Ατερμων βροχος - παιχνιδια λογικης

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πληροφορίες Καθηγητών]

Πληροφορίες Καθηγητών

[Junior]

Κύβε, από αυτό προέρχεται το ασπρόμαυρο σήμα του καράτε (ή κουνγκφου είναι;), που δηλώνει την αιώνια μάχη καλού και κακού;

6) Βλέπετε το κοινό στοιχείο σε όλα τα παραπάνω παράδοξα? Το λέμε "διαγωνιοποίηση" (γιατι?) και παίζει και στο Θεώρημα του Cantor που λέει ότι η απειρία των παργαματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από αυτή των ακεραίων. Και επίσης παίζει και στο θεώρημα του Turing που λύνει το λεγόμενο  "Halting Problem"  και είναι (στην επιστήμη των υπολογιστών) το ανάλογο με το θεώρημα του Goedel.

Όλα τα προβλήματα έχουν δύο μεταβλητές χ,ψ και είναι της μορφής "χ ανήκει ψ" ή "χ είναι ψ" ή "χ κουρεύεται από ψ" κλπ. Τα πεδία ορισμού των χ και ψ είναι ίδια ή έχουν κοινά στοιχεία. Αν σε ένα πίνακα όπου η στήλη δηλώνει την τιμή του χ και η γραμμή την τιμή του ψ, γράψουμε την τιμή (Α ή Ψ) του κάθε συνδυασμού, τότε είναι εύκολο να βρούμε όλα τα στοιχεία εκτός από αυτά της διαγωνίου, δηλαδή όταν χ=ψ. Ελπίζω να μη λέω βλακείες 

Δε βλέπω τι σχέση έχει αυτό με το θεώρημα του Cantor, αλλά πάνω στο τελευταίο έχω να ρωτήσω κάτι off-topic
Γνωρίζω ότι η απειρία των μιγαδικών (ή του R^2) είναι ίδια με την απειρία του R. Δεν πρέπει να υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη (και επί) συνάρτηση από το C στο R; Δώστε ένα παράδειγμα

[4Dcube]

Κύβε, από αυτό προέρχεται το ασπρόμαυρο σήμα του καράτε (ή κουνγκφου είναι;), που δηλώνει την αιώνια μάχη καλού και κακού;

Δεν ξέρω ποιο προηγήθηκε ποιανού, ο ουροβόρος του ταοτζιτού (=εικόνα κάτω) ή αντίστροφα.
Για τον ουροβόρο υπάρχουν αναφορές στον πλάτωνα αλλά η θεωρία του "τάο" άρχισε με το Τάο Τε Τσινγκ ("Το Βιβλίο του Δρόμου και της Αρετής του") από τον Λάο Τσε οποίος έζησε τον 4ο ή τον 6ο αιώνα π.Χ. στην Κίνα. Οπότε παίζει να μας πρόλαβαν οι Κινέζοι

Ωστόσο, αυτό που εκφράζει το καθένα είναι διαφορετικό, αν και, σε περιστάσεις, η μια έννοια ικανοποιεί την άλλη.

Ο ουροβόρος εκφράζει κάτι που συνέχεια αναπαράγει τον εαυτό του. Δεν έχει μέσο να επικοινωνήσει με το εξωτερικό περιβάλλον του ούτε και εσωτερικά όργανα. Μου μοιάζει με ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.
Το σύμβολο αυτό του τάο εκφράζει τη συμπληρωματικότητα στα αντίθετα πράγματα. Δεν είναι ανάγκη να είναι καλό - κακό.
Να τι λέει η wikipedia:
Everything can be described as either yin or yang.

1. Yin and yang are opposites.

Everything has its opposite—although this is never absolute, only comparative. No one thing is completely yin or completely yang. Each contains the seed of its opposite. For example, winter can turn into summer; "what goes up must come down".

2. Yin and yang are interdependent.

One cannot exist without the other. For example, day cannot exist without night.

3. Yin and yang can be further subdivided into yin and yang.

Any yin or yang aspect can be further subdivided into yin and yang. For example, temperature can be seen as either hot or cold. However, hot can be further divided into warm or burning; cold into cool or icy. Within each spectrum, there is a smaller spectrum; every beginning is a moment in time, and has a beginning and end, just as every hour has a beginning and end.

4. Yin and yang consume and support each other.

Yin and yang are usually held in balance—as one increases, the other decreases. However, imbalances can occur. There are four possible imbalances: Excess yin, excess yang, yin deficiency, and yang deficiency. They can again be seen as a pair: by excess of yin there is yang deficiency and vice versa. The imbalance is also a relative factor: the excess of yang "forces" yin to be more "concentrated".

5. Yin and yang can transform into one another.

At a particular stage, yin can transform into yang and vice versa. For example, night changes into day; warmth cools; life changes to death. However this transformation is relative too. Night and day coexist on Earth at the same time when shown from space.

6. Part of yin is in yang and part of yang is in yin.

The dots in each serve: 1. as a reminder that there are always traces of one in the other. For example, there is always light within the dark (e.g., the stars at night), these qualities are never completely one or the other. 2. as a reminder that absolute extreme side transforms instantly into the opposite, or that the labels yin and yang are conditioned by an observer's point of view. For example, the hardest stone is easiest to break. This can show that absolute discrimination between the two is artificial. στο http://en.wikipedia.org/wiki/Yin_and_yang

Το σύμβολο αυτό του "Τάο" (=δρόμος) χρησιμοποιείται τόσο σαν μοτίβο σχετικό με τον Ταοισμό όσο και με τον Κομφουκιανισμό.
Αν και πρέπει να σημειώσω ότι ο Ταοισμός δεν είναι θρησκεία, παρόλο που μας παραπέμπει εκεί η αναφορά στον κομφουκιανισμό. Είναι κάτι σαν φιλοσοφία, ιδεολογία (?), και έχει διάφορες εκδοχές, ανάλογα με το πού χρησιμοποιείται (εδώ εννοώ ΚΑΙ χώρα αλλά ΚΑΙ κατάσταση στην καθημερινή ζωή).

[thanasiskehagias]

...να ρωτήσω κάτι off-topic
Γνωρίζω ότι η απειρία των μιγαδικών (ή του R^2) είναι ίδια με την απειρία του R. Δεν πρέπει να υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη (και επί) συνάρτηση από το C στο R; Δώστε ένα παράδειγμα

Άς δουλεψουμε με τα διαστήματα [0,1) και [0,1μη τερματιζόμενη  αναπαράσταση ως ακολουθία ψηφίων από το {0,1,...,9}. Δηλαδή:

x=0.x(1)x(2)x(3)...

Π.χ. sqrt(2)/2=0.70707... , δηλ. x(1)=7, x(2)=0, x(3)=7, ...
Π.χ. 1/2=0.4999... , δηλ. x(1)=4, x(2)=9, x(3)=9, ...

(Προσοχή: όχι 1/2=0.500000 -- το "μη τερματιζόμενη" δεν περιλαμβάνει άπειρα 0 στο τέλος της σειράς)

Τώρα, κάθε στοιχείο (x,y) από το [0,1κάθε στοιχείο του [0,1)0,1)0,1)0,1)0,1)

Ξέρετε όμως ποια είναι η πληθικότητα του συνόλου όλων των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) ??? (και τι σχέση έχει με την πληθικότητα του [0,1)).

Θ

[Junior]

Τώρα, κάθε στοιχείο (x,y) από το [0,1

Πολύ καλό! Κάτι τέτοιο έψαχνα αλλά δεν κατάφερα να το βρω. Τώρα που το βλέπω έτοιμο είναι... "ουάου!"

Σίγουρα ξέρετε και ότι

                 Πληθ({1,2,...}) < Πληθ([0,1)

Ξέρετε όμως ποια είναι η πληθικότητα του συνόλου όλων των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) ??? (και τι σχέση έχει με την πληθικότητα του [0,1)).

Καταρχήν, θυμάμαι από μια "διάλεξη" (το γνωστό "μετά τις 9") στο πρώτο εξάμηνο που είχαμε συσχετίσει την πληθικότητα των φυσικών με την πληθικότητα των πραγματικών. Αν χ η πληθικότητα των φυσικών και ψ η πληθικότητα των πραγματικών τότε αν θυμάμαι καλά είχαμε πει ότι ισχύει ψ=2^χ. Αυτό δε θυμάμαι πως βγήκε αλλά νομίζω μια εξήγηση είναι η εξής:
Κάθε πραγματικός που ανήκει στο [0,1) αντιστοιχεί σε μια απεικόνιση α του Ν στο {0,1,...,9}, αν θεωρήσουμε ότι ο πραγματικός γράφεται στη μορφή 0,α(0)α(1)α(2)...
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το Ν στο {0,1,...,9}.
Αλλά το σύνολο των συναρτήσεων αυτών μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: Αν είχαμε να αντιστοιχήσουμε 1 αριθμό σε κάποιον από το {0,1,...,9}, τότε θα είχαμε 10 διαφορετικές συναρτήσεις. Για δύο αριθμούς θα είχαμε 10^2 διαφορετικές συναρτήσεις. Για ν αριθμούς 10^ν διαφορετικές συναρτήσεις και για ένα απείρως αριθμήσιμο σύνολο αριθμών θα είχαμε 10^χ όπου χ η πληθικότητα του Ν.
Δηλαδή ψ = 10^χ, όπου ψ η πληθικότητα των συναρτήσεων από το Ν στο {0,1,...,9}, δηλαδή των πραγματικών αριθμών.
Όμως έναν πραγματικό αριθμό θα μπορούσαμε να το γράψουμε και σε δυαδική μορφή, οπότε με το ίδιο σκεπτικό θα προέκυπτε ότι ψ=2^χ. Βλέπουμε ότι οι εκφράσεις 2^χ και 10^χ (και γενικά λ^χ όπου λ φυσικός μεγαλύτερος του 1) είναι ισοδύναμες. Αυτό φαίνεται λογικό αφού 10^χ = 2^(log2(10)*x) το οποίο προκύπτει αν δεχτούμε ότι ισχύει κχ = χ όπου κ θετικός. Αυτό είναι κάτι αντίστοιχο με το κ*(άπειρο) = άπειρο.
Κάπως έτσι λοιπόν εξηγείται (και δε λέω αποδεικνύεται γιατί αυτό το σκεπτικό δεν πλησιάζει καθόλου την έννοια "αυστηρή απόδειξη") ότι ψ = 2^χ.

Για τις συναρτήσεις από το [0,1) στο [0,1) θα σκεφτούμε αναλόγως: Αν είχαμε να αντιστοιχήσουμε έναν αριθμό σε κάποιον από το σύνολο [0,1), τότε θα είχαμε ένα σύνολο συναρτήσεων με πληθικότητα ψ(όσοι και οι αριθμοί στους οποίους μπορεί να αντιστοιχιστεί). Αν είχαμε δύο αριθμούς τότε θα είχαμε συναρτήσεις πληθικότητας ψ^2 (αντιστοιχεί στο σύνολο των μιγαδικών που έχει ίδια πληθικότητα με τους πραγματικούς, άρα συμπεραίνουμε ότι πρέπει ψ^2 = ψ, λογικό αν αντιμετωπίζουμε το ψ όπως το άπειρο). Αν είχαμε ν αριθμούς τότε θα είχαμε ψ^ν συναρτήσεις και αν είχαμε αριθμούς από ένα σύνολο πληθικότητας ψ, τότε θα είχαμε ψ^ψ διαφορετικές συναρτήσεις. Άρα, αν ω είναι η πληθικότητα του συνόλου των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) τότε ω = ψ^ψ.

Και πάλι λέω ότι δε θεωρώ το παραπάνω απόδειξη, αλλά φαίνεται λογικό, τουλάχιστον σε μένα.

[thanasiskehagias]

Καταρχήν, θυμάμαι από μια "διάλεξη" (το γνωστό "μετά τις 9") στο πρώτο εξάμηνο που είχαμε συσχετίσει την πληθικότητα των φυσικών με την πληθικότητα των πραγματικών. Αν χ η πληθικότητα των φυσικών και ψ η πληθικότητα των πραγματικών τότε αν θυμάμαι καλά είχαμε πει ότι ισχύει ψ=2^χ.
...
Για τις συναρτήσεις από το [0,1) στο [0,1) θα σκεφτούμε αναλόγως: Αν είχαμε να αντιστοιχήσουμε έναν αριθμό σε κάποιον από το σύνολο [0,1), τότε θα είχαμε ένα σύνολο συναρτήσεων με πληθικότητα ψ(όσοι και οι αριθμοί στους οποίους μπορεί να αντιστοιχιστεί). Αν είχαμε δύο αριθμούς τότε θα είχαμε συναρτήσεις πληθικότητας ψ^2 (αντιστοιχεί στο σύνολο των μιγαδικών που έχει ίδια πληθικότητα με τους πραγματικούς, άρα συμπεραίνουμε ότι πρέπει ψ^2 = ψ, λογικό αν αντιμετωπίζουμε το ψ όπως το άπειρο). Αν είχαμε ν αριθμούς τότε θα είχαμε ψ^ν συναρτήσεις και αν είχαμε αριθμούς από ένα σύνολο πληθικότητας ψ, τότε θα είχαμε ψ^ψ διαφορετικές συναρτήσεις. Άρα, αν ω είναι η πληθικότητα του συνόλου των συναρτήσεων από το [0,1) στο [0,1) τότε ω = ψ^ψ.

Ετσι είναι και η "απόδειξη" σου είναι σωστή. Γενικά, αν θεωρήσουμε συνάρτησεις

                               f:A->B

και ονομάσουμε Φ το σύνολο αυτών των συναρτήσεων, τότε ο πληθικός αριθμός του συνόλου αυτών των συναρτήσεων είναι

                             πληθ(Φ)=πληθ(Β)^πληθ(Α)

(Απλό παράδειγμα: υπάρχουν 2^3=8 Boolean διανύσματα μήκους 3 -- αυτά είναι το σύνολο  όλων των συναρτήσεων φ:{1,2,3}->{0,1}).
Οπότε όταν Α=Β=R, έχουμε συνολικά πληθ(R)^πληθ(R) τετοιες συναρτήσεις.

Υπάρχει η λεγόμενη αριθμητική των πληθικών αριθμών (arithmetic of cardinalities) Kαλό βιβλίο αναφοράς είναι το "Theory of Sets" by E. Kamke, πρέπει να υπάρχει και στα ελληνικά. Και, απο Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_arithmetic
http://en.wikipedia.org/wiki/Power_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

Εκεί μπορούμε να βρούμε τα εξής:

1) συμβολίζουμε με Ν0 (διαβάζεται ΑΛΕΦ 0) την πληθικότητα των ακεραίων.
2) Ν1=2^Ν0 είναι η πληθικότητα των πραγματικών (γιατι οι πραγματικοί αντιστοιχίζονται 1-προς-1 με τις άπειρες σειρές δυαδικών αρ.)
3) Ν2=Ν1^Ν1=(2^Ν0)^Ν1=2^(Ν0*Ν1)=2^Ν1 είναι η πληθικότητα των πραγμ. συναρτήσεων (γιατί Ν0*Ν1=Ν1 !!!)

Συνοπτικά:

            Ν1=2^Ν0, Ν2=2^Ν1, ... , ΝΚ=2^Ν(Κ-1) , ...

Δηλ. μπορούμε να χτίσουμε μια ΑΠΕΙΡΗ ΣΕΙΡΑ ΑΠΕΙΡΙΩΝ. Αποδεικνύεται επίσης ότι

            Ν0 < Ν1 < Ν2 < ....

δηλ. η σειρά των πληθικοτητων είναι γνήσια αύξουσα.

Εχουμε ακόμη

Ν0 η πληθ. των ακεραίων, Ν1 η πληθ του ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟΥ των ακεραιων
                                         (το οποίο δυναμοσύνολο είναι οι πραγματικοί)

Ν1 η πληθ. των πραγματικών, Ν2 η πληθ του ΔΥΝΑΜΟΣΥΝΟΛΟΥ των πραγμ.
                                           (το οποίο δυναμοσύνολο είναι  οι συνρτησεις)
κτλ.

Ολα τα παραπάνω σχετίζονται με το Θεώρημα του Goedelz καθώς και με το αντίστοιχο του (στην κομπιουτερική) Halting Problem. Αυτά όμως σε άλλο Post.

Θ


ΥΓ: Το ΑΛΕΦ είναι ένα περίεργο σύμβολο (δείτε το στην Βικιπαίδεια) που θυμίζει λίγο το Ν (γι' αυτό και πολλές φορές γράφουμε Ν). Όμως στην πραγματικότητα είναι το πρώτο γράμμα του Εβραικού αλφάβητου, το οποίο μάλιστα πάει: αλεφ, μπεθ, γκιμελς κτλ. Σας θυμίζει τίποτα?

Βέβαια, στην πργμ δεν είναι Εβραικό αυτό το αλφάβητο, αλλά Φοινικικό.