Μαθηματικές απορίες.

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[ονόματα των αρχείων]

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads

με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Aurelius]

Το οτι τα μαθηματικα χρησιμοποιουν ταυτολογιες δεν σημαινει οτι αυτες οι ταυτολογιες ειναι και ικανες να περιγραψουν φαινομενα και να επαληθευονται στην πραξη.

[Nessa NetMonster]

Κάνεις λάθος. Η ταυτολογία ισχύει πάντα εξ ορισμού, δε χρειάζεται καμία "επαλήθευση".

[Aurelius]

Οταν λεω επαληθευονται στην πραξη, δεν εννοω οτι επαληθευονται σαν μαθηματικες οντοτητες. Επαληθευται η χρηση τους και οι τυποι που εχουν αναπτυχθει σε πρακτικες εφαρμογες, οπως οι μιγαδικοι αριθμοι στα κυκλωματα.

[fkoufis]

@Junior: Ναι επιτέλους το βρήκα το βιβλίο. Το επισυνάπτω κιόλας για όσους ανζητούν την εμβάθυνση
Το σχετικά κεφάλαιο είναι το πρώτο (είναι το πιο κατανοητό) και στη σελίδα 55 έχει την άσκηση 1.4 που θυμάμαι. Επίσης, ενδιαφέρον έχει και το παράρτημα. Η ουσία είναι ότι εμείς θέλουμε ένας χώρος να είναι χώρος Hilbert (δλδ. να ορίζεται και μέτρο και εσωτερικό γινόμενο). Αυτό μαζί με κάποιες άλλες λεπτομέρειες οδηγούν στο n=2. Πρακτικά, αν είχα πχ. n=4 τότε ναι μεν εχουμε μιαν άλλη μετρική αλλά το εσωτερικό γινόμενο πάει περίπατο. Και αυτό είναι το πρόβλημα. Βέβαια πιθανόν να υπάρχουν και άλλα εσωτερικά γινόμενα (δεν το έχω ψάξει το θέμα, ούτε έχω ακούσει ποτέ κάποιον άλλο τύπο).

[Netgull]

Η ουσία είναι ότι εμείς θέλουμε ένας χώρος να είναι χώρος Hilbert (δλδ. να ορίζεται και μέτρο και εσωτερικό γινόμενο). Αυτό μαζί με κάποιες άλλες λεπτομέρειες οδηγούν στο n=2. Πρακτικά, αν είχα πχ. n=4 τότε ναι μεν εχουμε μιαν άλλη μετρική αλλά το εσωτερικό γινόμενο πάει περίπατο.

He's got a point there... Πολλά χρόνια και τα χω ξεχάσει...
Για να πω την εξυπνάδα μου ποψιάζομαι ότι αυτό ξεκινάει από τον ορισμό του μέτρου με βάση το εσωτερικό γινόμενο (ως η ρίζα του εσωτερικού γινομένου). Τι θα γινόταν αν ορίζαμε το μέτρο ως η τέταρτη ρίζα πχ του εσωτερικού γινομένου; Τότε η νόρμα για p=4 δεν θα έδινε επίσης Hilbert space? Τεσπα, οι ορισμοί είναι αυτοί που είναι υποψιάζομαι για παραπάνω λόγους από αυτούς που εγώ με τα φτωχά μου μαθηματικά μπορώ να περιγράψω τώρα, οπότε  .

[Nessa NetMonster]

Οταν λεω επαληθευονται στην πραξη, δεν εννοω οτι επαληθευονται σαν μαθηματικες οντοτητες. Επαληθευται η χρηση τους και οι τυποι που εχουν αναπτυχθει σε πρακτικες εφαρμογες, οπως οι μιγαδικοι αριθμοι στα κυκλωματα.

Προφανώς προκειμένου να επιλέξεις με ποιο μαθηματικό μοντέλο θα περιγράψεις ένα φυσικό φαινόμενο δουλεύεις πειραματικά. Παίρνεις από πείραμα κάποια δεδομένα, από αυτά κρίνεις ποιο μοντέλο ταιριάζει, και ύστερα εφαρμόζεις το μοντέλο για να πάρεις το αποτέλεσμα που θες.

Ανάμεσα όμως στα δεδομένα (που προκύπτουν από πείραμα) και στο αποτέλεσμα, η διαδρομή είναι αδιαμφησβήτητη. Αν βγει το αποτέλεσμα λάθος, σημαίνει ότι τα δεδομένα (οι αρχικές υποθέσεις) ήταν λάθος - τα ίδια τα μαθηματικά δεν περιέχουν αντιφάσεις.

[lynx]

ikoufis, netgull ευχαριστώ 

[emmanuel]

μηπως εννοεις τον αλλο koufi, τον  f?

[lynx]

μα ο i και ο netgull μου απάντησαν...
f μου απάντησες και εσύ και δε το βλέπω?   

[emmanuel]

 a ok απαντησε και  ο φ δεν τον προσεξα! 

[lynx]

o i εννοείς! 

λολ, μπερδέψαμε τους koufides

[Junior]

Εμενα αυτο που παντα με εντυπωσιαζε στα μαθηματικα ειναι το εξης:

- τα μαθηματικα ειανι ενα ανθρωπινο κατασκευασμα και φτιαχτηκε για να μας βοηθησει σε πρακτικα ζητηματα. Στην αρχη ηταν να μοιραζουμε χωραφια, μετα ηταν να φτιαχνουμε πυραυλους. Αλλα στην ουσια, η αναγκη απλα αλλαζει, η φυση των μαθηματικων οχι.

Οκ, τωρα η απορια. Σαν ανθρωπινο κατασκευασμα εκ των πραγματων και ιστορικα, και με βαση αυτα που ειπε ο Junior, εχει οικοδομηθει ετσι ωστε να υπαρχει backwards compatibility. Δηλαδη να μην καταρριπτονται(κατα κανονα), αυτα τα οποια εχουν αποδειχθει. Οκ μεχρις εδω. Πως ομως μπορουν ολα αυτα τα ανθρωπινα κατασκευασματα να δουλευουν? Δηλαδη, ωραια, φτιαξαμε τους μιγαδικους για να εκφρασουμε καποια μεγεθη. Τα φτιαξαμε για να μπορουμε να χειριστουμε μεγεθη. Πως ομως αυτο εγινε δυνατο. Απλα επειδη τα φτιαξαμε ετσι? Αν ναι, τοτε δεν θα επρεπε κατα κανονα να δινουν σωστα αποτελεσματα για το αρχικο πεδιο εφαρμογης? Ωστοσο, απο τοτε που δημιουργηθηκε ενας κλαδος των μαθηματικων εως σημερα, τα πεδια εφαρμογης εχουν πολλαπλασιαστει.

Κατα καποιον επομενως τροπο, ισως τα μαθηματικα να μην ειναι τοσι ανθρωπινο κατασκευσμα. Ισως ειναι η "ψυχη" της φυσης. Οι κανονες πανω στους οποιους στηριζεται ο κοσμος. Αλλιως θα ηταν πολυ εγωκεντρικο να πουμε οτι τα "ανθρωπινα" μαθηματικα μπορουν να ερμηνευσουν ενα "μη ανθρωπινο" συμπαν-κοσμο. Γιατι να μην μπορουν να το κανουν καλυτερα καποια αλλα, εξωγηινα μαθηματικα?

Τα μαθηματικά βεβαίως και τα κατασκεύασαν οι άνθρωποι. Όρισαν τα αξιώματα και μετά μελέτησαν το τι βγαίνει από αυτά. Μπορείς να ορίσεις οποιαδήποτε αξιώματα και να πάρεις απείρων ειδών μαθηματικά. Από αυτά όμως επιλέξαμε να μελετήσουμε μόνο κάποια. Ποια; Αυτά που μπορούν να περιγράψουν κάποιο φυσικό φαινόμενο. Πχ, στην αρχή μας ενδιέφεραν οι αριθμοί, μετά μας ενδιέφεραν οι συναρτήσεις, μετά η διανυσματική ανάλυση... Μελετήσαμε αυτά επειδή είδαμε ότι μπορούν να εφαρμοστούν. Άρα, πρώτα ανακαλύπτουμε τα προβλήματα και μετά προσπαθούμε να τα μελετήσουμε. Και τη μελέτη αυτή την ονομάζουμε μαθηματικά.

Εξαίρεση αποτελούν τα μαθηματικά που δεν υποδείχθηκαν από κάποια προβλήματα που αντιμετωπίσαμε, αλλά αναπτύχθηκαν επειδή κάποιοι τα μελέτησαν. Αυτά μπορεί να αναπτύχθηκαν επειδή έχουν από μόνα τους μια ομορφιά που τράβηξε τους μαθηματικούς ερευνητές. Και αυτά μπορεί κάποτε να εφαρμοστούν κάπου.

Για το ότι τα ίδια μαθηματικά εφαρμόζονται ξανά και ξανά σε διάφορα προβλήματα, ευθύνεται το ότι είναι πολύ γενικά - ή αλλιώς αφηρημένα. Από το αντικείμενο που μελετάμε έχουμε αφαιρέσει όλες τις ιδιότητες που δε θεωρούμε απαραίτητες και έχουμε κρατήσει ελάχιστα. Γι' αυτό και συχνά τυχαίνει ένα πολύ διαφορετικό πρόβλημα να ανάγεται στο ίδιο μαθηματικό πρόβλημα. Για παράδειγμα σκέψου τα ηλεκτρολογικά και μηχανολογικά συστήματα. Χρησιμοποιούμε τα ίδια μαθηματικά. Αυτό οφείλεται στο ότι στα μαθηματικά υπεισέρχονται μόνο κάποιες βασικές ιδιότητες, όπως ότι ένα στοιχείο λειτουργεί σαν ολοκληρωτής, ένα άλλο σαν διαφοριστής κλπ. Το υλικό, το μέγεθος, το χρώμα του πυκνωτή δεν μπαίνουν στα μαθηματικά.


-----------------------------------------------------------------------------------

Ευχαριστώ για το βιβλίο fkoufaki! Θα το μελετήσω αύριο με καθαρό μυαλό!

[Junior]

Λοιπόν, για το θέμα με το μέτρο...

Διάβασα τα σχετικά στο βιβλίο. Πράγματι, η μόνη διαφορά του p=2 είναι ότι προκύπτει από εσωτερικό γινόμενο. Και φυσικά προκύπτει το ερώτημα τι είναι το εσωτερικό γινόμενο! Είναι μια πράξη δύο διανυσμάτων που δίνει πραγματικό (ή μιγαδικό) αριθμό και έχει κάποιες ιδιότητες. Αυτή που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι διγραμμική συνάρτηση, δηλαδή αν μεγαλώσει οποιοδήποτε διάνυσμα κατά έναν παράγοντα λ, το ίδιο θα συμβεί και στο αποτέλεσμα του εσωτερικού γινομένου. Παρατηρήστε ότι αυτό συμβαίνει όταν ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως x1y1 + x2y2 + .... Είναι δύσκολο από τους περιορισμούς να δείξουμε ότι οδηγούμαστε σε μια έκφραση αυτού του τύπου, αλλά μπορούμε να δικαιολογήσουμε γιατί δεν υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που να δίνει μέτρο x1^4 + x2^4. Επειδή θέλουμε το εσωτερικό γινόμενο να είναι και συμμετρικό, θα έπρεπε να είχε τη μορφή x1^2 * y1^2 + x2^2 * y2^2 + ... ώστε όταν θέταμε x=y να παίρναμε το ζητούμενο μέτρο. Αλλά τότε το εσωτερικό γινόμενο θα ήταν διτετραγωνικό, δηλαδή όταν μεγάλωνε κατά λ το x ή το y διάνυσμα, τότε το εσωτερικό γινόμενο θα μεγάλωνε κατά λ^2.
Είναι φανερό ότι για να έχουμε τη γραμμικότητα που θέλουμε πρέπει οι όροι του εσωτερικού γινομένου να έχουν από μια συνιστώσα του x και μια συνιστώσα του y (ή κάτι τέτοιο), όπως συμβαίνει στο x1y1 + x2y2 + ...
Όταν ορίζουμε το μέτρο μέσω  αυτού του εσωτερικού γινομένου (θέτοντας x=y), τότε παρατηρούμε ότι σε κάθε όρο εμφανίζονται δύο συνιστώσες του ίδιου διανύσματος, γι' αυτό και έχουμε τετραγωνικούς όρους.
Δηλαδή, η γραμμικότητα συν το γεγονός ότι είναι πράξη δύο διανυσμάτων, οδηγεί στην τετραγωνική μορφή του μέτρου.

Έψαξα για άλλους τρόπους να οριστεί το εσωτερικό γινόμενο. Βρήκα ότι μπορούμε να το ορίσουμε ως (α,β) = α1*β1 + α2*β2 + α1*β2/2 + α2*β1/2 και να ικανοποιεί τις ιδιότητες του εσ. γινομένου. Τότε το μέτρο γίνεται |α|^2 = (α1^2 + α2^2)/2 + (α1+α2)^2/2.
Άρα ακόμα και αυτή η απαίτηση, να προκύπτει το μέτρο από εσωτερικό γινόμενο, δεν μας οδηγεί μονοσήμαντα στο να το ορίσουμε ως |α|^2 = α1^2 + α2^2 !! Το επιχείρημα κατερρίφθη   

Αλλά ακόμα και να ήταν η μόνη μορφή που θα ικανοποιούσε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, τι το ιδιαίτερο θα είχαν αυτές οι ιδιότητες; Δηλαδή, γιατί να μην ορίσουμε ένα άλλου είδους γινόμενο το οποίο δε θα ήταν διγραμμικό, αλλά διτετραγωνικό; Αυτό θα οδηγούσε σε μέτρο της μορφής |α|^4 = α1^4 + α2^4.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Άλλαξα τον τρόπο προσέγγισης του ζητήματος και επανήλθα στο θέμα του |α| = σταθερό.
Αυτό όπως είπα σε προηγούμενο ποστ ορίζει (στο διδιάστατο χώρο) έναν κύκλο όταν |α|^2 = α1^2 + α2^2. Για το |α|^4 = α1^4 + α2^4 θα παίρναμε ένα "τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες". Για |α|^2 = (α1^2 + α2^2)/2 + (α1+α2)^2/2 (που προέκυψε από το άλλο εσωτερικό γινόμενο που όρισα), θα παίρναμε μια έλλειψη.
Σίγουρα ο κύκλος έχει κάτι το ιδιαίτερο. Καταρχήν έχει κεντρική συμμετρία. Μόνο αυτός; Όχι, και το τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες έχει κεντρική συμμετρία. Αλλά ο κύκλος έχει συμμετρία ως προς στροφή κατά τυχαία γωνία θ. Αυτό σημαίνει ότι αν πολλαπλασιαστεί το διάνυσμα επί τον πίνακα στροφής κατά θ (2x2 πίνακας, πρώτη γραμμή cosθ, sinθ και δεύτερη γραμμή -sinθ, cosθ), τότε το νέο διάνυσμα που προκύπτει θα έχει το ίδιο μέτρο! Και αυτό συμβαίνει μόνο με το ευκλείδειο μέτρο! Οποιοσδήποτε άλλος ορισμός του μέτρου θα έδινε διαφορετικό μέτρο για το στραμμένο διάνυσμα!
Το αναλλοίωτο του μέτρου κατά τη στροφή είναι επέκταση του αναλλοίωτου κατά την εναλλαγή των συντεταγμένων. Για παράδειγμα στη στατιστική αν αλλάξουμε τη σειρά δύο παρατηρήσεων πρέπει να πάρουμε την ίδια τυπική απόκλιση. Σε αυτή την περίπτωση η γωνία στροφής είναι 90 μοίρες (+κατοπτρισμός). Βέβαια στη στατιστική δεν έχει νόημα η στροφή κατά πχ 45 μοίρες, αλλά είναι μια φυσική γενίκευση που μπορεί σε άλλες περιπτώσεις να έχει νόημα.

Στο πυθαγόρειο θεώρημα η εφαρμογή είναι άμεση. Το διάνυσμα με συνιστώσες (α,β) έχει μέτρο ίσο με την υποτείνουσα του τριγώνου με κάθετες πλευρές α,β. Θέλουμε το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος να μην αλλάζει όταν στραφεί. Και αν θυμάστε την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος (τουλάχιστον αυτή στο βιβλίο του γυμνασίου) είναι κατασκευαστική και περιέχει στροφή σχημάτων! (δεν είμαι 100% σίγουρος ότι αυτά συνδέονται άμεσα)

Σε περισσότερες διαστάσεις, η στροφή ενός διανύσματος γίνεται με πολλαπλασιασμό από αριστερά με κατάλληλο πίνακα που έχει ορίζουσα 1 και έχει στήλες ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα.

Για τις συναρτήσεις, το αντίστοιχο του γραμμικού μετασχηματισμού είναι μάλλον η εφαρμογή γραμμικού τελεστή, αλλά δε γνωρίζω πώς ορίζεται κάτι αντίστοιχο της ορίζουσας και των καθέτων συνιστωσών (είμαι όμως σίγουρος ότι υπάρχει).

Γενικά το συμπέρασμά μου είναι το εξής: Όταν από τις συνιστώσες θέλουμε να πάρουμε πληροφορία για το όλο, φανταζόμαστε έναν πολυδιάστατο (όσες και οι συνιστώσες) χώρο και το διάνυσμα που ορίζεται σε αυτό το χώρο με συντεταγμένες τις τιμές των συνιστωσών. Θέλουμε η πληροφορία που θα πάρουμε να παραμένει αναλλοίωτη αν το διάνυσμα αυτό στραφεί με οποιονδήποτε τρόπο (και έτσι πάρουμε διαφορετικές τιμές συνιστωσών). Η μόνη πληροφορία που ικανοποιεί το παραπάνω είναι το μέτρο |α| = (α1^2 + α2^2 + ... )^(1/2)

[smo]

Ωραια προσεγγιση η απο πανω

Εχω και γω μια απορια εδω και καιρο.

Βλεποντας τη γραφικη παρασταση μιας (πραγματικης) συναρτησης οπου αυτη τεμνει τον αξονα των χ ειναι οι ριζες της οκ. Πως ομως φενονται οι ριζες μια συναρτησης την οποια τροφοδοτουμε με μιγαδικους αριθμους στο γραφημα της?

[Nessa NetMonster]

Αν η συνάρτηση είναι πραγματική, το γράφημα θα είναι τρισδιάστατο, οπότε οι λύσεις θα είναι το σημείο όπου η επιφάνεις τέμνει το επίπεδο (Ζ1,Ζ2).