Μαθηματικές απορίες.

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Admins]

Για αλλαγή του public name σας, επικοινωνήστε με έναν από τους Admins.

[Junior]

Cartago δε διαφωνώ, δεν είπα τον τρόπο που το απέδειξε ο Euler. Απλά έδωσα μια άλλη πολύ ωραία εξήγηση που είχα διαβάσει κάποτε.

Για την ισχύ, ισχύει αυτό που λέει ο Netgull, αλλά πρόσεξε ότι τα παραδείγματα που έδωσες είναι ενέργεια, όχι ισχύς!
Καλύτερα παραδείγματα είναι το P=I^2*R ή P=V^2/R των κυκλωμάτων

[Netgull]

Για την ισχύ, ισχύει αυτό που λέει ο Netgull, αλλά πρόσεξε ότι τα παραδείγματα που έδωσες είναι ενέργεια, όχι ισχύς!
Καλύτερα παραδείγματα είναι το P=I^2*R ή P=V^2/R των κυκλωμάτων

Σε πολλά φυσικά συστήματα η (στιγμιαία) ισχύς, που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος ως προς το χρόνο) της ενέργειας προκύπτει να δίνεται από το τετράγωνο μιας μεταβλητής του συστήματος, συνήθως της μεταβλητής κατάστασης, επί μια σταθερά.

Για την ισχύ απλά παραγώγισε.
Επίτηδες δεν έφερα αυτό το παράδειγμα επειδή δεν είναι αρκούντως γενικό. Ισχύει μόνο για αντίσταση και δη γραμμική (αν και έχω μια υπόνοια ότι η γραμμικότητα είναι ένας γενικότερος περιορισμός για να προκύψουν τα τετράγωνα, αλλά ας μην το μπλέξουμε...).

[Junior]

Για αυτό που είπε ο Cartago... τώρα που το σκέφτομαι, είναι το ίδιο.
Η σειρά Taylor έχει συντελεστές τις παραγώγους. Άρα το να πεις ότι η e^z έχει ίδιο ανάπτυγμα Taylor με την e^x είναι σα να λες ότι η e^z έχει ίδια παράγωγο με την e^x. Χα!

Όσο για το τετράγωνο που έχει η ισχύς, εγώ έχω μια βαθύτερη απορία. Γιατί είναι τόσο ιδιαίτερο το μέτρο που ορίζεται από άθροισμα τετραγώνων των συνιστωσών; Δηλαδή το |x| = (x1^2 + x2^2 + ...)^(-1/2). Ξεκινάει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά εμφανίζεται στη στατιστική (τυπική απόκλιση), στη βελτιστοποίηση (ελαχίστων τετραγώνων), στην ενέργεια (ολοκλήρωμα του τετραγώνου της συνάρτησης) και αλλού. Γενικά, όποτε θελουμε να εξάγουμε πληροφορία για το "όλο", αθροίζουμε τα τετράγωνα των "μερών" ή των "συνιστωσών" και παίρνουμε τη ρίζα. Αν έχει κάποιος ικανοποιητική εξήγηση, καλοδεχούμενη...!

[lynx]

και εγώ έχω μια απορία! 
ποια αλγεβρική έκφραση καλείται υπερβατική?

[ikoufis]

sin(u)=u και σχετικής μορφής όπου η μεταβλητή βρίσκεται και στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Τώρα αν είναι και άλλης μορφής δε μου έρχεται στο μυαλό.

[Nessa NetMonster]

@Junior: Δεν το έχω πολυψάξει, αλλά υπάρχουν και άλλα "μέτρα", όπου βάζεις διαφορετικό εκθέτη.

[Junior]

Ναι βρε, αλλά το θέμα είναι γιατί αυτό είναι τόσο ιδιαίτερο...
Μόνο στην ευκλείδια γεωμετρία να το δεις, ικανοποιεί το πυθαγόρειο θεώρημα. Τα άλλα δεν έχουν τόσο σπουδαίες ιδιότητες.

[Diamond]

Κάποτε ο κ. Ντόμης μας είπε ότι η συνάρτηση u(t) "δεν μας ενδιαφέρει" με τι ισούται όταν t=0. Τι γίνεται όμως όταν μας ενδιαφέρει...;

[fkoufis]

Δηλαδή το |x| = (x1^2 + x2^2 + ...)^(-1/2). Ξεκινάει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά εμφανίζεται στη στατιστική (τυπική απόκλιση), στη βελτιστοποίηση (ελαχίστων τετραγώνων), στην ενέργεια (ολοκλήρωμα του τετραγώνου της συνάρτησης) και αλλού. Γενικά, όποτε θελουμε να εξάγουμε πληροφορία για το "όλο", αθροίζουμε τα τετράγωνα των "μερών" ή των "συνιστωσών" και παίρνουμε τη ρίζα. Αν έχει κάποιος ικανοποιητική εξήγηση, καλοδεχούμενη...!

Αυτό νομίζω το είχα δει παλιοτέρα σε ένα βιβλίο και μάλιστα το είχε και σε άσκηση! Ήταν ένα βιβλίο νομίζω συναρτησιακής ανάλυσης αλλά τώρα δεν μπορώ να βρω το ακριβές σημείο. Σε γενικές γραμμές, έχει να κάνει με την πληρότητα των χώρων. Αν θυμάμαι καλά, το πρόβλημα ξεκινάει όταν θες να φτιάξεις έναν χώρο με νόρμα στον οποίο κάθε ακολουθία Cauchy (πχ. η 1/n) να συγκλίνει σε σημείο του χώρου. Αλλά δε θυμάμαι τι γίνεται μετά. Θα σκάσω αν δεν τη βρω αυτήν την άσκηση. Μου είχε σπάσει τα νεύρα γιατί ήταν από τις πρώτες. Αλλά και πάλι το n=2 νομίζω απορρέει από άλλους περιορισμούς αλλά δεν μπορώ να βρω το βιβλίο!!!
Εν πάσει περιπτώσει, για διάφορα φιλοσοφικά και μη ερωτήματα επί των θεωρητικών μαθηματικών υπάρχει η σελίδα math.stuff.gr. Έχει αρκετά άκρως ενδιαφέροντα συγγράματα..

[Netgull]

Όσο για το τετράγωνο που έχει η ισχύς, εγώ έχω μια βαθύτερη απορία. Γιατί είναι τόσο ιδιαίτερο το μέτρο που ορίζεται από άθροισμα τετραγώνων των συνιστωσών; Δηλαδή το |x| = (x1^2 + x2^2 + ...)^(-1/2). Ξεκινάει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά εμφανίζεται στη στατιστική (τυπική απόκλιση), στη βελτιστοποίηση (ελαχίστων τετραγώνων), στην ενέργεια (ολοκλήρωμα του τετραγώνου της συνάρτησης) και αλλού. Γενικά, όποτε θελουμε να εξάγουμε πληροφορία για το "όλο", αθροίζουμε τα τετράγωνα των "μερών" ή των "συνιστωσών" και παίρνουμε τη ρίζα. Αν έχει κάποιος ικανοποιητική εξήγηση, καλοδεχούμενη...!

Είναι ένας εύκολος και απλός σχετικά τρόπος να εκτιμήσεις το μέγεθος μιας ποσότητας, με το επιπλέον πλεονέκτημα ότι είναι ένα παραγωγίσιμο μέτρο, σε αντίθεση με το άθροισμα πχ των απολύτων τιμών των συνιστωσών. Η γενικευμένη χρήση του επίσης διευκολύνεται από το ότι εμφανίζεται (λόγω Πυθαγορείου θεωρήματος) σε πολλές σχέσεις της φυσικής, και άρα είναι ευρέως διαδεδομένο.
Αν θες να το γενικεύσουμε, όλες αυτές οι περιπτώσεις που αναφέρεις μπορούν να αναχθούν στον υπολογισμό μηκών διανυσμάτων (ή αποστάσεων μεταξύ διανυσμάτων) σε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους - είναι τρομερό πόσα προβλήματα μπορούν να ερμηνευτούν με βάση αυτή την έννοια που τόση λίγη σημασία της δίνουμε στο πρώτο έτος. Σε ένα διανυσματικό χώρο λοιπόν καλείσαι να ορίσεις μια έννοια μήκους/απόστασης αν θες να εκτιμήσεις το μέτρο/μέγεθος των διανυσμάτων (norm). Το άθροισμα των τετραγώνων είναι το απλούστερο από αυτά τα μέτρα. Διάφορα άλλα τέτοια μπορείς να βρεις εδώ:
http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_%28mathematics%29

Δεν ξέρω πόσο βοηθάει η μπερδεύει αυτή η προσέγγιση, αλλά πραγματικά η έννοια του διανυσματικού χώρου με κάποιο μέτρο και εσωτερικό γινόμενο υποβόσκει σχεδόν παντού στα μαθηματικά των μηχανικών (πάρτε για παράδειγμα μόνο αυτόν τον Φουριέρ...)

[Netgull]

και εγώ έχω μια απορία! 
ποια αλγεβρική έκφραση καλείται υπερβατική?

In mathematics, a transcendental number is an irrational number that is not algebraic, that is, not a solution of a non-zero polynomial equation with rational coefficients.
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

Ποιο πρακτικά όποια έκφραση/εξίσωση έχει μέσα συναρτήσεις της μεταβλητής που δεν έιναι πολυωνυμικές τη λέμε υπερβατική.

[Junior]

Αν καταλαβαίνω καλά, σύμφωνα με το Netgull, το μέτρο με p=2, (στη σχέση |x|=(x1^p+x2^p+...)^(1/p)) δεν έχει τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από το ότι είναι το απλούστερο και χρησιμότερο από τα μέτρα.

Σύμφωνα με τον fkoufi υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί τους οποίους ικανοποιεί μόνο το ευκλίδειο μέτρο (έτσι λέγεται).

Κοιτώντας λίγο στην Βικιπαίδεια, μου ήρθε μια ιδέα. Το σχήμα που προκύπτει σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων για |x| = σταθερό, είναι:
α) τετράγωνο (πλαγιαστό, 45 μοίρες) για p=1
β) κύκλος για p=2 (ευκλίδειο μέτρο)
γ) υπερέλλειψη (; ), κάτι σαν τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες, για p>2
δ) τετράγωνο (οριζόντιο) για p=άπειρο

Ωραία, τι το ιδιαίτερο έχει λοιπόν ο κύκλος σε σχέση με τα υπόλοιπα σχήματα; Έχει παντού την ίδια καμπυλότητα ή αλλιώς ακτίνα καμπυλότητας. Έτσι μεταφράζεται η γεωμετρική ιδιαιτερότητα σε αλγεβρική. Άρα, κάποια σχέση πρέπει να ικανοποιεί το ευκλίδειο μέτρο και μόνο αυτό. Γι' αυτό τείνω να πιστέψω περισσότερο τον fkoufi. Αλλά περιμένω να βρει το βιβλίο!!

[Aurelius]

Αν καταλαβαίνω καλά, σύμφωνα με το Netgull, το μέτρο με p=2, (στη σχέση |x|=(x1^p+x2^p+...)^(1/p)) δεν έχει τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από το ότι είναι το απλούστερο και χρησιμότερο από τα μέτρα.

Σύμφωνα με τον fkoufi υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί τους οποίους ικανοποιεί μόνο το ευκλίδειο μέτρο (έτσι λέγεται).

Κοιτώντας λίγο στην Βικιπαίδεια, μου ήρθε μια ιδέα. Το σχήμα που προκύπτει σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων για |x| = σταθερό, είναι:
α) τετράγωνο (πλαγιαστό, 45 μοίρες) για p=1
β) κύκλος για p=2 (ευκλίδειο μέτρο)
γ) υπερέλλειψη (; ), κάτι σαν τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες, για p>2
δ) τετράγωνο (οριζόντιο) για p=άπειρο

Ωραία, τι το ιδιαίτερο έχει λοιπόν ο κύκλος σε σχέση με τα υπόλοιπα σχήματα; Έχει παντού την ίδια καμπυλότητα ή αλλιώς ακτίνα καμπυλότητας. Έτσι μεταφράζεται η γεωμετρική ιδιαιτερότητα σε αλγεβρική. Άρα, κάποια σχέση πρέπει να ικανοποιεί το ευκλίδειο μέτρο και μόνο αυτό. Γι' αυτό τείνω να πιστέψω περισσότερο τον fkoufi. Αλλά περιμένω να βρει το βιβλίο!!

Εισαι μηχανικος. Δουλευει, αρα τελειωσε.... Δεν το πειραζουμε...


Καλα πλακα κανω. Η αληθεια ειναι οτι αλλα αυτα ειναι πολυ ενδιαφεροντα. Στην πραγματικοτητα, πολλα ειναι αυτα τα οποια χρησιμοποιουμε θεωρωντας ως δεδομενα, αλλα στην ουσια δεν ξερουμε για ποιο λογο τα θεωρουμε δεδομενα.

Εμενα αυτο που παντα με εντυπωσιαζε στα μαθηματικα ειναι το εξης:

- τα μαθηματικα ειανι ενα ανθρωπινο κατασκευασμα και φτιαχτηκε για να μας βοηθησει σε πρακτικα ζητηματα. Στην αρχη ηταν να μοιραζουμε χωραφια, μετα ηταν να φτιαχνουμε πυραυλους. Αλλα στην ουσια, η αναγκη απλα αλλαζει, η φυση των μαθηματικων οχι.

Οκ, τωρα η απορια. Σαν ανθρωπινο κατασκευασμα εκ των πραγματων και ιστορικα, και με βαση αυτα που ειπε ο Junior, εχει οικοδομηθει ετσι ωστε να υπαρχει backwards compatibility. Δηλαδη να μην καταρριπτονται(κατα κανονα), αυτα τα οποια εχουν αποδειχθει. Οκ μεχρις εδω. Πως ομως μπορουν ολα αυτα τα ανθρωπινα κατασκευασματα να δουλευουν? Δηλαδη, ωραια, φτιαξαμε τους μιγαδικους για να εκφρασουμε καποια μεγεθη. Τα φτιαξαμε για να μπορουμε να χειριστουμε μεγεθη. Πως ομως αυτο εγινε δυνατο. Απλα επειδη τα φτιαξαμε ετσι? Αν ναι, τοτε δεν θα επρεπε κατα κανονα να δινουν σωστα αποτελεσματα για το αρχικο πεδιο εφαρμογης? Ωστοσο, απο τοτε που δημιουργηθηκε ενας κλαδος των μαθηματικων εως σημερα, τα πεδια εφαρμογης εχουν πολλαπλασιαστει.

Κατα καποιον επομενως τροπο, ισως τα μαθηματικα να μην ειναι τοσι ανθρωπινο κατασκευσμα. Ισως ειναι η "ψυχη" της φυσης. Οι κανονες πανω στους οποιους στηριζεται ο κοσμος. Αλλιως θα ηταν πολυ εγωκεντρικο να πουμε οτι τα "ανθρωπινα" μαθηματικα μπορουν να ερμηνευσουν ενα "μη ανθρωπινο" συμπαν-κοσμο. Γιατι να μην μπορουν να το κανουν καλυτερα καποια αλλα, εξωγηινα μαθηματικα?

[fugiFOX]

Επεκτείνοντας αυτά που λέει ο Aurelius,
τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη όπου
ένα θεώρημα άπαξ και αποδειχτεί παέι και τελείωσε
δεν καταρρίπτεται ποτέ.

Για αυτό πολλοί τα αποκαλούν ως την τέλεια επιστήμη.
Και το ερώτημα βέβαια που προκύπτει είναι το πώς είναι δυνατόν
ένα ατελές ον, όπως ο άνθρωπος να έχει κατασκευάσει ένα τέλειο οικοδόμημα.

Μήπως όμως τελικά δεν είναι και τόσο τέλειο;
Σημαντικό ρόλο σε αυτό το ερώτημα έπαιξε ο Αινστάιν των Μαθηματικών
ο Γκέντελ με το θεώρημα της μη πληρότητας.

Από την άλλη βέβαια δεν μπορούμε να αγνοήσουμε ότι σε αντίθεση
με τις διάφορες ερμηνείες που δώθηκαν στο θεώρημα από τρίτους, ό ίδιος πίστευε
ότι η μεταμαθηματική ερμηνεία του θεωρήματός του
υποδεικνύει την αντικειμενική και όχι υποκειμενική πραγματικότητα του κόσμου.

[Nessa NetMonster]

Τα μαθηματικά δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σύνολο ταυτολογιών. Οι ταυτολογίες ισχύουν πάντα, ο κόσμος να χαλάσει, γι'αυτό και τα μαθηματικά εφαρμόζονται παντού. Ο ανθρώπινος παράγοντας υπεισέρχεται ως προς το ποιες ταυτολογίες επιλέξαμε να διατυπώσουμε - αυτό είναι το υποκειμενικό στοιχείο, και υπό αυτήν την έννοια τα μαθηματικά είναι ένα κατασκεύασμα.