[Διακριτά Μαθηματικά] Απορίες σε θεωρία, ασκήσεις, αποδείξεις

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πρόγραμμα Χειμερινής Εξεταστικής 2024-2025]

Πρόγραμμα Χειμερινής Εξεταστικής 2024-2025

[filmst_r]

Επειδή τώρα άρχισα να βλέπω ασκήσεις στους γράφους (ξέρω, ξέρω... ) και αυτές με τις αποδείξεις (όπως η 2η και η 3η) μου φαίνονται λιγάκι "περίεργες" (χμ), υπάρχει λέτε περίπτωση να πέσει κάτι τέτοιο??

Βέβαια, ποτέ κανείς δεν ξέρει, αλλά...

[Junior]

Δες παλιά θέματα. Αν μπει απόδειξη θα είναι κάτι απλό, όχι σαν αυτά που έχεις στις ασκήσεις στο e-thmmy

[filmst_r]

Μάλλον είναι λιγάκι αργά τώρα, αλλά έχω κολλήσει.

Στη σελίδα 7 έχει έναν τύπο για τον υπολογισμό των k-μεταθέσεων ενός συνόλου n στοιχείων, με l ομάδες όμοιων στοιχείων. Ωστόσο, προσπάθησα να τον εφαρμόσω σε δικό μου παράδειγμα και δε μου βγαίνει 

Συγκεκριμένα, έστω ότι έχουμε τα γράμματα Α,Α,Α,Β,Β,Γ και ψάχνουμε όλες τις λέξεις μήκους 2 που σχηματίζουν. Τότε, όπως το καταλαβαίνω, η εφαρμογή του τύπου θα έδινε:
P(6,2)/(3!2!1!)=(6!)/(4!3!2!1!)=2.5....το οποίο προφανώς είναι λάθος 

Που κάνω λάθος όμως??

[pmousoul]

Ο τύπος μιλάει για μεταθέσεις και 'συ τον χρησιμοποιείς σε διατάξεις. *

Ο ορισμός της μετάθεσης είναι η τοποθέτηση ν αντικειμένων σε ευθεία γραμμή και είναι ίσος με :

Μ_ν = ν!

Η επαναληπτική μετάθεση ορίζεται ως η τοποθέτηση ν αντικειμένων σε ευθεία γραμμή, που δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους.

Μ_ν^ε = ν!/(κ₁!κ₂!...κ_λ!)

Με λίγα λόγια εάν ζητούσες του αναγραμματισμούς της συμβολοσειράς ΑΑΑΒΒΓ :

Μ_ν^ε = 6!/(3!2!) = 60

Για το δικό σου παράδειγμα θα έκανα το εξής :

1. Θα έβρισκα όλες τις διατάξεις που απαρτίζονται από διαφορετικά γράμματα (Α,Β,Γ) : Ρ(3,2)

2. Σε αυτές θα πρόσθετα τις ΑΑ, ΒΒ : Ρ(3,2) + 2 = 8

* Άκυρη αυτή η πρόταση... απλά γενικά εκείνο που έγραψε ο Πιτσούλης ορίζεται για επαναληπτικές μεταθέσεις όπως τις ορίζω πιο πάνω... και όχι για διατάξεις.

[pmousoul]

Θα το έδινα κι εγώ το μάθημα αλλά μετά την ανάγνωση τέτοιων τύπων... είπα καλύτερα να το δώσω αφού θα κατανοούσα τι θέλει να πει ο ποιητής... για να μην ξεχάσω τελικά κι αυτά που ξέρω!

[filmst_r]

Σαν σωστά να τα λες, αλλά δυστυχώς και πάλι δεν πολυκαταλαβαίνω τη διαφορά μετάθεσης και διάταξης... 
Δηλαδή τι διαφορά θα είχε η 2-μετάθεση των Α,Α,Α,Β,Β,Γ, οπότε και θα χρησιμοποιούσαμε τον τύπο, από τη διάταξη Ρ(3,2) που λες, που μάλλον δίνει και το σωστό αποτέλεσμα...έχει να κάνει με το ότι δεν μπορεί να εμφανιστεί το Α 3 φορές, οπότε το σύνολο "εκφυλίζεται" στο Α,Α,Β,Β,Γ ή χαζομάρες λέω?? Πότε θα χρησιμοποιούσαμε αυτόν τον τύπο τελοσπάντων?? 


Αχ αυτό το μάθημα, κι εγώ για εύκολο το πήρα αλλά όταν κατάλαβα περί τίνος επρόκειτο ήταν πλέον πολύ αργά....

Τέτοια ώρα τέτοια λόγια όμως 

[pmousoul]

Βέβαια οι μεταθέσεις (ν!) είναι οι διατάξεις ν στοιχείων ανά ν...

Μάλλον αυτό θα γράφει στον κακογραμμένο τύπο : Ρ(ν,ν)

[pmousoul]

Λοιπόν... το πάμε από την αρχή.

Οι μεταθέσεις λένε ότι έχουμε ν αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε ευθεία γραμμή. Δηλ.

Για την πρώτη θέση έχω ν αντικείμενα, για την δεύτερη θέση ν-1...

Τελικά όλοι οι τρόποι προκύπτουν από το γινόμενο των πιο πάνω τρόπων, δηλ. ν!

Οι διατάξεις τώρα λένε ότι έχω ν αντικείμενα, αλλά από αυτά τα ν επιλέγω κ να βάλω σε ευθεία γραμμή. Δηλ.

Για την πρώτη θέση έχω ν, για την δεύτερη ν-1... για την κ έχω ν-κ+1. Δηλ.

Όλοι οι τρόποι είναι ν(ν-1)(ν-2)...(ν-κ+1). Αυτό μπορεί να γραφτεί (πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με (ν-κ)! ως : ν!/(ν-κ)!

[filmst_r]

Ωχ, μπερδεύτηκα τώρα.

Αυτό που ορίζεις ως διάταξη δεν είναι αυτό που ορίζει ο Πιτσούλης ως k-μετάθεση??

[pmousoul]

Δυστυχώς μπλέκεται η έννοια της μετάθεσης (χρησιμοποιώ και τα ν αντικείμενα και τα τοποθετώ σε ευθεία γραμμή) με την έννοια της διάταξης (χρησιμοποιώ μόνο κ από τα ν αντικείμενα και τα τοποθετώ σε ευθεία γραμμή).

Γι' αυτό επαναλαμβάνω ότι στον τύπο πρέπει να λέει... : Ρ(ν,ν) = ν!

[pmousoul]

Ωχ, μπερδεύτηκα τώρα.

Αυτό που ορίζεις ως διάταξη δεν είναι αυτό που ορίζει ο Πιτσούλης ως k-μετάθεση??

Ναι... στα προηγούμενα χρόνια της ζωής μας τα βιβλία μαθηματικών που συνάντησα έτσι τα όριζαν :

 

Ο ορισμός της μετάθεσης είναι η τοποθέτηση ν αντικειμένων σε ευθεία γραμμή και είναι ίσος με :

Μ_ν = ν!

Η επαναληπτική μετάθεση ορίζεται ως η τοποθέτηση ν αντικειμένων σε ευθεία γραμμή, που δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους.

Μ_ν^ε = ν!/(κ₁!κ₂!...κ_λ!)

Με λίγα λόγια εάν ζητούσες του αναγραμματισμούς της συμβολοσειράς ΑΑΑΒΒΓ :

Μ_ν^ε = 6!/(3!2!) = 60

Οι μεταθέσεις λένε ότι έχουμε ν αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε ευθεία γραμμή. Δηλ.

Για την πρώτη θέση έχω ν αντικείμενα, για την δεύτερη θέση ν-1...

Τελικά όλοι οι τρόποι προκύπτουν από το γινόμενο των πιο πάνω τρόπων, δηλ. ν!

Οι διατάξεις τώρα λένε ότι έχω ν αντικείμενα, αλλά από αυτά τα ν επιλέγω κ να βάλω σε ευθεία γραμμή. Δηλ.

Για την πρώτη θέση έχω ν, για την δεύτερη ν-1... για την κ έχω ν-κ+1. Δηλ.

Όλοι οι τρόποι είναι ν(ν-1)(ν-2)...(ν-κ+1). Αυτό μπορεί να γραφτεί (πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με (ν-κ)! ως : ν!/(ν-κ)!

[filmst_r]

Ωχ, μπερδεύτηκα τώρα.

Αυτό που ορίζεις ως διάταξη δεν είναι αυτό που ορίζει ο Πιτσούλης ως k-μετάθεση??

Ναι... στα προηγούμενα χρόνια της ζωής μας τα βιβλία μαθηματικών που συνάντησα έτσι τα όριζαν :

Η επαναληπτική μετάθεση ορίζεται ως η τοποθέτηση ν αντικειμένων σε ευθεία γραμμή, που δεν είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους.

Μ_ν^ε = ν!/(κ₁!κ₂!...κ_λ!)

Επομένως ο τύπος της σελίδας 7 με το Ρ(k, n) στον αριθμητή θα ισχύει για διατάξεις τελικά...σωστά?

Συγγνώμη που γίνομαι κουραστική αλλά προσπαθώ να τα ξεκαθαρίσω λιγάκι...αν και πρέπει να φύγω τώρα...ααααχ.

[pmousoul]

Επομένως ο τύπος της σελίδας 7 με το Ρ(k, n) στον αριθμητή θα ισχύει για διατάξεις τελικά...σωστά?

Συγγνώμη που γίνομαι κουραστική αλλά προσπαθώ να τα ξεκαθαρίσω λιγάκι...αν και πρέπει να φύγω τώρα...ααααχ.

Επομένως ο τύπος στην σελ. 7 είναι ο

Μ_ν^ε = ν!/(κ₁!κ₂!...κ_λ!)

όπου ο αριθμητής είναι Ρ(ν,ν) = ν! (μεταθέσεις) και όχι Ρ(ν,κ) που είναι οι διατάξεις.

[pmousoul]

Με πιο απλά λόγια ισχύει ο τύπος στην σελ. 7 εάν χρησιμοποιείς όλα τα αντικείμενα του συνόλου σου (και τα 6 γράμματα στο παράδειγμά σου) και όχι εάν χρησιμοποιείς κάποια από αυτά... Δηλ. ισχύει στους αναγραμματισμούς της συμβολοσειράς ΑΑΑΒΒΓ και όχι για να σχηματίσεις λέξεις των 2 γραμμάτων...

[filmst_r]

Αααα...σ'αυτόν τον τύπο εννοούσες τόση ώρα 

Οκ, κατάλαβα νομίζω...ευχαριστώ!!

Πάω...Καλή μου επιτυχία λοιπόν...