[Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

THMMY.gr > Forum > Μαθήματα Βασικού Κύκλου > 2ο Εξάμηνο > 2ο Εξάμηνο - ΠΠΣ > Διαφορικές Εξισώσεις (Moderators: RivenT, tony stank) > [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: 1 ... 4 5 [6] 7 8 ... 26

Author

Topic: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα... (Read 55724 times)

football

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 202

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #75 on: September 29, 2010, 23:46:38 pm »

Quote from: kkostorp on September 29, 2010, 22:54:13 pm

Quote from: football on September 29, 2010, 22:36:51 pm

καποιος την 5α παρακαλω???...ιουνιος 2010

Wronsky <> 0 και νομίζω πως ισχύει για κάθε t.
Έπειτα (Α-λ1*Ι) Χ1 =0 και (Α-λ2*Ι)*Χ2 = 0

την οριζουσα μπορεις να την αναπτυξεις λιγο γτ μπερδευομαι με τα αναστροφα διανυσματα?Ευχαριστω!


	Logged

ant

Guest

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #76 on: September 30, 2010, 01:22:31 am »

Quote from: kbelouis on September 29, 2010, 20:15:43 pm

Quote from: nikos912000 on September 29, 2010, 20:12:55 pm

Quote from: kbelouis on September 29, 2010, 19:52:05 pm

παιδια ξερει κανενας πως λυνετε η τελευταιι του Ιουνη 2010? (Laplace)

Δες το αρχείο που ανέβασα(έχει ξαναανέβει στο forum!)...Να θυμάσαι πως χρησιμοποιείται ο τύπος του Laplace όταν έχεις μη σταθερούς όρους και επίσης το σημείο που παίρνει όριο για να φύγει κάτι που θα σε "ζόριζε"...

σ'ευχαριστώ πάρα πολύ φίλε μου!

Γιατι παιρνει το συγκεκριμενο οριο και οχι καποιο αλλο; Επισης στο τελευταιο Θεμα ( Laplace ) με το που παιρνω αυτο το οριο μου βγαινει κανονικα 0 οποτε το c το κουβαλαω μαζι μου. Sad


	Logged

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Posts: 102

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #77 on: September 30, 2010, 01:24:54 am »

Για το θέμα 5α (Ιούνιος 2010), όταν είναι γνωστά τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές ενός γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, η γενική λύση μπορεί να προκύψει άμεσα. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, όπου οι ιδιοτιμές είναι απλές και πραγματικές, αν δεν κάνω κάποιο λάθος, η λύση θα είναι:

$\vec{x}(t)=C_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 t}$

Με C1 και C2 αυθαίρετες σταθερές. Αυτό διακολογείται σχετικά γρήγορα, χρησιμοποιώντας το γεγονός πως τα v1 και v2 είναι ιδιοδιανύσματα με αντίστοιχες ιδιοτιμές λ1 και λ2, καθώς και το ότι τα εκθετικά (τα οποία παρεμπιπτόντως είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα) απορροφούν τους ρυθμούς τους κατά την ολοκλήρωση:

$A \vec{x}(t)= C_1 A \vec{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 A \vec{v}_2 e^{\lambda_2 t} =\\ ~~~~~~~~~~~~~=C_1 \lambda_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \lambda_2 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 t} = \\ ~~~~~~~~~~~~~=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left( C_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 t} \right) = \frac{\mathrm{d}\vec{x}(t)}{\mathrm{d} t}$

Αυτή η σχέση, όμως, νομίζω πως είναι γνωστή. Η γενική λύση, λοιπόν, προκύπτει κατευθείαν και θα είναι η:

$\vec{x}(t)=C_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} e^{3 t} + C_2 \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} e^{-2 t}$

Το πεδίο φάσεων μπορεί να καθοριστεί από τα ιδιοδιανύσματα και να προσανατολιστεί από τα πρόσημα των ιδιοτιμών που δίνονται.

Τέλος, για τη εξεύρεση του πίνακα A, χρειάζεται να ανατρέξει κανείς στη περιοχή της γραμμικής άλγεβρας η οποία συνδέει τα ιδιοδυανίσματα και τις ιδιοτιμές με τον πίνακα από τον οποίο έχουν προκύψει - το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσής τους.

Η επίλυσή του, οδηγεί στη σχέση:

$A = \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix}^{-1}$

όπου ο [v1 v2] είναι ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα v1 και v2. Μια αρκετή σύντομη, δικαιολόγηση αυτής της σχέσης είναι η εξής:

$A \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \vec{v}_1 & A \vec{v}_2\end{bmatrix} =\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v}_1 & \lambda_2\vec{v}_2\end{bmatrix} = \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \\ ~~~~~A = \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \vec{v}_2\end{bmatrix}^{-1}$

Για να γίνει το πρώτο βήμα, αρκεί να παρατηρηθεί το πως δομούνται οι στήλες κατά τον πολλαπλασιασμό δύο πινάκων, π.χ.:η πρώτη γραμμή του πρώτου με την πρώτη στήλη του δευτέρου, η δεύτερη γραμμή του πρώτου με την πρώτη στήλη του δευτέρου κ.ο.κ. Αυτό όμως είναι το γινόμενο του πρώτου πίνακα με την πρώτη στήλη του δευτέρου. Όσον αφορά το δεύτερο βήμα, εξηγείται εύκολα με την ερμηνεία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα Μ με έναν άλλον P από δεξιά. Η κάθε στήλη του P καθορίζει το πως θα αναμιχθούν οι επιμέρους στήλες του Μ, ώστε να παραχθεί η αντίστοιχη στήλη στον M*P. Έτσι, λοιπόν, στην παραπάνω σχέση, η πρώτη στήλη του διαγωνίου πίνακα ερμηνεύεται λέγοντας πως στην πρώτη στήλη του αποτελέσματος θα συμμετέχει (αθροιστικά) η πρώτη στήλη του [v1 v2] πολλαπλασιαζόμενη με λ1 και θα απουσιάζει η δεύτερη (αυτή η ερμηνεία προκύπτει βλέποντας πως διαμορφώνονται τα αθροίσματα κατά τον πολλαπλασιασμό).

Αντικαθιστώντας, λοιπόν, σε αυτή τη σχέση, ο A θα είναι:
$A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 10 & -1 \end{bmatrix}$


« Last Edit: October 04, 2010, 18:49:24 pm by sm »	Logged

raf

Καταξιωμένος/Καταξιωμένη

Gender:

Posts: 130

do it well...!

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #78 on: September 30, 2010, 01:56:35 am »

θεματα Ιουνιου 2010 το 2α πως λυνεται ρε παιδια? Undecided


	Logged

kkostorp

Εθισμένος στο ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 551

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #79 on: September 30, 2010, 08:55:29 am »

Quote from: raf on September 30, 2010, 01:56:35 am

θεματα Ιουνιου 2010 το 2α πως λυνεται ρε παιδια? Undecided

Κοίτα μία σελίαδα πριν... bang_head


	Logged

Παιχνίδι στο σεξ είναι να χρησιμοποιείς φτερό. Ανωμαλία είναι να χρησιμοποιείς ολόκληρη την κότα ...

nikos912000

Θαμώνας

Posts: 440

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #80 on: September 30, 2010, 13:32:05 pm »

Quote from: Antίλογος on September 30, 2010, 01:22:31 am

Quote from: kbelouis on September 29, 2010, 20:15:43 pm

Quote from: nikos912000 on September 29, 2010, 20:12:55 pm

Quote from: kbelouis on September 29, 2010, 19:52:05 pm

παιδια ξερει κανενας πως λυνετε η τελευταιι του Ιουνη 2010? (Laplace)

σ'ευχαριστώ πάρα πολύ φίλε μου!

Στις σημειώσεις του Ρόθου εξηγεί γιατί παίρνεις το όριο...Δες το συννημένο...Τώρα για το όριο εμένα μου βγαίνει άπειρο...Σου επισυνάπτω το όριο που βγάζω...Τώρα αν είναι σωστό δεν ξέρω! Undecided


	Logged

ant

Guest

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #81 on: September 30, 2010, 14:04:34 pm »

Eγω εχω βγαλει αλλη Υ(s)... Και το οριο για τη δικια μου Y(s) otan s-->OO βγαινει 0 για καθε c... Τελος παντων, τετοια ωρα τετοια λογια crazy


	Logged

sarasd

Θαμώνας

Posts: 303

ΝΟ ΤΕΧΤ

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #82 on: September 30, 2010, 17:06:55 pm »

Στο θέμα 2c του Ιουνίου για να πάρω τη μερική λύση της μη ομογενούς για τη συνάρτηση 3e^(2x)*x πρέπει να αναλύσω σε απλά κλάσματα τα πολυώνυμα των διαφορικών τελεστών ή μου ξεφεύγει κάποια ιδιότητα ;


	Logged

SARaS

nikos912000

Θαμώνας

Posts: 440

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #83 on: September 30, 2010, 17:51:34 pm »

Quote from: sarasd on September 30, 2010, 17:06:55 pm

Δες τα παραδείγματα 4.2 και 4.11...Στο θέμα 2c θα σου βγουν 2 όροι...Ο πρώτος θα έχει το e^x και ο 2ος το e^2x...Για τον πρώτο λύνεις όπως το πχ 4.2 χρησιμοποιώντας εκείνο τον τύπο θεωρώντας ως F1 το (D-2)^3...To 2o θέλει λίγη ώρα γιατί πρώτα αντικαθιστάς σύμφωνα με την ιδιότητα όπου D το D+2,έπειτα υπολογίζεις το [1/(D^3)]x και μετά μένει να κάνεις μία ανάλυση-διαίρεση του 1/[(D+1)^2], όπως σελ 259... Cheesy

Τώρα αν μπορεί να βγει και πιο γρήγορα δεν ξέρω! Tongue


	Logged

SolidSNK

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4617

free()'d and attuned

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #84 on: September 30, 2010, 17:58:27 pm »

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx


	Logged

"Savior, conqueror, hero, villain. You are all things, Revan, and yet you are nothing. In the end you belong to neither the light nor the darkness. You will forever stand alone."

ant

Guest

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #85 on: September 30, 2010, 18:24:01 pm »

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 17:58:27 pm

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx

εγω στις σημειωσεις του ειδα καποια λυμενα παραδειγματα. μετα σιγουρα θα εκανε παραδειγματα και κατα τη διαρκεια του εξαμηνου ( οποτε χρειαζεσαι σημειωσεις φετινες απο αμφιθεατρο )


	Logged

SolidSNK

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4617

free()'d and attuned

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #86 on: September 30, 2010, 18:27:23 pm »

Quote from: Antίλογος on September 30, 2010, 18:24:01 pm

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 17:58:27 pm

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx

Χμ δεν έχει τπτ σημειώσεις από blackboard ή κάτι τέτοιο?


	Logged

"Savior, conqueror, hero, villain. You are all things, Revan, and yet you are nothing. In the end you belong to neither the light nor the darkness. You will forever stand alone."

ant

Guest

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #87 on: September 30, 2010, 18:29:37 pm »

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 18:27:23 pm

Quote from: Antίλογος on September 30, 2010, 18:24:01 pm

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 17:58:27 pm

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx

Χμ δεν έχει τπτ σημειώσεις από blackboard ή κάτι τέτοιο?

εχει σημειωσεις eTHMMY και ειναι και πολυ καλες μαλιστα!


	Logged

SolidSNK

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 4617

free()'d and attuned

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #88 on: September 30, 2010, 19:03:16 pm »

Quote from: Antίλογος on September 30, 2010, 18:29:37 pm

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 18:27:23 pm

Quote from: Antίλογος on September 30, 2010, 18:24:01 pm

Quote from: SolidSNK on September 30, 2010, 17:58:27 pm

Guys που έχει λυμένες ασκήσεις ο Ρόθος? Thx

Χμ δεν έχει τπτ σημειώσεις από blackboard ή κάτι τέτοιο?

εχει σημειωσεις eTHMMY και ειναι και πολυ καλες μαλιστα!

Τις διάβασα αλλά δεν είδα πολλές λυμένες ασκήσεις. Σε μερικές φάσεις αναφέρει μάλιστα (βλ λυμένες ασκήσεις).


	Logged

"Savior, conqueror, hero, villain. You are all things, Revan, and yet you are nothing. In the end you belong to neither the light nor the darkness. You will forever stand alone."

aSSaSiN

Νεούλης/Νεούλα

Posts: 12

Re: [Διαφορικές] Απορίες σε παλιά θέματα...

« Reply #89 on: September 30, 2010, 19:18:06 pm »

θεμα Ι-2010
7b)

Το Π.Α.Τ. πως λύνεται? Και γενικά όταν εχει t μέσα τί κανουμε ?


	Logged

Pages: 1 ... 4 5 [6] 7 8 ... 26

Jump to: