Μαθηματικές απορίες.

THMMY.gr > Forum > Χαλαρή συζήτηση - κουβεντούλα > Φιλόσοφοι Μηχανικοί - Μηχανικοί Φιλόσοφοι > Επιστήμες (Moderators: Mr Watson, Tasos Bot) > Μαθηματικές απορίες.

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: [1] 2 3 4

Author

Topic: Μαθηματικές απορίες. (Read 9215 times)

Larry_Flynt

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5403

Μαθηματικές απορίες.

« on: January 28, 2007, 03:23:51 am »

Γιατί e^ja=cosa+jsina ?


	Logged

void DrawShadow()
{
shadow = Matrix.CreateShadow(-directionalLight0Direction, game.functions.GetPlane(ref game.player.position, 5));
Matrix[] bones = game.heroPlayer.GetSkinTransforms();
Matrix[] shadowBones = new Matrix[bones.Length];

for (int i = 0; i < shadowBones.Length; i++)
{
shadowBones = bones * shadow;
}

foreach (ModelMesh mesh in game.heroModel.Meshes)
{
foreach (Effect effect in mesh.Effects)
{
effect.CurrentTechnique = effect.Techniques["Shadow"];
effect.Parameters["Bones"].SetValue(shadowBones); effect.Parameters["View"].SetValue(game.viewMatrix);
effect.Parameters["Projection"].SetValue(game.projectionMatrix);
}
mesh.Draw();
}

}

4Dcube

Veteran
Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 9068

just.do.it.cut.carrots.

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #1 on: January 28, 2007, 03:30:10 am »

Έχω την εντύπωση ότι με ανάλυση σε σειρές taylor αποδεικνύεται...


	Logged

https://www.youtube.com/watch?v=6CAzdawCzhg

dictator23

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 612

Fat Bullshido oops... Aikido Mastah...

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #2 on: January 28, 2007, 03:50:21 am »

Ναι.Πως διαολο βρηκανε τις σειρες για το ημιτονο και συνημιτονο; Shocked


	Logged

Cartago

Νεούλης/Νεούλα

Posts: 12

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #3 on: June 10, 2008, 00:41:38 am »

Quote

Γιατί eja=cosa+jsina ?

Γιατί όχι? Με κάτι πρέπει να ισούται... Shocked

Quote

Πως διαολο βρηκανε τις σειρες για το ημιτονο και συνημιτονο;

Oι σειρές δεν είναι καινούρια εφεύρεση. Η προσέγγιση λόγων μηκών - όπως το ημίτονο πχ- από πολυώνυμα περνάει από την Εσπερία, την Ινδία, τη Κίνα και καταλήγει στην αρχαία ελλάδα και τον Αρχιμήδη, ακόμα και εκείνον τον Χίο γεωμέτρη (όχι τον Στέφανο)...


	Logged

"Σου άφησα πάντως κάτι να με θυμάσαι..."
"Αλήθεια? Τι?"
"450 ευρώ λογαριασμούς"

promitheas

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 935

Ελληνική Λαϊκή Δημοκρατία ....ΤΩΡΑ!!!!!

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #4 on: June 10, 2008, 02:04:34 am »

Καλή ερώτηση. θα εκπλαγείς όμως αν συνειδητοποιήσεις την έκταση της άγνοιας που έχουν και οι ίδιοι οι διδάσκοντές μας πανω σε πολύ εύστοχα ερωτήματα.
Για παράδειγμα, έχω ρωτήσει πάρα πολλούς να μου εξηγήσουν γιατι όταν υψώσεις μια συνάρτηση f(t) στο τετράγωνο αυτή ονομάζεται αμέσως Ισχύς, δηλαδή παίρνει χαρακτηριστικά Ισχύος? και είτε δεν πήρα απάντηση είτε λέγανε οτιδήποτε άλλο. Αυτο το είδα στο αναλογικό σήμα και μου έκανε μεγάλη εντύπωση.
Ετσι, για να παρεις απαντήσεις, αν ενδιαφέρεσαι για κάτι βαθύτερο, αναγκάζεσαι να είσαι αυτοδίδακτος χάνοντας χρόνο και ενεργεια.


	Logged

ΤΟ ΖΗΤΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΕΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΡΕΕΕΕ!!!!!!!

Junior

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 1349

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #5 on: June 10, 2008, 02:59:53 am »

Quote from: Larry_Flynt on January 28, 2007, 03:23:51 am

Γιατί e^ja=cosa+jsina ?

Λοιπόόόν... πριν πούμε γιατί ορίστηκε έτσι το e^(ix), ας δούμε λίγο με τι κριτήρια ορίζουμε τις πράξεις όταν μεταπηδούμε από κάποιο σύνολο σε ένα ευρύτερο.

Ξεκινάμε από τις δυνάμεις με εκθέτη φυσικό, οι οποίες ορίζονται μέσω του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή e^2 = e*e, e^3=e*e*e κλπ. Γενικά x^2=x*x, x^3 = x*x*x κλπ.
Λόγω του ορισμού τους, για τις δυνάμεις ισχύει ότι x^n * x^m = x^(n+m), και επίσης, x^n / x^m = x^(n-m). Γιατί μας ενδιαφέρει αυτό; Επειδή σε αυτό στηρίζεται η γενίκευση που έχουμε κάνει για δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο (δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών ακεραίων).
Από τις πολλές γενικεύσεις που θα μπορούσαμε να έχουμε κάνει, επιλέγουμε αυτή για την οποία διατηρούνται οι ιδιότητες των πράξεων.
Άρα αν θέλουμε να διατηρείται ιδιότητα x^n / x^m = x^(n-m), αν πχ θέσουμε n =1 και m=2, παίρνουμε ότι x^1/x^2 = x^(-1), δηλαδή 1/x=x^(-1). Και γενικά θα πρέπει να ισχύει x^(-n) = 1/x^n.

Αυτό που πρέπει να κρατήσουμε από εδώ είναι ότι γενικεύουμε τους ορισμούς έτσι ώστε να συνεχίζουν να ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες.

Ως επόμενο παράδειγμα μπορούμε να δούμε τις δυνάμεις με εκθέτη ρητό. Η ιδιότητα (x^n)^m = x^(n*m), μας οδηγεί με παρόμοιους συλλογισμούς όπως πριν στο να ορίσουμε ότι x^(n/m) = (m-οστή ρίζα του x^n).

Μιας και τα πήραμε με τη σειρά, ας δούμε και το επόμενο φυσιολογικό βήμα. Δύναμη με εκθέτη πραγματικό αριθμό (δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των άρρητων).
Η ιδιότητα που ζητάμε εδώ να ικανοποιείται είναι η x^y να είναι γνησίως αύξουσα (ίσως να αρκεί και η συνέχειά της, δεν ξέρω...). Δηλαδή, όταν ο άρρητος y προσεγγίζεται με ρητούς από κάτω, πρέπει να δίνει όλο και μεγαλύτερο αποτέλεσμα, ενώ όταν προσεγγίζεται με ρητούς από πάνω πρέπει να δίνει όλο και μικρότερο αποτέλεσμα. Έτσι οδηγούμαστε σε... αναγκαστική ανάθεση τιμής του x^y ώστε να είναι μεγαλύτερη από κάθε x^q όπου q ρητός μικρότερος του y και μικρότερη από κάθε x^q όπου q ρητός μεγαλύτερος του y. Αυτά και για τον πραγματικό εκθέτη.

Πάμε τώρα σε αυτό που ρωτάς. Εκθέτης μιγαδικός.
Η σπουδαία ιδιότητα της πραγματικής συνάρτησης e^x ήταν το γεγονός ότι η παράγωγός της ήταν ίση με την ίδια τη συνάρτηση, αλλά και ότι [e^(αx)]' = α*e^(αx)
Αυτό το τελευταίο ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α. Όμως, επειδή για τους μιγαδικούς αριθμούς (και για αυτό το i που καταρχήν ήταν ένα σύμβολο) θέλουμε να ισχύουν οι ίδιες πράξεις όπως και για τους πραγματικούς, είναι φυσικό να ζητήσουμε να ισχύει [e^(ix)]' = i*e^(ix). Άρα και [e^(ix)]'' = i^2*e^(ix) = -e^(ix).
Από αυτό προκύπτει ότι [e^(ix)]'' + e^(ix) = 0
Δηλαδή από την απαίτησή μας να ισχύει η πράξη της παραγώγισης για την e^(ix) όπως ισχύει και για την e^(αx), δηλαδή να γενικευτεί διατηρώντας τις ιδιότητες, προέκυψε ένας περιορισμός για τη συνάρτηση αυτή. Θέτουμε y=e^(ix), η εξίσωση γίνεται y'' + y = 0. Αυτή η διαφορική εξίσωση μας προσδιορίζει (με αυθαιρεσία δύο σταθερών) τη συνάρτηση που προσπαθούμε να ορίσουμε!!
Η λύση της είναι y=a*cosx+b*sinx. Δηλαδή e^(ix) = a*cosx+b*sinx. Τώρα για να ορίσουμε τις σταθερές, καταρχήν πολύ φυσιολογικά μπορούμε να απαιτήσουμε ότι e^(i*0) = e^(0) = 1, ώστε να είναι συμβατό με ό,τι ξέρουμε μέχρι τώρα, άρα προκύπτει a=1, αφού sin0=0. Για το b μια απαίτηση προκύπτει αν παραγωγίσουμε: i*e^(ix) = -a*sinx+b*cosx. Θέτοντας πάλι x=0, παίρνουμε b=i.
Άρα τελικά, λόγω της απαίτησης να ισχύει για την παραγώγιση της e^z ό,τι ισχύει για την e^x και ταυτόχρονα να διατηρείται ό,τι ξέραμε για την e^x, οδηγούμαστε στο να ορίσουμε ότι e^(ix) = cosx+i*sinx


	Logged

Bgenopoulos

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 969

needed

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #6 on: June 10, 2008, 03:01:12 am »


	Logged

Μπατσοι-Ταξιτζιδες-Γιατροι.

Ολα τα αρχιδια δουλευουνε μαζι.

Papatanasis

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 1479

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #7 on: June 10, 2008, 03:02:46 am »

Quote from: Larry_Flynt on January 28, 2007, 03:23:51 am

Γιατί e^ja=cosa+jsina ?

Προβληματα που εχει ο κοσμος! Tongue


	Logged

Larry_Flynt

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5403

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #8 on: June 10, 2008, 03:14:35 am »

Junior έχεις κάνει τρομερή δουλεια.

Αυτό το e^ja μας έχει φάει τη ψυχή. Αυτός ο Euler φταίει για όλα. Χωρίς e^ja είχε Fourier και Laplace?


	Logged

Larry_Flynt

Καταστραμμένος

Gender:

Posts: 5403

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #9 on: June 10, 2008, 03:16:05 am »

Mathematical notation

Euler introduced and popularized several notational conventions through his numerous and widely circulated textbooks. Most notably, he introduced the concept of a function[3] and was the first to write f(x) to denote the function f applied to the argument x. He also introduced the modern notation for the trigonometric functions, the letter e for the base of the natural logarithm (now also known as Euler's number), the Greek letter Σ for summations and the letter i to denote the imaginary unit.[18] The use of the Greek letter π to denote the ratio of a circle's circumference to its diameter was also popularized by Euler, although it did not originate with him.[19]

Μας κατεστρεψε - και τη συνάρτηση αυτός την έδωσε αυτή τη μορφή. ΛΟΛ.


	Logged

pmousoul

Guest

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #10 on: June 10, 2008, 04:20:04 am »

Πολύ ωραίος ο junior!


	Logged

Nessa NetMonster

Καταστραμμένος

Posts: 7044

Ιούνιος 1999 - 19/7/2009

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #11 on: June 10, 2008, 11:04:34 am »

Πραγματικά διαφωτιστικό. Ούτε εγώ ήξερα πώς είχε προκύψει αυτή η σχέση. Junior NotWorthy


	Logged

Διεθνιστική Εργατική Αριστερά
Διεθνιστική Αριστερά
Εργατική Αριστερά

RedNet Θεσσαλονίκης

edenaxas

Guest

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #12 on: June 10, 2008, 12:03:46 pm »

http://en.wikipedia.org/wiki/Eulers_formula -> differential equation proof


	Logged

Cartago

Νεούλης/Νεούλα

Posts: 12

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #13 on: June 10, 2008, 13:11:02 pm »

Junior τα βήματά σου είναι λογικά, μα δεν είναι αυτός ο τρόπος που ο Οϋλερ έφτασε στον τύπο.
Μιλάμε για τον 17ο αιώνα και έναν βαθύτατα θρησκευόμενο άνθρωπο:
Τα μαθηματικά δεν τα θέτουμε να είναι όπως θα έπρεπε, μα τα ανακαλύπτουμε βήμα προς βήμα, ως έκφραση "Θείκής Σοφίας". Δεν υπάρχει πουθενά πριν τον Ρήμαν η φράση "έτσι θα έπρεπε να είναι", γιατί απλά... έτσι είναι.

Ο ίδιος ο Όυλερ, χρησιμοποίησε τις σειρές Τέυλορ για το εκθετικό, το συνημίτονο και το ημίτονο. Η μορφή τους σήμερα δεν διαφέρει από τους τύπους που δημοσίευσε ο ίδιος ο Τέυλορ κοντά στα 1700:

$\exp{x}=\sum_n \frac{x^n}{n!}\\\sin{x}=\sum_n \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\cos{x}=\sum_n \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!}$

O Όϋλερ έθεσε αυθαίρετα όπου x to ix στην πρώτη:

$\exp{ix}= \sum_n \frac{(ix)^n}{n!}\\=\sum_{artioi}\{...\} \ + \sum_{perittoi}\{...\}$

και χρησιμοποίησε την ιδιότητα της μιγαδικής μονάδας

$i^n=\begin{cases}(-1)^k, \ n=2k, \ artios \\-i,\ \ \ \ \ \ n \ perittos \end{cases}$

για να καταλήξει ότι

$\exp{ix}=\\= \sum_{n \ artios} \frac{(-i)^n x^n}{n!} + \sum_{n \ perritos} \frac{-ix^n}{n!}\\=\sum_{n \ artios} \frac{(-i)^n x^n}{n!}+ \sum_{n \ perritos} \frac{-ix^n}{n!}\\=\sum_{n} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+ i\sum_{n} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\\=\cos{x}+i\sin{x}$

...Μάλιστα ο τύπος αυτός περνάει σχεδόν απαρατήρητος από τον ίδιο τον Όϋλερ Cheesy


	Logged

"Σου άφησα πάντως κάτι να με θυμάσαι..."
"Αλήθεια? Τι?"
"450 ευρώ λογαριασμούς"

Netgull

Veteran
Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 1364

Re: Μαθηματικές απορίες.

« Reply #14 on: June 10, 2008, 13:49:38 pm »

Quote from: Cartago on June 10, 2008, 13:11:02 pm

Ο ίδιος ο Όυλερ, χρησιμοποίησε τις σειρές Τέυλορ για το εκθετικό, το συνημίτονο και το ημίτονο. Η μορφή τους σήμερα δεν διαφέρει από τους τύπους που δημοσίευσε ο ίδιος ο Τέυλορ κοντά στα 1700:

[Spam on]Ο Όυλερ έγραφε και "perittos"/"artios" ? Tongue

[/spam off]

Quote from: promitheas on June 10, 2008, 02:04:34 am

Για παράδειγμα, έχω ρωτήσει πάρα πολλούς να μου εξηγήσουν γιατι όταν υψώσεις μια συνάρτηση f(t) στο τετράγωνο αυτή ονομάζεται αμέσως Ισχύς, δηλαδή παίρνει χαρακτηριστικά Ισχύος? και είτε δεν πήρα απάντηση είτε λέγανε οτιδήποτε άλλο. Αυτο το είδα στο αναλογικό σήμα και μου έκανε μεγάλη εντύπωση.

Σε πολλά φυσικά συστήματα η (στιγμιαία) ισχύς, που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος ως προς το χρόνο) της ενέργειας προκύπτει να δίνεται από το τετράγωνο μιας μεταβλητής του συστήματος, συνήθως της μεταβλητής κατάστασης, επί μια σταθερά.
Πχ. για την κινητική ενέργεια 1/2*m*v^2, για την ενέργεια ελατηρίου 1/2*k*x^2, για την ενέργεια του πεδίου 1/2*ε*E^2+1/2μ*Β^2 κλπ.
Δεν είναι αυτό αρκετός λόγος για να αντιμετωπίζουμε το τετράγωνο μιας συνάρτησης ως "ισχύ";


	Logged

Μου λες να βάλω τη ζωή μου σε μια τάξη, μα ποιος στ' αλήθεια ορίζει την τροχιά του; Η αταξία είναι τ' ουρανού η τάξη, και γω ανασταίνομαι στο γύρο του θανάτου...

Μην αμφιβάλλεις
γι αυτόν
που σου λέει
πως φοβάται

να φοβάσαι όμως
αυτόν
που σου λέει
πως δεν αμφιβάλλει.

Aime moi moins, mais aime moi longtemps

Pages: [1] 2 3 4

Jump to: