Απορία σε Πιθανότητα!!!!!

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[ονόματα των αρχείων]

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads

με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[pi_314]

Μπορείτε  να με βοηθήσετε στο ακόλουθο πρόβλημα πιθανοτήτων;

"Αν υπάρχουν 4 παντρεμένα ζευγάρια σε μία σειρά, να βρεθεί η πιθανότητα ότι κανένας άνδρας δεν κάθεται δίπλα στη γυναίκα του."

-->Ο δειγματοχώρος Ω θα είναι ίσος με 2*4=8 άτομα, 8!=40320 συνδυασμοί.

Με ποιο τρόπο όμως θα βρούμε αυτό που μας ζητάει η άσκηση;;

 

[kartas]

Δες το πρόβλημα αναδρομικά: Έχοντας διατάξει με τον ζητούμενο τρόπο τα n ζευγάρια πας να τοποθετήσεις το (n+1)οστό ζευγάρι.
Τον άνδρα μπορείς να τον τοποθετήσεις με 2n+1 τρόπους και αφού τοποθετήσεις τον άνδρα την γυναίκα μπορείς με 2n τρόπους.
Άρα αν a(n) είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορείς να τοποθετήσεις n ζευγάρια σύμφωνα με την εκφώνηση:
a(n+1)=a(n)*2n*(2n+1)
Τώρα το a(2) το βρίσκεις, και το a(4) βγαίνει αναδρομικά.   

[pi_314]

Σε έχασα. . . . . για n=1 όμως...πώς θα βρω το a(1) ;;;  Μπορείς να γίνεις πιο αναλυτικός...να μου το εξηγήσεις περισσότερο αν γίνεται;; thnx

[Κηπουρίδης]

Δες το πρόβλημα αναδρομικά: Έχοντας διατάξει με τον ζητούμενο τρόπο τα n ζευγάρια πας να τοποθετήσεις το (n+1)οστό ζευγάρι.
Τον άνδρα μπορείς να τον τοποθετήσεις με 2n+1 τρόπους και αφού τοποθετήσεις τον άνδρα την γυναίκα μπορείς με 2n τρόπους.
Άρα αν a(n) είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορείς να τοποθετήσεις n ζευγάρια σύμφωνα με την εκφώνηση:
a(n+1)=a(n)*2n*(2n+1)
Τώρα το a(2) το βρίσκεις, και το a(4) βγαίνει αναδρομικά.  

Δε νομίζω να είναι σωστό αυτό που λες. Γιατί δεν είναι αναγκαστικό να πάρεις ένα σωστό σενάριο n και να προσθέσεις τους (n+1).
Μπορείς να πάρεις ένα μούφα σενάριο για n, δηλαδή που υπάρχει άντρας που κάθεται δίπλα στη γυναίκα του, και να βάλεις έτσι τους (n+1) που να διορθώνουν το παλιό λάθος ( δηλαδή ανάμεσα απ`τον άντρα και τη γυναίκα ).
Φαίνεται κι απ`το ότι πήρες για base case το a(2) αντί για το a(1).

[pi_314]

Βρήκα ένα παρόμοιο πρόβλημα,με 5 ζευγάρια που κάθονται σε ΣΤΡΟΓΓΥΛΟ τραπέζι και ίδιο ζητούμενο,και χρησιμοποιούσε ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ-ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ......wtf !!!!

[Κηπουρίδης]

Βρήκα ένα παρόμοιο πρόβλημα,με 5 ζευγάρια που κάθονται σε ΣΤΡΟΓΓΥΛΟ τραπέζι και ίδιο ζητούμενο,και χρησιμοποιούσε ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ-ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ......wtf !!!!

Αυτά με τους κύκλους πρέπει να είναι αρκετά πιο δύσκολα απ`τις απλές σειρές.

Πού τα βρίσκεις αυτά που ρωτάς;

Παρεπιπτόντως, η απάντηση για το πρόβλημά σου νομίζω ότι είναι 13824 αλλά βαριέμαι να γράψω πώς το έβγαλα, έχει πολύ γράψιμο. Αύριο μάλλον θα καταφέρω να στο στείλω.

[pi_314]

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:PV13NZI5S1MJ:www.samos.aegean.gr/math/felouzis/ask2.pdf+&hl=en&gl=gr&pid=bl&srcid=ADGEESjH9GOoq9paH1xLnXvBJLjE2P3QG-JAdMf6KS8RxaBs-w_Izh4STXpk9_EHoLCOYETypmf_nxDJH0cCKjMXYZLxjs8tF3TGOThtLkEjqWzrGld8afsbf3UCfGMrZCjksvg2HE6M&sig=AHIEtbSw72pk_eNGsf7vpgiOOZklGUPCkA



Άσκηση 15. . . . . και έχει  πιο κάτω άλυτη για εξάσκηση αυτή που θέλω .. . . -.- Ό,τι να'ναι. . . .

[T--hmmy]

η πιθανότητα να κάθεται ένας άντρας δίπλα στη γυναίκα του είναι
8!/6!=56  4*56=224 224/8!=0,55%
άρα να μην κάθεται 100-0,55=....

[pi_314]

Να κάθεται ένας;;...μήπως πρέπει να βρούμε την πιθανότητα να κάθεται ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας....;;

[T--hmmy]

η πιθανότητα να κάθεται ένας άντρας δίπλα στη γυναίκα του είναι
8!/6!=56  4*56=224 224/8!=0,55%
άρα να μην κάθεται κανένας100-0,55=....

δεν είμαι σίγουρος βαριέμαι να το ψάξω παραπάνω.Μέτρα με τα δάκτυλα για επαλήθευση

[Κηπουρίδης]

Θα πούμε a(x,y) τους τρόπους να βάλουμε x ζευγάρια και τα y από αυτά να κάθονται δίπλα δίπλα. Προφανώς y <= x και η απάντησή μας θα είναι η a(4,0).

Η base case μας θα είναι το 1 ζευγάρι, αφού μπορούμε να το υπολογίσουμε πολύ εύκολα με το μάτι.
Έχουμε λοιπόν a(1,0) = 0, αφού δε γίνεται να μην κάθονται δίπλα, και a(1,1) = 2 ( πρώτα η γυναίκα μετά ο άντρας ή πρώτα ο άντρας, μετά η γυναίκα ).
Για a(2,0) έχουμε
a(2,0) = a(1,1) * 1 * 2 + a(1,1) * 2 * 1 = 8
Αυτό συμβαίνει γιατί προφανώς κάποιος πρέπει να χωρίσει το πρώτο ζευγάρι ώστε να μην έχουμε κανένα ζευγάρι να κάθεται δίπλα δίπλα. Ή ο άντρας θα το κάνει ( *1 ) κι η γυναίκα θα κάτσει οπουδήποτε εκτός δίπλα του άντρα της (*2) ( για να μην ξαναδημιουργηθεί λάθος ), ή η γυναίκα θα το κάνει, άρα ο άντρας *2 κι αυτή *1.
Για a(2,2) έχουμε ότι είναι ίσο με 8. Γιατί πρέπει και τα δύο ζευγάρια να είναι δίπλα δίπλα. Όμως μπορούμε να τους βάλουμε με όποια σειρά θέλουμε ( πρώτα το πρώτο ζευγάρι και μετά το δεύτερο ή ανάποδα ), άρα *2, και το κάθε ζευγάρι έχει δύο τρόπους, πρώτα η γυναίκα και μετά ο άντρας ή ανάποδα, άρα *2 το κάθε ζευγάρι, άρα *4. Άρα συνολικά έχουμε 3 φορές το *2, άρα 8.
Οι τρόποι να διατάξουμε 4 ζευγάρια είναι 4! = 24. Άρα a(2,1) = 24 - a(2,0) - a(2,2) = 8.

Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό βγάζουμε τα
a(3,0) = a(2,0)*5*4 + a(2,1)*2*4 + a(2,2)*2 = 240
a(3,2) = a(2,1)*4*2 + a(2,2)*3*2 + a(2,2)*2*2 = 144
a(3,1) = (2*3)! - a(3,0) - a(3,2) = 288

Και τέλος
a(4,0) = a(3,0)*7*6 + a(3,1)*2*6 + a(3,2)*2 = 13824
απ`τους συνολικά (2*4)! = 8! = 40320 τρόπους.

Το σκεπτικό είναι ακριβώς αυτό που χρησιμοποίησε ο kartas, απλά πιάνω και τις περιπτώσεις που υπήρχαν λάθη και τα διορθώνουμε.
Όπου ζητάμε δύο φορές μια παλιά τιμή ( πχ στο a(3,2) ζητάμε την a(2,2) δύο φορές ) είναι γιατί μία χαλάμε ένα ζευγάρι και επανορθώνουμε ξαναδημιουργώντας το ( αφού 2 ανθρώπους προσθέτουμε κάθε φορά ) και την άλλη απλά δεν το χαλάμε αλλά δεν καθόμαστε και δίπλα για να μην αλλοιώσουμε το αποτέλεσμα.

Αυτά.
Ελπίζω να βοήθησα.

[kartas]

Σωστή η διόρθωση αν και κάτι μου λέει ότι υπάρχει πιο σύντομος τρόπος από τις αναδρομικές σχέσεις.

[pi_314]

Χρησιμοποίησα έναν κάπως ανορθόδοξο τρόπο και βρήκα ότι υπάρχουν 17280 τρόποι για να μην κάθονται δίπλα.  (Α1-Γ1   Α2-Γ2  Α3-Γ3  Α4-Γ4)

Στην 1η θέση μπορεί να καθήσει οποιοσδήποτε (8), στη δεύτερη όλοι εκτός του/της συζύγου του πρώτου και ο πρώτος(αφού φυσικά έκατσε στην πρώτη θέση) (6),στην τρίτη θέση όλοι εκτός των δύο πρώτων και του/συγύγου του τρίτοι (5).Για τις τρεις πρώτες θέσεις είναι πάντα έτσι !!!

Από εκεί και πέρα...για να καταλήξω στον αριθμό 17280 έβαλα στις 4 πρώτες θέσεις έναν ακριβώς 1 άτομο από κάθε ζευγάρι,δηλαδή αν π.χ. έκατσε στην 3η θέση ο Α2,η γυναίκα του Γ2 θα κάτσει στην 5,6,7 ή 8η θέση.

Θα'ναι λοιπόν, Ν=8 x 6 x 5 x 4 x 3 x 3 x 2 x 1=17280 τρόποι.

[Κηπουρίδης]

Δε νομίζω.

Έβαλα πρόγραμμα να τρέξει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς και έλεγχα ποιοί δεν είχανε ζευγάρι δίπλα δίπλα. Το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο με αυτό που έβγαλα θεωρητικά.

Συμφωνώ πάντως ότι δεν παίζει να ζητούσε κάτι τόσο πολύπλοκο, προφανώς θα υπάρχει κάποιο έτοιμο θεώρημα πιο γενικό.

Αν θες να το ελέγξεις είναι αρκετά απλό, απλά κάνω ονομάζω στον πίνακα Α όλους τους ανθρώπους, και βάζω όσους είναι ζευγάρι να απέχουν κατά 1. Ὸσοι δεν είναι ζευγάρι, απέχουν περισσότερο. Οπότε μετά απλά ελέγχω με την Ok πόσα λάθη υπάρχουν ( δηλαδή πόσοι διαδοχικοί αριθμοί απέχουν περισσότερο από ένα ).

Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

#define N 8

using namespace std;

int ans[5];

int Ok ( int *A ) {
	int i, count = 0;

	for ( i=1; i<N; ++i ) {
		if ( abs(A[i-1]-A[i]) == 1 ) {
			++count;
		}
	}

	return count;
}

int main ( void ) {
	int A[8] = {1,2,4,5,7,8,10,11};

	do {
		++ans[ Ok(A) ];
	} while ( next_permutation(A, A+N) );

	printf ("%d %d %d\n", ans[0], ans[1], ans[2]);
	return 0;
}

[pi_314]

Θα βάλουμε στις 4 πρώτες θέσεις 1 από κάθε ζευγάρι και στις υπόλοιπες 4 τον άλλο.  {Α-Β   Γ-Δ   Ε-Ζ  Η-Θ}

Στην 1η θέση βάζουμε οποιονδήποτε,δεν υπάρχει περιορισμός (8),έστω ότι  βάζουμε το Α.
Στη 2η θέση δεν μπορούμε να βάλουμε το Α (μπήκε πριν) και το Β αφού ειναι ζευγάρι, άρα (6). Έστω ότι μπαίνει ο Γ.
Στην 3η θέση δεν μπορει να μπει ο Α,Γ και ο Δ ως σύζυγος, άρα (5). Έστω ότι βάζω το Ε.
Στην 4η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε και ο Ζ ως σύζυγος, άρα (4).Έστω ότι βάζω το Η.
Στην 5η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η και ο Θ ως σύζυγος άρα (3).Έστω ότι βάζω το Β.
Στην 6η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η,Β άρα πάλι (3).Έστω ότι βάζω το Δ.
Στην 7η θέση δεν μπορεί να μπει ο Α,Γ,Ε,Η,Β,Δ άρα (2).Έστω ότι βάζω το Ζ.
Στην 8η θέση και τελευταία μπορεί να μπει μόνο το Θ, αφού όλα τα υπόλοιπα μπήκαν, άρα (1).Βάζω λοιπόν υο Θ.

Τελικά θα έχω 8*6*5*4*3*3*2*1=17280 . !!!!!  Δοκίμασε το και εσύ αν θέλεις!!