Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

Για οποιοδήποτε πρόβλημα με register/login, στείλτε email στο contact@thmmy.gr.

[thanasiskehagias]

Σε αυτό το topic σκοπεύω να δημοσιεύω ένα πρόβλημα Γραμ. Αλγ. κάθε εβδομάδα και την λύση του την επόμενη εβδομάδα. Stay tuned για περαιτέρω λεπτομέρειες!

Θ

[thanasiskehagias]

Προς το παρόν οι κανόνες είναι οι εξής (αργότερα μπορεί να τροποποιηθούν).

1) Περίπου μια φορά την εβδομάδα (συνήθως Πέμπτη απόγευμα) θα δημοσιεύω ένα πρόβλημα Γραμμικής Άλγεβρας.
2) Με την δημοσίευση του προβλήματος θα ορίζω και μια προθεσμία για την λύση του.
3) Κάθε φοιτητής / -τρια του 1ου έτους δικαιούται να υποβάλει μία επίλυση μέχρι την λήξη της προθεσμίας και μόνο με personal message του παρόντος forum (όχι email, όχι γραπτη υποβολή κτλ.).
4) Ο φοιτητής / -τρια πρέπει να μορφοποιήσει την υποβαλλόμενη επίλυση έτσι ώστε αυτή να είναι εύκολα κατανοητή (δηλ. προσοχή στο πως  θα γράψετε μαθηματικούς τύπους).
5) Ο πρώτος φοιτητής / -τρια που υποβάλει σωστή επίλυση κερδίζει 0.25 βαθμούς προσθετικά στον τελικό βαθμό, υπό την προϋπόθεση ότι θα πάρει στην τελική εξέταση (Φεβρουαρίου) βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 5.

Θ

[thanasiskehagias]

Ενας τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται ταυτοδύναμος ανν Α*Α=Α.
Δίνονται δύο ταυτοδύναμοι ΝxΝ πίνακες Α, Β. Δείξτε ότι οι παρακάτω προάσεις είναι ισοδύναμες.

1) Ο Α+Β είναι ταυτοδύναμος.
2) Α*Β=Β*Α=0.

(Δημοσίευση: 16:00, 11/10/2007. Λήξη υποβολής λύσεων: 08:00, 22/10/2007)

[SolidSNK]

Ρε κύριε δε το αρχίζατε πέρυσι τώρα είναι πολύ αργά

[^^DaRk_HunTeR]

Ρε κύριε δε το αρχίζατε πέρυσι τώρα είναι πολύ αργά

+1000000000000000000......αδικιες

[crystal]

Δεν πειραζει ειμαστε και μεις που το χρωσταμε...

[BOBoMASTORAS]

deleted

[corina]

Κανά άλλο τόπικ, πιο ψαγμένο, για τους παλιούς??

[~GiA~]

μαρια δεν εισαι ρε 1 ετος πλεον... τζαμπα χαρηκες...   

[vasso]

βλακεία.. :-/

[crystal]

Αx ναι ρε 2ο ειμαστε...

[manos88]

Πολύ ωραία και πρωτότυπη άσκηση.....κρίμα που είμαι 2ο έτος .Υπάρχει περίπτωση να γίνει κάτι τέτοιο με τα εφαρμοσμένα??

[elenaD]

 

[thanasiskehagias]

Έλαβα μέχρι σήμερα το μεσημέρι 14 απαντήσεις, κάποιες σωστές και κάποιες λάθος.

Η πρώτη σωστή απάντηση ήταν από τον Salvation

Καλησπέρα,

Για το πρόβλημα που θέσατε. Έχουμε ότι Α*Α=Α, Β*Β=Β και (Α+Β)*(Α+Β)=Α+Β. Θέλουμε να δείξουμε ότι Α*Β=Β*Α=0. Από την τρίτη σχέση στην υπόθεση έχουμε ότι Α*Α+Β*Α+Α*Β+Β*Β=Α+Β. Όμως λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεση τελικά έχουμε Α+Β*Α+Α*Β+Β=Α+Β. Δηλαδή Α*Β+Β*Α=0. Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση με Α έχουμε ότι Α*Α*Β+Α*Β*Α=0. Όμως Α*Β=-Β*Α. Άρα Α*Α*Β+(-Β*Α)*Α=0 και Α*Α=Α. Άρα Α*Β+(-Β*Α)*Α=0. Δηλαδή Α*Β-Β*Α*Α=0. Τελικά Α*Β-Β*Α=0. Από αυτή τη σχέση και την Α*Β+Β*Α=0 προκύπτει τελικά ότι Α*Β=Β*Α=0. Αντίστροφα τώρα. Έστω ότι Α*Β=Β*Α=0. Θα δείξουμε ότι ο Α+Β είναι ταυτοδύναμος. Αρκει να δείξουμε ότι (Α+Β)*(Α+Β)=Α+Β. Από το πρώτο μέλος με πράξεις έχω ότι Α*Α+Α*Β+Β*Α+Β*Β= Α+Α*Β+Β*Α+Β = Α+Β αφού Α*Β=Β*Α=0.
το οποίο είναι και το ζητούμενο. Οι σχέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τις παραπανω πραξεις ήταν οι Α*Α=Α, Β*Β=Β και Α*Β=Β*Α=0 όπως αποδείξαμε αρχικά.


Have a nice Day! 

Παίρνει 0.25 βαθμού προσθετικά. Τον συγχαίρω αλλά σημειώνω ότι το φορμάρισμα (παρουσίαση)_ της λύσης είναι πολύ μέτρια και ζορίζει τον αναγνώστη.

Η δεύτερη σωστή λύση που πήρα είναι από τον Komimis

Για (1)=>(2) έχουμε

(1)=>(A+B)*(A+B)=(A+B)
    =>A^2+A*B+B*A+B^2=(A+B)
    =>A*B+B*A=0 (Εφόσον Α,Β ταυτοδύναμοι => Α^2=Α και Β^2=Β)  Σχέση (3)

(3) => (Α*Β+Β*Α)*Α=0*Α=0
                                         => Α*Β*Α+Β*Α^2=0
                                         => Α*Β*Α+Β*Α=0  Σχέση (α)

Ακόμη (3) => Α*Β+Β*Α=0 => Α*(Α*Β+Β*Α)=Α*0=0
                                         => Α*Β+Α*Β*Α=0  Σχέση (β)

Από (α)-(β)=> Β*Α-Α*Β=0 => Β*Α=Α*Β  Σχέση (γ)

Από τη σχέση (γ) στη σχέση (3) => Α*Β=0 δηλαδή Α*Β=Β*Α=0

Για (2)=>(1) έχουμε

(Α+Β)*(Α+Β)=Α^2+ΑΒ+ΒΑ+Β^2
                  =Α+0+0+Β (Εφόσον Α,Β ταυτοδύναμοι και ισχύει η σχέση (2) )
                  =Α+Β Δηλαδή ο Α+Β είναι ταυτοδύναμος.

Βλέπετε την διαφορά στο φορμάρισμα, είναι πολύ πιο ευανάγνωστο. Δίνω λοιπόν και στον Komimis 0.25 βαθμού.

Εδώ κλείνει το πρώτο πρόβλημα. Μερικές συμπληρωματικές ανακοινώσεις και σχόλια στα επόμενα μηνύματα.

Στους υπόλοιπους συμμετέχοντες: συγκρίνετε την λύση σας με τις παραπάνω για να προσδιορίσετε αν είναι σωστές. Και καλή επιτυχία την επόμενη φορά.

Θ

[thanasiskehagias]

Θα το ανακοινώσω την Δευτέρα 15/11 γύρω στις 15:30. Μάλλον θα δώσω extra βαθμό  στις 2 ή 3 πρώτες σωστές λύσεις.

Μείνετε συντονισμένοι.

Θ