THMMY.gr

Η επομενη προταση ειναι σωστη.

Η προηγουμενη προταση ειναι λαθος.

 :???:  ^idiot^  ^seestars^

Αυτή η πρόταση είναι λάθος.

Διαβασε με.

Ε, το διάβασα...

χα και γω....nevermind :P

Ντοινκ! Όντως είναι ατέρμων βρόχος όμως!!! ^banghead^

Αν αποφασίσεις να ακολουθήσεις την εντολή.

χαχα καλα φτανει δε χρειαζεται αλλη σκεψη ... παμε παρακατω ^ytold^

aliakmwn u are the best :-*

Σιγά, εγώ φτιάχνω μεγαλύτερους!

Η παρακάτω πρόταση είναι λάθος.
Η παρακάτω πρόταση είναι σωστή.
Η προ-προηγούμενη πρόταση είναι σωστή.

Υπολογιστής υποτίθεται πως είσαι!!!

Το σίγουρο είναι ότι ο ατέρμων βρόχος καταναλώνει πόρους και προκαλεί προβλήματα ευστάθειας του συστήματος.

Χαχα, στην αρχή δεν το κατάλαβα. Το κοίταξα από προγραμματιστική σκοπιά.
Μετά το είδα από πλευρά επικοινωνίας... ναι, ατέρμων βρόγχος.

Γνωστά αυτά τα ατέρμωνα φιλοσοφικά παιχνίδια.......  :P

Το πιο κλασσικό είναι το: 'Ένα ξέρω, ότι δεν ξέρω τίποτα" (ο Σοφοκλής το είπε νομίζω?)  :P

Ο Σωκράτης.

και γνωστότερο είναι το Επιμενείδιο παράδοξο,ο Επιμενίδεις που ήταν κρητικοός,είπε "οι κρητικοί είναι ψεύτες"

Αυτό δεν είναι παράδοξο, ο Επιμενίδης έλεγε ψέματα.

Είναι ατέρμων βρόχος

Αφού λέει ψέματα τον ξαναρωτάνε και λέει πάλι ψέματα και τον ξαναρωτούν και ξαναλέει ψέματα κοκ...

έτσι όπως είναι διατυπωμένο είναι διότι αν θεωρήσουμε ότι η πρόταση είναι σωστή τότε η πρόταση πρέπει να είναι λάθος

Επίσης αν θεωρήσουμε ότι είναι λάθος τότε ισχύει η άρνηση της που είναι: οι οι κρητικοί δεν είναι ψεύτες οπότε η πρόταση πρέπει να είναι σωστή.

Εδώ είναι το λάθος σου: Οι κρητικοί δεν είναι όλοι ψεύτες. Αυτό δε σημαίνει ότι δε μπορεί ένας κρητικός (ο Επιμενίδης) να είναι ψεύτης.

Πάντως Nessa έχεις πολύ περίεργο τρόπο σκέψης...   :) :)


Κ.Ι.Σ.

Σωστά σκέφτηκε.

Όμως ο Επιμενείδης είπε πως όλοι οι κρητικοί είναι ψεύτες.

Καλα δε θα αρχισουν και καμια V for Vendetta αν απλα υποθεσεις πως η προταση του Επιμενιδη ισχυει ως εχει, δλδ για καθε Κρητικο.

Ρε παιδιά είναι απλό: Η άρνηση του "όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες" είναι η "μερικοί Κρητικοί δεν είναι ψεύτες". Το "κανένας κρητικός δεν είναι ψεύτης" είναι η άρνηση του "μερικοί κρητικοί είναι ψεύτες".

Περάστε καμιά φορά από το μάθημα της συμβολικής λογικής ;D

...βλέπεις ως "στοχαστές" - τρομάρα μας - ηλεκτρολόγοι σκεφτόμαστε ως εξής:
   ___
  { S } = Ø


Άρα, ή όλοι, ή κανείς  :P

 ;D


Κ.Ι.Σ.

edit: Εκανα ενα λαθος στη μεταφραση......... Η προταση δεν ειναι "ολοι οι κρητικοι ειναι ψευτες" αλλα "οι κρητικοι λενε παντα ψεματα".
Δεν αλλαζει το νοημα της αναλυσης, διοτι και παλι, η αρνηση θα ειναι "οι κρητικοι δεν λενε παντα ψεματα".


Το ρητο του Επιμενιδη ειναι ενα παραδοξο, αλλα δεν ειναι ατερμων βροχος. (Δεν ταυτιζονται αυτα τα δυο)

Η Nessa εχει δικιο.

"Κρητες, αει ψευσται" ειπε ο Επιμενιδης.

Το αντιθετο του "ολοι" δεν ειναι το "κανενας", αλλα το "οχι ολοι". Απλη θεωρια συνολων, εφ' οσον το συνολο "ολοι" δεν περιλαμβανει μονο εναν.


Σκεφτειτε λιγο μαθηματικα:
Για να αποδειξεις πως ενα συνολο δεν φερει μια χαρακτηριστικη ιδιοτητα, αρκει να φερεις ενα και μοναδικο αντιπαραδειγμα.

"Ολοι οι πραγματικοι αριθμοι ειναι ταυτοχρονα και ρητοι".
Η παραπανω προταση ειναι λαθος.
Λαθος ομως, δεν σημαινει πως κανενας δεν ειναι ρητος. Σημαινει πως εστω και ενας, δεν ειναι ρητος.

Μη σκεφτεστε τοσο boolean ;D

 ^nono^ ^nono^ ^nono^





 :(

Η άρνηση του μερικοί κρητικοί είναι ψέυτες τι βγάζει?

Πάντως όχι:
όλοι οι κρητικοί είναι ψεύτες
οπότε..... ως γνωστόν η άρνηση της αρνησης της πρότασης πρέπει να βγάζει την ίδια την πρόταση

Κατά τη γνώμη μου το αντίθετο του "όλοι οι Κρήτες είναι ψεύτες" είναι το "όλοι οι Κρήτες ΔΕΝ είναι ψεύτες" άρα μπορεί να είναι μερικοί.
Όπως το αντίθετο του όλα δεν είναι το τίποτα αλλά το κάτι..

Η απαντηση σε ολους τους... αντιπροβληματισμους μας ( ;D ) συνοψιζεται στο παραδοξο του Russell και στη λυση που εχει βρεθει γι' αυτο.

Το λαθος ολων μας ειναι οτι δεν το λαβαμε υπ' οψιν.


Ή, για να το διατυπωσουμε πιο σωστα: Ο Russell βρηκε ενα μαθηματικο μοντελο για την περιγραφη αυτων των παραδοξων. Η επιλυση του παραδοξου του Russell (η οποια αν θυμαμαι καλα εισηγαγε και την εννοια του "επιπεδου" στα συνολα) αποτελει θεμελιο για την αντιμετωπιση τετοιων λογικων παραδοξων.


Να θυμισω πως απο την αρχη αναφερομουν σε ατερμονες βροχους και οχι σε παραδοξα ;)

edit: Εκανα ενα λαθος στη μεταφραση......... Η προταση δεν ειναι "ολοι οι κρητικοι ειναι ψευτες" αλλα "οι κρητικοι λενε παντα ψεματα".
Δεν αλλαζει το νοημα της αναλυσης, διοτι και παλι, η αρνηση θα ειναι "οι κρητικοι δεν λενε παντα ψεματα".



Πολυ σωστα!

Η λογικη αρνηση σε μια προταση, επιδρα στο ρημα.
Αρνηση του "εγω ειμαι" ειναι το "εγω ΔΕΝ ειμαι", και οχι το "οχι εγω, ειναι*" = "καποιος αλλος ειναι"

(το ειναι*, ειναι το απαρεμφατο του "ειμαι")

Ολοι οι κρητικοι ειναι ψευτες.
Το ρημα "ειμαι" αποδιδει το χαρακτηρισμο του κατηγορουμενου "ψευτες" στο υποκειμενο-συνολο "ολοι οι κρητικοι".
Λογικη αρνηση σημαινει πως η προταση δεν ισχυει. Η αρνηση tο μονο που κανει ειναι να αναιρει την καταφαση.
Αρνηση: Ολοι οι κρητικοι δεν ειναι ψευτες.
Το ισοδυναμο αυτου ειναι το "υπαρχει ενας τουλαχιστον κρητικος, ο οποιος δεν ειναι ψευτης"

Κι αυτο γιατι, το υποκειμενο της προτασης ειναι το συνολο "ολοι οι κρητικοι", και οχι ενα μονο στοιχειο, π.χ. "ο ταδε κρητικος" - τοτε θα ειχαμε αναγκαστικα boolean λογικη.

Αυτο που μας μπερδευει ειναι το οτι........ οταν στο γυμνασιο οι φιλολογοι μάς μαθαιναν συντακτικο, εμεις λεγαμε "τι μαλακιες ειναι αυτες που καθεται τωρα και μας λεει" ;)


Σας ξαναπαραπεμπω στο παραδειγμα:

Επειδη το topic πηρε ενδιαφερουσα τροπη, θα απομακρυνω μερικα μηνυματα και θα αλλαξω τον τιτλο ;)

Συνεχίζουμε να λέμε αυτονόητα πράγματα... αλλά όχι απόλυτα σχετικά με το θέμα.


 ;)

Μία λύση με μαθηματικούς όρους είναι η εξής:

αν θεωρήσουμε Ψ το σύνολο των ψευτών και K το σύνολων των κρητικών
η πρόταση του επιμενίδη μας λέει ουσιαστικά ότι το Κ είναι υποσύνολο του Ψ

δηλαδή Κ<=Ψ

ως γνωστόν από την θεωρία συνόλων αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο κάποιου άλλου τότε Ψ^Κ=Κ και ΨvK=Ψ δηλαδή η πρόταση μπορεί να γρφεί ισοδύναμα

(Ψ^Κ=Κ)*(ΨvΚ=Ψ)

η άρνηση της τώρα είναι:

/((Ψ^Κ=Κ)(ΨvΚ=Ψ))=/(Ψ^Κ=Κ) + /(ΨvΚ=Ψ)=
Ψ^Κ<>Κ ή ΨvK<>Ψ

πίσω στη λεκτική διατύπωση τώρα

η άρνηση της πρότασης είναι:

δεν είναι όλοι οι κρήτες ψέυτες ή υπάρχουν κρήτες που δεν είναι ψεύτες

Οπότε όντως με αυτή την έννοια δεν αποτελεί παράδοξο και η nessa έχει δίκιο, απλά πλέον αναφέρεται συχνά ως παράδοξο για τις αυτοαναφορικές αυτοανερούμενες προτάσεις θεωρωντας ότι η άρνηση είναι οι κρήτες δε λένε ψέματα

πχ η πρόταση αυτή είναι ψευδείς

το κορυφαίο είναι πως ο επιμενίδης είπε το παραπάνω εννοόντας πως εξαιρεί τον εαυτό του. Το είπε από ότι διάβασα γιατί οι κρητικοί έλεγαν πως ο Δίας ήταν θνητός και ο ίδιος ήταν προφήτης του Δία και ήθελε να τους διαψεύσει

links
http://users.ntua.gr/el01741/MyWebPage/Info/paradox/Epimenidis.htm
http://www.panteion.gr/~dionysos/segal7.htm

Η ιστορία του κουρέα διευκρινίζει πως λειτουργεί το παράδοξο. Όπως όλα τα παράδοξα, περιέχει μια πρόταση που είναι αλήθεια όταν είναι ψέματα και ψέματα όταν είναι αλήθεια. Η ιστορία έχει ως εξής:


Σε ένα μικρό χωριό ζει ένας κουρέας, που ξυρίζει μόνο εκείνους τους χωρικούς που δεν ξυρίζονται από μόνοι τους. Αν ζεις στο χωρίο και δεν ξυρίζεσαι από μόνος σου, ο κουρέας θα σε ξυρίσει. Φυσικά, αν ξυρίζεσαι από μόνος σου, ο κουρέας δεν θα σε ξυρίσει.


Τώρα, το ερώτημα που γεννάει το παράδοξο: θα πρέπει ο κουρέας να ξυρίσει τον εαυτό του; Η λογική που θα χρησιμοποιήσουμε για να σκεφτούμε το ερώτημα είναι περίπου η εξής: αν ο κουρέας ξύριζε τον εαυτό του, θα ήταν «αυτο-ξυριζόμενος», θα ανήκε στην κατηγορία των λεγόμενων «αυτο- ξυριζόμενων». Αν αυτή είναι η υπόθεση, τότε δεν θα έπρεπε να ξυρίσει τον εαυτό του, γιατί ξυρίζει μόνο τους ανθρώπους που δεν ξυρίζονται από μόνοι τους. Αν όμως δεν ξυριστεί από μόνος του, δεν είναι αυτο-ξυριζόμενος, άρα μπορεί να ξυρίσει τον εαυτό του  ;D

Ωραίο Bob.
Eπιτέλους ένα αυθεντικό παράδοξο  ;D.

Το παράδοξο του Επιμενίδη σε αυστηρή μορφή (και γνήσια παράδοξο):

Α="Η πρόταση Α είναι ψευδής"

========================
Ή, με δύο προτάσεις:

Α="Η πρόταση Β είναι ψευδής"
Β="Η πρόταση Α είναι αληθής"

========================
Έχω γράψει μια εργασία πάνω σε αυτό και γενικέυσεις: http://users.auth.gr/~kehagiat/KehPub/techreps/200309046.pdf

Θ

Αν όμως θέλετε ένα πιο καλό παράδοξο, πάρτε αυτό:

A="O thanasiskehagias δεν μπορεί να αποδείξει την Α"

Θ

Προσωπικά νομίζω πως αν το δούμε από αυτή τη σκοπιά, μη λαμβάνοντας υπόψη πως ο Επιμενίδης εξαίρουσε τον εαυτό του υποστηρίζοντας κάτι τέτοιο, τότε πρόκειται για παράδοξο σε κάθε περίπτωση, άσχετα από ό,τι έχει διατυπωθεί παραπάνω.


Μr Κεχαγιάς ευχαριστούμε ;)

Όλα μου τα post είναι off-topic.

^banghead^ ^banghead^ ^banghead^

Όχι ρε παιδιά... :-[

Μπορεί ο Παντοδύναμος Θεός να φτιάξει μια πέτρα που να μην μπορεί να σηκώσει;

:D

Θα φτιάξει μία πέτρα την οποία ταυτόχρονα και θα μπορεί και δε θα μπορεί να τη σηκώσει

Ζήτω η κβαντομηχανική ;D

Πάντως εγώ έχω μια μικρό διαφωνία με αυτό. Μία πρόταση που δε μπορεί να αποδειχθεί δεν είναι απαραίτητα και λάθος μπορεί να είναι σωστή απλά μη αποδείξιμη κάτι σαν αξίωμα.

Ζήτω.........................!

Αλλά για να σηκώσει την πέτρα θα πρέπει να πατάει κάπου ο Θεός. Και υπάρχει κάτι που να μπορεί πάνω να πατάει ο Θεός? Είναι δηλαδή τοοοοοοοοοοσο μικρός? Και για να 'σηκώσει' αυτήν την μεγάλη πέτρα, θα πρέπει να την πάει από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β, σε διεύθυνση αντίθετη με τις βαρυτικές δυνάμεις του βαρυτικού πεδίου (προφανώς(!) αφού πρέπει να καταναλώσει ενέργεια) που δημιουργεί κάποια μεγαλύτερη πέτρα που βρίσκεται στα πόδια του!! Άρα στην ουσία, αμέσως προκύπτει μεγαλύτερη πέτρα από αυτήν που καλείται να σηκώσει.

Όμως το πρόβλημα δεν είναι εκεί. Η ενέργεια που θα ξοδέψειι για να μετακινήσει αυτήν την πέτρα από ένα σημείο Α (σε ηρεμία) σένα σημείο Β (πάλι σε ηρεμία) είναι σαφώς μικρότερη από το ποσό της ενέργειας που χρειάστηκε για να δημιουργήσει αυτήν την πέτρα! Αν πάρουμε τον τύπο Ε=mc² καταλαβαίνουμε ότι για την παραγωγή μιας τόσο μεγάλης μάζας θα πρέπει να ξοδευτεί πάρα πολύ μεγάλη ενέργεια, μεγαλύτερη από αυτήν που θα χρειαζότανε για να την μετακινήσει από ένα σημείο Α στο Β, σύμφωνα με την Αρχή Διατήρησης της Ορμής και την Αρχή διατήρησης της ενεργειας οι οποίες ισχύουν στο σύμπαν για οποιαδήποτε βαρυτικά πεδία.

Τέλος, αν υποθέσουμε ότι η πέτρα αυτή περιέχει όλη την μάζα του γνωστού σύμπαντος (γιατί υπάρχει και η σκοτεινή ύλη) και άρα είναι η μεγαλύτερη σε μάζα πέτρα που υπήρχε ποτέ-το γνωστό σε όλους μας "ιδιάζον σημείο" (καλά το έγραψα?), τότε το ερώτημα απαντάται από μόνο του, αφού μετά το Bing Bang απελευθερώθηκε τόσο πολύ μεγάλη ενέργεια, που μετακινεί όλους τους γαλαξίες και τους υποχρεώνει όλους να απομακρύνονται από όλους, ενώ ταυτόχρονα δημιουργήθηκε και ο χώρος ώστε να έχει νόημα η ύπαρξη του Α και του Β που έγραψα πιο πάνω..

Και αν ο Θεός, είναι για μερικούς όχι ο Πατέρας Παντοκράτωρας αλλά το σύνολο όλων των σταθερών που γνωρίζουμε(σταθερά της παγκόσμιας έλξης, ταχύτητα του φωτός.... κλπ),  τότε ναι αυτές οι σταθερές μετακινούν- σηκώνουν - την μάζα της 'μεγαλύτερης πέτρας που μπορεί να υπάρξει' της οποίας τα θρύψαλα αποτελούν το σημερινό συμπαν  :)

Πάλι ενεργειακό ήτσν το θέμα....  8)

Εδώ κάνεις κάποιο λάθος. Ο Θεός θα μπορούσε να την σηκώσει και χωρίς να πατήσει κάπου.

Άλλωστε να την σηκώσει από που;

ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΒΑΡΕΘΗΚΕΣ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΙΣ ΟΛΟ ΤΟ ΠΟΣΤ ΜΟΥ!!!!   >:( ^sfyri^

Ε, αυτό λέω..... Δεν χρειάστηκε να πατήσει κάπου, αφού ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΕΝΤΡΟ στο σύμπαν!!!!!!!! Δηλαδή δεν υπάρχει κάποιο σημείο (στο πρόβλημα μας η θέση που 'πάτησε' ο Θεός) στο σύμπαν από το οπόιο όλα να απομακρύνονται από αυτό, καθώς τα πάντα απομακρύνονται από τα πάντα.  ::)

Ντόινκ!
Τι γράφεις ρε πορωμένε???

Ίσως να μην εξηγήθηκα καλά.
Ο Παντοδύναμος Θεός (δηλαδή αυτός που μπορεί να κάνει τα πάντα) μπορεί να φτιάξει μια πέτρα που να μην μπορεί να σηκώσει (δηλαδή ουσιαστικά να μην μπορεί να κάνει κάτι, άρα δεν είναι παντοδύναμος);

Αυτά που γράφεις Μεγκαβάτ είναι καλή άσκηση για επανάληψη φυσικής. Όχι ότι ισχύουν όμως!
Π.χ. χρησιμοποιείς κάπου διατήρηση της ορμής κλπ δλδ 2ο νόμο νεύτωνα (ο οποίος δεν έχει αποδειχθεί ότι ισχύει) ενώ εδώ μιλάμε για κάτι υπερβατικό, μια παντοδυναμία!! Και κάτι που λες για θεούς-σταθερές... πολύ... άσχετα μου φαίνονται.

Το θέμα δεν είναι εκεί! Δες το επικοινωνιακά το ζήτημα. Είναι ισοδύναμο με το να σου πω ότι "ο Παντοδύναμος Θεός μπορεί να φτιάξει ένα παγωτό τόσο μεγάλο που να μην μπορεί να το φάει?".


Επίσης να πω το εξής. Υπάρχουν χοντρικά δυο τρόποι να δεις τα πράγματα. Ο ένας είναι βλέποντας τι κάνουν σε σένα. Σε αυτό βάζω την "μακροσκοπική θεώρηση", δλδ πώς βλέπεις εσύ τα πράγματα από μακριά, με τα δικά σου (γι'αυτό και λέω "τι κάνουν σε σένα", μιλάω για μια αλληλεπίδραση, η όραση είναι μια αλληλεπίδραση μέσω του φωτός) τα μάτια. Ο άλλος τι κάνουν στα άλλα πράγματα γύρω τους (εδώ μπαίνει η "μικροσκοπική θεώρηση", δλδ πώς σου έχουν "πει" τα πράγματα γύρω σου ότι δουλεύει το πράγμα που εξετάζεις, δλδ ένας έμμεσος τρόπος θεώρησης, μια αλληλεπίδραση "από δεύτερο χέρι").

Τι θέλω να πω με αυτό; Ότι δε θα είναι αποτελεσματικό να κολλάμε σε λεπτομέρειες που μας λένε οι άλλοι ότι ισχύουν όταν αναφερόμαστε σε απλά πράγματα που μπορούμε να καταλάβουμε μόνοι. Φυσικά αυτό προϋποθέτει πολλή εμπειρία, να καταλαβαίνεις τα πράγματα μακροσκοπικά, θα έλεγα μοιάζει λίγο με "στατιστική εμπειρία". Αλλά νομίζω ότι και η λέξη "απλά" κολλάει στην εμπειρία.

Ε, σου απάντησα!!!! Καλά ΔΕΝ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΕΤΕ ΤΙ ΓΡΑΦΩ?????  ^ex_shocked^ Είναι παντοδύναμος και ΔΕΝ υπάρχει πέτρα που να μην μπορεί να σηκώσει, αφού ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ (δηλαδή η πέτρα) ΚΙΝΕΙΤΑΙ!!!!!!!!!!!!!!!!!! ΜΕΓΑΛΩΝΕΙ ΣΥΝΕΧΩΣ!!! Είναι διαστελλόμενο, αλλά το αν είναι ανοιχτό ή κλειστό θα πρέπει να μετρηθεί η πυκνότητα του σύμπαντος και να συγκριθεί με μια κρίσιμη πυκνότητα και μπλα μπλα μπλα........
Πας καλά ρε Κύβε???? Μεθυσμένος είσαι??  ^sfyri^ ή δεν τα ξέρεις καλά! Ο νόμος του Νεύτωνα ισχύει μια χαρά, αλλά ισχύει για μικρές βαρυτικές δυνάμεις. Για δυνάμεις δηλαδή που προκαλούνται από σώματα μέχρι και τους αστέρες που βρίσκονται στην κύρια ακολουθία (όπως ο Ήλιος μας).
Για μεγαλύτερες βαρυτικές δυνάμεις, όπως αυτές σε κόκκινους γίγαντες, αστέρες νετρονίων και στις μαύρες τρύπες, ο Αινστάιν είδε ότι δεν ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα και δημιουργούν κάποια παράδοξα και προσάρμοσε τους νόμους του Νεύτωνα έτσι, ώστε να ισχύουν και για αυτές τις δυνάμεις, ώστε να καταλήξει στην &#
947;ενική θεωρία της σχετικότητας.
Οι τρεις αρχές, η αρχή διατήρησης της στροφορμής, η αρχή διατήρησης της ενέργειας και η αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου ισχύουν παντού στο σύμπαν, ακόμα και πέρα σπό τον ορίζοντα γεγονότων μιας μαύρης τρύπας,η οποία δεν είναι και τόσο μαύρη σύμφωνα με την κβαντομηχανική επειδή μπλα μπλα μπλα....
Η ερώτηση που έθεσες με το αν μπορεί ο Θεός να σηκώσει την πέτρα, δεν υφίσταται και μπορεί να οδηγηθείς σε λάθος απαντήσεις, αν δεν το εξετάσεις το θέμα επιστημονικά. Έτσι και μόνο έτσι θεωρώ 'απλό' το ζήτημα αυτό. Εσύ τί απάντηση δίνεις στο ερώτημα που έθεσες? για να καταλάβω πως το βλέπεις...  ::)

 ^off-topic^ ^off-topic^ ^off-topic^ ^off-topic^ ^off-topic^

ΤΙ ΓΡΑΦΕΤΕ ? ΠΑΤΕ ΚΑΛΑ? ΤΟ ΧΕΤΕ ΚΑΝΕΙ ΣΚΑΤΑ ΤΟ ΤΟΠΙΚ! ΕΓΡΑΨΑΝ ΚΑΤΙ ΚΑΛΟ ΟΙ ΑΝΘΡΩΠΟΙ (aliakmwn & thanasiskehagias) ΚΑΙ ΤΟ ΚΑΤΑΝΤΗΣΑΤΕ ΟΤΙ ΝΑΝΑΙ!

(aliakmwn σβησε με αν θες ;) )

Εάν αναφέρεστε γενικά σε θεότητες δεν μπορω να απαντήσω.
Εάν αναφέρεστε στο χριστιανικό Θεό (υποθέτω) τότε η απάντηση είναι πολύ απλή και δεν περιέχει κανενός είδους παράδοξο.

1) ΜΗ ΜΟΥ ΠΗΔΑΤΕ ΤΟ TOPIC!!!!!!!!!!!!!

2) ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΘΕΟΣ, ΞΥΠΝΗΣΤΕ ΕΠΙΤΕΛΟΥΣ!!!!!!!!

Να και μια σωστή κουβέντα.
Παραπήγε με αυτό το topic...

(Αλιακ αν θες σβήσε με κι εμένα, δε σε είναι δύσκολο άλλωστε)

Χεχε... ο 2ος νόμος του νεύτωνα είναι τόσο αξιωματικός όσο δεν παίρνει. Το μόνο που λεν οι επιστήμονες είναι ότι δεν έχει αποδειχθεί ότι δεν ισχύει. Άρα, δε σημαίνει ότι ισχύει ΠΑΝΤΑ. Ήδη υπάρχουν αντιρρήσεις που αναφέρεις μόνος σου.

Εγώ το διάβασα πολλές φορές το ποστ σου για να καταλάβω τι λέει. Κάνε έναν κόπο να καταλάβεις και τι γράφουν οι άλλοι.
Το βλέπω έτσι το θέμα: Όταν πας να φτιάξεις έναν απόλυτα παντοδύναμο, δεν υπάρχει. Δε γίνεται να μπορείς αυτό που δεν μπορείς! Αυτό δείχνει η πρόταση (αν και δε νομίζω να είναι ατέρμων βρόγχος, εκτός αν αυτός που το διαβάζει πραγματικά πιστεύει ότι υπάρχει παντοδύναμος θεός - μέσες άκρες όπως καταλήγουν οι συζητήσεις περί πίστης).
Δε μ'άρεσε που ανακάτεψες φυσική όταν δε χρειάστηκε, εξάλλου έτσι χάνει η πρόταση την αξία της.
Για να καταλάβεις, προσπάθησε να δεις τον ατέρμονο γρίφο του αλιάκμονα από προγραμματιστική σκοπιά:
1η γραμμή: Μας πληροφορεί ότι η επόμενη γραμμή θα εκτελεστεί και θα είναι αληθής.
2η γραμμή: Μας λέει ότι η προηγούμενη γραμμή δεν είναι αληθής. (στην ουσία δεν κάνει τίποτε)
Τέλος
Βλέπεις τι εννοώ; Από αυτή την σκοπιά δεν καταλαβαίνεις το επαναλαμβανόμενο του βρόγχου, λόγω σύνταξης.
Από αυτό καταλαβαίνεις ότι θα ισχύει κάτι άλλο.
Να, π.χ. ίσως χρησιμοποιείται τεχνολογία όπου εκτελούνται ταυτόχρονα πολλαπλές εντολές, ίσως, ίσως, ίσως.
Εδώ έρχεται η μη κατανόηση, γιατί δε μιλιέται η ίδια γλώσσα. Ας πούμε, για να επαναλαμβάνεται προγραμματιστικά, έπρεπε να μπει ένα GOTO προς την πάνω γραμμή.

Γενικότερα.

Δεν ταιριάζουν όλες οι επιστήμες σε όλα.

Γιατί αν προσπαθήσουν να εξηγήσουν άλλα χωράφια, υπάρχει μεγάλο σφάλμα. Όπως όταν προσπαθείς να εξηγήσεις με μαθηματικά τη σύγκριση ή ισοδυναμία λέξεων (της γλώσσας).



Γιατί βρε νίντζα; Νομίζω είναι ενδιαφέρουσα η κουβέντα.
*εκτός από τα ποστ σχετικά με τον θεό :(

Πώς στο πηδάμε?

συμφωνω απολυτα κ στα 2 ^notworthy^

Ακόμα ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΑΠΙΣΤΟΥΣ ΣΚΕΦΤΗΚΑ όταν μίλησα για σταθερές!!!

Δεν υποχρεώνω κανέναν να πιστέψει!!!!  ;D

Και όντως Fugi έχεις δίκιο για τον χριστιανικό Θεό.... Δεν έχει απάντηση αυτή η ερώτηση....

Άντε γιατί πολλά μας τα πατε άγγελοι του σκότους μερικοί εδώ μέσα...  :D

Εγώ δεν είπα τίποτα για το Θεό σου...  ;)

Ρε Κυβε, ποιος μιλησε για προγραμματισμο?

Καλα μιλαμε εχετε καψει πολλα εγκεφαλικα κυτταρα εδω...............


Διαβαζεις την Α προταση.
Δεχεσαι πληροφορια: Β=σωστη.
Διαβαζεις την Β προταση.
Δεχεσαι πληροφορια: Α=λαθος. Αρα πρεπει να αναθεωρησεις για την Α.
Ξαναδιαβαζεις την Α, με βαση την τελευταια πληροφορια που εχεις γι' αυτην.
Δεχεσαι πληροφορια: Β=λαθος. Αρα πρεπει να αναθεωρησεις για την Β.
Ξαναδιαβαζεις την Β, με βαση την τελευταια πληροφορια που εχεις γι' αυτην.
Δεχεσαι πληροφορια: Α=σωστη. Αρα πρεπει...........
...
...
...

Αυτο ειναι ατερμων βροχος (και οχι γριφος!)

XAXAXAAXA........  ;D ;D ;D   ^crap^

Ακριβώς αυτό. Εκεί εγώ επιμένω και λέω ότι δεν υφίσταται ερώτηση...  ::) Ανακατεύω δηλαδή θρησκεία και επιστήμη...

Μα δεν γίνεται αν δεν την ανακατέψω. Φυσικά και καταλαβαίνω πως χάνει την αξία της η πρόταση , αλλά έτσι ηταν η μοίρα της...  :D Αν δεν ανακατέψω φυσική τότε επέτρεψε μου να πω ότι ο Θεός είναι ο ποιητής του Ουρανού και της Γης, των ορατων και πάντων αοράτων....  ;)
Ακριβώς.... δεν διαφωνώ. Αυτό όμως κάνει  το ερώτημα που θέτεις. Με αναγκάζει να ανακατέψω την θρησκεία με την επιστήμη  ;) Άρα ήδη αυτό που λες :
δημιουργεί ατέρμωνα βρόχο με την προταρχική ερώτηση που θέτεις  :-\

 

@αλιακμ
ΑΚΡΙΒΩΣ ΑΥΤΟ ΛΕΩ ΠΟΥ ΝΑ ΠΑΡΕΙ!!
Επειδή το είδα έτσι στην αρχή (κι επειδή έγραψες ατέρμων βρόγχος-> endless loop-> προγραμματιστικός όρος) μου ήρθε ο προγραμματισμός, αλλά στη συνέχεια εννοήσα!!


@μεγκαβάτ

Οτινάναι. Δεν ήθελα να βάλω θρησκεία μέσα. Τώρα πώς τα παντρεύεις θρησκεία - επιστήμη...

Ο καημένος ήθελα απλά να αναφέρω αυτό το παιχνιδάκι των λέξεων!!!
Αν θέλετε να μιλήσετε για θρησκεία κάντε το με παπά!!!
Εξάλλου μ'αρέσουν πολύ τα λεκτικά παιχνίδια...

Σωστό αυτό που λες, αλλά ξαναδιάβασε λίγο ΤΙ είπε ο κ. Κεχαγιάς...

Αν η πρόταση είναι ψευδής, τότε προφανώς δε μπορεί να αποδειχθεί (κάτι ψευδές δε γίνεται να αποδειχθεί σωστό!), αλλά τότε ισχύει αυτό που λέει η πρόταση, άρα είναι αληθής. Άτοπο.

Άρα η πρόταση είναι αληθής. Μόλις το αποδείξαμε, διά της εις άτοπον απαγωγής.

Σκέψου όμως τι θα γίνει όταν ο κ. Κεχαγιάς σκεφτεί αυτό που μόλις έγραψα! Θα έχει αποδείξει με το μυαλό του ότι η πρόταση είναι σωστή... άρα το περιεχόμενο της πρότασης δεν ισχύει... άρα η πρόταση είναι λάθος!

Δε θα πω τη "λύση" σε αυτό το παράδοξο, αν και την ξέρω... άλλη πλάκα έχει να τα σκέφτεσαι μόνος σου.

Και εγώ σου λέω ότι αν ο Θεός πρέπει να ξοδέψει Ν τζάουλ για να φτιάξει αυτή την μεγάλη πέτρα, τότε ΣΙΓΟΥΡΑ θα χρειαστεί Ν-1 ΤΟ ΠΟΛΥ τζάουλ για να την σηκώσει!!!! ΔΕΝ υπάρχει κανένα παιχνιδάκι λέξεων... Δεν γίνεται να μην μπορεί να την σηκώσει!!! Αφού ΑΥΤΟΣ την έφτιαξε και κανένας άλλος!!! Είναι παντοδύναμος. Το θέμα το βλέπω καθαρά ενεργειακά όπως εξήγησα στο πρώτο ποστ...όχι θρησκευτικα  :D
Τώρα, αν η απάντηση στην ερώτηση αυτή σύμφωνα με τα λεγόμενά μου, είναι ότι δεν μπορεί να φτιάξει μια τέτοια πέτρα επειδή όλες μπορεί να τις σηκώσει και άρα υπάρχει κάτι που δεν μπορεί να κάνει(ήτοι δεν είναι παντοδύναμος ), τότε τι να πω??? ΤΟ ΠΗΔΗΞΑΜΕ ΤΟ ΤΟΠΙΚ ΟΝΤΩΣ!!!!! ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D

Η ερώτηση δεν ξέρω αν υφίσταται πάντως η απάντηση υπάρχει.
Νομίζω τελικά ότι το παράδοξο στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι τεχνητό

δε μου φαίνεται ατέρμονος βρόχος αλλά ένα δύο εκφράσεις οι οποίες δε μπορεί να συνυπάρχουν. δεν διαφέρει καθόλου από το

Α + Β = 3
Α + Β = 12

(με δεδομένο ότι Α,Β ? R )  (έμπνευση να βάλω το ευρώ για σύμβολο του ανήκει)


μόνο που είναι boolean λογική και φαίνεται πιο εξαντρίκ το πρόβλημα.

Αυτή την στιγμή δε προβαλαίνω να το σκεφτώ γιατί πρέπει να φύγω αλλά δεσμεύομαι να απαντήσω

Σχετικά με το πρώτο παράδοξο, δηλ. την πρόταση που βεβαιώνει ότι είναι ψευδής:

(1) Α="η Α είναι ψευδής"

Ας σκεφτούμε με τιμές αλήθειας. Στην κλασσική λογική αυτές είναι δύο, ΑΛΗΘΗΣ και  ΨΕΥΔΗΣ. Ενα ωραίο πράγμα είναι ότι μπορούμε να τις αντκαταστήσουμε με 1 και 0 και να δουλέψουμε αριηθμητικά. Δηλ., αν έχουμε δύο προτάσεις Α και Β, με τιμές αλήθειας x και y, τότε όλες οι λογικές πράξεις μπορούν να αντικατασταθούν με αριθμητικές. Στα παρακάτω συμβολίζω με v(A) την τιμή αλήθειας της Α, v(B) αυτή της B.

Αν έχω: x=v(A), y=v(B), τότε

v(A and B)=min(x,y), v(A or B)=max(x,y), v(not A)=1-x.

(Υποθέτω ότι αυτά σας είναι γνωστά, αν όχι τσεκάρετε τα!)

Πάμε τώρα στην (1) και ας εξετάσουμε χωριστά τις τιμές αλήθειας των  δύο μερών της: έχουμε v(A)=x. Ισχυρίζομαι ότι v("η Α είναι ψευδής") είναι 1-x.

Σκεφτείτε το: Αν η Α είναι αληθής, τότε η "η Α είναι ψευδής" είναι ψευδής. Και αν η Α είναι ψευδής, τότε η "η Α είναι ψευδής" είναι αληθής. Σωστά?

Το πρόβλημα είναι ότι αν τα δύο μέρη (Α και "η Α είναι ψευδής" ) είναι ταυτόσημα, τότε πρέπει να έχουν και την ίδια τιμή αλήθειας. Δηλ.

(2) x=1-x

Ομως η (2) δεν έχει λύση στο σύνολο {0,1}, δηλ. στο σύνολο των τιμών αλήθειας της κλασικής λογικής. Έχει λύση στο σύνολο [0,1] (δηλ. το σύνολο τιμών της ??? λογικής -- όποιος αντικαστήσει σωστά τα ερωτηματικά κερδίζει την εκτίμηση μου  :) ).


Θ

Πάμε τώρα στην εκδοχή που λέει:

(1) Α="Η Β είναι αληθής"
(2) Β="Η Α ε'ιναι ψευδής"

Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση, εδώ έχουμε το σύστημα τιμών αληθείας

x=y
y=1-x

το οποίο πάλι δεν έχει λύση στο {0,1}, αλλά έχει στο [0,1], δηλ. στην ??? λογική.

Ο aliakmwn έγραψε


Αυτό είναι σωστό, αλλά αξίζει να σκεφτούμε το εξής: Το παραπάνω "πρόγραμμα" είναι ένας τρόπος να προσπαθήσουμε να λύσουμε το σύστημα (1)-(2). Ο τρόπος αυτός θυμίζει τον ανθρώπινο τρόπο συλλογισμού, αλλά δεν είναι ο μόνος. Οποιοσδήποτε τρόπος βρίσκει τιμές x,y που επαληθεύουν τις (1)-(2) οδηγεί σε μια "λύση" του συστήματος. Π.χ., αν με ενδιαφέρουν λύσεις στο {0,1} μπορώ να δοκιμάσω με εξαντλητική απαρίθμηση: (x,y) ανήκει {(0,0), (0,1),(1,0),(1,1)} και ελέγχω χωριστά για κάξε περίπτωση αν ικανοποιεί το(1)-(2). Αν με ενδιαφέρουν λύσεις στο [0,1] μπορώ να χρησιμοποιήσω Cramer ή απαλοιφη Gauss (θυμάστε τίποτα παλιοί πρωτοετείς?  :)). Πιο πολύπλοκα συστήματα αυτοαναφορικών προτάσεων μπορεί να οδηγήσουν σε συστήματ μη γραμμικών εξισώσεων (ξανασυνιστώ την εργασία μου http://users.auth.gr/~kehagiat/KehPub/techreps/200309046.pdf ) τα οποία, αν δεν μπορούν να λυθούν με τεχνάσματα, λύνονται επαναληπτικά (και προσεγγιστικά) με Newtοn-Raphson.

Θ

Δηλ. το

A="O thanasiskehagias δεν μπορεί να αποδείξει την Α"

το οποίο νομίζω ότι οι περισσότεροι (πλην Nessaς) το περάσατε στο ντούκου.


Η Nessa με κάλυψε στα βασικά, αλλά ας το επαναδιατυπώσω. Έστω ότι υπάρχουν μόνο δύο "συλλογιστές", ο Ω και ο Ψ. Έστω ότι και οι δύο είναι τέλειοι συλλογιστές, δηλ. όποια πρόταση αποδείξουν είναι αληθής (προσοχή αυτό δενσημαίνει ότι μπορούν να αποδείξουν όλες τις αληθείς προτάσεις!). Ορίζω την πρότασιακή συνάρτηση

(1) A(p)="Ο p δεν μπορεί να αποδείξει την  Α(p)"

(Δηλ. για κάθε τιμή του p παίρνω μια πρόταση).

Τώρα, ο Ω μπορεί να αποδείξει την Α(Ψ). Πράγματι, συλλογίζεται ως εξής (στα πλαίσια της κλασικής λογικής):

(α) Έστω ότι η Α(Ψ) είναι αληθής, τότε ο Ψ δεν μπορεί να την αποδείξει. Κανένα πρόβλημα, ο Ψ δεν μπορεί να αποδείξει όλες τις αληθείς προτάσεις!
(β) Έστω ότι η Α(Ψ) είναι ψευδής, τότε ο Ψ μπορεί να την αποδείξει. Όμως, αν μπορεί να την αποδείξει, τοτε η Α(Ψ) είναια αληθής (ο Ψ δεν κάνει ποτέ λάθη, άρα  δεν μπορεί να αποδείξει μια ψευδή πρόταση!). Άρα έχω αντίφαση.
(γ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: η Α(Ψ) δεν μπορεί να είναι ψευδής, αλλά μπορεί να είναι αληθής. Αφού στην κλασική λογική ΜΟΝΟ αυτές οι τιμές αλήθειας υπάρχουν, η Α(Ψ) είναι αληθής.

Αν όμως τους ίδιους συλλογισμούς έκανε ο Ψ, τότε μετά το (γ) θα έλεγε

(δ) "αφού μπορώ να αποδείξω την Α(Ψ), τότε αυτή είναι ψευδής. Αυτό, σε συνδυασμό με το (γ) οδηγεί σε αντίφαση. Αρα η πρόταση δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής!"

Αυτό όμως (το (δ) ) είναι περιορισμός του Ψ. Βλέπουμε δηλ. ότι υπάρχουν αληθείς προτάσεις που ο Ψ δεν μοπορεί να αποδείξει (αν και είναι τέλειος συλλογιστής). Το ίδιο φυσικά ισχύει και για τον Ω.

Τα παραπάνω είναι μια εκλαικευμένη απόδοση του Θεωρήματος του Goedel που λέει (χοντρικά):

Θεώρημα Έστω ένα "αρκούντως ισχυρό" μαθηματικό σύστημα. Τότε αυτό περιέχει προτάσεις που είναι αληθείς, αλλά δεν μπορούν να αποδειχτούν μέσα στο σύστημα.

(Οι όροι "αρκούντως ισχυρό"  και "μπορεί να αποδειχτεί μέσα στο σύστημα" μπορούν να οριστούν με ακρίβεια , γι' αυτό και το παραπάνω είναι θεώρημα, δηλ. μαθηματικά.)

Οπως είπα, η Nessa βασικά το είχε καλύψει. Ομως το έθεσα στην παραπάνω φορμαλιστική εκδοχή, γιατί με ανάλογη ανάλυση μπορεί να διατυπωθεί πιο ξεκάθαρα και το παράδοξο της πέτρας που ο Θεός δεν μπορεί να σηκώσει (όπως επίσης και το παράδοξο του κουρέα και πολλά άλλα). Αυτή την διατύπωση όμως την αφήνω, προς το παρόν, σε εσάς. Αντε να σας δω!!!

Θ

Μιας και μας επισκέφτηκε και ο ειδήμων να του θέσω και ένα ερώτημα πάνω σε αυτό το θέμα που συζητάμε.
Σε μια συνομιλία για σχετικά θέματα, περί αποδείξεως της ανυπαρξίας ανέφερε ένα θεώρημα του Γκάους(?),
που μιλούσε για τα κανονικα (ή πλήρη) σύνολα, δηλαδή σύνολα τα οποία περιέχουν τον εαυτό τους.

Για παράδειγμα το σύνολο των υγρών είναι και αυτό υγρό,
ενώ το σύνολο των αυτοκινήτων δεν είναι αυτοκίνητο.
Αυτά τα σύνολα λοιπόν κάπως βοηθούν στο θεώρημα του Goedel,
και στην απόδειξη μη ύπαρξης αλλά δεν ήξερε περισσότερες λεπτομέρειες για αυτό με την ευκαιρεία το ρωτώ εδώ.

(Συγχωρήστε οποιαδήποτε λανθασμένη μεταφορά όρων/νοημάτων)

Μερικές διορθωσούλες...

Αυτό μάλλον είναι "αφού δεν μπορώ να αποδείξω την Α(Ψ), τότε αυτή είναι ψευδής".

Το θεώρημα του Goedel είναι της μη πληρότητας (και μάλλον αυτό εννοεί ο fugi με τη μη ύπαρξη).

Η λογική στην οποία οι προτάσεις μπορούν να παίρνουν τιμές αλήθειας στο σύνολο [0,1] ονομάζεται ασαφής λογική.

OΧΙ. Ο Ψ έκανε τους συλλογισμούς των (α), (β) και (γ) και κατέληξε ότι η Α(Ψ) είναι αληθής (δηλ. την απέδειξε). Άρα, αυτό που λέει η Α(Ψ) ισχύει¨

"ο Ψ δεν μπορεί να αποδείξει την Α(Ψ)"

Λέει τώρα ο Ψ: "όμως εγώ την απέδειξα, άρα αυτό που λέει είναι ψευδές", δηλ. η Α(Ψ) είναι ψευδής .. κτλ. 


Σωστός (κερδίζεις εκτίμηση  :)). Και άρα η (Α) (του 1ου παραδόξου) είναι 0.5 ή 50% αληθής.

Θ

Βασικά η συζήτηση ξεκίνησε από το πως μπορείς να αποδείξεις τη μη ύπαρξη,
κάτι που είδα ότι συζητείται και εδώ.
Βέβαια εμείς το πιάσαμε πιο πολύ από τη φυσική του πλευρά, αλλά δεν έχει τόσο σημασία

Αυτή την συζήτηση δεν την θυμάμαι. Εννοείς στο παραπάνω ότι συζητούσαμε εμείς οι δύο?

Εδώ δεν σε παρακολουθώ. Οταν λέμε το "σύνολο των υγρών", δεν καταλαβαίνω αυτό που προκύπτει αν βάλουμε όλα τα υγρά (νερο, οινόπνευμα, λάδι) σε ένα μεγάλο δοχείο. Καταλαβαίνω το σύνολο {νερό, οινόπνευμα, λάδι, ...} κτλ.

Όμως, η βασική ιδέα που διατυπώνεις είναι χρησιμη. Κια να το κλασικό παράδειγμα.

Α="Το σύνολο των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως μέλος".

Ανήκει το Α στο Α? Είτε πούμε ναι είτε όχι οδηγούμαστε σε παράδοξο. (Αυτό το παράδοξο είναι ουσιαστικά το παράδοξο του κουρέα -- νομίζω ότι ο Russel πρώτα το διατύπωσε με σύνολα και μετά, για εκλαικευση, με τον κουρέα).

Αλλο παράδειγμα (καλό)..
Λέω ότι ένα επίθετο είναι "ετερολογικό" αν αυτό που λέει δεν ισχύει για το ίδιο το επίθετο.

Π.χ.
"τετρασύλλαβος" είναι ετερολογικό, γιατί είναι (το "τετρασύλλαβος") πεντασύλλαβη λέξη.
"Γερμανικό" είναι ετερολογικό, γιατί δεν είναι γερμανική λέξη.
"πεντασύλλαβος" δεν είναι ετερολογικό, γιατί είναι πεντασύλλαβη λέξη.

Λοιπόν: το "ετερολογικός" είναι ετερολογική λέξη ή όχι?  8)



Πράγματι υπάρχει μια συγγένεια με το Θεώρημα του Goedel. Στην πραγματικότητα, σε πολλά παράδοξα υπάρχει μια κοινή βασική ιδέα. Το παράδοξο της "ετερολογικότητας", του κουρέα και της πρότασης Α(Ψ) (από το προηγούμενο Post μου) έχουν όλα μια κοινή ιδέα. Αφού  βρείτε την αντίστοιχη διατύπωση για το παράδοξο της πέτρας και του Θεού, μπορούμε να συζητήσουμε για την κοινή βασική ιδέα.

Θ

Μπερδεύτηκα εδώ...
Από πότε τα επίθετα προσδιορίζουν τον εαυτό τους;
Προτείνω τα "ετερόλογα" ουσιαστικά: τετρασυλλαβία (=6 συλλαβές), γερμανικότητα, πεντασυλλαβία...


Κατά τα άλλα, πολύ ενδιαφέρουσα η ανάλυση!

Τα επίθετα προσδιορίζουν, τα ουσιαστικά όχι.

 ^nono^ θα σε πάω στο δημοτικό... ;D
Βασικά τα ουσιαστικά είναι πασπαρτού σε μια πρόταση και ο ρόλος τους εξαρτάται από τη σύνταξη (βλέπε κατηγορούμενα, διάφορους προσδιορισμούς).

όχι εννοούσα μια συζήτηση, από αυτές που γίνονται μετά το φαί ;) :P
Εννοώ αυτό που λέτε, δηλαδή αν περιέχει τον εαυτό του.
Π.χ. το σύνολο των νοητών πραγμάτων είναι και αυτό νοητό πράγμα.
Το σύνολο των υγρών {λεμονάδα, φραπέδιά...} είναι και αυτό υγρό, δηλαδή περιέχει τον εαυτό του

Α, εννοείς σαν κατηγορούμενα. ΟΚ.

Πάντως εκτός από τη λέξη "λέξη" (και καναδυό άλλες ίσως που δεν είναι ετερόκλητες) θα πρέπει να επινοήσεις δικά σου ουσιαστικά (πχ "επτασυλλαβόλεξη") που να μην είναι ετερόκλητα. ("Ετεροκλητόλεξη"... χμμ...)

Το προηγούμενο ποστ πήγαινε προφανώς στον Κύβο.

Φιούτζι, το σύνολο όλων των υγρών δεν είναι υγρό!

ΓΙατί βρε Νέσσα, πάρε όλα τα υγρά και ρίξτα σε ένα άρκούντως μεγάλο καζάνι.
τι θα λάβεις; στερεό ή αέριο;

Το σύνολο όλων των υγρών είναι σύνολο, δηλαδή αφηρημένη έννοια. Όλα τα σύνολα είναι αφηρημένες έννοιες και καμία αφηρημένη έννοια δεν είναι υγρό!

Ορίστε μια απόπειρα να εκφραστούν αυτά τα παράδοξα με τύπους

Για το παράδοξο του κουρέα (θυμίζω ότι ο κουρέας ξυρίζει όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του)

Έχουμε τις προτάσεις:

Α(χ) = «Ο χ ξυρίζεται μόνος του»
Β(χ) = «Ο ψ ξυρίζει το χ»

Το δεδομένο είναι ότι αν η Α είναι ψευδής τότε η Β είναι αληθής.
Άρα ν(Β(χ)) = 1 – ν(Α(χ)), για κάθε χ.
Για χ =ψ θα έχουμε ν(Β(ψ)) = 1 – ν(Α(ψ)) (1)
Όμως για χ=ψ η δεύτερη πρόταση γίνεται Β(ψ) = «Ο ψ ξυρίζει τον ψ» που είναι ισοδύναμη με την Α(ψ) = «Ο ψ ξυρίζεται μόνος του»
Άρα ν(Β(ψ)) = ν(Α(ψ)) (2)
Από τις (1) και (2) παίρνουμε ν(Β(ψ)) = 1 – ν(Β(ψ)), που όπως και στα προηγούμενα δεν έχει λύση στο {1,2}


Το παράδοξο της πέτρας είναι κάπως έτσι:

Α = «Ο Θεός μπορεί να φτιάξει μια πέτρα που να μην μπορεί να τη σηκώσει»
Β = «Ο Θεός μπορεί να σηκώσει οποιαδήποτε πέτρα»
Γ = «Ο Θεός είναι παντοδύναμος»

χ = ν(Α)
ψ = ν(Β)
ω = ν(Γ)

Αν Γ τότε Α
Αν Γ τότε Β
Τα παραπάνω σημαίνουν ότι ψ>=ω και χ>=ω (3)
Επίσης, αν Β τότε "όχι Α" (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο), άρα 1-χ>=ψ ή χ+ψ<=1 (4)
Αν στο σύνολο που εξετάζουμε ισχύουν οι ιδιότητες της διάταξης, τότε μέσω των (3), από την (4) παίρνουμε 1>=ω+ω. Στο σύνολο {0,1} της κλασικής λογικής μοναδική λύση είναι το 0. Στο σύνολο [0,1] της ασαφούς λογικής έχουμε ω<=0,5. Άρα ο Θεός είναι το πολύ 0,5 παντοδύναμος ;).

Όμως αν αντί για 3 χρησιμοποιήσουμε 4 προτάσεις (3 που δεν μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα + 1 που λέει ότι ισχύουν όλες) με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι ω<=1/3. Με 5 προτάσεις δείχνουμε ότι ω<=1/4 και με ν+1 προτάσεις δείχνουμε ότι ω<=1/ν. Προφανώς για οποιοδήποτε αριθμό ε > 0 μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό ν (πχ ο ν = [[1/ε]] + 2) για τον οποίο ω <= ε. Άρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η παντοδυναμία του Θεού είναι οσοδήποτε μικρή θέλουμε ;D

Κάποιος πιο πιστός ίσως προτιμούσε να χρησιμοποιήσει κάποια άλλη δική του λογική όπου θα ορίσει άλλες πράξεις ;D (ο Θεός, ή για να μην παρεξηγηθώ, αυτά που ακούγονται περί παντοδυναμίας του Θεού, δεν εξηγούνται ούτε με κλασική ούτε με ασαφή λογική!!)

Ε, ρε φούτζι, μπορεί να γίνει αντίδραση και όντως να βγει αέριο!
Εξάλλου, όταν λες υγρά, πρέπει να μας πεις και ποιας θερμοκρασίας...

Ξαναλέω είναι και οι προσδιορισμοί (εμπρόθετοι, γενική κτητική, γενική τάδε).
Δες και το εξής:
εξασυλλαβία
χεχε, προσδιορίζει και τον εαυτό της και την άλλη λέξη. (π.χ. "Στη λέξη αφορολόγητος έχουμε εξασυλλαβία.")

Δεν κατάλαβα την εξασυλλαβία... βασικά καλύτερο ήταν το παράδειγμα με τα επίθετα.

Ουφ! κολλάτε σε κάτι λεπτομέρειες.. αλλά ηλεκτρολόγοι δεν είστε :P
Τέσπα ίσως το παράδειγμα ήταν ατυχές, η βασική ιδέα είναι
Συνολα που περιέχουν τον εαυτό τους

Ίσως το σύνολο των αφηρημένων εννοιών;

αυτό μου θυμίζει το εξής ζωάκι:

χαχαχαχαχαχαχα.............. ;D
Άρα αυτό το ζωάκι θα εξαφανιστεί όταν φάει την τελευταία μπουκιά του σώματός του!!!!!!!!  ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D ;D

Κύβε πρόσεξα το όνομα του αρχείου. Είναι τυχαίο? Ή ξέρεις τι σημαίνει?

Χμμ νόμιζα ότι ξέρατε την ιστορία του ουροβόρου και δεν παρέθεσα τίποτε.
Το όνομα του αρχείου δεν είναι τυχαίο, αν σκεφτείς ότι έκανα search στην wikipedia για να βρω την εικόνα.

Νομίζω είναι πολύ σχετική η ιστορία από αυτό το αθάνατο ζωάκι με το θέμα μας (φαύλος κύκλος) γι'αυτό το έβαλα.

The Ouroboros (also spelled Oroborus, Uroboros or Uroborus) is an ancient symbol depicting a serpent or dragon swallowing its own tail and forming a circle. An ancient symbol, it has been used to represent many things over the ages, but it most generally symbolizes ideas of cyclicality and primordial unity. The ouroboros has been important in religious and mythological symbolism, but has also been frequently used in alchemical illustrations. In the last century, it has been interpreted by psychologists such as Carl Jung as having an archetypal significance to the human psyche.

The name ouroboros (or, in Latinized form, uroborus) is Greek (οὐροβóρος), "tail-devourer". The depiction of the serpent is believed to have been inspired by the Milky Way, as some ancient texts refer to a serpent of light residing in the heavens.

Plato described a self-eating, circular being as the first living thing in the universe-- an immortal, perfectly constructed animal.

    "The living being had no need of eyes when there was nothing remaining outside him to be seen; nor of ears when there was nothing to be heard; and there was no surrounding atmosphere to be breathed; nor would there have been any use of organs by the help of which he might receive his food or get rid of what he had already digested, since there was nothing which went from him or came into him: for there was nothing beside him. Of design he was created thus, his own waste providing his own food, and all that he did or suffered taking place in and by himself. For the Creator conceived that a being which was self-sufficient would be far more excellent than one which lacked anything; and, as he had no need to take anything or defend himself against any one, the Creator did not think it necessary to bestow upon him hands: nor had he any need of feet, nor of the whole apparatus of walking; but the movement suited to his spherical form was assigned to him, being of all the seven that which is most appropriate to mind and intelligence; and he was made to move in the same manner and on the same spot, within his own limits revolving in a circle. All the other six motions were taken away from him, and he was made not to partake of their deviations. And as this circular movement required no feet, the universe was created without legs and without feet."[1]

In some representations the serpent is shown as half light and half dark, echoing symbols such as the Yin Yang, which illustrates the dual nature of all things, but more importantly, that these opposites are not in conflict. In alchemy, the ouroboros symbolises the circular nature of the alchemist's opus, which unites the opposites: the conscious and unconscious mind. It is also often associated with Gnosticism, and Hermeticism.

The Ouroboros often represents self-reflexivity or cyclicality, especially in the sense of something constantly re-creating itself, the eternal return, and other things perceived as cycles that begin anew as soon as they end. It can also represent the idea of primordial unity. The Jungian psychologist Erich Neumann writes of it as a representation of the pre-ego "dawn state", depicting the undifferentiated infancy experience of both mankind and the individual child. [2]

The Ouroboros could very well be used to symbolize the closed-system model of the universe of some physicists. The organic chemist August Kekulé claimed that a ring in the shape of Ouroboros that he saw in a dream inspired him in his discovery of the structure of benzene. As noted by Carl Jung, this might be an instance of cryptomnesia.

απόwikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Ouroboros)

Λοιπόν, προβλήματα που δεν έχουν λύση και που εξαρτώνται στο 50% από τις επιλογές της λύσης τους μου φαίνονται ότι διαιωνίζονται χωρίς να έχουν κάτι το σωστό ή κάτι το λάθος.
Και το δρακάκι αυτό το δείχνει.

Καλό είναι, αλλά είχα κάτι λίγο διαφορετικό υπόψη.

1) Εγώ λοιπόν θα έγραφα τον κουρέα ως εξής:

            (x κουρεύεται από Α) <-> not (x κουρεύεται από x)

Αν όμως όπου Α θέσουμε x, τότε έχουμε

            (x κουρεύεται από x) <-> not (x κουρεύεται από x)

που είναι άτοπο.

2) Το παράδοξο του Russel είναι ολόιδιο:


            (x ανήκει Α) <-> not (x ανήκει x)

Αν όμως όπου Α θέσουμε x, τότε έχουμε

            (x ανήκει x) <-> not (x ανήκει x)

που είναι άτοπο.

3) Η ετερολογικότητα:

            (x είναι ετερολογικό) <->  not (x είναι x)

οπότε, αν θέσω x=ετερολογικό

            (ετερολογικό είναι ετερολογικό) <->  not (ετερολογικό είναι ετερολογικό)

4) Ο Επιμενίδης / ψεύτης

             Α(Β)="Η Β είναι ψευδής"

και αν θέσω Β=Α:

             Α(Α)="Η Α είναι ψευδής"

που όπως ξέρουμε οδηγεί σε παράδοξο. Βέβαια , σε αυτό το παράδειγμα το πράγμα δεν πάει τόσο ομαλά (προσέξτε την διαφορά μεταξύ Α και Α(Α)!).

5) Ο Θεός και η πέτρα:

           Α(x,y)="O x μπορεί να φτιάξει μια πέτρα που δεν μπορεί να σηκώσει ο y"

Τώρα,

για κάθε y: A(Θεός,y) είναι αληθής, γιατί (υπόθεση) ο Θεός είναι παντοδύναμος
για κάθε x: A(x,Θεός) είναι ψευδής, γιατί (υπόθεση) ο Θεός είναι παντοδύναμος

Αλλά τότε, τι είναι Α(Θεός,Θεός) ??? αληθές ή ψευδές ?

6) Βλέπετε το κοινό στοιχείο σε όλα τα παραπάνω παράδοξα? Το λέμε "διαγωνιοποίηση" (γιατι?) και παίζει και στο Θεώρημα του Cantor που λέει ότι η απειρία των παργαματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από αυτή των ακεραίων. Και επίσης παίζει και στο θεώρημα του Turing που λύνει το λεγόμενο  "Halting Problem"  και είναι (στην επιστήμη των υπολογιστών) το ανάλογο με το θεώρημα του Goedel.

Περισσότερα προσεχώς ...

Θ.

Κύβε, από αυτό προέρχεται το ασπρόμαυρο σήμα του καράτε (ή κουνγκφου είναι;), που δηλώνει την αιώνια μάχη καλού και κακού;


Όλα τα προβλήματα έχουν δύο μεταβλητές χ,ψ και είναι της μορφής "χ ανήκει ψ" ή "χ είναι ψ" ή "χ κουρεύεται από ψ" κλπ. Τα πεδία ορισμού των χ και ψ είναι ίδια ή έχουν κοινά στοιχεία. Αν σε ένα πίνακα όπου η στήλη δηλώνει την τιμή του χ και η γραμμή την τιμή του ψ, γράψουμε την τιμή (Α ή Ψ) του κάθε συνδυασμού, τότε είναι εύκολο να βρούμε όλα τα στοιχεία εκτός από αυτά της διαγωνίου, δηλαδή όταν χ=ψ. Ελπίζω να μη λέω βλακείες  :-\

Δε βλέπω τι σχέση έχει αυτό με το θεώρημα του Cantor, αλλά πάνω στο τελευταίο έχω να ρωτήσω κάτι off-topic
Γνωρίζω ότι η απειρία των μιγαδικών (ή του R^2) είναι ίδια με την απειρία του R. Δεν πρέπει να υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη (και επί) συνάρτηση από το C στο R; Δώστε ένα παράδειγμα

Δεν ξέρω ποιο προηγήθηκε ποιανού, ο ουροβόρος του ταοτζιτού (=εικόνα κάτω) ή αντίστροφα.
Για τον ουροβόρο υπάρχουν αναφορές στον πλάτωνα αλλά η θεωρία του "τάο" άρχισε με το Τάο Τε Τσινγκ ("Το Βιβλίο του Δρόμου και της Αρετής του") από τον Λάο Τσε οποίος έζησε τον 4ο ή τον 6ο αιώνα π.Χ. στην Κίνα. Οπότε παίζει να μας πρόλαβαν οι Κινέζοι :)

Ωστόσο, αυτό που εκφράζει το καθένα είναι διαφορετικό, αν και, σε περιστάσεις, η μια έννοια ικανοποιεί την άλλη.

Ο ουροβόρος εκφράζει κάτι που συνέχεια αναπαράγει τον εαυτό του. Δεν έχει μέσο να επικοινωνήσει με το εξωτερικό περιβάλλον του ούτε και εσωτερικά όργανα. Μου μοιάζει με ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.
Το σύμβολο αυτό του τάο εκφράζει τη συμπληρωματικότητα στα αντίθετα πράγματα. Δεν είναι ανάγκη να είναι καλό - κακό.
Να τι λέει η wikipedia:
Everything can be described as either yin or yang.

1. Yin and yang are opposites.

Everything has its opposite—although this is never absolute, only comparative. No one thing is completely yin or completely yang. Each contains the seed of its opposite. For example, winter can turn into summer; "what goes up must come down".

2. Yin and yang are interdependent.

One cannot exist without the other. For example, day cannot exist without night.

3. Yin and yang can be further subdivided into yin and yang.

Any yin or yang aspect can be further subdivided into yin and yang. For example, temperature can be seen as either hot or cold. However, hot can be further divided into warm or burning; cold into cool or icy. Within each spectrum, there is a smaller spectrum; every beginning is a moment in time, and has a beginning and end, just as every hour has a beginning and end.

4. Yin and yang consume and support each other.

Yin and yang are usually held in balance—as one increases, the other decreases. However, imbalances can occur. There are four possible imbalances: Excess yin, excess yang, yin deficiency, and yang deficiency. They can again be seen as a pair: by excess of yin there is yang deficiency and vice versa. The imbalance is also a relative factor: the excess of yang "forces" yin to be more "concentrated".

5. Yin and yang can transform into one another.

At a particular stage, yin can transform into yang and vice versa. For example, night changes into day; warmth cools; life changes to death. However this transformation is relative too. Night and day coexist on Earth at the same time when shown from space.

6. Part of yin is in yang and part of yang is in yin.

The dots in each serve: 1. as a reminder that there are always traces of one in the other. For example, there is always light within the dark (e.g., the stars at night), these qualities are never completely one or the other. 2. as a reminder that absolute extreme side transforms instantly into the opposite, or that the labels yin and yang are conditioned by an observer's point of view. For example, the hardest stone is easiest to break. This can show that absolute discrimination between the two is artificial. στο http://en.wikipedia.org/wiki/Yin_and_yang (http://en.wikipedia.org/wiki/Yin_and_yang)

Το σύμβολο αυτό του "Τάο" (=δρόμος) χρησιμοποιείται τόσο σαν μοτίβο σχετικό με τον Ταοισμό όσο και με τον Κομφουκιανισμό.
Αν και πρέπει να σημειώσω ότι ο Ταοισμός δεν είναι θρησκεία, παρόλο που μας παραπέμπει εκεί η αναφορά στον κομφουκιανισμό. Είναι κάτι σαν φιλοσοφία, ιδεολογία (?), και έχει διάφορες εκδοχές, ανάλογα με το πού χρησιμοποιείται (εδώ εννοώ ΚΑΙ χώρα αλλά ΚΑΙ κατάσταση στην καθημερινή ζωή).

Άς δουλεψουμε με τα διαστήματα [0,1) και [0,1)�0,1] έχει μια μοναδική μη τερματιζόμενη  αναπαράσταση ως ακολουθία ψηφίων από το {0,1,...,9}. Δηλαδή:

x=0.x(1)x(2)x(3)...

Π.χ. sqrt(2)/2=0.70707... , δηλ. x(1)=7, x(2)=0, x(3)=7, ...
Π.χ. 1/2=0.4999... , δηλ. x(1)=4, x(2)=9, x(3)=9, ...

(Προσοχή: όχι 1/2=0.500000 -- το "μη τερματιζόμενη" δεν περιλαμβάνει άπειρα 0 στο τέλος της σειράς)

Τώρα, κάθε στοιχείο (x,y) από το [0,1κάθε στοιχείο του [0,1)0,1)Χ[0,1)) <= Πληθ([0,1)

Η αντίστροφη ανισότητα είναι εύκολο να αποδειχτεί (?) οπότε

                 Πληθ([0,1)Χ[0,1)) = Πληθ([0,1)

δηλ. υπάρχουν τόσοι αριθμοί στο [0,1)Χ[0,1) όσοι και στο [0,1).

Σίγουρα ξέρετε και ότι

                 Πληθ({1,2,...}) < Πληθ([0,1)

Ξέρετε όμως ποια είναι η πληθικότητα του συνόλου όλων των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) ??? (και τι σχέση έχει με την πληθικότητα του [0,1)).

Θ

Πολύ καλό! Κάτι τέτοιο έψαχνα αλλά δεν κατάφερα να το βρω. Τώρα που το βλέπω έτοιμο είναι... "ουάου!"


Καταρχήν, θυμάμαι από μια "διάλεξη" (το γνωστό "μετά τις 9") στο πρώτο εξάμηνο που είχαμε συσχετίσει την πληθικότητα των φυσικών με την πληθικότητα των πραγματικών. Αν χ η πληθικότητα των φυσικών και ψ η πληθικότητα των πραγματικών τότε αν θυμάμαι καλά είχαμε πει ότι ισχύει ψ=2^χ. Αυτό δε θυμάμαι πως βγήκε αλλά νομίζω μια εξήγηση είναι η εξής:
Κάθε πραγματικός που ανήκει στο [0,1) αντιστοιχεί σε μια απεικόνιση α του Ν στο {0,1,...,9}, αν θεωρήσουμε ότι ο πραγματικός γράφεται στη μορφή 0,α(0)α(1)α(2)...
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το Ν στο {0,1,...,9}.
Αλλά το σύνολο των συναρτήσεων αυτών μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: Αν είχαμε να αντιστοιχήσουμε 1 αριθμό σε κάποιον από το {0,1,...,9}, τότε θα είχαμε 10 διαφορετικές συναρτήσεις. Για δύο αριθμούς θα είχαμε 10^2 διαφορετικές συναρτήσεις. Για ν αριθμούς 10^ν διαφορετικές συναρτήσεις και για ένα απείρως αριθμήσιμο σύνολο αριθμών θα είχαμε 10^χ όπου χ η πληθικότητα του Ν.
Δηλαδή ψ = 10^χ, όπου ψ η πληθικότητα των συναρτήσεων από το Ν στο {0,1,...,9}, δηλαδή των πραγματικών αριθμών.
Όμως έναν πραγματικό αριθμό θα μπορούσαμε να το γράψουμε και σε δυαδική μορφή, οπότε με το ίδιο σκεπτικό θα προέκυπτε ότι ψ=2^χ. Βλέπουμε ότι οι εκφράσεις 2^χ και 10^χ (και γενικά λ^χ όπου λ φυσικός μεγαλύτερος του 1) είναι ισοδύναμες. Αυτό φαίνεται λογικό αφού 10^χ = 2^(log2(10)*x) το οποίο προκύπτει αν δεχτούμε ότι ισχύει κχ = χ όπου κ θετικός. Αυτό είναι κάτι αντίστοιχο με το κ*(άπειρο) = άπειρο.
Κάπως έτσι λοιπόν εξηγείται (και δε λέω αποδεικνύεται γιατί αυτό το σκεπτικό δεν πλησιάζει καθόλου την έννοια "αυστηρή απόδειξη") ότι ψ = 2^χ.

Για τις συναρτήσεις από το [0,1) στο [0,1) θα σκεφτούμε αναλόγως: Αν είχαμε να αντιστοιχήσουμε έναν αριθμό σε κάποιον από το σύνολο [0,1), τότε θα είχαμε ένα σύνολο συναρτήσεων με πληθικότητα ψ(όσοι και οι αριθμοί στους οποίους μπορεί να αντιστοιχιστεί). Αν είχαμε δύο αριθμούς τότε θα είχαμε συναρτήσεις πληθικότητας ψ^2 (αντιστοιχεί στο σύνολο των μιγαδικών που έχει ίδια πληθικότητα με τους πραγματικούς, άρα συμπεραίνουμε ότι πρέπει ψ^2 = ψ, λογικό αν αντιμετωπίζουμε το ψ όπως το άπειρο). Αν είχαμε ν αριθμούς τότε θα είχαμε ψ^ν συναρτήσεις και αν είχαμε αριθμούς από ένα σύνολο πληθικότητας ψ, τότε θα είχαμε ψ^ψ διαφορετικές συναρτήσεις. Άρα, αν ω είναι η πληθικότητα του συνόλου των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) τότε ω = ψ^ψ.

Και πάλι λέω ότι δε θεωρώ το παραπάνω απόδειξη, αλλά φαίνεται λογικό, τουλάχιστον σε μένα.

Ετσι είναι και η "απόδειξη" σου είναι σωστή. Γενικά, αν θεωρήσουμε συνάρτησεις

                               f:A->B

και ονομάσουμε Φ το σύνολο αυτών των συναρτήσεων, τότε ο πληθικός αριθμός του συνόλου αυτών των συναρτήσεων είναι

                             πληθ(Φ)=πληθ(Β)^πληθ(Α)

(Απλό παράδειγμα: υπάρχουν 2^3=8 Boolean διανύσματα μήκους 3 -- αυτά είναι το σύνολο  όλων των συναρτήσεων φ:{1,2,3}->{0,1}).
Οπότε όταν Α=Β=R, έχουμε συνολικά πληθ(R)^πληθ(R) τετοιες συναρτήσεις.

Υπάρχει η λεγόμενη αριθμητική των πληθικών αριθμών (arithmetic of cardinalities) Kαλό βιβλίο αναφοράς είναι το "Theory of Sets" by E. Kamke, πρέπει να υπάρχει και στα ελληνικά. Και, απο Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_arithmetic
http://en.wikipedia.org/wiki/Power_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

Εκεί μπορούμε να βρούμε τα εξής:

1) συμβολίζουμε με Ν0 (διαβάζεται ΑΛΕΦ 0) την πληθικότητα των ακεραίων.
2) Ν1=2^Ν0 είναι η πληθικότητα των πραγματικών (γιατι οι πραγματικοί αντιστοιχίζονται 1-προς-1 με τις άπειρες σειρές δυαδικών αρ.)
3) Ν2=Ν1^Ν1=(2^Ν0)^Ν1=2^(Ν0*Ν1)=2^Ν1 είναι η πληθικότητα των πραγμ. συναρτήσεων (γιατί Ν0*Ν1=Ν1 !!!)

Συνοπτικά:

            Ν1=2^Ν0, Ν2=2^Ν1, ... , ΝΚ=2^Ν(Κ-1) , ...

Δηλ. μπορούμε να χτίσουμε μια ΑΠΕΙΡΗ ΣΕΙΡΑ ΑΠΕΙΡΙΩΝ. Αποδεικνύεται επίσης ότι

            Ν0 < Ν1 < Ν2 < ....

δηλ. η σειρά των πληθικοτητων είναι γνήσια αύξουσα.

Εχουμε ακόμη

Ν0 η πληθ. των ακεραίων, Ν1 η πληθ του ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟΥ των ακεραιων
                                         (το οποίο δυναμοσύνολο είναι οι πραγματικοί)

Ν1 η πληθ. των πραγματικών, Ν2 η πληθ του ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟΥ των πραγμ.
                                           (το οποίο δυναμοσύνολο είναι  οι συνρτησεις)
κτλ.

Ολα τα παραπάνω σχετίζονται με το Θεώρημα του Goedelz καθώς και με το αντίστοιχο του (στην κομπιουτερική) Halting Problem. Αυτά όμως σε άλλο Post.

Θ


ΥΓ: Το ΑΛΕΦ είναι ένα περίεργο σύμβολο (δείτε το στην Βικιπαίδεια) που θυμίζει λίγο το Ν (γι' αυτό και πολλές φορές γράφουμε Ν). Όμως στην πραγματικότητα είναι το πρώτο γράμμα του Εβραικού αλφάβητου, το οποίο μάλιστα πάει: αλεφ, μπεθ, γκιμελς κτλ. Σας θυμίζει τίποτα?

Βέβαια, στην πργμ δεν είναι Εβραικό αυτό το αλφάβητο, αλλά Φοινικικό.