[Η/Μ Πεδίο Ι] Ανάλυση παλιών θεμάτων

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πληροφορίες Καθηγητών]

Πληροφορίες Καθηγητών

[Junior]

Δηλαδη οταν λεμε ροη σε μια επιφανεια να παιρνουμε το φορτιο στο οποιο οφειλεται το πεδιο και αναλογως να υπολογιζουμε τι ακριβως?
Επισης σε πολλες ασκησεις βλεπω να παιρνει τη ροη ισα με το φορτιο καποια πηγης,ειναι το ιδιο πραγμα αυτα τα 2?

Ο νόμος του Γκάους λέει ότι η ροή που εξέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια είναι ίση με το φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια. Όταν σου δίνει μια ανοιχτή επιφάνεια, τότε πρέπει να κάνεις κάποιο τέχνασμα.
Πχ, μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσεις τη ροή που διέρχεται από μια άλλη επιφάνεια που αν την ενώσεις με αυτή που σου δίνει τότε παίρνεις μια κλειστή επιφάνεια.
Παράδειγμα, φαντάσου έναν κύλινδρο κυκλικής διατομή με ένα φορτίο στο κέντρο του. Αν σου ζητάει τη ροή που εξέρχεται από την παράπλευρη επιφάνειά του, μπορείς να βρεις τη ροή που εξέρχεται από τις δύο βάσεις και να την αφαιρέσεις από την ολική ροή που αναμένεις να εξέρχεται από τον κύλινδρο. Η ολική ροή που εξέρχεται από τον κύλινδρο είναι ίση με το φορτίο που υπάρχει μέσα σε αυτόν (αφού ολόκληρος ο κύλινδρος θα είναι μια κλειστή επιφάνεια). Δηλαδή Ν(παράπλευρης) = Q - Ν(βάσεων)

Στο πρόβλημα 2, χρησιμοποίησα άλλο τέχνασμα. Έφτιαξα μια νοητή κλειστή επιφάνεια (το πρίσμα), που ήξερα πόση ροή θα εξέρχεται από αυτήν => όση και το φορτίο που περιέχει, δηλαδή ρ*L. Από τις δύο βάσεις δεν εξέρχεται καθόλου ροή αφού το D είναι παράλληλο σε αυτές. Επομένως όλη η ροή θα εξέρχεται από τις 4 παράπλευρες επιφάνεις, που δεν είναι τίποτα άλλο από 4 όμοια ορθογώνια παραλληλόγραμμα σε συμμετρικές θέσεις ως προς τον αγωγό, άρα από καθένα θα εξέρχεται το 1/4 της συνολικής ροής!

[Junior]

Για το τρίτο θέμα:

Στο πρώτο ερώτημα εφαρμόζουμε κάτι παρόμοιο με πριν. Παρατηρούμε ότι το φορτίο απέχει από το τετράγωνο απόσταση 3R/4 ενώ η πλευρά του τετραγώνου είναι 3R/2. Άρα αν θεωρήσουμε τον κύβο ακμής 3R/2 που η κάτω βάση του συμπίπτει με το δοσμένο τετράγωνο, τότε το q θα βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο του κύβου. Ο κύβος είναι μια κλειστή επιφάνεια, άρα η συνολική ροή που θα εξέρχεται από αυτόν είναι ίση με το φορτίο μέσα, δηλαδή q. Επειδή το q είναι ακριβώς στο κέντρο, από κάθε πλευρά του κύβου θα εξέρχεται ίδια ροή, δηλαδή q/6. Άρα η ροή που διέρχεται από το δοσμένο τετράγωνο είναι q/6.

Στο β1, με μέθοδο κατοπτρισμού, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αντί για τη σφαίρα υπάρχει ένα φορτίο q/2 στη θέση (0,0,R/2) (τυπολόγιο σελ. 14). Αυτό το φορτίο απέχει πάλι απόσταση 3R/4 από το τετράγωνο. Άρα εντελώς ανάλογα με το άλλο φορτίο και αυτό θα συνεισφέρει σε ροή q/12 μέσα από το τετράγωνο αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή -q/12! Άρα η συνολική ροή θα είναι τώρα q/12.

Στο β2, ένας εύκολος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσεις τον τύπο της στερεάς γωνίας με την οποία φαίνεται ένας κύκλος από σημείο Ρ, Ω=2π(1-cosθ) (βιβλίο ασκήσεων σελ 70). Τότε το κλάσμα της ροής που περνάει από αυτόν τον κύκλο είναι Ω/4π (4π είναι μια ολόκληρη σφαίρα).

Όμως, ο τύπος αυτός δεν υπάρχει έτοιμος στο τυπολόγιο, άρα μάλλον χρειάζεται να υπολογίσουμε από τον ορισμό, δηλαδή βρίσκουμε το D (αρκεί η κάθετη στον κύκλο συνιστώσα) σε κάθε θέση του κύκλου και ολοκληρώνουμε σε όλο τον κύκλο.

[lefos]

Οι 4 παράπλευρες επιφάνειες του πρίσματος (η μια είναι αυτή που θέλουμε) λόγω συμμετρίας συνεισφέρουν εξ ίσου στη ροή. Άρα η ροή που περνά από την επιφάνεια που ΒΔΔ'Β'Β είναι Q/4 ή ρl*L/4. Από τους δύο αγωγούς μαζί είναι ρl*L/2.

Για το δεύτερο θέμα που μιλούσες πριν:
Αφού ο άλλος αγωγός έχει πυκνότητα -ρl τότε δεν είναι μηδενική η ροή που περνά από την επιφάνεια που ΒΔΔ'Β'Β ; Ο ένας συνεισφέρει ρl*L/4, όπως λες και ο άλλος - ρl*L/4.Άρα συνολική ροή = 0. Ισχύει αυτό;

[Junior]

Οι 4 παράπλευρες επιφάνειες του πρίσματος (η μια είναι αυτή που θέλουμε) λόγω συμμετρίας συνεισφέρουν εξ ίσου στη ροή. Άρα η ροή που περνά από την επιφάνεια που ΒΔΔ'Β'Β είναι Q/4 ή ρl*L/4. Από τους δύο αγωγούς μαζί είναι ρl*L/2.

Για το δεύτερο θέμα που μιλούσες πριν:
Αφού ο άλλος αγωγός έχει πυκνότητα -ρl τότε δεν είναι μηδενική η ροή που περνά από την επιφάνεια που ΒΔΔ'Β'Β ; Ο ένας συνεισφέρει ρl*L/4, όπως λες και ο άλλος - ρl*L/4.Άρα συνολική ροή = 0. Ισχύει αυτό;

Ο άλλος αγωγός έχει φορτίο -ρl, αλλά βρίσκεται από την άλλη μεριά της επιφάνειας. Η ένταση που δημιουργεί στα σημεία της επιφάνειας έχει ίδια φορά με την ένταση που δημιουργεί και ο πρώτος αγωγός. Άρα και το D, άρα και η ροή.

[lefos]

ΟΚ.Ευχαριστώ πολύ...

[liago13]

Αντε και ενα τελευταιο θεμα θα παραθεσω για σχολιασμο και ο θεος βοηθος αυριο!

Δε θα σχολιασω κατι πανω στο θεμα γιατι ο φιλος Junior (που τον ευχαριστω παρα πολυ) εχει τις γνωσεις και τη θεληση και μας αναλυει ολα τα ερωτηματα.

Για το α) Ερωτημα μονο να πω οτι ξερω οτι το εργο θα βγει απο τη διαφορα δυναμικου, αλλα το δυναμικο στο σημειο Α πως υπολογιζεται?

Κυριως το δ) ερωτημα ειναι αυτο που με προβληματιζει, αλλα ας σχολιαστουν και τα αλλα.

Παρακατω ειναι το θεμα

[MonteCristo]

Αντε και ενα τελευταιο θεμα θα παραθεσω για σχολιασμο και ο θεος βοηθος αυριο!

Δε θα σχολιασω κατι πανω στο θεμα γιατι ο φιλος Junior (που τον ευχαριστω παρα πολυ) εχει τις γνωσεις και τη θεληση και μας αναλυει ολα τα ερωτηματα.

Για το α) Ερωτημα μονο να πω οτι ξερω οτι το εργο θα βγει απο τη διαφορα δυναμικου, αλλα το δυναμικο στο σημειο Α πως υπολογιζεται?

Κυριως το δ) ερωτημα ειναι αυτο που με προβληματιζει, αλλα ας σχολιαστουν και τα αλλα.

Παρακατω ειναι το θεμα

Για το δυναμικό στο ερώτημα α, δεν ξέρω αν είναι πιθανό να υπολογιστεί από τον ορισμό του...
Περισσότερα δεν ξέρω

[Junior]

Ευχαριστώ liago. Βαριέμαι να κάτσω να διαβάσω ή να λύσω παλιά θέματα μόνος μου, αλλά όταν βοηθάς τους άλλους έχει ενδιαφέρον!

Λοιπόν... στο πρώτο ερώτημα το δυναμικό στο Α βρίσκεται από τον ορισμό. Το στοιχειώδες φορτίο ρ*dl = ρ*r*dθ συνεισφέρει στο δυναμικό του Α κατά dΦ=ρ*r*dθ/(4πεr'), όπου r' η απόσταση του στοιχειώδους φορτίο από το Α. Η απόσταση ενός τυχαίου σημείου Ρ του κύκλου από το Α είναι (σύμφωνα με το γ^2=α^2+β^2 -2α*β*cos(α,β) που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο) r' = ρίζα(r^2 + r^2 - 2r^r*cosx) = r*ρίζα(2)*(1-cosx) όπου x η γωνία μεταξύ OA και ΟΡ. Για την κατανομή του πρώτου τεταρτοκυκλίου η γωνία x μεταβάλλεται από π/4 μέχρι 3π/4, επομένως ολοκληρώνουμε το dΦ από π/4 έως 3π/4. Άρα φ(Α) = (ρ/4πε)*ΟΛΟΚΛ(rdφ/(ρίζα(2)r(1-cosx)))=(ρ/ρίζα(2)4πε)*ΟΛΟΚΛ(dφ/(1-cosx)). Το ολοκλήρωμα αυτό δίνεται ίσο με 1,714. Η κατανομή του τρίτου τεταρτοκυκλίου λόγω συμμετρίας θα δημιουργεί το ίδιο δυναμικό, άρα από την υπέρθεση των δύο παίρνουμε Φ(Α) = 2*1,714*ρ/(ρίζα(2)4πε)
Το δυναμικό στο Ο βρίσκεται εύκολα, αφού η απόσταση ολόκληρου του γραμμικά κατανεμημένου φορτίου είναι σταθερή και ίση με α, άρα Φ(Ο) = π*α*ρ/4πεα=ρ/4ε.
Έργο W=q*[Φ(Ο-Φ(Α)]

Συνεχίζεται...(ελπίζω)

[jessika]

junior παραδιδεις ιδιαιτερα???

[liago13]

Μην τον αποσπατε τωρα που προσπαθει να λυσει και τα αλλα ερωτηματα!

[Junior]

Το ερώτημα β ομολογώ πως δεν μπορώ να το λύσω (τουλάχιστον όχι ακόμα )

Στο δ, που είναι ρ1=ρ2=ρ, η ένταση είναι παράλληλη στον άξονα z, οπότε για κάθε στοιχειώδες φορτίο dq, μας ενδιαφέρει μόνο η συνιστώσα της έντασης που δημιουργεί κατά τον άξονα z. Αυτή είναι ίση με Ez=sinθ*Ε=E*z/ρίζα(r) =dq*z/4πε*r^3, όπου r=ρίζα(z^2+α^2)και είναι ίδια για κάθε στοιχειώδες φορτίο. Άρα η συνολική ένταση θα είναι π*α*ρ*z/4πε*r^3.
Για να ισορροπεί το γραμμικό φορτίο πρέπει η συνολική δύναμη σε αυτό να είναι μηδέν, δηλαδή ρ*ΟΛΟΚΛ(Ε)(z από 0 έως α)+ρ'*ΟΛΟΚΛ(Ε)(z από α έως 2α)=0
Αυτό το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σχετικά εύκολα και βγαίνει τελικά ρ'=-ρ*(5ρίζα2-10)/(2ρίζα5-5ρίζα2) αν δεν έχω λάθος.

Στο ερώτημα β η ένταση δεν είναι παράλληλη στον άξονα z, αφού οι διαφορετικές κατανομές ρ1 και ρ2 δημιουργούν και οριζόντιες συνιστώσες που δεν αλληλοαναιρούνται, αφού δεν είναι ίσου μέτρου.

junior παραδιδεις ιδιαιτερα???

Αν πληρωθώ καλά...  8)

[Junior]

Λοιπόν... για το β, η συνιστώσα της έντασης παράλληλη στο επίπεδο xoy είναι E*cosθ=Ε*α/r. Από αυτήν μας ενδιαφέρει μόνο η "υποσυνιστώσα" που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x αφού η άλλη "υποσυνιστώσα" αλληλοαναιρείται για τα διάφορα σημειακά φορτία, αφού και οι δύο κατανομές είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x. Άρα η συνιστώσα που μας ενδιαφέρει είναι Ε*α/r * cosΔφ όπου Δφ η γωνία μεταξύ y=x και της ακτίνας του κύκλου που καταλήγει στο τρέχον σημειακό φορτίο. Δηλαδή για το πρώτο τεταρτοκύκλιο είναι Δφ = π/4 - φ (όπου φ η πολική συνιστώσα), άρα η συνιστώσα γίνεται Ε*α*cos(π/4-φ)/r=ρ1*α*cos(π/4-φ)r*dφ/4πεr^3= ρ1*α*cos(π/4-φ)*dφ/4πεr^2 . Για να βρούμε την ολική αυτή συνιστώσα της έντασης ολοκληρώνουμε από φ=0 έως φ=π/2. Δηλαδή Επ= ρ1*α/4πεr^2 * ΟΛΟΚΛ(cos(π/4-φ)*dφ)[0 έως π/4]= ρ1*α*ρίζα2/4πεr^2
Διανυσματικά η ένταση είναι (-ρ1*α/4πεr^2, -ρ1*α/4πεr^2, α*ρ1*z/4ε*r^3) (η z-συνιστώσα βρέθηκε στο ερώτημα δ!)

Ομοίως, η κατανομή στο τρίτο τεταρτοκύκλιο προκαλεί ένταση (ρ2*α/4πεr^2, ρ2*α/4πεr^2, α*ρ2*z/4ε*r^3)
Άρα η συνολική ένταση είναι ((ρ2-ρ1)*α/4πεr^2, (ρ2-ρ1)*α/4πεr^2, α*(ρ1+ρ2)*z/4ε*r^3)

Αντικαθιστούμε το r με ρίζα(z^2+α^2) και βρίσκουμε συναρτήσει του z και τέλος!

Ερώτημα γ:
i) ρ1=-ρ2
ii) ρ1=ρ2
iii) tan(32,74) = [ρίζα(2)*(ρ2-ρ1)*α/4πεr^2] / α*(ρ1+ρ2)*z/4ε*r^3 και υπολογίζουμε ρ1 σε σχέση με ρ2

(..ξεφυσάει)

[liago13]

Ενταξει εδωσες ρεσιταλ! Ελπιζω να μου φανουν αυριο χρησιμα ολα αυτα που μας ανελυσες, ευχαριστω και παλι!

[Junior]

Κανένα πρόβλημα! Καλή μας επιτυχία!

[Xristos]

Εαν κάποιος έχει κοιτάξει το θέμα 2 από τα θέματα του Σεπτεμβρίου 2004, ας δώσει καμιά βοήθεια για το πρώτο ερώτημα.