ΓενικάΤα τμήματα είναι χωρισμένα αλφαβητικά σε Α και Β. Το τμήμα Α το έχει ο κ. Κάππος ενώ το τμήμα Β το έχει ο κ. Ρόθος. Τα θέματα των εξετάσεων θα είναι διαφορετικά.
Οι παλαιοί κατανέμονται αλφαβητικά ακριβώς όπως στο Λογισμό ΙΙ .Το δίωρο της Δευτέρας 7-9 είναι ασκήσεων για το τμήμα Β και προς το παρόν δε θα γίνεται μάθημα εκείνη την ώρα.
Ύλη που έχει καλυφθεί. Tμήμα AΣελίδα Διδάσκοντος5/3 Εισαγωγή στις ΔΕ: απλά παραδείγματα από τη Μηχανική και τα κυκλώματα. Ορισμός τάξης μίας ΔΕ. Για απλές ΔΕ, "μαντεύουμε" τη μορφή των λύσεων. Ορισμός γενικής και ειδικής/μερικής λύσης. Ορισμός γραμμικών ΔΕ και επαλληλία λύσεων. Ερωτήματα για μία ΔΕ: έχει λύσεις, είναι μοναδικές, σε ποιό διάστημα ορίζονται, πώς τις βρίσκουμε;
13/3 Αντι-παραδείγματα για ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων μίας ΔΕ. Παράδειγμα ΔΕ με διάστημα ορισμού κάθε λύσης μεταβλητό. ΔΕ ως πεδία κλίσεων. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσεων για ΔΕ 1ης τάξης. Η λογιστική ΔΕ (βελτίωση της ΔΕ του Malthus). Γραφική μέθοδος σκιαγραφήματος λύσεων. ΔΕ πρώτης τάξης, χωρισμός μεταβλητών.
20/3 ΔΕ 1ης τάξης. Γραμμικές ΔΕ και ολοκληρωτικός παράγοντας (συνάρτηση μ που να κάνει το αριστερό μέλος παράγωγο γινομένου). Παραδείγματα. Έννοια της επίλυσης μίας ΔΕ με ολοκλήρωση - δυσκολίες: γενικά μία ΔΕ δεν έχει λύση σε αναλυτική μορφή.
Μη-γραμμικές ΔΕ 1ης τάξης: επίλυση με κατάλληλη αντικατάσταση. ΔΕ Bernoulli και αναγωγή σε γραμμική ΔΕ. Εξίσωση Riccati και μέθοδος επίλυσης εάν είναι γνωστή μία μερική λύση. Αναγωγή σε Bernoulli με α=2 και μετά σε γραμμική. Παράδειγμα.
26/3 Ομογενείς ΔΕ: ορισμός εξισώσεων διαφορικής μορφής P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 και γεωμετρική ερμηνεία ως γενικευμένο πεδίο κλίσεων (τα x,y παίζουν ισοδύναμους ρόλους). Ομογενείς συναρτήσεις και βαθμός τους. Ομογενείς ΔΕ: dy/dx=f(y/x) και μορφή που προκύπτει από ομογενείς P,Q: dy/dx=P(x,y)/Q(x,y). Μέθοδος επίλυσης με αντικατάσταση: u=y/x. Παραδείγματα: γραμμικό, τετραγωνικό και με δεξί μέλος που να μην είναι ομογενές πολυώνυμο.
Εισαγωγή στις γραμμικές ΔΕ με σταθερούς συντελεστές. Εξήγηση της χρήσης δοκιμαστικών λύσεων εκθετικής μορφής.
27/3 Γραμμικές ομογενείς ΔΕ με σταθερούς συντελεστές: χαρακτηριστική εξίσωση για τους εκθέτες λ. Περιπτώσεις διακριτών πραγματικών και συζυγούς ζεύγους μιγαδικών ριζών και παραδείγματα. Περίπτωση διπλής πραγματικης ρίζας. Εξήγηση της αντιστοίχισης αρχικών τιμών με επιλογή σταθερών c1,c2, ...,cn για ΔΕ τάξης n: προκύπτει γραμμικό σύστημα το οποίο, στην περίπτωση διακριτών ριζών, έχει πάντοτε μοναδική λύση (αναφορά σε πίνακες Vandermonde). Από το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας, αυτό σημαίνει ότι έχουμε τη γενική λύση της ομογενούς ΔΕ.
2/4 Εύρεση ειδικής λύσης με τη "μέθοδο" των προσδιοριστέων συντελεστών. Παραδείγματα. Παρουσίαση από τη σκοπιά των συστημάτων: μία γραμμική ΔΕ είναι σύστημα με διέγερση το δεξί μέλος και απόκριση την άγνωστη συνάρτηση. Η λύση της "ομογενούς" είναι λοιπόν η φυσική απόκριση (στις αρχικές τιμές μόνο). Στοιχειώδης θεώρηση της ευστάθειας.
Φαινόμενα συντονισμού σε συστήματα 2ας τάξης. Περίπτωση μηδενικής απόσβεσης
3/4 Συντονισμός σε συστήματα 2ας τάξης. Το φαινόμενο των διακροτημάτων (beats). Περίπτωση μη-μηδενικής απόσβεσης και αναλυτική παρουσίαση του φαινομένου του συντονισμού.
Γραμμικές ΔΕ τάξης n>=2 (με γενικούς συντελεστές, δηλ. συναρτήσεις). Κανονική μορφή. Θεώρημα ύπαρξης, μοναδικότητας και διαστήματος ορισμού λύσεων. Βασική ιδιότητα: το σύνολο των λύσεων ομογενούς γραμμικής ΔΕ είναι ένας διανυσματικός χώρος. Η διάστασή του είναι ακριβώς n. Μία βάση είναι ένα σύνολο n συναρτήσεων που δίνουν όλες τις λύσεις --στη θεωρία ΔΕ χρησιμοποιείται ο όρος "θεμελιώδες σύστημα λύσεων". Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία συναρτήσεων. Ο πίνακας και η ορίζουσα Wronski.
9/4 Ομογενείς γραμμικές ΔΕ: γραμμική ανεξαρτησία, θεώρημα Abel. Εύρεση δεύτερης λύσης με υποβιβασμό τάξης ή, ισοδύναμα, μέσω της ορίζουσας Wronski. Μη-ομογενείς γραμμικές ΔΕ: γενικά, μέθοδος μεταβολής σταθερών για εύρεση ειδικής λύσης, εάν έχουμε διαθέσιμο ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων της αντιστοίχου ομογενούς.
10/4 Μέθοδος μεταβολής σταθερών, τύπος για την ειδική λύση (δώσαμε πιό ακριβή μορφή, με όρια στα ολοκληρώματα). Παραδείγματα, που περιλαμβάνουν γραμμικές ΔΕ με σταθερούς συντελεστές, αλλά με γενικό δεξί μέλος (όπου δεν εφαρμόζεται η μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών.)
ΔΕ τύπου Euler: μέθοδος επίλυσης με την αντικατάσταση x=e^t. Για ΔΕ 2ας τάξης, εξετάσαμε την τελική μορφή της λύσης για τις 3 περιπτώσεις (διακριτών πραγματικών ριζών, διπλής ρίζας και μιγαδικού ζεύγους) της ισοδύναμης γραμμικής με σταθερούς συντελεστές.
16/4 Ο μετασχηματισμός Laplace: δίνει την πιό κατάλληλη μέθοδο μελέτης και επίλυσης γραμμικών ΔΕ (με σταθερούς συντελεστές). Ορισμός και βασικά παραδείγματα. Κατηγορία συναρτήσεων που έχουν μετασχηματισμό Laplace. Ιδιότητες: γραμμικότητα, μετατόπιση μιγαδικής συχνότητας --και εφαρμογές στον υπολογισμό μετασχηματισμών.
23/4 Μετασχηματισμός Laplace: Ιδιότητες: μετασχηματισμός Laplace μετατοπισμένης στο χρόνο συνάρτησης, παραγώγιση μετασχηματισμού, μετασχηματισμοί παραγώγων. Εφαρμογή σε ΔΕ. Παραδείγματα.
24/4 Μετασχηματισμός Laplace: Επίλυση γραμμικών ΔΕ με σταθερούς συντελεστές ("Γραμμικών συστημάτων") με τη χρήση μετασχηματισμού Laplace. Μέθοδος απλοποίησης ρητών συναρτήσεων (όχι με σύστημα!) Περιπτώσεις απλής και πολλαπλής πραγματικής ρίζας, μιγαδικού συζυγούς ζεύγους ριζών. Παραδείγματα. Μορφή απόκρισης y(t). Περίπτωση όπου το δεξί μέλος (η διέγερση) περιλαμβάνει μετατόπιση στο χρόνο.
14/5 Η (γενικευμένη) "συνάρτηση" δ του Dirac. Ιδιότητες. Κρουστική απόκριση ενός γραμμικού συστήματος (ΔΕ), δηλαδή λύση για δεξί μέλος την δ. Με βάση αυτήν, χτίζουμε τη συνολική απόκριση μέσω ολοκληρώματος συνέλιξης της συνάρτησης διέγερσης και της κρουστικής απόκρισης. Γενικός ορισμός της συνέλιξης, αντιμεταθετικότητα, παραδείγματα. Βασική ιδιότητα: ο μετασχηματισμός Laplace της συνέλιξης δύο συναρτήσεων είναι το γινόμενο ων μετασχηματισμών Laplace τους.
15/5 Σύνοψη του ορισμού και χρήσης της συνέλιξης στη μελέτη γραμμικών συστημάτων (ΔΕ).
Συστήματα ΔΕ: Παραδείγματα, λυμένη μορφή, μετατροπή σε κανονική μορφή (σύστημα ΔΕ πρώτης τάξης με ορισμό εκτεταμένου διανύσματος κατάστασης). Ταύτιση με την έννοια του διανυσματικού πεδίου.Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων --για συνεχώς παραγωγίσιμα πεδία-- σημαίνει ότι ο χώρος γεμίζει με λύσεις οι οποίες ποτέ δεν τέμνονται εγκάρσια. Σημεία ισορροπίας και γραμμικοποίηση, παράδειγμα του εκκρεμούς.
21/5 Συστήματα ΔΕ: Η μέθοδος ιδιοτιμών για εύρεση γενικής λύσης γραμμικών συστημάτων ΔΕ. Γενική θεωρία και εστίαση σε συστήματα στο R2. Περιπτώσεις πραγματικών διακριτών ιδιοτιμών --αρνητικών (ευσταθής κόμβος), θετικών (ασταθής κόμβος) και ετερόσημων (σάγμα). Διπλή ιδιοτιμή και εύρεση δεύτερης λύσης μέσω γενικευμένου ιδιοδιανύσματος. Μιγαδικό συζυγές ζεύγος. Πορτρέτα κίνησης (φάσεων): αναλλοίωτες ευθείες, ασυμπτοτική συμπεριφορά, μέθοδος ισοκλινών.
Tμήμα ΒΧΡΟΝΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ( σημειώνονται και οι Εξτρά ώρες που θα γίνουν)4/3 Εισαγωγή. Ταξινόμηση ΔΕ, Τάξη, Γραμμικότητα, Ομογένεια. Θεώρημα Cauchy.
5/3 ΔΕ Πρώτης Τάξης.
11/3 ΔΕ Bernoulli-Riccati
20/3 Μη γραμμικές ΔΕ ειδικών μορφών, Γραμμικές ΔΕ (Ομογενείς και μη), Ορίζουσα Wronski, Γραμμική Ανεξαρτησία Λύσεων ΔΕ.
26/3 Ορίζουσα Wronski ΝΧΝ, Ομογενείς-Μη Ομογενείς ΔΕ. Μέθοδος μεταβολής των σταθερών.
27/3 Μέθοδος Προσδιορισμού των Συντελεστών.
01/4 ΔΕ Εuler, Eφάρμογες σε μηχανικές και ηλεκτρικές Ταλαντώσεις.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ02/4 Ορισμός μετασχηματισμού Laplace, Βασικοί τύποι, Παραδειγματα.
08/4 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Laplace στις ΔΕ, Συνάρτηση Ηeaviside
09/4 Συνέλιξη
10/4
4ωρο Ασκήσεων στο Μετασχηματισμό Laplace15/4 Συστήματα ΔΕ
16/4 Συστήματα ΔΕ
22/4 Συστήματα ΔΕ
23/4 Συστήματα ΔΕ
13/5 Ποιοτική Θεωρία ΔΕ
14/5
Ασκήσεις Συστημάτων ΔΕ20/5
Ασκήσεις Συστημάτων ΔΕ21/5
Ασκήσεις Συστημάτων ΔΕ27/5
28/5
03/6
04/6
10/6
Links
Members
Total Members: 9960
Stats
Users Online
elctricalbill
Author