[Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

THMMY.gr > Forum > Μαθήματα Βασικού Κύκλου > 2ο Εξάμηνο > 2ο Εξάμηνο - ΠΠΣ > Διαφορικές Εξισώσεις (Moderators: chatzikys, tzortzis) > [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: [1]

Author

Topic: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;; (Read 1487 times)

il capitano

Veteran
Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4090

Verona Rulez - aua

[Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« on: December 02, 2012, 13:19:37 pm »

Το λοιπόν έχω μια ομογενή διαφορική δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, οι οποίοι όμως δεν είναι πραγματικοί αλλά ένας εξ αυτών φανταστικός. Πιο συγκεκριμένα έχω την:

y'' + ja y' + b y = 0, a,b πραγματικοί

Υποψιάζομαι ότι η λύση της είναι της μορφής y = C₁ cosh(Ax) + C₂ sinh(Ax), Αλλά δεν μπορώ να βρω τι σκατά είναι αυτό το Α.. :/

Οποιαδήποτε ιδέα ή βοήθεια δεκτή...


	Logged

Η βραζιλιανικη μουσικη ειναι αντικαταστατικη γιατι χορευεται σε παραλιες
οι παραλιες εχουν αμμο
που αποτελειται απο πυριτιο
που προερχεται απο την λεξη πυρ
εκ'του οποιου αναγενναται ο φοινικας
γνωστο συμβολο της χουντας των Συνταγματαρχων
Αντ'αυτου το καταστατικο απαγορευει καθε φασιστικη οργανωση!!!!!

Quote from: γνωστός μελισσοκόμος on October 28, 2010, 03:09:57 am

ΑΣΑ, ΟΥΙΣΚΙ ΚΑΙ ΑΙΡΟΝ ΜΕΗΝΤΕΝ ΔΙΣΚΟΙ

Exomag

Veteran
Διεστραμμένος

Gender:

Posts: 22045

unfortunate...

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #1 on: December 02, 2012, 13:48:01 pm »

Μια ιδέα (με την υπόθεση ότι η y είναι πραγματικής μεταβλητής x):

Υποθέτεις πως y(x)=e^λx και, αντικαθιστώντας, προκύπτει λ²+jaλ+b=0.
Λύνεις την εξίσωση και βρίσκεις τις δύο ρίζες: λ₁ και λ₂ (εν γένει, μιγαδικές)
Επομένως, έχεις δύο συναρτήσεις y₁(x)=e^λ₁x και y₂(x)=e^λ₂x
Η γενική λύση της διαφορικής θα είναι y(x)=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)

Σε περίπτωση που η y είναι μιγαδικής μεταβλητής z, ΙΣΩΣ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΣ να θεωρήσεις πως y(z)=e^λz και να προχωρήσεις ανάλογα...


« Last Edit: December 02, 2012, 13:50:22 pm by Exomag »	Logged

c0ndemn3d

Veteran
Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 4804

Yarr!

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #2 on: December 02, 2012, 13:48:40 pm »

Ναι βασικα είπα μαλακία πριν,

e^λx όπου χ φανταστικός


	Logged

In response, the pirates had to adhere to a doctrine of their own...
war against the world

They took my home, I can't walk away from that; can you?
Forget me, forget Teach, forget loyalty, compacts, honours, debts, all of it.
The only question that matters is this: Who are you?

Infinite Loop

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 706

We are the Harbinger of your perfection.

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #3 on: December 02, 2012, 13:51:08 pm »

Υποθετω οτι το A θα ειναι μιγαδικος, οποτε θα ειναι της μορφης A_r + jA_i, με A_r, A_i πραγματικους. Μπορεις μετα να παρεις τον τυπο του αθροισματος τοξου για το υπερβολικο συνημιτονο και ημιτονο, χωριζοντας ετσι τα πραγματικα απο τα φανταστικα τοξα, και να λαβεις υποψιν οτι cosh(jφ) = cos(φ) και sinh(jφ) = jsin(φ). Το πώς θα βρεις το A βεβαια ειναι μια αλλη κουβεντα...

Η γενικη λυση παντως θα βρεθει ως συνηθως απο τις ριζες του χαρακτηριστικου πολυωνυμου λ² + (ja)λ + b = 0, που ειναι δευτεροβαθμια με μιγαδικους συντελεστες, οποτε θα εχεις δυο μιγαδικες ριζες ρ₁ και ρ₂, που γενικα δεν θα ειναι συζυγεις. Τοτε θα ειναι y = c₁e^ρ₁t+c₂e^ρ₂t, αλλα εδω επειδη δεν ειναι συζυγεις οι ριζες δεν νομιζω να γινεται να βγαλεις εναν πιο συγκεκριμενο τυπο.

Edit: αν διερευνησεις το προσημο της διακρινουσας Δ = -a² - 4b νομιζω οτι μπορεις να βγαλεις καποια συμπερασματα:
Αν Δ > 0, τοτε οι ριζες θα ειναι (-ja ± sqrt(Δ))/2, οποτε η y θα σου βγει ενα περιπλοκο πραμα με κυκλικες και υπερβολικες τριγωνομετρικες.
Αν Δ = 0, θα εχεις διπλη φανταστικη ριζα, αρα y = (c₁+c₂t)e^jωt, που ειναι μια μιγαδικη συναρτηση που κανει ~~αμειωτες ταλαντωσεις~~ λεω μαλακιες, ταλαντωσεις θα κανει αλλα σιγουρα οχι αμειωτες. Πρεπει να δεις τι παιζει με τις σταθερες ολοκληρωσης.
Αν Δ < 0, τοτε οι ριζες θα ειναι φανταστικες, οποτε θα εχεις ενα αθροισμα αμειωτων ταλαντωσεων με δυο διαφορετικες συχνοτητες, και στο πραγματικο και στο φανταστικο μερος.

Αυτα.

Edit #2: Θα ηταν μια καλη ιδεα να χωσεις μερικα παραδειγματα για ολες τις περιπτωσεις του Δ στο Mathematica π.χ. και να πλοτταρεις πραγματικο/φανταστικο μερος και μετρο/φαση, πιστευω θα βοηθησει πολυ στην εποπτεια.


« Last Edit: December 02, 2012, 14:08:37 pm by Infinite Loop »	Logged

This one doesn't have time for your solid waste excretions.

il capitano

Veteran
Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4090

Verona Rulez - aua

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #4 on: December 02, 2012, 14:12:33 pm »

Μωρέ άμα είχα mathematica θα μπορούσα να το λύσω άμεσα Tongue

Γενικά πάντως προχωράει μ' αυτά που λέτε, απλά χάνομαι λίγο με τις πράξεις, γιατί έχω και κουλές Ο.Σ. και περιπλέκονται οι σταθερές κλπ. Τεσπα θα επανέλθω αργότερα γιατί πρέπει να κάνω και φαί Tongue

Σας ευχαριστώ πάντως!!


	Logged

Quote from: γνωστός μελισσοκόμος on October 28, 2010, 03:09:57 am

ΑΣΑ, ΟΥΙΣΚΙ ΚΑΙ ΑΙΡΟΝ ΜΕΗΝΤΕΝ ΔΙΣΚΟΙ

Infinite Loop

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 706

We are the Harbinger of your perfection.

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #5 on: December 02, 2012, 14:13:58 pm »

Δοκιμασες μηπως να το ριξεις στο Wolfram Alpha;


	Logged

This one doesn't have time for your solid waste excretions.

il capitano

Veteran
Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4090

Verona Rulez - aua

Re: [Διαφορικές] Ποια να είναι η λύση;;

« Reply #6 on: December 02, 2012, 15:41:03 pm »

Λοιπόν μετά το φαί λύνεις καλύτερα τελικά Tongue

Όπως λέτε και οι τρεις η γενική λύση θα είναι η y = c₁e^ρ₁t+c₂e^ρ₂t, όπου ρ_1,2 οι ρίζες της Χ.Ε. s² + (ja) s + b =0 οι οποίες και είναι μιγαδικές. Άμα κάνεις πολλές πολλές πολλές πράξεις το αποτέλεσμα (για Δ>0) θα είναι μια μίξη με εκθετικά και υπερβολικές συναρτήσεις (για τις σταθερές ομιλώ γιατί η γενική λύση φαίνεται αρκετά κομψή, αλλά έλα που δεν είναι)...

Σας ευχαριστώ και τους 3 πάντως!!