Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ορισμένη τότε με τη χρήση θεωρήματος Lyapunov δείχνεις ασυμπτωτική ευστάθεια και δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα άλλο.

Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ημιορισμένη τότε με το θεώρημα Lyapunov μπορείς να δείξεις μόνο ευστάθεια, όχι ασυμπτωτική ευστάθεια. Αν θέλεις να δείξεις ασυμπτωτική ευστάθεια πρέπει να κάνεις εφαρμογή της αρχής του LaSalle. Για να την εφαρμόσεις βλέπεις που η παράγωγος της Lyapunov ταυτίζεται με το μηδέν, γράφεις το σύστημά σου μέσα σε αυτό το σύνολο, και δείχνεις ότι εκεί μέσα ισχύει x = x* και dx = 0, με x* το σημείο ισορροπίας. Για τη διατύπωση δες κάποια απο τις ασκήσεις του μαθήματος που έχουν ανέβει από προηγούμενα χρόνια.



Αυτό που γράφεις δεν είναι σωστό, αρνητικά ημιορισμένη παράγωγος της Lyapunov δεν σημαίνει τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια, αλλά απλά ευστάθεια. Και η αρχή του LaSalle δεν σου γενικεύει το συμπέρασμα από τοπικό σε ολικό. Το αν κάτι ισχύει τοπικά ή ολικά έχει έχει να κάνει με το σύνολο στο οποίο ισχύει dV < 0 (ή dV <= 0 ), με V την υποψήφια Lyapunov. Αν εφαρμόσεις LaSalle μετά, για το ίδιο σύνολο βγάζεις συμπεράσματα.


Γενικά το κριτήριο δίσκου είναι πιο περιοριστικό από το κριτήριο Popov, οπότε αν μπορείς να χρησιμοποιήσεις κριτήριο Popov να επιλέγεις αυτό. Οι περιπτώσεις που δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις Popov είναι όταν 1) η μη γραμμικότητα ανήκει σε τομέα (κ1, κ2), αντί για (0, κ) και 2) αν η συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ βρόχο έχει πόλο είτε στο 0 είτε με θετικό πραγματικό μέρος.

Γενικά δεν ξέρω, αλλά για αυτή την εξεταστική ακούγεται ότι θα βγουν σίγουρα μετά τις 20 του μηνός

Αν είχες πόλο στο 0 θα ξεκινούσες από -90 μοίρες φάση, οπότε το διάγραμμά σου θα ερχόταν από το - άπειρο.

Όχι ρε, δεν κάνουν αυτοί τέτοια πράγματα...!

Μην βιάζεσαι!

Λογικά θα βγουν οι εργασίες μέχρι την Παρασκευή και τα γραπτά αρχές της άλλης εβδομάδας.

Θα γίνει μια προσπάθεια για μέχρι το τέλος της άλλης εβδομάδας, αλλά δεν υπόσχομαι κάτι!
Γενικά κάνατε πολλά άτομα εργασία, οπότε έχει αρκετή δουλειά η διόρθωση.

Αντικαθιστάς στο σύστημα το u και παραγωγίζεις. Οπότε σου βγαίνει ένα δεύτερου βαθμού σύστημα:

ddx = -dx - φ(x) - dx => ddx + 2dx = -φ(x)

το οποίο είναι ισοδύναμο με ένα σύστημα  ddx + 2dx = u, όπου u = -φ(x)

Μετά λύνεται σαν μια κλασσική άσκηση, κάνεις Laplace για να βρεις την Η(s), βρίσκεις τομέα, και μετά κάνεις κριτήριο δίσκου.

Δεν μπορείς μέσα στο hat{u} να έχεις το πραγματικό sign(), αυτό σου λέω. Γιατί εμμέσως λες ότι ο ελεγκτής σου ξέρει πώς λύνεται η απροσδιοριστία, που αυτό δεν το ξέρει. Πρέπει αν βάλεις είτε μια άλλη υλοπίηση του sign(), είτε να μην το βάλεις καθόλου και να προσαρμόσεις κατάλληλα τα άνω όρια των σφαλμάτων.

Δεν χρειάζεται να κάνεις κάποια ανάλυση αντικαθιστώντας το u όπως έγραψες νωρίτερα. Κράτα το u, και κάνε την ίδια ανάλυση. Θα βγάλεις έτσι μια συνθήκη που θα σου λέει πότε έχεις στατική τριβή και πότε όχι. Δεν χρειάζεται να είναι πάλι κάποιο όριο για το x, μπορεί να είναι κάτι άλλο.

Η συνθήκη από τη θεωρία είναι ζ >= 1. Για ζ > 1 όπως σωστά είπε ο Μπιγκόνια πάλι δεν έχεις ταλαντώσεις και είσαι και πιο αργός. Δεν είναι ανάγκη να βάλεις το ζ = 1 και να είσαι στην οριακή περίπτωση, μπορείς να το βάλεις λίγο μεγαλύτερο, αρκεί να καλύπτεις τις προδιαγραφές σου, δηλαδή ο χρόνος αποκατάστασης να μην πέφτει σε τιμές μικρότερες από αυτές που σου ζητούνται.

H Lyapunov αυτή δεν είναι κάτι διαφορετικό από την κλασσική, απλά είναι ορισμένη για n διαστάσεις. Δηλαδή ισχύει ότι V = 1/2 x^Tx = 1/2 (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2).

Και η παράγωγος βγαίνει με τον ίδιο τρόπο dV = dx^Tx = (dx1 x1 + dx2 x2 + ... + dxn xn).
Αν προβληματίζεσαι πώς βγαίνει αυτό, απλά κάνεις τον κανόνα του γινομένου dV = 1/2 * (dx^Tx + x^T dx) και μετά επειδή η ποσότητα x^Tdx είναι μονοδιάστατη, είναι ίση με το transpose της, δηλαδή x^Tdx = dx^Tx. Οπότε τελικά:

dV = 1/2 * (dx^Tx + x^T dx) = 1/2 * (dx^Tx + dx^T x) = 1/2*(2dx^Tx) = dx^Tx

(εννοείται πως το transpose δεν επηρεάζει κάπως την παράγωγο, είναι μια σύμβαση για να γράφουμε ένα διάνυσμα ως διάνυσμα γραμμή).

Η υπόλοιπη άσκηση φαίνεται στις σημειώσεις που σου επισήμανε ο Caterpillar.

Το sign() στον όρο της τριβής το υλοποιείς στο 0 κάνοντας ανάλυση όπως και στο Τμήμα Α, βάζοντας στο σύστημα και τον ελεγκτή σου. Πρόσεχή όμως στη hat{u}, δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις το ίδιο sign() αυτούσιο, γιατί το πως λύνεται η απορσδιοριστία στο 0 είναι άγνωστο, δεν μπορεί να το ξέρει ο ελεγκτής σου.

Τα άλλα δύο φυσικά και έχουν διαφορετική υλοποίηση. Δεν υπάρχει κάποια απροσδιοριστία σε αυτά, είναι συναρτήσεις των ελεγκτών σου, δεν μοντελοποιούν κάποια φυσική συμπεριφορά του συστήματος. Η υπόδειξη σου λέει (μόνο για τις προσομοιώσεις) να χρησιμοποιήσεις συναρτήσεις κορεσμού, δες τη διαφάνεια 11 της Διάλεξης 05. Η επιλογή του ε θα γίνει με βάση τη συμπεριφορά του συστήματός σου, πρακτικά με try and error. Μην το βάλεις όμως τραγικά μικρό, γιατί στην πράξη δεν θα έχει κάποια διαφορά από το sign() και δεν θα σου δουλέψει.

Για τη σχεδίαση του ελεγκτή κάνουμε ο,τι και σε όλες τις υπόλοιπες ασκήσεις με sliding, οπότε φαντάζομαι ρωτάς για την επιλογή παραμέτρων.
Ουσιαστικά αφορά τον υπολογισμό του λ και το c που θα μπουν στον ελεγκτή σου. Το λ το υπολογίζεις από τη χρονική σταθερά που σου λέει στο α. ως λ = 1/τ. Σε καθεστώς ολίσθισης έχεις s = 0, οπότε ισχύει de = -λe (πρωτοβάθμιο γραμμικό σύστημα).

Για το c χρησιμοποιείς τη σχέση πάνω δεξιά στη διαφάνεια 9 της Διάλεξης 05, όπου αντικαθιστούμε το tr που δίνεται στο β. και το s(0) από την τροχιά αναφοράς y_d(t) = 0.5sint και τις αρχικές τιμές του συστήματος.

λ = 1 / τ.
Αν σου δίνει προδιαγραφή για χρόνο αποκατάστασης ts, τότε παίρνεις λ = 4/ts.

Αν χρησιμοποιήσεις την υπόδειξη να θεωρήσεις ταχύτητες κάτω του 1e-8 μηδενικές, σε συνδυασμό με την ανάλυση του ερωτήματος ii - δηλαδή να έχεις μελετήσει σωστά τι συμβαίνει όταν η ταχύτητα είναι 0 - τότε δεν θα έπρεπε να σου βγάζει σφάλμα. Το Refine έχει να κάνει καθαρά με το πως παρουσιάζεις τα αποτελέσματά σου, δεν επηρεάζει τη σύγκλιση της προσομοίωσης ή πιθανά σφάλματα.