Το θεώρημα της μή-πληρότητας των Μαθηματικών

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

Για ανανέωση (ή προσθήκη νέου) avatar, πρέπει η μεγαλύτερη διάσταση της εικόνας να είναι 110 pixels.

[Alexkasgr]

Όταν διάβασα το βιβλίο "Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ", ένα από τα πιο "τραγικά" σημεία του βιβλίου ήταν όταν ο μαθηματικός-πρωταγωνιστής έμαθε ότι ένας αυστριακός μαθηματικός ονόματι Κουρτ Γκαιντέλ είχε αποδείξει το θεώρημα της μη-πληρότητας των μαθηματικών. Για όσους δεν έχουν ακούσει για αυτό, το θεώρημα αυτό λέει ότι:
"Τα μαθηματικά ως επιστήμη δεν είναι πλήρης, δηλαδή δεν υπάρχει απαραίτητα για όλες τις αληθείς τους προτάσεις και ένας τουλάχιστον τρόπος απόδειξεις. Κοινώς, αν δεν μπορείς να αποδείξεις κάτι στα μαθηματικά (συνήθως εικασίες) μπορεί είτε να είναι αναληθής ο ισχυρισμός, είτε να είναι αληθής και να μην έχει απόδειξη!!! Κάτι τέτοιο είναι συγκλονιστικό και αφήνει ένα μεγάλο κενό, αφού ποτέ δε θα μάθουμε πώς να διακρίνουμε τις δύο τελευταίες κατηγορίες προτάσεων!"

Εκτός του ότι συστήνω ανεπιφύλακτα το συγκεκριμένο βιβλίο σε όλους (είναι ελαφρύ, σε ένα απόγευμα διαβάζεται άνετα), το όλο θέμα έχει πολλές επιστημονικές προεκτάσεις. Πώς σας φαίνεται? Πού λέτε να οφείλεται?

Σημειωτέον, το θεώρημα αυτό έχει αποδειχθει!

[Nessa NetMonster]

"Πού λέτε να οφείλεται;"

...τι θέλεις να πεις;

[Alexkasgr]

Που οφείλεται η μη-πληρότητα της μαθηματικής επιστήμης: στο σχολείο δε μαθαίναμε ότι πχ. στη Γεωμετρία, αποδεχόμαστε τα αξιώματα και στη συνέχεια όλες οι προτάσεις μπορούν να αποδειχθούν??
Θα μου πείτε ατυχές παράδειγμα η Ευκλείδια Γεωμετρία. Και πάλι, δε σας κάνει εντύπωση το να μην μπορεί η μαθηματική επιστήμη να αποδείξει κάτι (την πληρότητά της) που γενιές ολόκληρες μαθηματικών θεωρούσαν δεδομένο?
Επειδή αντιλαμβάνομαι ότι δεν είμαι σαφής, εξηγώ κι άλλο:
Λέτε πχ. ότι η μη πληρότητα των μαθηματικών είναι α) απόρροια κακής αξιωματικής τους θεμελίωσης, β) σύμφυτη της ύπαρξης των μαθηματικών, γ) απλώς ένας τρελός βγήκε και απέδειξε κάτι που δεν το πιστεύετε, πχ. έκανε λογικά άλματα στην απόδειξη (αυτό δεν μπορούμε να το ξέρουμε προφανώς) δ) οτιδήποτε άλλο...   

[Nessa NetMonster]

Λέτε πχ. ότι η μη πληρότητα των μαθηματικών είναι α) απόρροια κακής αξιωματικής τους θεμελίωσης, β) σύμφυτη της ύπαρξης των μαθηματικών, γ) απλώς ένας τρελός βγήκε και απέδειξε κάτι που δεν το πιστεύετε, πχ. έκανε λογικά άλματα στην απόδειξη (αυτό δεν μπορούμε να το ξέρουμε προφανώς) δ) οτιδήποτε άλλο...   

Το α αποκλείεται από την απόδειξη του Γκέντελ. Ο Γκέντελ απέδειξε ότι ό,τι αξιώματα και να βάλεις πάντα θα υπάρχουν προτάσεις που δε θα μπορούν να αποδειχθούν σωστές ή λάθος. Άρα η πιο σωστή ερμηνεία του θεωρήματος είναι το β.

Το γ δεν το συζητάμε, αποκλείεται (καλά, όλοι οι μαθηματικοί του κόσμου κάνουν λάθος; ).

[Wiwol]

Πλήρες λέγεται ένα τυπικό σύστημα μέσα στο οποίο όλες οι αληθείς προτάσεις μπορούν να παραχθούν.

  Τα μαθηματικά νομίζω δεν ειναι τέτοιο σύστημα γιατι στιρίζονται  στη παραγωγική λογική.

  Ο Godel το 1931 έδειξε οτι μπορεί  να υπάρχουν αληθείς προτάσεις σε ένα συνεπές τυπικό σύστημα για τις οποίες δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποδεικνύει οτι είναι αληθείς. Ένα τέτοιο τυπικό σύστημα είναι συνεπές αλλά δεν είναι πλήρες. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα της μη πληρότητας του Godel (Godel’s incompleteness theorem). Τέτοιο σύστημα ειναι και τα μαθηματικά νομίζω.

 παράδειγμα: Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει το αν ένα σύστημα Διοφαντικών εξισώσεων έχει λύση.  Αυτό είναι το γνωστό δέκατo πρόβλημα του Hilbert

Σύστημα Διοφαντικών  εξισώσεων έιναι ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων για το οποίο όλοι οι συντελεστές και όλες οι λύσεις είναι ακέραιοι αριθμοί.

    Παράδειγμα:    2*x*x - y*y*y + 6 = 0
                             5*x*y - 2*z + 6 = 0
                             2*x - y + z - 4 = 0
        Λύσεις: x=1, y=2, z=4.


Αν τα μαθηματικά ήταν πλήρης θεωρία θα έπρεπε να υπάρχει αυτός ο αλγόριθμος. Έτσι?


Άρα τα μαθηματικά είναι μια όχι πλήρη θεωρία λόγω τις παργωγιής βάσης τους.

[~Michelle~]

Kι όμως, αν ένα θεώρημα ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ οτι ειναι μη-αποδείξιμο, ουσιαστικά είναι σαν να έχουμε εμμέσως αποδείξει την ισχύ του καθώς εαν δεν ίσχυε τότε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε οτι δεν ισχύει με ένα αντιπαράδειγμα.

(το παραπάνω δεν είναι δική μου επινόηση, το έχω διαβάσει στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά)

[Wiwol]

Ακριβώς. σε αυτή την περίπτωση είναι πάλι πλήρης αφού η αληθής πρόταση "δεν ισχύει το θεώρημα" μπορεί να παραχθεί (αποδειχθεί) από τις προηγούμενες αληθής προτάσεις.

Στα μαθηματικά όμως υπάρχουν περιπτώσεις που ενώ μια πρόταση είναι αληθής δεν υπάρχει απόδειξη (δεν μπορεί να παραχθεί) από τις υπόλοιπες αληθείς.

Το παράδειγμα παραπάνω δίνει μια τέτοια περίπτωση.

Άρα δε είναι πλήρη σύστημα. Είναι απλά συνεπές.

[Nessa NetMonster]

Kι όμως, αν ένα θεώρημα ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ οτι ειναι μη-αποδείξιμο, ουσιαστικά είναι σαν να έχουμε εμμέσως αποδείξει την ισχύ του καθώς εαν δεν ίσχυε τότε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε οτι δεν ισχύει με ένα αντιπαράδειγμα.

(το παραπάνω δεν είναι δική μου επινόηση, το έχω διαβάσει στο Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά)

Και που ξέρεις ότι δεν υπάρχει ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα; Αν παίρνεις τις περιπτώσεις από ένα άπειρο σύνολο, ποτέ δε θα μπορέσεις να τα εξετάσεις όλα

[~Michelle~]

Αχ δεν καταλαβες τι εννοώ
Μάλλον δεν το εξήγησα καλα

[Nessa NetMonster]

...explain?

[~Michelle~]

Βαριέμαι να εξηγώ τώρα...
Θα το γράψω πιο μετά ή θα στα πω απο κοντά αμα σε δώ