Μέγιστα και ελάχιστα σε πολικό σύστημα συντεταγμένων;

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πρόγραμμα Χειμερινής Εξεταστικής 2024-2025]

Πρόγραμμα Χειμερινής Εξεταστικής 2024-2025

[fugiFOX]

Τώρα για το πρόβλημα αυτό καθ'αυτό:
Έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων, αν τον εξετάζαμε ως προς το πολικό σύστημα, δεν θα είχε μέγιστο και ελάχιστο, έτσι δεν είναι; Αν όμως τον εξετάζαμε στο καρτεσιανό, τότε προφανώς το μέγιστο είναι το πάνω σημείο τομής με τον Υ'Υ. Άρα...;

χμ, ο κύκλος στο καρτεσιανό επίπεδο και ο κύκλος στο πολικό σύστημα
δεν είναι ισοδύναμοι.
Για μετέτρεψε τον κύκλο του πολικού σε καρτεσιανό και δες τι σχήμα παίρνεις

[Wanderer]

Έστω ότι r=1 (πολικό)

Τότε χ=συνθ και y=ημθ

άρα χ^2+y^2=1. (καρτεσιανό)

Άρα ο ίδιος κύκλος δεν είναι;

Αφού η καμπύλη έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει αν αλλάζουμε σύστημα συντεταγμένων!

[MihalisK]

χμ, ο κύκλος στο καρτεσιανό επίπεδο και ο κύκλος στο πολικό σύστημα
δεν είναι ισοδύναμοι.
Για μετέτρεψε τον κύκλο του πολικού σε καρτεσιανό και δες τι σχήμα παίρνεις

Εεεε

Τι διαφορά έχει το r=1 από το x²+y²=1??? 8)

[MihalisK]

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.

Το σκέφτηκα αυτό με τη μετατροπή σε καρτεσιανό, αλλά πέρασε από το μυαλό μου η υποψία ότι στο πολικό σύστημα συντεταγμένων τα μέγιστα και ελάχιστα αναφέρονται στην τιμή της ακτίνας r, δηλαδή το ότι η έννοια του μεγίστου και ελαχίστου διαφέρει από αυτή που ισχύει στο καρτεσιανό.

Η εκφώνηση έλεγε (1ο θέμα, χρονιά 1999, μονάδες 2):
"Να βρεθούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης r=ημ3θ, η οποία αναφέρεται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων".

Χωρίς να έχει ρόλο η οπτική σημασία, τα μέγιστα της συνάρτησης r=f(θ) είναι τα {θ/f'(θ)=0 & f''(θ)<0} ΠΑΝΤΑ.

Δυστυχώς για την περιπετειώδη φαντασία μας - και ευτυχώς για τη λογική μας- η έννοια του ελαχίστου δε διαφέρει σε κανένα σύστημα συντεταγμένων.

Όταν βρίσκεις τα ακρότατα της συνάρτησης y=g(x) τότε βρίσκεις για ποιες τιμές του x το y είναι ακρότερο από τα γειτονικά του σημεία για όλα τα γειτονικά του x.

Επομένως προφανώς βρίσκεις τις ακραίες τιμές της ακτίνας. Τώρα γιατί περιορίζεσαι στις καρτεσιανές και 0εωρείς ακρότατο μόνο όταν βλέπεις καμπύλη σε peak , δλδ όπως το καρτεσιανό δεν ξέρω.

[aliakmwn]

Επομένως. Δηλαδή με βάση τον προηγούμενο συλλογισμό μου. Αν ο συλλογισμός αυτός είναι λανθασμένος, εννοείται ότι αυτά που λες έχουν νόημα. Τουλάχιστον αυτό εννοούσα, αν και μάλλον δεν το διατύπωσα καλά.

Ακριβως, και το οτι εισαι τοσο σιγουρος για τους συλλογισμους σου, ωστε να αποκαλεσεις ανοησιες αυτα που λεει εκεινος που σου απανταει, κατι δειχνει.

Έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων, αν τον εξετάζαμε ως προς το πολικό σύστημα, δεν θα είχε μέγιστο και ελάχιστο, έτσι δεν είναι; Αν όμως τον εξετάζαμε στο καρτεσιανό, τότε προφανώς το μέγιστο είναι το πάνω σημείο τομής με τον Υ'Υ. Άρα...;

Αρα.. να ξαναδιαβασεις τι ειναι συναρτηση, και να καταλαβεις πως η γραφικη της παρασταση ειναι μονο ενας τροπος (ή μαλλον.. πολλοι τροποι ) να την απεικονισεις.

Ερωτηση: Εστω η πολικη συναρτηση r=f(θ).
Μπορουμε να παρουμε καρτεσιανο συστημα συντεταγμενων, στον οριζοντιο αξονα να βαλουμε το θ και στον κατακορυφο το r?

? Μπορούμε, αλλά η καμπύλη που θα προκύψει δεν θα είναι η ίδια!

Ακριβως.
β' σκελος ερωτησης: Τα ακροτατα θα αλλαξουν?

[fugiFOX]

Έστω ότι r=1 (πολικό)

Τότε χ=συνθ και y=ημθ

άρα χ^2+y^2=1. (καρτεσιανό)

Άρα ο ίδιος κύκλος δεν είναι;

Αφού η καμπύλη έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει αν αλλάζουμε σύστημα συντεταγμένων!

α οκ, είχα άλλο πράγμα στο μυαλό μου, μετασχηματισμό.

[Wanderer]

Ακριβως, και το οτι εισαι τοσο σιγουρος για τους συλλογισμους σου, ωστε να αποκαλεσεις ανοησιες αυτα που λεει εκεινος που σου απανταει, κατι δειχνει.

Δεν είπα ότι είμαι σίγουρος.

Αρα.. να ξαναδιαβασεις τι ειναι συναρτηση, και να καταλαβεις πως η γραφικη της παρασταση ειναι μονο ενας τροπος (ή μαλλον.. πολλοι τροποι ) να την απεικονισεις.

Το έχω καταλάβει εδώ και καιρό αυτό.

β' σκελος ερωτησης: Τα ακροτατα θα αλλαξουν?

Νομίζω ότι στην ουσία δεν θα αλλάξουν.
................................................. ..

Δυστυχώς για την περιπετειώδη φαντασία μας - και ευτυχώς για τη λογική μας- η έννοια του ελαχίστου δε διαφέρει σε κανένα σύστημα συντεταγμένων.

Το ξέρω. Οκ, έκανα λάθος που τα συνέδεα χωρίς λόγο με τα συστήματα αναφοράς.

[MihalisK]

Έστω ότι r=1 (πολικό)

Τότε χ=συνθ και y=ημθ

άρα χ^2+y^2=1. (καρτεσιανό)

Άρα ο ίδιος κύκλος δεν είναι;

Αφού η καμπύλη έτσι και αλλιώς δεν αλλάζει αν αλλάζουμε σύστημα συντεταγμένων!

α οκ, είχα άλλο πράγμα στο μυαλό μου, μετασχηματισμό.

Τι μετασχηματισμός αλλάζει την καμπύλη?

[fugiFOX]

Άπειροι.

ένας εξ'αυτών είναι ο σύμμορφος (conformal mapping)
που χρησιμοποιήθηκε ευρύτατα την προηγούμενη 10ετία
για την απλοποίηση πολλών προβλημάτων.
Ένα από αυτά είναι και ο διάσημος μετασχηματισμός της πτέρυγας του αεροπλάνου σε κύκλο.
(αν θυμάμαι καλα w=z+1/z)

[Wanderer]

[aliakmwn_banned]Δεν φταιμε εμεις, το εκπαιδευτικο συστημα φταιει, που μας ξερναει στο Πανεπιστημιο χωρις να κατεχουμε τα στοιχειωδη.[/quote]
Το εκπαιδευτικό σύστημα μπορεί να έχει αδυναμίες, όμως σε καμιά περίπτωση δεν "μας ξερνάει στο Πανεπιστήμιο χωρίς να κατέχουμε τα στοιχειώδη". Μια χαρά γνώσεις μας έδωσε. Ίσως όχι με το σωστό τρόπο, πάντως όποιος ήθελε μπορούσε άνετα να μάθει, τουλάχιστον τα στοιχειώδη.

Και ο ο εγκέφαλος μερικές φορές "κρασάρει" και πετάει κοτσάνες, και ενώ ο "ιδιοκτήτης" του έχει τις απαραίτητες γνώσεις, κάνει λάθη στα προφανή διότι...έτσι τυγχάνει, έτσι το φέρνει η στιγμή. Πόσες φορές έχει ένας καλός μαθητής μπερδευτεί και απαλείψει μία μεταβλητή χωρίς να ελέγξει αν είναι μηδέν; Αρκετές. Πόσες φορές κάποιος πάνω στην "κρίση" της στιγμής έχει κάνει λάθος σε χρήση θεωρημάτων και αρχικά δεν το αντιλαμβάνεται; Σίγουρα κάποιες φορές θα του έχει συμβεί. Δεν φταίει το σχολείο σε αυτό.

[aliakmwn]

Το εκπαιδευτικό σύστημα μπορεί να έχει αδυναμίες, όμως σε καμιά περίπτωση δεν "μας ξερνάει στο Πανεπιστήμιο χωρίς να κατέχουμε τα στοιχειώδη". Μια χαρά γνώσεις μας έδωσε. Ίσως όχι με το σωστό τρόπο, πάντως όποιος ήθελε μπορούσε άνετα να μάθει, τουλάχιστον τα στοιχειώδη.

Ναι, το βλεπω και στα μηνυματα σου

Και ο ο εγκέφαλος μερικές φορές "κρασάρει" και πετάει κοτσάνες, και ενώ ο "ιδιοκτήτης" του έχει τις απαραίτητες γνώσεις, κάνει λάθη στα προφανή διότι...έτσι τυγχάνει, έτσι το φέρνει η στιγμή. Πόσες φορές έχει ένας καλός μαθητής μπερδευτεί και απαλείψει μία μεταβλητή χωρίς να ελέγξει αν είναι μηδέν; Αρκετές. Πόσες φορές κάποιος πάνω στην "κρίση" της στιγμής έχει κάνει λάθος σε χρήση θεωρημάτων και αρχικά δεν το αντιλαμβάνεται; Σίγουρα κάποιες φορές θα του έχει συμβεί. Δεν φταίει το σχολείο σε αυτό.

 

[Wanderer]

Το σχολείο μου έχει διδάξει πολλά πράγματα. Και είπαμε, άστοχες σκέψεις (ακόμα και αν είναι προφανές το σωστό) μπορούν να συμβούν ανα πάσα στιγμή.