως συνεχίζουμε εδώ?

νομιζω πας και υπολογιζεις το ολοκληρωμα πολ/ντας αρχικα με (χ)'

εγω το εκανα ετσι και μου βγηκε!!

Δεν το έπιασα φίλε. Εγώ διώχνω τα ολοκληρώματα και παίρνω στο τέλος τον τύπο για γενικευμένα 2ου είδους.

υπολογισε το ολοκληρωμα πολ/ντας με (χ)' και μετα κανεις κατα παραγοντες ολοκληρωση και θα σου βγει ποσο κανει το ολοκληρωμα!

ουτε γω επιασα τι κανεις!

Δεν γίνεται να χρησιμοποιήσεις μέθοδο κατα παράγοντες εδώ... Το ολοκλήρωμα σαν αόριστο υπολογίζεται σύμφωνα με τα παραδείγματα στις σελίδες 238-243.

πως δεν γινεται??γιατι οχι??ln(κατι...)δεν εχεις??

αμα κανω λαθος εξηγησε μου για να τα καταλαβω καλυτερα!

Nαι στο τέλος αφού φύγουν τα ολοκληρώματα.

Το εν λόγω ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει.


- Στέλιος

Aυτό μου φαίνεται το πιο πιθανό!

Έτσι είναι. Παίξε με τα όρια και θα βρεις απροσδιοριστία.


Cheers,
- Στέλιος

ρε παιδιά για πείτε λίγο

εχω cos(2πfτ) .  To όριο 2π->άπειρο είναι;

Τι εννοείς ;