THMMY.gr

Γιατί e^ja=cosa+jsina ?

Έχω την εντύπωση ότι με ανάλυση σε σειρές taylor αποδεικνύεται...

Ναι.Πως διαολο βρηκανε τις σειρες για το ημιτονο και συνημιτονο; :o

 Γιατί όχι? Με κάτι πρέπει να ισούται...  :o

   
         Oι σειρές δεν είναι καινούρια εφεύρεση. Η προσέγγιση λόγων μηκών - όπως το ημίτονο πχ- από πολυώνυμα περνάει από την Εσπερία, την Ινδία, τη Κίνα και καταλήγει στην αρχαία ελλάδα και τον Αρχιμήδη, ακόμα και εκείνον τον Χίο γεωμέτρη (όχι τον Στέφανο)...

Καλή ερώτηση. θα εκπλαγείς όμως αν συνειδητοποιήσεις την έκταση της άγνοιας που έχουν και οι ίδιοι οι διδάσκοντές μας πανω σε πολύ εύστοχα ερωτήματα.
Για παράδειγμα, έχω ρωτήσει πάρα πολλούς να μου εξηγήσουν γιατι όταν υψώσεις μια συνάρτηση f(t) στο τετράγωνο αυτή ονομάζεται αμέσως Ισχύς, δηλαδή παίρνει χαρακτηριστικά Ισχύος? και είτε δεν πήρα απάντηση είτε λέγανε οτιδήποτε άλλο. Αυτο το είδα στο αναλογικό σήμα και μου έκανε μεγάλη εντύπωση.
Ετσι, για να παρεις απαντήσεις, αν ενδιαφέρεσαι για κάτι βαθύτερο, αναγκάζεσαι να είσαι αυτοδίδακτος χάνοντας χρόνο και ενεργεια.

Λοιπόόόν... πριν πούμε γιατί ορίστηκε έτσι το e^(ix), ας δούμε λίγο με τι κριτήρια ορίζουμε τις πράξεις όταν μεταπηδούμε από κάποιο σύνολο σε ένα ευρύτερο.

Ξεκινάμε από τις δυνάμεις με εκθέτη φυσικό, οι οποίες ορίζονται μέσω του πολλαπλασιασμού. Δηλαδή e^2 = e*e, e^3=e*e*e κλπ. Γενικά x^2=x*x, x^3 = x*x*x κλπ.
Λόγω του ορισμού τους, για τις δυνάμεις ισχύει ότι x^n * x^m = x^(n+m), και επίσης, x^n / x^m = x^(n-m). Γιατί μας ενδιαφέρει αυτό; Επειδή σε αυτό στηρίζεται η γενίκευση που έχουμε κάνει για δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο (δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών ακεραίων).
Από τις πολλές γενικεύσεις που θα μπορούσαμε να έχουμε κάνει, επιλέγουμε αυτή για την οποία διατηρούνται οι ιδιότητες των πράξεων.
Άρα αν θέλουμε να διατηρείται ιδιότητα x^n / x^m = x^(n-m), αν πχ θέσουμε n =1 και m=2, παίρνουμε ότι x^1/x^2 = x^(-1), δηλαδή 1/x=x^(-1). Και γενικά θα πρέπει να ισχύει x^(-n) = 1/x^n.

Αυτό που πρέπει να κρατήσουμε από εδώ είναι ότι γενικεύουμε τους ορισμούς έτσι ώστε να συνεχίζουν να ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες.

Ως επόμενο παράδειγμα μπορούμε να δούμε τις δυνάμεις με εκθέτη ρητό. Η ιδιότητα (x^n)^m = x^(n*m), μας οδηγεί με παρόμοιους συλλογισμούς όπως πριν στο να ορίσουμε ότι x^(n/m) = (m-οστή ρίζα του x^n).

Μιας και τα πήραμε με τη σειρά, ας δούμε και το επόμενο φυσιολογικό βήμα. Δύναμη με εκθέτη πραγματικό αριθμό (δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των άρρητων).
Η ιδιότητα που ζητάμε εδώ να ικανοποιείται είναι η x^y να είναι γνησίως αύξουσα (ίσως να αρκεί και η συνέχειά της, δεν ξέρω...). Δηλαδή, όταν ο άρρητος y προσεγγίζεται με ρητούς από κάτω, πρέπει να δίνει όλο και μεγαλύτερο αποτέλεσμα, ενώ όταν προσεγγίζεται με ρητούς από πάνω πρέπει να δίνει όλο και μικρότερο αποτέλεσμα. Έτσι οδηγούμαστε σε... αναγκαστική ανάθεση τιμής του x^y ώστε να είναι μεγαλύτερη από κάθε x^q όπου q ρητός μικρότερος του y και μικρότερη από κάθε x^q όπου q ρητός μεγαλύτερος του y. Αυτά και για τον πραγματικό εκθέτη.

Πάμε τώρα σε αυτό που ρωτάς. Εκθέτης μιγαδικός.
Η σπουδαία ιδιότητα της πραγματικής συνάρτησης e^x ήταν το γεγονός ότι η παράγωγός της ήταν ίση με την ίδια τη συνάρτηση, αλλά και ότι [e^(αx)]' = α*e^(αx)
Αυτό το τελευταίο ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α. Όμως, επειδή για τους μιγαδικούς αριθμούς (και για αυτό το i που καταρχήν ήταν ένα σύμβολο) θέλουμε να ισχύουν οι ίδιες πράξεις όπως και για τους πραγματικούς, είναι φυσικό να ζητήσουμε να ισχύει [e^(ix)]' = i*e^(ix). Άρα και [e^(ix)]'' = i^2*e^(ix) = -e^(ix).
Από αυτό προκύπτει ότι [e^(ix)]'' + e^(ix) = 0
Δηλαδή από την απαίτησή μας να ισχύει η πράξη της παραγώγισης για την e^(ix) όπως ισχύει και για την e^(αx), δηλαδή να γενικευτεί διατηρώντας τις ιδιότητες, προέκυψε ένας περιορισμός για τη συνάρτηση αυτή. Θέτουμε y=e^(ix), η εξίσωση γίνεται y'' + y = 0. Αυτή η διαφορική εξίσωση μας προσδιορίζει (με αυθαιρεσία δύο σταθερών) τη συνάρτηση που προσπαθούμε να ορίσουμε!!
Η λύση της είναι y=a*cosx+b*sinx. Δηλαδή e^(ix) = a*cosx+b*sinx. Τώρα για να ορίσουμε τις σταθερές, καταρχήν πολύ φυσιολογικά μπορούμε να απαιτήσουμε ότι e^(i*0) = e^(0) = 1, ώστε να είναι συμβατό με ό,τι ξέρουμε μέχρι τώρα, άρα προκύπτει a=1, αφού sin0=0. Για το b μια απαίτηση προκύπτει αν παραγωγίσουμε: i*e^(ix) = -a*sinx+b*cosx. Θέτοντας πάλι x=0, παίρνουμε b=i.
Άρα τελικά, λόγω της απαίτησης να ισχύει για την παραγώγιση της e^z ό,τι ισχύει για την e^x και ταυτόχρονα να διατηρείται ό,τι ξέραμε για την e^x, οδηγούμαστε στο να ορίσουμε ότι e^(ix) = cosx+i*sinx

 ^notworthy^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^notworthy^ ^wav^ ^wav^ ^wav^

Προβληματα που εχει ο κοσμος! :P

Junior έχεις κάνει τρομερή δουλεια.

Αυτό το e^ja μας έχει φάει τη ψυχή. Αυτός ο Euler φταίει για όλα. Χωρίς e^ja είχε Fourier και Laplace?

Mathematical notation

Euler introduced and popularized several notational conventions through his numerous and widely circulated textbooks. Most notably, he introduced the concept of a function[3] and was the first to write f(x) to denote the function f applied to the argument x. He also introduced the modern notation for the trigonometric functions, the letter e for the base of the natural logarithm (now also known as Euler's number), the Greek letter Σ for summations and the letter i to denote the imaginary unit.[18] The use of the Greek letter π to denote the ratio of a circle's circumference to its diameter was also popularized by Euler, although it did not originate with him.[19]

Μας κατεστρεψε - και τη συνάρτηση αυτός την έδωσε αυτή τη μορφή. ΛΟΛ.

^notworthy^

Πολύ ωραίος ο junior! :)

Πραγματικά διαφωτιστικό. Ούτε εγώ ήξερα πώς είχε προκύψει αυτή η σχέση. Junior ^notworthy^

http://en.wikipedia.org/wiki/Eulers_formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Eulers_formula) -> differential equation proof

     Junior τα βήματά σου είναι λογικά, μα δεν είναι αυτός ο τρόπος που ο Οϋλερ έφτασε στον τύπο.
Μιλάμε για τον 17ο αιώνα και έναν βαθύτατα θρησκευόμενο άνθρωπο:
Τα μαθηματικά δεν τα θέτουμε να είναι όπως θα έπρεπε, μα τα ανακαλύπτουμε βήμα προς βήμα, ως έκφραση "Θείκής Σοφίας".  Δεν υπάρχει πουθενά πριν τον Ρήμαν η φράση "έτσι θα έπρεπε να είναι", γιατί απλά... έτσι είναι.

   
    Ο ίδιος ο Όυλερ, χρησιμοποίησε τις σειρές Τέυλορ για το εκθετικό, το συνημίτονο και το ημίτονο. Η μορφή τους σήμερα δεν διαφέρει από τους τύπους που δημοσίευσε ο ίδιος ο Τέυλορ κοντά στα 1700:
 


 O Όϋλερ έθεσε αυθαίρετα όπου x to ix στην πρώτη:
              
 και χρησιμοποίησε την ιδιότητα της μιγαδικής μονάδας

 για να καταλήξει ότι

       

 ...Μάλιστα ο τύπος αυτός περνάει σχεδόν απαρατήρητος από τον ίδιο τον Όϋλερ  :D


     
 

[Spam on]Ο Όυλερ έγραφε και "perittos"/"artios" ? :P[/spam off]


Σε πολλά φυσικά συστήματα η (στιγμιαία) ισχύς, που ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος ως προς το χρόνο) της ενέργειας προκύπτει να δίνεται από το τετράγωνο μιας μεταβλητής του συστήματος, συνήθως της μεταβλητής κατάστασης, επί μια σταθερά.
Πχ. για την κινητική ενέργεια 1/2*m*v^2, για την ενέργεια ελατηρίου 1/2*k*x^2, για την ενέργεια του πεδίου 1/2*ε*E^2+1/2μ*Β^2 κλπ.
Δεν είναι αυτό αρκετός λόγος για να αντιμετωπίζουμε το τετράγωνο μιας συνάρτησης ως "ισχύ";

Cartago δε διαφωνώ, δεν είπα τον τρόπο που το απέδειξε ο Euler. Απλά έδωσα μια άλλη πολύ ωραία εξήγηση που είχα διαβάσει κάποτε.

Για την ισχύ, ισχύει αυτό που λέει ο Netgull, αλλά πρόσεξε ότι τα παραδείγματα που έδωσες είναι ενέργεια, όχι ισχύς!
Καλύτερα παραδείγματα είναι το P=I^2*R ή P=V^2/R των κυκλωμάτων ;)

Για την ισχύ απλά παραγώγισε.
Επίτηδες δεν έφερα αυτό το παράδειγμα επειδή δεν είναι αρκούντως γενικό. Ισχύει μόνο για αντίσταση και δη γραμμική (αν και έχω μια υπόνοια ότι η γραμμικότητα είναι ένας γενικότερος περιορισμός για να προκύψουν τα τετράγωνα, αλλά ας μην το μπλέξουμε...).

Για αυτό που είπε ο Cartago... τώρα που το σκέφτομαι, είναι το ίδιο.
Η σειρά Taylor έχει συντελεστές τις παραγώγους. Άρα το να πεις ότι η e^z έχει ίδιο ανάπτυγμα Taylor με την e^x είναι σα να λες ότι η e^z έχει ίδια παράγωγο με την e^x. Χα! :D

Όσο για το τετράγωνο που έχει η ισχύς, εγώ έχω μια βαθύτερη απορία. Γιατί είναι τόσο ιδιαίτερο το μέτρο που ορίζεται από άθροισμα τετραγώνων των συνιστωσών; Δηλαδή το |x| = (x1^2 + x2^2 + ...)^(-1/2). Ξεκινάει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά εμφανίζεται στη στατιστική (τυπική απόκλιση), στη βελτιστοποίηση (ελαχίστων τετραγώνων), στην ενέργεια (ολοκλήρωμα του τετραγώνου της συνάρτησης) και αλλού. Γενικά, όποτε θελουμε να εξάγουμε πληροφορία για το "όλο", αθροίζουμε τα τετράγωνα των "μερών" ή των "συνιστωσών" και παίρνουμε τη ρίζα. Αν έχει κάποιος ικανοποιητική εξήγηση, καλοδεχούμενη...!

και εγώ έχω μια απορία!  :)
ποια αλγεβρική έκφραση καλείται υπερβατική?

sin(u)=u και σχετικής μορφής όπου η μεταβλητή βρίσκεται και στο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Τώρα αν είναι και άλλης μορφής δε μου έρχεται στο μυαλό.

@Junior: Δεν το έχω πολυψάξει, αλλά υπάρχουν και άλλα "μέτρα", όπου βάζεις διαφορετικό εκθέτη.

Ναι βρε, αλλά το θέμα είναι γιατί αυτό είναι τόσο ιδιαίτερο...
Μόνο στην ευκλείδια γεωμετρία να το δεις, ικανοποιεί το πυθαγόρειο θεώρημα. Τα άλλα δεν έχουν τόσο σπουδαίες ιδιότητες.

Κάποτε ο κ. Ντόμης μας είπε ότι η συνάρτηση u(t) "δεν μας ενδιαφέρει" με τι ισούται όταν t=0. Τι γίνεται όμως όταν μας ενδιαφέρει...;

Αυτό νομίζω το είχα δει παλιοτέρα σε ένα βιβλίο και μάλιστα το είχε και σε άσκηση! Ήταν ένα βιβλίο νομίζω συναρτησιακής ανάλυσης αλλά τώρα δεν μπορώ να βρω το ακριβές σημείο. Σε γενικές γραμμές, έχει να κάνει με την πληρότητα των χώρων. Αν θυμάμαι καλά, το πρόβλημα ξεκινάει όταν θες να φτιάξεις έναν χώρο με νόρμα στον οποίο κάθε ακολουθία Cauchy (πχ. η 1/n) να συγκλίνει σε σημείο του χώρου. Αλλά δε θυμάμαι τι γίνεται μετά. :-\ Θα σκάσω αν δεν τη βρω αυτήν την άσκηση. Μου είχε σπάσει τα νεύρα γιατί ήταν από τις πρώτες. >:( Αλλά και πάλι το n=2 νομίζω απορρέει από άλλους περιορισμούς αλλά δεν μπορώ να βρω το βιβλίο!!!
Εν πάσει περιπτώσει, για διάφορα φιλοσοφικά και μη ερωτήματα επί των θεωρητικών μαθηματικών υπάρχει η σελίδα math.stuff.gr. Έχει αρκετά άκρως ενδιαφέροντα συγγράματα.. :) :)

Είναι ένας εύκολος και απλός σχετικά τρόπος να εκτιμήσεις το μέγεθος μιας ποσότητας, με το επιπλέον πλεονέκτημα ότι είναι ένα παραγωγίσιμο μέτρο, σε αντίθεση με το άθροισμα πχ των απολύτων τιμών των συνιστωσών. Η γενικευμένη χρήση του επίσης διευκολύνεται από το ότι εμφανίζεται (λόγω Πυθαγορείου θεωρήματος) σε πολλές σχέσεις της φυσικής, και άρα είναι ευρέως διαδεδομένο.
Αν θες να το γενικεύσουμε, όλες αυτές οι περιπτώσεις που αναφέρεις μπορούν να αναχθούν στον υπολογισμό μηκών διανυσμάτων (ή αποστάσεων μεταξύ διανυσμάτων) σε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους - είναι τρομερό πόσα προβλήματα μπορούν να ερμηνευτούν με βάση αυτή την έννοια που τόση λίγη σημασία της δίνουμε στο πρώτο έτος. Σε ένα διανυσματικό χώρο λοιπόν καλείσαι να ορίσεις μια έννοια μήκους/απόστασης αν θες να εκτιμήσεις το μέτρο/μέγεθος των διανυσμάτων (norm). Το άθροισμα των τετραγώνων είναι το απλούστερο από αυτά τα μέτρα. Διάφορα άλλα τέτοια μπορείς να βρεις εδώ:
http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_%28mathematics%29

Δεν ξέρω πόσο βοηθάει η μπερδεύει αυτή η προσέγγιση, αλλά πραγματικά η έννοια του διανυσματικού χώρου με κάποιο μέτρο και εσωτερικό γινόμενο υποβόσκει σχεδόν παντού στα μαθηματικά των μηχανικών (πάρτε για παράδειγμα μόνο αυτόν τον Φουριέρ...)

In mathematics, a transcendental number is an irrational number that is not algebraic, that is, not a solution of a non-zero polynomial equation with rational coefficients.
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

Ποιο πρακτικά όποια έκφραση/εξίσωση έχει μέσα συναρτήσεις της μεταβλητής που δεν έιναι πολυωνυμικές τη λέμε υπερβατική.

Αν καταλαβαίνω καλά, σύμφωνα με το Netgull, το μέτρο με p=2, (στη σχέση |x|=(x1^p+x2^p+...)^(1/p)) δεν έχει τίποτα το ιδιαίτερο πέρα από το ότι είναι το απλούστερο και χρησιμότερο από τα μέτρα.

Σύμφωνα με τον fkoufi υπάρχουν επιπλέον περιορισμοί τους οποίους ικανοποιεί μόνο το ευκλίδειο μέτρο (έτσι λέγεται).

Κοιτώντας λίγο στην Βικιπαίδεια, μου ήρθε μια ιδέα. Το σχήμα που προκύπτει σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων για |x| = σταθερό, είναι:
α) τετράγωνο (πλαγιαστό, 45 μοίρες) για p=1
β) κύκλος για p=2 (ευκλίδειο μέτρο)
γ) υπερέλλειψη (; ), κάτι σαν τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες, για p>2
δ) τετράγωνο (οριζόντιο) για p=άπειρο

Ωραία, τι το ιδιαίτερο έχει λοιπόν ο κύκλος σε σχέση με τα υπόλοιπα σχήματα; Έχει παντού την ίδια καμπυλότητα ή αλλιώς ακτίνα καμπυλότητας. Έτσι μεταφράζεται η γεωμετρική ιδιαιτερότητα σε αλγεβρική. Άρα, κάποια σχέση πρέπει να ικανοποιεί το ευκλίδειο μέτρο και μόνο αυτό. Γι' αυτό τείνω να πιστέψω περισσότερο τον fkoufi. Αλλά περιμένω να βρει το βιβλίο!! :)

Εισαι μηχανικος. Δουλευει, αρα τελειωσε.... Δεν το πειραζουμε...


Καλα πλακα κανω. :P Η αληθεια ειναι οτι αλλα αυτα ειναι πολυ ενδιαφεροντα. Στην πραγματικοτητα, πολλα ειναι αυτα τα οποια χρησιμοποιουμε θεωρωντας ως δεδομενα, αλλα στην ουσια δεν ξερουμε για ποιο λογο τα θεωρουμε δεδομενα.

Εμενα αυτο που παντα με εντυπωσιαζε στα μαθηματικα ειναι το εξης:

- τα μαθηματικα ειανι ενα ανθρωπινο κατασκευασμα και φτιαχτηκε για να μας βοηθησει σε πρακτικα ζητηματα. Στην αρχη ηταν να μοιραζουμε χωραφια, μετα ηταν να φτιαχνουμε πυραυλους. Αλλα στην ουσια, η αναγκη απλα αλλαζει, η φυση των μαθηματικων οχι.

Οκ, τωρα η απορια. Σαν ανθρωπινο κατασκευασμα εκ των πραγματων και ιστορικα, και με βαση αυτα που ειπε ο Junior, εχει οικοδομηθει ετσι ωστε να υπαρχει backwards compatibility. Δηλαδη να μην καταρριπτονται(κατα κανονα), αυτα τα οποια εχουν αποδειχθει. Οκ μεχρις εδω. Πως ομως μπορουν ολα αυτα τα ανθρωπινα κατασκευασματα να δουλευουν? Δηλαδη, ωραια, φτιαξαμε τους μιγαδικους για να εκφρασουμε καποια μεγεθη. Τα φτιαξαμε για να μπορουμε να χειριστουμε μεγεθη. Πως ομως αυτο εγινε δυνατο. Απλα επειδη τα φτιαξαμε ετσι? Αν ναι, τοτε δεν θα επρεπε κατα κανονα να δινουν σωστα αποτελεσματα για το αρχικο πεδιο εφαρμογης? Ωστοσο, απο τοτε που δημιουργηθηκε ενας κλαδος των μαθηματικων εως σημερα, τα πεδια εφαρμογης εχουν πολλαπλασιαστει.

Κατα καποιον επομενως τροπο, ισως τα μαθηματικα να μην ειναι τοσι ανθρωπινο κατασκευσμα. Ισως ειναι η "ψυχη" της φυσης. Οι κανονες πανω στους οποιους στηριζεται ο κοσμος. Αλλιως θα ηταν πολυ εγωκεντρικο να πουμε οτι τα "ανθρωπινα" μαθηματικα μπορουν να ερμηνευσουν ενα "μη ανθρωπινο" συμπαν-κοσμο. Γιατι να μην μπορουν να το κανουν καλυτερα καποια αλλα, εξωγηινα μαθηματικα?

Επεκτείνοντας αυτά που λέει ο Aurelius,
τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη όπου
ένα θεώρημα άπαξ και αποδειχτεί παέι και τελείωσε
δεν καταρρίπτεται ποτέ.

Για αυτό πολλοί τα αποκαλούν ως την τέλεια επιστήμη.
Και το ερώτημα βέβαια που προκύπτει είναι το πώς είναι δυνατόν
ένα ατελές ον, όπως ο άνθρωπος να έχει κατασκευάσει ένα τέλειο οικοδόμημα.

Μήπως όμως τελικά δεν είναι και τόσο τέλειο;
Σημαντικό ρόλο σε αυτό το ερώτημα έπαιξε ο Αινστάιν των Μαθηματικών
ο Γκέντελ με το θεώρημα της μη πληρότητας.

Από την άλλη βέβαια δεν μπορούμε να αγνοήσουμε ότι σε αντίθεση
με τις διάφορες ερμηνείες που δώθηκαν στο θεώρημα από τρίτους, ό ίδιος πίστευε
ότι η μεταμαθηματική ερμηνεία του θεωρήματός του
υποδεικνύει την αντικειμενική και όχι υποκειμενική πραγματικότητα του κόσμου.

Τα μαθηματικά δεν είναι τίποτα άλλο από ένα σύνολο ταυτολογιών. Οι ταυτολογίες ισχύουν πάντα, ο κόσμος να χαλάσει, γι'αυτό και τα μαθηματικά εφαρμόζονται παντού. Ο ανθρώπινος παράγοντας υπεισέρχεται ως προς το ποιες ταυτολογίες επιλέξαμε να διατυπώσουμε - αυτό είναι το υποκειμενικό στοιχείο, και υπό αυτήν την έννοια τα μαθηματικά είναι ένα κατασκεύασμα.

Το οτι τα μαθηματικα χρησιμοποιουν ταυτολογιες δεν σημαινει οτι αυτες οι ταυτολογιες ειναι και ικανες να περιγραψουν φαινομενα και να επαληθευονται στην πραξη.

Κάνεις λάθος. Η ταυτολογία ισχύει πάντα εξ ορισμού, δε χρειάζεται καμία "επαλήθευση".

Οταν λεω επαληθευονται στην πραξη, δεν εννοω οτι επαληθευονται σαν μαθηματικες οντοτητες. Επαληθευται η χρηση τους και οι τυποι που εχουν αναπτυχθει σε πρακτικες εφαρμογες, οπως οι μιγαδικοι αριθμοι στα κυκλωματα.

@Junior: Ναι επιτέλους το βρήκα το βιβλίο. Το επισυνάπτω κιόλας για όσους ανζητούν την εμβάθυνση ;)
Το σχετικά κεφάλαιο είναι το πρώτο (είναι το πιο κατανοητό) και στη σελίδα 55 έχει την άσκηση 1.4 που θυμάμαι. Επίσης, ενδιαφέρον έχει και το παράρτημα. Η ουσία είναι ότι εμείς θέλουμε ένας χώρος να είναι χώρος Hilbert (δλδ. να ορίζεται και μέτρο και εσωτερικό γινόμενο). Αυτό μαζί με κάποιες άλλες λεπτομέρειες οδηγούν στο n=2. Πρακτικά, αν είχα πχ. n=4 τότε ναι μεν εχουμε μιαν άλλη μετρική αλλά το εσωτερικό γινόμενο πάει περίπατο. Και αυτό είναι το πρόβλημα. Βέβαια πιθανόν να υπάρχουν και άλλα εσωτερικά γινόμενα (δεν το έχω ψάξει το θέμα, ούτε έχω ακούσει ποτέ κάποιον άλλο τύπο).

^hat^
He's got a point there... Πολλά χρόνια και τα χω ξεχάσει... :-\
Για να πω την εξυπνάδα μου ποψιάζομαι ότι αυτό ξεκινάει από τον ορισμό του μέτρου με βάση το εσωτερικό γινόμενο (ως η ρίζα του εσωτερικού γινομένου). Τι θα γινόταν αν ορίζαμε το μέτρο ως η τέταρτη ρίζα πχ του εσωτερικού γινομένου; Τότε η νόρμα για p=4 δεν θα έδινε επίσης Hilbert space? Τεσπα, οι ορισμοί είναι αυτοί που είναι υποψιάζομαι για παραπάνω λόγους από αυτούς που εγώ με τα φτωχά μου μαθηματικά μπορώ να περιγράψω τώρα, οπότε  :-X.

Προφανώς προκειμένου να επιλέξεις με ποιο μαθηματικό μοντέλο θα περιγράψεις ένα φυσικό φαινόμενο δουλεύεις πειραματικά. Παίρνεις από πείραμα κάποια δεδομένα, από αυτά κρίνεις ποιο μοντέλο ταιριάζει, και ύστερα εφαρμόζεις το μοντέλο για να πάρεις το αποτέλεσμα που θες.

Ανάμεσα όμως στα δεδομένα (που προκύπτουν από πείραμα) και στο αποτέλεσμα, η διαδρομή είναι αδιαμφησβήτητη. Αν βγει το αποτέλεσμα λάθος, σημαίνει ότι τα δεδομένα (οι αρχικές υποθέσεις) ήταν λάθος - τα ίδια τα μαθηματικά δεν περιέχουν αντιφάσεις.

ikoufis, netgull ευχαριστώ  :)

μηπως εννοεις τον αλλο koufi, τον  f? :P :P :P :D

μα ο i και ο netgull μου απάντησαν...
f μου απάντησες και εσύ και δε το βλέπω?   ^seestars^

 a ok απαντησε και  ο φ δεν τον προσεξα!  :P

o i εννοείς!  :P

λολ, μπερδέψαμε τους koufides ;D

Τα μαθηματικά βεβαίως και τα κατασκεύασαν οι άνθρωποι. Όρισαν τα αξιώματα και μετά μελέτησαν το τι βγαίνει από αυτά. Μπορείς να ορίσεις οποιαδήποτε αξιώματα και να πάρεις απείρων ειδών μαθηματικά. Από αυτά όμως επιλέξαμε να μελετήσουμε μόνο κάποια. Ποια; Αυτά που μπορούν να περιγράψουν κάποιο φυσικό φαινόμενο. Πχ, στην αρχή μας ενδιέφεραν οι αριθμοί, μετά μας ενδιέφεραν οι συναρτήσεις, μετά η διανυσματική ανάλυση... Μελετήσαμε αυτά επειδή είδαμε ότι μπορούν να εφαρμοστούν. Άρα, πρώτα ανακαλύπτουμε τα προβλήματα και μετά προσπαθούμε να τα μελετήσουμε. Και τη μελέτη αυτή την ονομάζουμε μαθηματικά.

Εξαίρεση αποτελούν τα μαθηματικά που δεν υποδείχθηκαν από κάποια προβλήματα που αντιμετωπίσαμε, αλλά αναπτύχθηκαν επειδή κάποιοι τα μελέτησαν. Αυτά μπορεί να αναπτύχθηκαν επειδή έχουν από μόνα τους μια ομορφιά που τράβηξε τους μαθηματικούς ερευνητές. Και αυτά μπορεί κάποτε να εφαρμοστούν κάπου.

Για το ότι τα ίδια μαθηματικά εφαρμόζονται ξανά και ξανά σε διάφορα προβλήματα, ευθύνεται το ότι είναι πολύ γενικά - ή αλλιώς αφηρημένα. Από το αντικείμενο που μελετάμε έχουμε αφαιρέσει όλες τις ιδιότητες που δε θεωρούμε απαραίτητες και έχουμε κρατήσει ελάχιστα. Γι' αυτό και συχνά τυχαίνει ένα πολύ διαφορετικό πρόβλημα να ανάγεται στο ίδιο μαθηματικό πρόβλημα. Για παράδειγμα σκέψου τα ηλεκτρολογικά και μηχανολογικά συστήματα. Χρησιμοποιούμε τα ίδια μαθηματικά. Αυτό οφείλεται στο ότι στα μαθηματικά υπεισέρχονται μόνο κάποιες βασικές ιδιότητες, όπως ότι ένα στοιχείο λειτουργεί σαν ολοκληρωτής, ένα άλλο σαν διαφοριστής κλπ. Το υλικό, το μέγεθος, το χρώμα του πυκνωτή δεν μπαίνουν στα μαθηματικά.


-----------------------------------------------------------------------------------

Ευχαριστώ για το βιβλίο fkoufaki! Θα το μελετήσω αύριο με καθαρό μυαλό!

Λοιπόν, για το θέμα με το μέτρο...

Διάβασα τα σχετικά στο βιβλίο. Πράγματι, η μόνη διαφορά του p=2 είναι ότι προκύπτει από εσωτερικό γινόμενο. Και φυσικά προκύπτει το ερώτημα τι είναι το εσωτερικό γινόμενο! Είναι μια πράξη δύο διανυσμάτων που δίνει πραγματικό (ή μιγαδικό) αριθμό και έχει κάποιες ιδιότητες. Αυτή που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι διγραμμική συνάρτηση, δηλαδή αν μεγαλώσει οποιοδήποτε διάνυσμα κατά έναν παράγοντα λ, το ίδιο θα συμβεί και στο αποτέλεσμα του εσωτερικού γινομένου. Παρατηρήστε ότι αυτό συμβαίνει όταν ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ως x1y1 + x2y2 + .... Είναι δύσκολο από τους περιορισμούς να δείξουμε ότι οδηγούμαστε σε μια έκφραση αυτού του τύπου, αλλά μπορούμε να δικαιολογήσουμε γιατί δεν υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που να δίνει μέτρο x1^4 + x2^4. Επειδή θέλουμε το εσωτερικό γινόμενο να είναι και συμμετρικό, θα έπρεπε να είχε τη μορφή x1^2 * y1^2 + x2^2 * y2^2 + ... ώστε όταν θέταμε x=y να παίρναμε το ζητούμενο μέτρο. Αλλά τότε το εσωτερικό γινόμενο θα ήταν διτετραγωνικό, δηλαδή όταν μεγάλωνε κατά λ το x ή το y διάνυσμα, τότε το εσωτερικό γινόμενο θα μεγάλωνε κατά λ^2.
Είναι φανερό ότι για να έχουμε τη γραμμικότητα που θέλουμε πρέπει οι όροι του εσωτερικού γινομένου να έχουν από μια συνιστώσα του x και μια συνιστώσα του y (ή κάτι τέτοιο), όπως συμβαίνει στο x1y1 + x2y2 + ...
Όταν ορίζουμε το μέτρο μέσω  αυτού του εσωτερικού γινομένου (θέτοντας x=y), τότε παρατηρούμε ότι σε κάθε όρο εμφανίζονται δύο συνιστώσες του ίδιου διανύσματος, γι' αυτό και έχουμε τετραγωνικούς όρους.
Δηλαδή, η γραμμικότητα συν το γεγονός ότι είναι πράξη δύο διανυσμάτων, οδηγεί στην τετραγωνική μορφή του μέτρου.

Έψαξα για άλλους τρόπους να οριστεί το εσωτερικό γινόμενο. Βρήκα ότι μπορούμε να το ορίσουμε ως (α,β) = α1*β1 + α2*β2 + α1*β2/2 + α2*β1/2 και να ικανοποιεί τις ιδιότητες του εσ. γινομένου. Τότε το μέτρο γίνεται |α|^2 = (α1^2 + α2^2)/2 + (α1+α2)^2/2.
Άρα ακόμα και αυτή η απαίτηση, να προκύπτει το μέτρο από εσωτερικό γινόμενο, δεν μας οδηγεί μονοσήμαντα στο να το ορίσουμε ως |α|^2 = α1^2 + α2^2 !! Το επιχείρημα κατερρίφθη   :-\

Αλλά ακόμα και να ήταν η μόνη μορφή που θα ικανοποιούσε τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, τι το ιδιαίτερο θα είχαν αυτές οι ιδιότητες; Δηλαδή, γιατί να μην ορίσουμε ένα άλλου είδους γινόμενο το οποίο δε θα ήταν διγραμμικό, αλλά διτετραγωνικό; Αυτό θα οδηγούσε σε μέτρο της μορφής |α|^4 = α1^4 + α2^4.



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Άλλαξα τον τρόπο προσέγγισης του ζητήματος και επανήλθα στο θέμα του |α| = σταθερό.
Αυτό όπως είπα σε προηγούμενο ποστ ορίζει (στο διδιάστατο χώρο) έναν κύκλο όταν |α|^2 = α1^2 + α2^2. Για το |α|^4 = α1^4 + α2^4 θα παίρναμε ένα "τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες". Για |α|^2 = (α1^2 + α2^2)/2 + (α1+α2)^2/2 (που προέκυψε από το άλλο εσωτερικό γινόμενο που όρισα), θα παίρναμε μια έλλειψη.
Σίγουρα ο κύκλος έχει κάτι το ιδιαίτερο. Καταρχήν έχει κεντρική συμμετρία. Μόνο αυτός; Όχι, και το τετράγωνο με στρογγυλεμένες γωνίες έχει κεντρική συμμετρία. Αλλά ο κύκλος έχει συμμετρία ως προς στροφή κατά τυχαία γωνία θ. Αυτό σημαίνει ότι αν πολλαπλασιαστεί το διάνυσμα επί τον πίνακα στροφής κατά θ (2x2 πίνακας, πρώτη γραμμή cosθ, sinθ και δεύτερη γραμμή -sinθ, cosθ), τότε το νέο διάνυσμα που προκύπτει θα έχει το ίδιο μέτρο! Και αυτό συμβαίνει μόνο με το ευκλείδειο μέτρο! Οποιοσδήποτε άλλος ορισμός του μέτρου θα έδινε διαφορετικό μέτρο για το στραμμένο διάνυσμα!
Το αναλλοίωτο του μέτρου κατά τη στροφή είναι επέκταση του αναλλοίωτου κατά την εναλλαγή των συντεταγμένων. Για παράδειγμα στη στατιστική αν αλλάξουμε τη σειρά δύο παρατηρήσεων πρέπει να πάρουμε την ίδια τυπική απόκλιση. Σε αυτή την περίπτωση η γωνία στροφής είναι 90 μοίρες (+κατοπτρισμός). Βέβαια στη στατιστική δεν έχει νόημα η στροφή κατά πχ 45 μοίρες, αλλά είναι μια φυσική γενίκευση που μπορεί σε άλλες περιπτώσεις να έχει νόημα.

Στο πυθαγόρειο θεώρημα η εφαρμογή είναι άμεση. Το διάνυσμα με συνιστώσες (α,β) έχει μέτρο ίσο με την υποτείνουσα του τριγώνου με κάθετες πλευρές α,β. Θέλουμε το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος να μην αλλάζει όταν στραφεί. Και αν θυμάστε την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος (τουλάχιστον αυτή στο βιβλίο του γυμνασίου) είναι κατασκευαστική και περιέχει στροφή σχημάτων! (δεν είμαι 100% σίγουρος ότι αυτά συνδέονται άμεσα)

Σε περισσότερες διαστάσεις, η στροφή ενός διανύσματος γίνεται με πολλαπλασιασμό από αριστερά με κατάλληλο πίνακα που έχει ορίζουσα 1 και έχει στήλες ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα.

Για τις συναρτήσεις, το αντίστοιχο του γραμμικού μετασχηματισμού είναι μάλλον η εφαρμογή γραμμικού τελεστή, αλλά δε γνωρίζω πώς ορίζεται κάτι αντίστοιχο της ορίζουσας και των καθέτων συνιστωσών (είμαι όμως σίγουρος ότι υπάρχει).

Γενικά το συμπέρασμά μου είναι το εξής: Όταν από τις συνιστώσες θέλουμε να πάρουμε πληροφορία για το όλο, φανταζόμαστε έναν πολυδιάστατο (όσες και οι συνιστώσες) χώρο και το διάνυσμα που ορίζεται σε αυτό το χώρο με συντεταγμένες τις τιμές των συνιστωσών. Θέλουμε η πληροφορία που θα πάρουμε να παραμένει αναλλοίωτη αν το διάνυσμα αυτό στραφεί με οποιονδήποτε τρόπο (και έτσι πάρουμε διαφορετικές τιμές συνιστωσών). Η μόνη πληροφορία που ικανοποιεί το παραπάνω είναι το μέτρο |α| = (α1^2 + α2^2 + ... )^(1/2)

Ωραια προσεγγιση η απο πανω :) ;)

Εχω και γω μια απορια εδω και καιρο.

Βλεποντας τη γραφικη παρασταση μιας (πραγματικης) συναρτησης οπου αυτη τεμνει τον αξονα των χ ειναι οι ριζες της οκ. Πως ομως φενονται οι ριζες μια συναρτησης την οποια τροφοδοτουμε με μιγαδικους αριθμους στο γραφημα της? :-\ :???:

Αν η συνάρτηση είναι πραγματική, το γράφημα θα είναι τρισδιάστατο, οπότε οι λύσεις θα είναι το σημείο όπου η επιφάνεις τέμνει το επίπεδο (Ζ1,Ζ2).

Σε περιπτωση που μιλαμε για μιγαδικη συναρτηση ομως πως γινεται να το καταλαβουμε μια και δεν μπορουμε να κανουμε το γραφημα της? :???:

Χρησιμοποιουμε καποιο ειδος προβολης? και αν ναι πως βγαζουμε συμπερασμα τοτε? και κατα ποσο μπορει να ειναι αυτο καθολικο (δλδ για ολες τις ριζες) αφου απο κατεβαινουμε επιπεδο? δεν χανονται καποιες?

Εαν εχεις πραγματικη συναρτηση που οριζεται στο πεδιο των μιγαδικων, δηλαδη f(z)=f(x+jy) με z=x+jy τοτε καθε μιγαδικος θα απεικονιζεται στους πραγματικους. Αρα, για καθε ζευγος (x,y) του μιγαδικου επιπεδου θα παιρνεις μια απεικονιση στον πραγματικο αξονα.
Φτιαξε καρτεσιανο συστημα, βαλε το μιγαδικο επιπεδο στη θεση του xOy και τον αξονα των πραγματικων στο z'z και αμεσως παιρνεις ενα τρισδιαστατο γραφημα. Αν η συναρτηση ειναι συνεχης τοτε θα 'χεις μια επιφανεια.

Στην περιπτωση ομως που η συναρτηση σου ειναι επισης μιγαδικη,
δηλαδη f(z) = f(x+jy) = u(x+jy) + jv(x+jy)
δεν μπορεις να κανεις το ιδιο... Εκει δες στο βιβλιο των Εφαρμοσμενων Ι τους μετασχηματισμους.

ΥΓ: Μην το δει ο Κεχαγιας το topic, αν δεν εχεις περασει Εφαρμοσμενα Ι καηκες ;D

οχι ενταξει δεν εχω κανει ακομη εφαρμοσμενα Ι  :P θνξ παντως και στους 2 :)

Εντάξει, ο συμβολισμός f(x+jy) δε σημαίνει ότι είναι πραγματική. Το "πραγματική συνάρτηση" αναφέρεται στις τιμές που παίρνει και κατά κανόνα αν βάλεις μιγαδική μεταβλητή θα πάρεις μιγαδικό αποτέλεσμα. Εξαίρεση αποτελούν συναρτήσεις που περιέχουν |z| ή Re(z) ή Im(z) και όχι το z από μόνο του.

Τώρα για να απαντήσω στο smo, ο μόνος τρόπος είναι να σχεδιάσεις ξεχωριστά το πραγματικό και φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Δηλαδή θα έχεις 2 τρισδιάστατα γραφήματα. Οι ρίζες τους δε θα είναι κάποια μεμονωμένα σημεία, αλλά καμπύλες κατά κανόνα. Έτσι παίρνεις δύο καμπύλες, μία από το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και μία από το φανταστικό. Τα κοινά σημεία τους (σημεία τομής) είναι λύσεις της εξίσωσης f(z) = 0. Μάλλον είναι ο μόνος τρόπος να το κάνεις.

Έψαξα λίγο, ρώτησα τον θείο Wolfram :P και ανακάλυψα αυτό:
http://mathworld.wolfram.com/EuclideanMetric.html
Ο πίνακας στη σχέση 2 ουσιαστικά προσδιορίζει τους συντελεστές και τη μορφή του εσωτερικού γινομένου (κάθε στοιχείο μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό, ό.τι θέλει) και νομίζω είναι η πιο γενική μορφή εσωτερικού γινομένου που έχουμε. Άλλωστε υπάρχει και η μετρική Kähler-Einstein που είναι γενίκευση του γνωστού μέτρου και εμπλέκει και το χρόνο! Τέλος, μόλις ανακάλυψα ότι αυτά που λέει ο Junior είναι σωστά. Χαρακτηριστικά, παραθέτω τη σελίδα http://www.superstringtheory.com/basics/basic2a.html και συγκεκριμένα τη φράση "This formula has the special property that it is invariant under rotations. In other words, the length of a straight line does not change when you rotate the line in space." Άρα ο Junior έχει δίκιο!! Μπράβο σου!!  ^hat^
Νομίζω το κάψαμε...

Wow, ούτε εγώ δεν το πιστεύω!

Και ένα πολύ πιασάρικο quote από τo δεύτερo link που έδωσες (μάλλον η μετρική Kähler-Einstein):

Στον 4-διάστατο χωροχρόνο (θεωρία σχετικότητας), το αντίστοιχο μέτρο είναι το x^2 + y^2 + z^2 - c*t^2

Δεν μπορώ να φανταστώ τι σημαίνει ορίζουσα και στροφή σε ένα διανυσματικό χώρο συναρτήσεων, πάντως το εσωτερικό γινόμενο, η ορθοκανονική βάση και οι κάθετες συνιστώσες ορίζονται μια χαρά, και μάλιστα μια πάρα πολύ γνωστή εφαρμογή τους σε μας είναι ο μετασχηματισμός Φουριέρ (και τα wavelets ως επέκταση).

ΥΓ. Αυτό με το αναλλοίωτο ως προς τη στροφή το έγραφε και η wikipedia κάπου :P
Δεν πειράζει, έκανες μια ωραία ανάλυση :)

http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html