THMMY.gr

ξέρει κανείς ποια είναι η διάσταση του χώρου που περιλαμβάνει πολυώνυμα πχ 2ου βαθμού;
δηλαδή του Ρn(R)?
εγώ υπέθεσα ότι θα είναι 1 αφού ορίζεται στο R
αλλά δεν είμαι σίγουρη






εδιτ: διόρθωση τίτλου

Πολυωνυμα 1 μεταβλητης???

ναι μίας

Λογικα 1 ειναι αλλα δεν ειναι απολυτα σίγουρος... :???:  :???:  :???:

Οσες μεταβλητες τοσος ο χωρος, αρα μονοδιαστατος. Εκτος αν δεν καταλαβα κατι σωστα.

Για να μπορεσεις να το οπτικοποιησεις, σκεψου που θα μπορουσες να το κανεις διαγραμμα το πολυωνυμο. Μπορεις σε ενα φυλλο χαρτι? Αν ναι τοτε ειναι 1 διαστασης. Αν γινεται μονο στον χωρο, τοτε ειναι 2 διαστασεων. Για περισσοτερες διαστασεις πρεπει να βαλεις την φαντασια σου και να σκεφτεις πολλαπλους χωρους.

βασικά βρήκα μία άσκηση στον γκαρούτσο που ψάχνει την διάσταση του διανυσματικού χώρου πολυωνύμων! για πολυώνυμα x^n αποδεικνύει ότι υπάρχει η βάση E={1,x,x^2,...,x^n}

και ύστερα λέει αφού στην βάση υπάρχουν ν+1 ανεξάρτητα στοιχεία άρα η διάσταση είναι
ν+1

το καταλαβαίνω νομίζω αλλά σιγά μην το σκεφτόμουν

Μα και βέβαια.
Αφού σου δίνει το συγκεκριμένο ΔΧ και σου λέει μάλιστα τη βάση του, η διάσταση του ΔΧ είναι λογικό να ισούται με τον αριθμό των διανυσμάτων βάσης
Αρα πράγματι ν+1, μιας και το πρώτο είναι το 1=χ⁰

απλώς δεν μπορώ να τα φανταστώ όλα αυτά

δεν δημιουργείται εικόνα στο μυαλό μου
εικόνα;;;;!! εννοώ δεν τα έχω τακτοποιήσει στο κεφάλι μου και μου φαίνονται λίγο
κινέζικα

να ρωτήσω κάτι ακόμα; αν βρω ότι ker(T)={0} τότε η διάσταση του πυρήνα
είναι 0 έτσι;
και επίσης αν βρω ότι ο πυρήνας αποτελείται π.χ. από όλα τα πολυώνυμα 2ου βαθμού που ο  συντελεστής του χ είναι 0, τότε ο πυρήνας πώς είναι; κάπως έτσι;
ker(T)={a2x^2 +a1x +a0=0/Vx,a2,a0eR και a1=0}
ή λέω μπούρδες και μάλλον είναι απίθανο να βγει έτσι ο πυρήνας;
ή αν είναι πόσο είναι η διάσταση αυτού του πράγματος; 2 ή 1;

ΚΑΙ ΤΙ ΣΚΑΤΑ ΑΦΟΥ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΚΑΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ
ΤΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΝΑ ΤΟΥ ΕΧΩ;

Είναι γιατί, σκεφτόμαστε το χώρο, το επίπεδο και τη γραμμή.

Πάρτο αλλιώς.
Έστω ένα διάνυσμα του χώρου, εκφρασμένο ως προς τα διανύσματα βάσης.

Τι σημαίνει αυτό? ότι το διάνυσμα είναι ένας συνδιασμός (λέξη κλειδί) 3 άλλων διανυσμάτων. Το ίδιο ισχύει και για όλα τα υπόλοιπα διανύσματα.


Εδώ, έστω ότι έχουμε τον ΔΧ P₃(R) με βάση {x³,x²,x,1}
Ένα "διάνυσμα" είναι το 2x³+8x²-2x+10
δεν φαίνεται η γρ. εξαρτησία?
2*(x³)+8*(x²)-2*(x)+10*(1)

Σίγουρα στον πυρήνα ανήκει το μηδενικό διάνυσμα, οποιουδήποτε ΔΧ
Θυμάμαι όμως ότι σε μια συζήτηση με τον κΚεχαγιά για τη γραμμική εξ. του μηδενικού διαν., είπε ότι ο ΔΧ με μόνο αυτό το διάνυσμα δεν έχει διάσταση.

ευχαριστώ αρχίζω να νιώθω νομίζω ::)

βρήκα στο βιβλίο ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι εξαρτημένο
άρα όντως δεν έχει διάσταση

ναι το κατάλαβα τώρα πως είναι διανύσματα ναι ναι ωραίο παράδειγμα

ευχαριστώ πολύ
(αν επιτρέπεις μία διόρθωση της μαθήτριας ο χώρος που λες είναι ο P3(R)) ;)

Το πολυώνυμο είναι a2x^2 +a1x +a0, όχι a2x^2 +a1x +a0=0

Πιο απλά:

ker(T)={a2x^2 + a0/Vx,a2,a0eR}

Η διάσταση είναι όσες και οι ανεξάρτητες μεταξύ τους μεταβλητές, δηλαδή 2 (α2 και α0)

Είπαμε ότι η διάσταση του πυρήνα μιας απεικόνισης ισούται με τον αριθμό των κόμβων του πίνακα σε κλιμακωτή μορφή.

Ο πίνακας αυτός είναι ο πίνακας της απεικόνισης ως προς κάποια βάση ή ο πίνακας μετασχηματισμού από τη μία βάση στην άλλη???  :-\

AgentKain ,
αν καταλαβαίνω  σωστά η ερώτησή σου είναι, αν  ένας πίνακας σε κλιμακωτή μορφή παριστάνει πίνακα απεικόνισης ως προς μια βάση ή μεταφοράς σε άλλη βάση;Αν αυτό εννοείς ,οχι ,ένας πίνακας σε κλιμακωτή μορφή είναι ισόμορφος και γιατί οχι και ισοδύναμος με τον αρχικό πίνακα.Αυτό το διαπιστώνει κανείς αν σκεφτεί οτι αυτός προέκυψε με γραμμοπράξεις από τον αρχικό,ή από το γεγονός οτι έχουν τον ίδιο βαθμό ,λύσεις κ.λ.π.Επομένως γιατί να αποτελεί πίνακα απεικόνισης ως προς κάποια βάση ή οτιδήποτε άλλο;Περιέχει την ίδια "πληροφορία" με τον αρχικό πίνακα.

Οχι εννοώ το εξής:

Στην θεωρία έχει τον τύπο |L|_T=Q^-1|L|_EQ
Όπου Ε η βάση του 1ου ΔΧ και Τ η βάση του 2ου ΔΧ

Ο L είναι ο πίνακας απεικόνισης ως προς μία βάση (ανάλογα με το δείκτη)
Ο Q είναι ο πίνακας μετασχηματισμού, ο πίνακας απεικόνισης από τη μία βάση στην άλλη.

Ο κΚεχ. είχε πει ότι, για να βρούμε τη διάσταση του πυρήνα της απεικόνισης (του πυρήνα δλδ ενός από τους δύο πίνακες που ανέφερα, δεν θυμάμαι ποιανού) αρκεί να εκτελέσουμε γραμμοπράξεις και να μετρήσουμε τους κόμβους στην κλιμακωτή μορφή.

Ποιος λοιπόν είναι αυτός ο πίνακας?


Βέβαια να σημειώσω ότι δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για όλα αυτά, με εξαίρεση τον τρόπο εύρεσης της nullity

Ο Q προφανώς.

Ο L δε λέγεται πίνακας απεικόνισης, δε δηλώνει καμιά απεικόνιση. Είναι απλά τα 3 διανύσματα βάσης.

Nομίζω οτι ύπάρχει σύγχυση μεταξύ του πυρήνα μιας απεικόνισης και του πίνακα γραμμικής απεικόνισης.Είναι δυο εντελώς διαφορετικές έννοιες :
Ο πυρήνας μιας γραμμικής απεικόνισης  αποτελεί το σύνολο {χ:f(x)=0},αν f(x) η γραμμική απεικόνιση.Για να βρούμε τη διάσταση του πυρήνα πράγματι εκτελούμε γραμμοπράξεις και ο βαθμός του πίνακα που καταλήξαμε  ταυτίζεται με τη διάσταση του Ker(f).

 Οι δυο πίνακες  ως προς τις βάσεις E ,T που αναφέρεις, δεν έχουν καμία σχέση με τον πυρήνα της απεικόνισης.Είναι δυο διαφορετικά ζητήματα,η εύρεση του πυρήνα μιας απεικόνισης και του πίνακα της απεικόνισης ως προς μια βάση!

Ξέρει κανείς πώς λύνεται η ασκηση 15 στη σελίδα 331 του βιβλίου? ζητάει να βρούμε την ορθή προβολή της l:{y=3x-5, z=2x+1} στο επίπεδο
 Ε: x-2y+3z=1

πρέπει μήπως να αντικαταστήσουμε στις εξισώσεις της ευθείας την εξίσωση του επιπέδου (λυμένη π.χ ως προς χ)???

ξερει καποιος πως βρισκουμε τις επιφανειες που βαζει στισ εξετασεις ο Ξενος? :???:

όλη η θεωρία είναι στο βιβλίο έχει και κάτι τεράστια παραδείγματα
εκεί στις δευτεροβάθμιες επιφάνειες

ναι οντως απλα ειχε πει οτι επρεπε να τα βρουμε οχι μεσω ιδιοτιμων αν θυμαμαι καλα αλλα με πιο συντομο τροπο..τωρα ποιος ειναι αυτος δεν ξερω.....

Στις ασκήσεις του Καλογερίδη δεν τα είπε; ήταν μια μεθοδολογία με βήματα αν θυμάμαι καλά..

τελικά υπάρχει κανένας τρόπος για να βρούμε τις επιφάνειες με το μάτι ή πρέπει να κάνουμε και πράξεις??Τα παραδείγματα του βιβλίου είναι πολύ γενικά και αόριστα. Από Ξένο μπαίνουν παρόμοια θέματα με αυτά που είναι ανεβασμένα;Πείτε κανα sos οι παλιοί να πάρουμε τουλάχιστον 1,5 μονάδες από τον Ξένο γιατί στον Κεχαγιά βασιζόμαστε πιστεύω!!

Καποιος που γνωριζει ας απαντησει ρε παιδια για τις επιφανειες που βαζει ο ξενος!!! πλιΖΖΖΖΖΖΖΖΖ

Oρθογωνιοτητα ειναι εντος η εκτος υλης?

http://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=20894.msg419428#msg419428

δεν ήταν τόσο δύσκολο..

Παιδιά στην εύρεση της επιφάνειας μέσω των ιδιοτιμών, έχει σημασία με ποια σειρά διαλέγουμε τις ιδιοτιμές άρα και τα ιδιοδιανύσματα στον πίνακα αλλαγής;

κι εγώ το σκεφτόμουν αυτό
απλά επειδή πουθενά δεν λέει με τι σειρά να τις παίρνεις κλπ
μάλλον δν έχει σημασία

η όλη αλλαγή είναι οι άξονες δηλ πχ αν θα γυρνάει γύρω από τον
χ'Οχ ή τον ψ'Οψ
αλλά δν αναφέρει τους άξονες στις απαντήσεις

αρα αρα αρα
προσωπική άποψη ότι δν έχει σημασία

κάτι λέει όμως ώστε να έχουν θετικό προσανατολισμό. Επίσης αν και το αποτέλεσμα βγαίνει ίδιο συνήθως, σε ασκήσεις όπως το παράδειγμα 9.5(κάτω κάτω) σελ. 476 βγαίνουν άλλες οι τιμές για την παράμετρο αν τα πάρεις αλλιώς.

Πως μπορούμε να καταλάβουμε αν έχουν θετικό προσανατολισμό??

Εγώ δεν καταλαβαίνω καν τι σημαίνει θετικός προσανατολισμός.

Τώρα που το ξανασκέφτομαι μήπως εννοεί ο πίνακας να είναι ακριβώς ορθογώνιος; Δηλ ορίζουσα 1;

το έβλεπα πριν από λίγο
δηλ. τι τιμές παίρνεις και σου βγαίνει άλλη παράμετρος;

Δεν θυμάμαι. Είχα την ίδια σειρά των ιδιοτιμών αλλά διαφορετικά ιδιοδιανύσματα. Είχα βάλει για u2 πάντως το 1/2^(1/2) {0 1 -1}.

αυτό δεν έιναι ορθογώνιο στο πρώτο άρα δν είναι ορθομοναδιαία τα διανύσματα

Λογικό ακούγεται...Με έσωσες.

με είχαν σώσει 5 λεπτά πριν

Τα ορθομοναδιαία ιδιοδιανύσματα στους πίνακες αλλαγής τα βρίσκουμε με τη μέθοδο Gram-Schimdt;

Τετοια ωρα τετοια λογια!!Φιλε παρατα τα!! 8)

αν του το λεγες, δεν θα χανα μισό θέμα :(

Δεν το πιασα?

ήταν το σημείο που κόλλησα και σταμάτησα την άσκηση...

εγω τι να πω που μπορει να παρω και 4 γραμμικη αλλα κουλουρι γεωμετρια.. :'( :'( :'( :'( :'( :'(

ΑΤΙΜΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Να ρωτήσω και γω κάτι που μου ήρθε τώρα?
Στο 1ο θέμα του Ξένου (φαντάζομαι παρόμοια είχαν όλες οι ομάδες) επειδή δεν μου έφτανε ο χρόνος από κάποιο σημείο και μετά έγραψα θεωρητικά τι ακολουθεί...την αλληλουχία των πράξεων που πρέπει να κάνουμε για να βρούμε την εξίσωση της καμπύλης δηλαδή.
Συγκέκριμένα, βρήκα μέχρι και τα μοναδιαία ιδιοδιανύσματα...και είπα και τι γένους θα ναι η καμπύλη με βάση τις ιδοτιμές...Μέχρι εκεί!
Από κει και πέρα θεωρητικά.
Τι ποσοστό των βαθμών να περιμένω να πάρω, εφόσον αυτά που έχω είναι σωστά?

Έχω μια απορία...Λοιπόν στη σελίδα 412 του βιβλίου στην εξίσωση (6.6)  ποιο είναι το λ₁ και ποιο το λ₂;;

Είναι εύκολο να γράψεις την εξίσωση να το κοιτάξω; :) (Δεν έχω το βιβλίο που λες)

Για να καταλάβεις είναι στο κεφάλαιο της αναγνώρισης επιφανειών με τη βοήθεια των ιδιοτιμών....Η εξίσωση είναι

λ₁Χ²+λ₂Υ²+D(Q)/(λ₁λ₂)=0

κατάλαβες τι εννοώ;;;     :-\

Α μάλιστα. :)


Όπως βλέπω σ' αυτά που 'χα σημειώσει (πολύ παλιά :P) είναι ότι:
Αν έχω την εξίσωση:

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?Ax^2+By^2+\Gamma z^2+2\Delta xy+2E xz + 2 Z yz + H x + \Theta y + I z + K = 0)

Τότε μπορείς να την γράψεις στην μορφή:

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{X}^T\mathbb{A}\mathbb{X}+2\mathbb{B}\mathbb{X}+K=0), 



Όπου:

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{X}=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right])

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{A}=\left[\begin{matrix}A & \Delta & E \\ \Delta & B & Z \\ E & Z & \Gamma\end{matrix}\right])

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{B}=\left[\begin{matrix}H \\ \Theta \\ I\end{matrix}\right])




Η παραπάνω εξίσωση αποδεικνύεται ότι μπορεί να γραφεί ως:

(http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+\gamma=0)


Όπου (http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda_{1,2,3}) οι ιδιοτιμές του (http://gentgeen.homelinux.org/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{A}).

Για το 'γ' δεν έχω σημειώσει κάτι.




Τώρα μπορεί να μην σε φώτισα, αλλά αυτό θυμάμαι μόνο.  :-\

Καθε βοηθεια καλοδεχουμενη ρε εσυ αλλα αυτο που δεν καταλαβαινω ειναι πως ξερω ποια ιδιοτιμη ειναι το λ₁ ποια το λ₂ κ ποια το λ₃...Δηλαδη απο τον πινακα Α θα βγαλω τρεις ιδιοτιμες αλλα δεν ξερω αν πρεπει να τις βαλω με καποια σειρα η στην τυχη (που δεν νομιζω)....Το προβλημα βρισκεται δηλαδη στο αν θα ειναι τυχαιοι οι συντελεστες...Αν επιρεαζει η σειρα με την οποια θα τις βαλω...

Ξέρεις τι; Όπως το βλέπω η σειρά απλά επηρεάζει το αν ξέρω γω θα 'χει άξονα συμμετρίας τον x, y ή z. Αλλά εάν πχ είναι ελλειψοειδές, θα είναι πάντα ελλειψοειδές όποια και να 'ναι η θέση του στον χώρο. Δεν ξέρω αν με πιάνεις, μπορεί να λέω και βλακείες λόγω της ώρας. :P

Λογικα για να μην το αναφερει δεν πρεπει να εχει σχεση και καπως εξηγειται αλλα καλου κακου θελω να το επιβεβαιωσω....Τελος παντων αν βρεθει κανεις που να ξερει το γιατι εδω ειμαστε....   ;)  Ευχαριστω για την βοηθεια παντως και μαλλον κατι τετοιο πρεπει να τρεχει μαλλον σαν αυτο που μ ειπες....

Λοιπόν αν κατάλαβα καλά αυτό που ρωτάς (αν επηρρεάζει η σειρά των ιδιοτιμών ποια θα θεωρήσεις λ1 και ποια λ2)

Δεν επηρρεάζει σε τίποτα τη μορφή της καμπύλης /επιφάνειας ποιο θα θεωρήσεις λ1 και ποιο λ2,
αρκεί να πάρεις με την ίδια σειρά τα και  ιδιοδιανύσματα και γενικώς να διατηρείς τη σειρά με την οποία τα διάλεξες σε όλη την άσκηση...(πίνακες,τετραγωνική μορφή ...)   πιστεύω να καταλαβαίνεις τι εννοώ ,γιατί μπορεί να μη το λεω πολύ καλά ;)
Και κάτι άλλο μη μπερδεύεσαι με την εξίσωση (6.6),στις ασκήσεις πρακτικά θα σε βολέψει να εφαρμόζεις τη μεθοδολογία των ασκήσεων και λογικό είναι  να μη θυμάσαι απ'έξω όλες τις μορφές όπως 6.6 ή 6.7 κ.τ.λ

Ναι καταλαβα τελικα τι γινεται....Δεν τις απομνημονευσα γιατι ειδα παρακατω οτι πραγματι με τις ασκησεις βγαινει πιο ευκολα.. Πιστευω οτι δεν θα εχω κανενα ιδιαιτερο προβλημα....Αν προκυψει κατι θα σας ξαναρωτησω...  ^super^

Ξέρει κάποιος να μου πει πως λύνονται οι ασκήσεις 5,7,8 του γραπτού των εξετάσεων Φεβρουαρίου που βρίσκεται στα downloads? Από τότε το έχω απορία...

Για το Θέμα 7, κοίτα στα παραδείγματα που ξεκινάν σ415 (καινούριο β) είναι κάτι ανάλογο με αυτά. "Tυφλοσούρτης", οπώς θα έλεγε ο κύριος Δάιος.
Το Θέμα 5 θα το ξαναθυμηθώ και θα το ποστάρω αύριο. Το 8 τόχα λάθος γαμώ. >:(

Μια δική μου τώρα, πολύ πολύ σύντομη. Στο θέμα 3 του Κεχαγιά (ναι κατάφερα να κοπώ λόγω Κεχαγιά αυτή τη φορά) λύνεται με εφαρμογή του θεωρήματος Cayley-Hamilton ??

Νομίζω ουσιαστικά είνα εφαρμογή του Cayley-Hamilton αλλά ο Κεχαγιάς στις λυμένες του έχει ένα αρκετά απλό τρόπο λύσης... Αρχικά βρίσκει τις ιδιοτιμές του πίνακα και στη συνέχεια παίρνει παίρνει ότι f(A)-εδώ η e^A- είναι ίσο με τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων επί έναν διαγώνιο με στοιχεία-κυρίας διαγωνίου-f(λ1) f(λ2)...f(λν) -όπου λ1 λ2...λν είναι οι αντίστοιχες ιδιοτιμές- επί τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα ιδιοδιανυσμάτων...
Ελπίζω να βοήθησα αν και χλώμο το βλέπω... Για να το καταλάβεις σίγουρα κοίτα τις λυμένες ασκήσεις του Κεχαγία σελ. 47 ασκ.17,18 και τη θεωρία του σελ. 13 το 20...

στην ουσια διαγωνοποιει τον πινακα και μετα απλα βαζει το e μεσα συμφωνα με τη θεωρια και τελος ;)

Eυχαριστώ παιδιά.
Δυστυχώς κόλλησα στη διαγωνιοποίηση του συγκεκριμένου πίνακα, γιατί για την ιδιοτιμή λ=1 προκύπτει αόριστο σύστημα για την εύρεση του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος, ψαχνόμουνα, και δεν πρόλαβα να λύσω άλλα που ήξερα.
Τελικά σε αυτή τη περίπτωση ο πίνακας είναι διαγωνιοποίησιμος ή όχι ; Αν όχι, τότε η μόνη λύση είναι το θεώρημα Cayley/Hamilton αυτό καθεαυτό, έτσι ;



Γενικά βρίσκω ότι τα χρονικά περιθώρια στο συγκεκριμένο μάθημα (και σε άλλα του τομέα Μαθηματικών) είναι ιδιαίτερα στενά. >:(

ξέρει κανείς να μου απαντήσει τι παριστάνει η παρακάτω καμπύλη:

α(x-x0)^2 -β(y-y0)^2 +z +A=0

όπου α,β,xo,yo,A είναι σταθερές

apo tis eksisoseis pou exi sto blbio den fainetai na einai gnosti xwris stathero oro tha tanyperboliko paraboleides.....mia erwtisi: oi aksones sto s.s. x' y' pos prosdiorizonte apo ta monadiaia dianismata? den ginetai na ipologistoun apo df/dy df/dx df/dz?

*prepi nanai basika giati an kaneis allagi x'=x-xo
y'=y-yo
z'=z+a
ax'^2-by'^2+z'=0

Στις ασκήσεις που βάζει συνήθως ο κύριος Ξένος "Να βρεθεί η ακτίνα και το κέντρο του κύκλου.." πχ η άσκηση 4iii στο γραπτό του Σεπτέμβρη 2006 πως λύνεται? Σκέφτηκα με τετραγωνική μορφή αλλά μάλλον είναι λάθος.
Επίσης, η άσκηση 5ii στο ίδιο γραπτό?

Την 7 την βρήκα τελικά. Ευχαριστώ. Η μόνη απορία που εχω (και η άσκηση 5 φυσικά) είναι ο τρόπος που βρίσκει την εξίσωση της καμπύλης στο νέο σύστημα συντεταγμένων. Στο παράδειγμα 7.2 σελ 314 παλιο βιβλίο, απο τον L προκύπτει ότι χ1 = χ και y1 = y. βρίσκει το κέντρο της καμπύλης και στις δύο εξισώσεις που προκύπτουν αντικαθιστά τα χ και y με χ1 και y1 αντίστοιχα. Τα βάζει στην εξίσωση που δίνεται στη σελίδα 308 και αλλά όπου χ1 στην εξίσωση βάζει χ1 + 1 και όπου y1 βάζει y1 - 2, ενώ ο τύπος της εξίσωσης στο νέο σύστημα συντεταγμένων είναι λ1(χ1)^2  + λ2(y1)^2 + .... Δεν έπρεπε να αντικαθιστά απλά τα χ1 και y1?

για την 4iii σου δινει ενα επιπεδο και μια σφαιρα η τομη τους ειναι κυκλος και σου ζηταει να βρεις το κεντρο του και την ακτινα του, το κεντρο του ειναι η προβολη του κεντρου της σφαιρας στο επιπεδο

οσο για την ακτινα μπορεις εστω κ το κεντρο του κυκλου και ο το κεντρο της σφαιρας θεωρεις τυχαιο Α στην περιφερεια του κυκλου και απο το τριγωνο ΑΚΟ γνωριζοντας την ακτινα της σφαιρας και την αποσταση των κεντρων βγαζεις την ακτινα του κυκλου ;) 

Οκ, ευχαριστώ. Την προβολή του κέντρου της σφαίρας στο επίπεδο πως την βρίσκω?

πως βρησκεις δηλαδη την προβολη ενος σημειου σε ενα επιπεδο?

Λοιπον εστω το επιπεδο Π και το σημειο Α το σημειου που ψαχνεις ειναι πανω στο Π ας το πουμε Β με (χβ,ψβ,ζβ) αυτο επαλειθευει την εξισωση του επιπεδου σχεση (1) με τα το διανυσμα τωρα ΑΒ ειναι καθετο στο επιπεδο μια και μιλαμε για (ορθη) προβολη αρα απο την καθετοτητα του ΑΓ με το επιπεδο εχεις ακομη μια σχεση (2)

απο τις (1) και (2) τωρα μπορεις να προσδιορισεις το σημειο πανω στο επιπεδο που ειναι και το κεντρο του κυκλου σου στην προκειμενη περιπτωση ;)

Sorry αλλά μπορείς να γίνεις λίγο πιο κατανοητός? :P Να σου πω τι κατάλαβα  :)
Λοιπόν, έχουμε τη σφαίρα η οποία τέμνει το επίπεδο σχηματίζοντας ένα κύκλο στην τομή τους. Γνωρίζω το κέντρο καθώς και την ακτίνα της σφαίρας. Το κέντρο της σφαίρας είναι ας πούμε το Ο. Α είναι το σημείο του επιπέδου στο οποίο ακουμπά η ακτίνα της σφαίρας. Γνωρίζοντας το κέντρο της σφαίρας και την ακτίνα και βρίσκοντας το Κ (κέντρο του κύκλου) θα κάνω απόσταση δύο σημείων, την ΟΚ και με πυθαγόρειο θεώρημα θα βρω την ακτίνα του κύκλου σωστός? Αν μπορείς χρησιμοποιώντας αυτά τα σημεία να μου πεις πως θα βρω το κέντρο του κύκλου Κ, που όπως σωστά λες είναι η προβολή του κέντρου της σφαίρας στο επίπεδο..
Η συνθήκη καθετότητας που λες είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ΑΚ και ΟΚ να είναι 0?
Ευχαριστώ πολύ.

Μια χαρα τα ειπες εκτος απο τελος το κεντρο του κυκλου ειπαμε εχεις μια εξισωση απο το γεγονος οτι αυτος ειναι πανω στο επιπεδο μετα για την καθετοτητα εχεις το επιπεδο χ-2ψ+2ζ=4 απο αυτο παιρνεις το διανυσμα ν(1,-2,2) απο τους συντελεστες χ,ψ,ζ και απαιτεις το διανυσμα που ενωνει τα 2 κεντρα να ειναι παραλληλο σε αυτο δλδ ΟΚ=λ*ν κανοντας πραξεις καταληγεις σε μια τετοια μορφη (.... , .... , .... ) που εχει μεσα λ και απο την πρωτη εξισωση του επιπεδου υπολογιζεις αυτο το λ και εχεις βρει το σημειο  ;)

σορρυ που αργησα

πσ μαζι δινουμε αυριο λες να πεσει :D?

Ναι είναι από τα θέματα που αρέσουν στον ξένο και το βάζει συχνα..(ελπίζω να μην παρακολουθεί το θέμα και αλλάξει το γραπτο τώρα ;D)
1. "ειπαμε εχεις μια εξισωση απο το γεγονος οτι αυτος ειναι πανω στο επιπεδο" δηλαδή λύνω σύστημα σφαίρας - επιπέδου? Ποια είναι η εξίσωση που βρήκες?
2. "απαιτεις το διανυσμα που ενωνει τα 2 κεντρα να ειναι παραλληλο σε αυτο δλδ ΟΚ=λ*ν" <---- το διάνυσμα ΟΚ ποιο είναι, αν Ο(-1,-2,0) και Κ(χ,y,z)?

Σορρυ αλλά ο εγκέφαλος μου δεν λειτουργεί πολύ καλά τέτοια ώρα :-\

για το 2 το Ο ειναι το κεντρο της σφαιρας το Κ το κεντρο του κυκλου (χ,ψ,ζ) οπως ειπες και εχεις ΟΚ(χ-(-1),ψ-(-2),ζ) αυτο ειναι το ΟΚ

οσο για το ενα οχι απλα οπως ειπες το Κ ειναι το τυχαιο σημειο (χ,ψ,ζ) και απλα το αντικαθιστας στις εξισωση του επιπεδου αυτο σε βοηθαει μετα να βρεις την παραμετρο λ λυστο και θα το καταλαβεις ;) στην ουσια εκφραζεις μετα τα χ,ψ,ζ με το λ και τα αντικαθιστας στην εξισωση του επιπεδου και απο κει υπολογιζεται το λ

Άρα, (χ+1 , y+2 , z+1) = λ(1,-2,2)
οπότε λύνω ως προς χ, y, z, τα αντικαθιστώ στην εξίσωση του επιπέδου και βρίσκω το λ. Από αυτό βρίσκω τα χ, y, z, και βρήκα το σημείο έτσι? :)

thats right ;)

Σ'ευχαριστώ ΠΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΡΑ πολυ φιλε, σου εύχομαι καλή επιτυχία αύριο:)
Αν βρεις τπτ σχετικά με αυτή την απορία μου

γράψε το και εγώ εδώ θα είμαι :)
Σ'ευχαριστώ και πάλι ;)