THMMY.gr

Έχω μια απορία πάνω στις σειρές.Ο Ξένος μας είχε δώσει 2-3 ασκήσεις σειρών που περιλαμβάνουν λογάριθμο αλλά δεν μας έδειξε πως λύνονται.
Συγκεκριμένα παραθέτω την παρακάτω σειρά η οποία πρέπει να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση:

Σ ln(n)/ 2n³-1      :o

μπορεί κανείς να με βοηθήσει;;;; 

ευχαριστώ! ;)

Λοιπόν το έψαξα αρκετά πριν απαντήσω και για άλλη μια φορά με έσωσε ο γκαρούτσος

ισχύει lnn/2n^3-1<=lnn/n^2 n>=1

ο γκαρούτσος χρησιμοποιεί το θεώρημα του ολοκληρώματος
ότι δηλαδή αν το ολοκλήρωμα μιας σειράς είναι πεπερασμένο τότε η σειρά συγκλίνει
δεν ξέρω αν υπάρχει στο βιβλίο
πάντως μετά βρίσκεις το ολοκλήρωμα της σειράς Σlnn/n^2 ή μάλλον της συνάρτησης
lnx/x^2 το οποίο είναι 1 και άρα η σειρά συγκλίνει
επειδή η αρχική σειρά ειναι μικρότερη αυτής που δημιουργήσαμε συγκλίνει και αυτή.

Δεν μου ήρθαν βέβαια ουρανοκατέβατα. Δηλαδή πρώτα δοκιμάζεις απλώς όριο σου βγαίνει 0 άρα δεν ξερεις αν συγλίνει ή όχι. Μετά πήρα D'alembert βγήκε 1 άρα πάλι δεν εφαρμόζεται, και στο τέλος βρήκα αυτό με το ολοκλήρωμα που είναι ο μόνος τρόπος που εντόπισα μέχρι τώρα

Πάντως γενικότερα επειδή διάβαζα και σε άλλο τόπικ κάτι για το Del'hospital μπορούμε να το χρησιμοποιούμε εφόσον αναφερόμαστε στην συνάρτηση f(n)=a_n
ας πούμε αν κάνεις κάπου D'alembert και σου βγει ln(n+1)/lnn λες ότι είναι άπειρο/άπειρο παίρνεις την αντίστοιχη συνάρτηση και βρίσκεις το όριο 1 και αναλόγως το χρησιμοποιείς.
γενικότερα δεν εμφανίζουν κάποια ιδιαίτερη μεταχείρηση οι λογάριθμοι στις σειρές
ελπίζω να βοήθησα ευχαριστώ που με έβαλες να το ψάξω!

ευχαριστώ πολυ για τον κόπο σου! Πάντως δε νομίζω να πέσει τετοιο....... γιατί  :D :D :D :D

Βασικά στο βιβλίο δεν αναφέρει κάτι για ολοκληρώματα και δεν ξέρω αν είναι αποδεκτό...
Πάντως από τη στιγμή που δουλεύουμε για n>=1 το lnn>0,άρα lnn/2n³-1<=1/2n³-1
Όμως το Σ1/2n³-1 συγκλίνει και άρα συγκλίνει και το αρχικό που θέλουμε!!

Είσαι σίγουρη?
Θυμάμαι χαρακτηριστικά ότι ο κΡόθος (δεν ξέρω σε ποιον πηγαίνεις) είπε ότι ΔΕΝ μπορείς να εφαρμόσεις Del'hospital επειδή η ακολουθία παριστάνει γραφικά ένα συνολο διακεκριμένων σημείων και άρα δεν δέχεται εφαπτομένη, πάνω στην οποία βασίζεται η όλη λογική.
Απτην άλλη ούτε συνεχή μπορείς να τη θεωρήσεις.

Βέβαια αν θεωρήσεις ότι η ακολουθία ανήκει σε μία συνάρτηση (όπως προτείνεις), και να εξετάσεις τη συνάρτηση, το όλο σύστημα δουλεύει. Είναι όμως αποδεκτό μαθηματικά?

Πάντως συμβουλή μου είναι να κρατάμε το del'hospital σαν τελευταία λύση. Δεν ξέρουμε πως θα του έρθει του καθηγητή εκείνη την ώρα της διόρθωσης. ;)

Συμφωνώ.Αν θυμάμαι καλά ο Ξένος είχε πει στις αρχές του μαθήματος ότι δε γίνεται να εφαρμόσεις Del' Hospital σε σειρά γιατί δεν είναι συνεχής.Εξάλλου ως συνήθως το πρόβλημα λύνεται με τους κλασσικούς τρόπους (Κριτήρια σύγκρισης,D'alemebert κτλ).

Δεν νομίζω να ισχύει αυτό που λες.Συμφώνω ότι lnn>0 (γιατί n>=1).Όταν όμως lnn>1 ,δλδ lnn>lne που είναι πολύ πιθανό αφου το n τείνει στο άπειρο ισχύει το ανάποδο, δηλαδή  lnn/2n³-1 >1/2n³-1   αρα δεν εφαρμόζεται κριτήριο σύγκρισης. ^band^

Πράγματι, αν θέλουμε να εφαρμόσουμε κάπου το κριτήριο De' hospital στις ακολουθίες ,εξετάζουμε τη συμπεριφορά της αντίστοιχης συνάρτησης  στο άπειρο,δηλαδή   a)αν είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του +άπειρο και   b) αν ορίζονται τα αντίστοιχα όρια (αριθμητή και παρονομαστή).Και αν  καταλήξουμε οτι η συνάρτηση πληροί τις προϋποθέσεις, τότε αφού είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή του + άπειρο(σε κάθε σημέιο αυτής) ,θα  είναι και για τα μεμονωμένα σημεία  της ακολουθίας στην ίδια περιοχή. (το ίδιο για τη συνέχεια )

διόρθωση:
Η ακολουθία δεν θα είναι παραγωγίσιμη, απλώς θα εμφανίζει τα κοινά χαρακτηριστικά της με την συνάρτηση (π.χ. αύξουσα κτλ κτλ) η οποία την αντιπροσωπεύει.

Πήγαινες στο μάθημα του Ξένου?
Διότι ο Ρόθος ουδέποτε χρησιμοποίησε τέτοια μέθοδο και όταν την πρότεινε ένα παιδί είπε ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί.

http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)#Convergence_tests

αυτό που είπα για το δελ'οπιταλ( ;D) το μετέφερα λέξη προς λέξη από τον γκαρούτσοκαι εννοώ φυσικά αυτό που είπε και ευχαριστώ για την επεξήγηση
ωστόσο το άκουσα αυτό μέσα στην τάξη ότι δεν πρέπει να το χρησιμοποιούμε κλπ
πάντως μαθηματικά είναι σωστό
μάλλον δεν προτείνεται γιατί μπερδεύει
-το κριτήριο του ολοκληρώματος υπάρχει στο βιβλίο;
αν δεν λύνεται έτσι αυτή πως λύνεται;

Δεν νομίζω

Νομίζω είναι το κριτήριο του Cachy.Γενικά όμως δεν βάζει τέτοια.

όχι ρε του cauchy είναι με τη ρίζα

Ναι ε???

Ε όταν θα τα ξαναδιαβάσω (για 4η φορά  :D :D :D :D) θα τα ξαναθυμηθώ(για 4η φορά  :D :D :D :D)

πάντως πάρε γκαρούτσο έχει άπειρα παραδείγματα
όλες τις περιπτώσεις!

τι πιστεύετε;άμα χρησιμοποιήσω θεώρημα που δεν έχει στο βιβλίο θα με κόψει;

μάλλον δεν θα το πάρει τελείως σωστό!!!

Ρε ion να σου πω, εσύ φαίνεσαι αρκετά καλή στον λογισμό 1!!!

Δεν βοηθάς και κάποιον μεγαλύτερο που έχει πήξει στο 1ο εξάμηνο???

να βοηθήσω εννοείται!

αλλά δεν είμαι καλή μόνο τις σειρές έχω διαβάσει ως τώρα! σε 2-3 μέρες που θα τα έχω διαβάσει όλα θα μπορώ να βοηθήσω

Ωπ, ήρθα κι εγώ στην συζητηση... Για ποιο πραγμα μιλάτε???

Πάντως δεν νομιζω να χρειάζεται τόση προσπαθεια για να περασουμε τουλάχιστον το μαθημα... Παραγωγοι και ολοκληρώματα είναι πιο πολυ... Αντε πες σειρές να διαβάσεις κατι ωστε να ξέρεις κανα D'alembert... Life is beautiful my friends!!!!

Είπα κι εγώ την ασχετίλα μου... ΑΑΑΑΑΑΑΑ... ΔΕΝ ΘΑ ΓΡΑΨΩ ΤΙΠΟΤΑ... :'(
 8)

mpixla αι χεσε μας που δεν θα γράψεις κιόλας
βγάλτε τον οφ τόπικ τον άσχετο σας παρακαλώ >:(

Εγώ έχω τρελό problem με τις σειρές!!!!Μια φορά τις έκανα σωστά και εκεί που νόμιζα ότι πέρασα, έκανα μαλακίες στα ολοκληρώματα που πάντα τα έκανα σωστά!!!

ε ο,τι θες απο σειρές πες
τις έχω διαβάσει αρκετά
τόσο που νομίζω δεν άξιζε

έχεις δει παλιά θέματα πιστεύω!!!!

Είναι κάτι σειρές που διερείς,βγάζεις κοινούς παράγοντες και απλοποιείς.και μετά βγαίνει αποτέλεσμα.Ε αυτό θέλω να ρωτήσω!!!Με τι διαιρείς για να γίνει απλοποίηση

κοίτα ή εννοείς το D'alembert a(n+1)/a(n)

ή εννοείς το κριτήριο λόγου 

και τα 2 τα έχει στο βιβλίο σελ 53 και 50 αντίστοιχα

Να ρωτήσω?

Για τις δυναμοσειρές, πρεπει να ξερουμε τις σειρες, οπως "Σχ^ν = 1/1-χ^ν" ή υπαρχει τρόπος να τις βγαζουμε απο μόνοι μας... Δηλαδη θα πρέπει να τα θυμομαστε ολα αυτα?

υπάρχει

με βάση την δυναμοσειρά 1/1-χ=Σχ^ν

ας πούμε αν είναι 1/1-χ^2
λες ότι ειναι Α/1-χ + Β/1+χ και το δουλεύεις

Ναι οκ, αλλα αν μας βάλει κανα περιεργο... Θα το βρουμε με την μέθοδο "αν επικαλεστούμε την μνημη μας"? Η θα ευελπιστουμε να μην μας βάλει περιεργο?

Η μόνη δυναμοσειρά που πρέπει να ξέρεις είναι η Σxⁿ=1/(1-x) από μηδέν μέχρι άπειρο.
Οι υπόλοιπες βγαίνουν με παραγώγιση, προσθαφαίρεση, θεωρώντας σε 1η φάση το x σταθερά.


ιον με πρόλαβες  :P

το ξέρω οτι ειναι λαθος το Σχ^ν=1/1-χ^ν... μην μου κάνεισ ρεπλυ

καταρχήν αυτό είναι λάθος τώρα το είδα

επίσης οι βασικές δυναμοσειρές υπάρχουν στο βιβλίο

είναι αυτή που σου είπα +την εκθετική,το συνημίτονο και το ημίτονο

Όχι δεν μιλάω για τα κριτήρια!!!!
Είναι κάποια μεθοδολογία που βγάζεις κάτι κοινό παράγοντα το απλοποιείς και μετά σου μένει μια σταθερά και κάι προς n,n^2....

δεν καταλαβαίνω :(

μήπως έχεις κάποιο παράδειγμα;

οι μεθοδολογίες είναι πολύ συγκεκριμένες
μήπως πρώτα εφάρμοζες κάποιο κριτήριο και μετά έκανες αυτό που λες;

Δεν θυμαμαι να υπαρχει τετοια μεθοδολογια στο βιβλιο.......Μαριε  :???:  :???:

Να ρωτήσω κάτι και γω;;Σε περίπτωση που μια δυναμοσειρά ξεκινάει από έναν αριθμό κ ως το άπειρο, τότε το άθροισμα δεν είναι ίσο με χ^κ/1-χ;;

Ναι διότι:

Σ_n=κxⁿ

Θέτουμε t=n-κ => n=t+k
Όταν το n=κ τότε t=0

Σ_n=κxⁿ=Σ_t=0x^t+k=Σ_t=0x^κx^t=x^κΣ_t=0x^t

οκ ευχαριστώ

Να ρωτήσω και εγώ κάτι τώρα που διαβάζω τις σειρες (νωρίς-νωρίς):
Ποιες σειρές μπορούμε να πέρνουμε κατευθείαν ως συγκλίνουσες ή αποκλίνουσες χωρίς να το αποδείξουμε?
Ελπίζω να μή θέλει για όλες να βρίσκουμε το την ακολουθία μερικών αθροισμάτων Sn και μέτα να πέρνουμε το όριο στο +άπειρο...
Μιλάω κυρίως για όταν δουλεύουμε με το 1ο ή το 2ο κριτήριο σύγκρισης.
Π.χ την 1/n^3 μπορώ να την πω συγκλίνουσα κατευθείαν ή θέλει όλα αυτά που λέει στη σελίδα 60?

Τις αρμονικες 1/ν^ρ μπορεις να τις παιρνεις κατευθειαν

Ναι παρακολουούσα τα μαθήματ του Ξένου, και για το συγκεκριμένο τον είχα ρωτήσει και μου απάντησε αυτά που αναφέρω,Βέβαια καλύτερα να αποφεύγεται αυτή η μέθοδος,μπορούμε να την επιστρατεύσουμε όμως ως "λύση απελπισίας",αν δε μπορούμε να βρούμε κάτι άλλο!

Παιδιά μήπως μπορεί να με εξηγήσει  τι γίνεται(σύγκλιση-απόκλιση) με τις εξής 2 σειρές:συν n/(1+n^3/2)    και  (n^1/2ημ1/n^2)/ln(1+n);

 ^beg^ ^beg^ ^beg^ ^beg^ ^beg^ ^beg^ ^beg^

Η πρώτη αν πεις συνn <=1 και διαιρέσεις με (1+n^3/2) αποδεικνύεται μιας και η 1/(1+ν^3/2) συγκλίνει..

Με το 2ο τώρα θα ασχοληθώ..

στο δεύτερο γράφεις ρίζα ν επί ημ(1/ν^2)??εννοώ έτσι είναι η προτεραιότητα των πράξεων?

Ξέρει μήπως κανείς αν βγάλουμε με κριτήριο D'alembert το όριο=άπειρο μπορούμε να πούμε ότι η σειρά αποκλίνει ;

έχω την πολύ ισχυρή εντύπωση ότι μπορούμε..
>1 λέει ούτως ή άλλως..

++

Thanks... μόλις το επιβεβαίωσα κιόλας... σελ. 370 στο βιβλίο παράδειγμα 1.6. Ευχαριστώ και πάλι.

στο 2ο φυλλαδιο του Ρ. που λεει να υπολογισετε τα αθροισματα
n=0 μεχρι άπειρο:
Σn * x^n
Σn * (1/2)^n
Σn^2 * (1/3)^n
 
ξέρει κανείς πως τα υπολογίζουμε;

(http://alt1.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/7/6/9/7693f7837459ceb25989097768f6ad44a3e932b2.gif)

Γενικά σ' αυτά ξεκινάμε με το ανάπτυγμα μιας γνωστής συνάρτησης και προσπαθούμε να εμφανίσουμε το ζητούμενο. :)

Όταν δεν έχουμε τριγωνομετρικά κτλ συνήθως ξεκινάμε με:

(http://alt2.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/d/6/3/d634f58c15bc3acda36d4cf656f62cf9842b4ce1.gif)


Και προσπαθούμε στο 2ο μέλος να εμφανίσουμε το 2ο μέλος αυτού που ζητείται, με παραγωγίσεις, ολοκληρήσεις, μεταθέσεις, κοκ.
Εδώ έχουμε:

(http://alt1.artofproblemsolving.com/Forum/latexrender/pictures/6/7/a/67a54d2f3d0505a2ebbcc65f72696f177d3446f6.gif)



Προσοχή ότι μετά την παραγώγιση ο δείκτης του n ξεκίνησε από το n=1 μιας και με την παραγώγιση το n=0 (που αντιστοιχεί στο 1) εξαλείφθηκε. Γι' αυτό μετά προσθέτουμε έναν όρο (εδώ είναι το 0) ώστε να shiftάρουμε την αρχή πίσω στο n=0.
Και φυσικά μες στη μέση πολλαπλασιάσαμε με x για να φέρουμε τον δείκτη από το (n-1) στο n. Το x μπαίνει μέσα στο άθροισμα σαν "σταθερά" μιας και η μεταβλητή του αθροίσματος είναι το n.

Ανάλογης φιλοσοφίας είναι τα υπόλοιπα. :)

Ναι, έτσι ακριβώς είναι οι πράξεις, και όλο αυτό δια ln(1+n). Α και ευχαριστώ πολύ για το πρώτο!

δε ξέρω πως βγαίνει το 2ο  :(

:(  Δεν   πειράζει! Ας ελπίζουμε ότι δε θα είμαι τόσο άτυχη, ώστε να πέσει το συγκεκριμένο! Thanks anyway!!!

Μάλιστα.. Ευχαριστώ πολύ φίλε Γιώργο!  :) :) :D

Παίδια κόλλησα 2 ώρες να βρω αν η  Σ n^n / 2^n * n! συγκλίνει ή αποκλίνει και δεν ξέρω αν είναι σωστή η παρακάτω λυση...
     Η Bn = Σ n^n/2^n δίνει απειρο με θεώρημα Cauchy. Aρα αποκλινει(?)
   To lim του λογου An/Bn = απειρο άρα η αρχική σειρά αποκλίνει :-\ Κάηκα!

Για τη σειρά αυτή θα μπορούσες να δοκίμαζες το κριτήριο του λόγου. Αν το κάνεις αυτό, θα πάρεις:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a_{n+1}}{a_{n}}%20=%20\frac{%20\frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}%20}{\frac{n^n}{2^n%20n!}}%20=%20\frac%20{(n+1)^{n+1}}{2(n+1)n^n}%20=%20\frac{1}{2}\left(1%20+\frac{1}{n}%20\right%20)%20^n)

Χρησιμοποιώντας, τώρα, πως:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow%20\infty}%20\left(1%20+\frac{1}{n}%20\right%20)%20^n%20=%20e)

Το κριτήριο του λόγου δίνει:

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lim_{n\rightarrow%20\infty}%20\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=%20\frac{e}{2}%20%3E%201)

Επομένως, η σειρά θα αποκλίνει.

Και για τους σκληροπυρηνικούς, με Cauchy, εκμεταλλευόμενοι το .

Πως βγαίνει αυτο???  :???:

Aυτό είναι το e, τι πως βγαίνει?

κοιτα στο βιβλιο μαθηματικων κατευθυνσης γ' λυκειου :P

Το όριο αυτό, αν φτιάξεις ένα προγραμματάκι για να το υπολογίσεις, θα δείς ότι τείνει στο 2,71.....  τα υπόλοιπα δεκαδικά δεν τα ξέρω. Και επειδή αυτό το όριο εμφανίζεται παντού, το είπαμε e.

κοιτα και δω
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_e_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)#.CE.9C.CE.B5_.CF.8C.CF.81.CE.B9.CE.BF
το εξηγει :)

Ααα..δεν το ηξερα πως αυτό είναι το e...cool!

Mήπως βρήκε κανείς που συγκλίνει η σειρά Σ1/(n^3-1) απο n=1 e;vw oo.Είναι ρώτηση απο τις ασκήσεις που μας έβαλε ο Ρόθος.

Κι εγώ εκεί έχω κολλήσει, και δε μου βγαίνει με τίποτα ρε παιδί μου... μια σκέψη ήτανε να είναι η σειρά τηλεσκοπική, αλλά δεν είναι τελικά...

Ασχετο: τα arcsinx...κτλ κτλ τα έκανες?

Λογικά θα 'χει πολλές λύσεις.. Αρκεί να βρεις ένα κάτω bound και ένα άνω για τη σειρά.





παρεμβολή δλδ.. άρα συγκλίνει στο 0.


Btw, μήπως σήμερα ήταν καμία από σας βιβλιοθήκη; Κάποιες παίδευαν κάτι ολοκληρώματα...  :D



Στέλιος

προς το παρόν παιδεύομαι με άλλα μαθηματικά, όχι ολοκληρώματα  :D
εκτός αν διάβαζαν οι κοπελιές καμιά Φυσική... εγώ πάντως αποκλείεται να ήμουν.

Nομίζω ότι αυτό αρκεί. Μπορεί πάλι να χρειάζεται να ξαναπιάσω το Λογισμό Ι, που σιγά μην το κάνω

Γιατί μιλάμε για σειρές

Για n=1 δεν ορίζεται. :P



Btw, κάτι που ποτέ δεν κατάλαβα, είναι γιατί οι μαθηματικοί του γενικού τμήματος (πλην ΘΕΟΥ Κεχαγιά) πάνε να ξανανακαλύψουν τον τροχό.

Και γιατί πάτε κι εσείς να ξανανακαλύψετε τον τροχό. :P


Voila >> http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28n^3+-+1%29+from+n%3D2+to+infinity (http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28n^3+-+1%29+from+n%3D2+to+infinity)


Don't reinvent the wheel, unless you try to make it better. :P

αυτό θα είχε νόημα σε μάθημα που το αντικείμενο του δεν είναι καθαρά μαθηματικό  :P

...ok λοιπον!

Υπάρχει καποιος παιδια που να μπορεί να ανεβάσει την ή τις φωτοτυπίες ασκήσεων στις σειρές που μοίρασε ο Ξένος φέτος ή πέρυσι??? θα του ήμουν ευγνώμων...  :)

 ^carnaval^

^hello^ ^notworthy^
είσαι μεγααααλος!!  8)) :D

τ κατηγορία ασκήσεων είναι αυτό και πώς περίπου λύνεται αν είναι εύκολο?
αν η συνάρτηση ορίζεται  από την εξίσωση , να βρεθούν οι παράγωγοι , ,  όπου αυτές ορίζονται

xerei kaneis pos linete to 4b tou fevrouariou 2005?ipologizo to olokliroma alla o ogkos mou vgenei arnitikos..

Έχω φάει σκάλωμα..
η σειρά 1/n^3/2 πως ξέρουμε ότι συγκλίνει?? :???:

δεν το ξερουμε.

Πώς μπορουμε να το βρούμε...? 8))

lim a_n  = 1/oo = 0
n->oo

ο μηχανικός το βάζει στο matlab για ενα αρκουντως μεγάλο εύρος τιμών και βλέπει ότι συγκλίνει.
ο μηχανικός μπορει να το θεωρήσει και συνεχή συναρτηση για να διευκολυνθεί. :P

ο μαθηματικος δεν ξερω τι κανει.  :D

Για να ισχύει αυτο πρέπει να ξέρουμε πως συγκλινει.. το αντιστροφο δεν ισχυει... :???:

το οριο της σειρας στο απειρο σου γραφω ρε, δε σου γραφω οτι συγκλινει αρα το οριο ειναι τοσο
σου λεω το οριο ειναι τοσο αρα συγκλινει
ΤΙ δεν καταλαβαινεις??
 :D

Πήγαινε σελίδα 38 κατω-κατω στου Ξένου το βιβλίο και θα δείς οτι αυτο που λες ΔΕΝ ισχύει...
 :P ;D

αντε καλα, παραιτουμαι :P ^rollover^ ^innocent^

Απο σημειώσεις Ξένου:
Η σειρά 1/n^p αποκλίνει για p<=1 και συγκλίνει για p>1.