Kαλησπέρα στο φόρουμ, έχω δύο ερωτήσεις να κάνω:
Α)Ποιά η διαφορά Θ.Lassalle και Θ.Luapunov?Δεν καταλαβαίνω πότε να χρησιμοποιώ το ένα κ πότε το άλλο κ επίσης ποιά είναι η διαφορά στη διατύπωσή τους?
Β)Πότε επιλέγω κριτήριο Δίσκου και πότε Popov?

Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ορισμένη τότε με τη χρήση θεωρήματος Lyapunov δείχνεις ασυμπτωτική ευστάθεια και δεν χρειάζεται να κάνεις τίποτα άλλο.

Αν η παράγωγος της υποψηφιας συνάρτησης Lyapunov είναι αρνητικά ημιορισμένη τότε με το θεώρημα Lyapunov μπορείς να δείξεις μόνο ευστάθεια, όχι ασυμπτωτική ευστάθεια. Αν θέλεις να δείξεις ασυμπτωτική ευστάθεια πρέπει να κάνεις εφαρμογή της αρχής του LaSalle. Για να την εφαρμόσεις βλέπεις που η παράγωγος της Lyapunov ταυτίζεται με το μηδέν, γράφεις το σύστημά σου μέσα σε αυτό το σύνολο, και δείχνεις ότι εκεί μέσα ισχύει x = x* και dx = 0, με x* το σημείο ισορροπίας. Για τη διατύπωση δες κάποια απο τις ασκήσεις του μαθήματος που έχουν ανέβει από προηγούμενα χρόνια.



Αυτό που γράφεις δεν είναι σωστό, αρνητικά ημιορισμένη παράγωγος της Lyapunov δεν σημαίνει τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια, αλλά απλά ευστάθεια. Και η αρχή του LaSalle δεν σου γενικεύει το συμπέρασμα από τοπικό σε ολικό. Το αν κάτι ισχύει τοπικά ή ολικά έχει έχει να κάνει με το σύνολο στο οποίο ισχύει dV < 0 (ή dV <= 0 ), με V την υποψήφια Lyapunov. Αν εφαρμόσεις LaSalle μετά, για το ίδιο σύνολο βγάζεις συμπεράσματα.


Γενικά το κριτήριο δίσκου είναι πιο περιοριστικό από το κριτήριο Popov, οπότε αν μπορείς να χρησιμοποιήσεις κριτήριο Popov να επιλέγεις αυτό. Οι περιπτώσεις που δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις Popov είναι όταν 1) η μη γραμμικότητα ανήκει σε τομέα (κ1, κ2), αντί για (0, κ) και 2) αν η συνάρτηση μεταφοράς στον ευθύ βρόχο έχει πόλο είτε στο 0 είτε με θετικό πραγματικό μέρος.