[Γρ. Άλγεβρα] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[Πληροφορίες Καθηγητών]

Πληροφορίες Καθηγητών

[dimvam]

Να ρωτήσω κάτι ; Τα θέματα είναι πάντα! ξεκάθαρα διαχωρισμένα σε γραμμικής άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας ;

Ναι απλά εννοώ αν ξέρει κάποιος αν αυτό είναι γενικός κανόνας... Δηλαδή κάθε φορά βάζουν ξεχωριστά ; (προσπαθώ να κάνω εκπτώσεις στο διάβασμα όπως κατάλαβες). thanks για την απάντηση πάντως.

Ναι, είναι απόλυτα ξεκάθαρο. Και μάλιστα σου λένε οι καθηγητές ότι Γραμμική Άλγεβρα είναι τα θέματα πχ 1-4, και Αναλυτική Γεωμετρία 5-7 και πρέπει να γράψεις στη κάθε ομάδα τουλάχιστον 1,5.

[sarasd]

Okay... Ευχαριστω...

[mitsos_dlx]

Μπορει κάποιος να μου πει πως αναγνορίζουμε χωρίς πράξεις τις παρακάτω επιφάνειες?

α) 3(x-y)²+(y-2)²-(z-y+4)²-10=0

b) 3(x+y)²+z²=(x+y+z)²

Είναι από τα θέματα του Φεβρουαρίου 2008.

Επιφάνειες εκ περιστροφής φένονται αλλά τι ακριβώς απαντάμε?

[mitsos_dlx]

Βασικά στη δεύτερη περίπτωση μπορούμε να σκεφτούμε ότι τα x,y,z είναι όλα στο τετράγωνο και αφού δεν έχουμε σταθερό ορο είναι κονική επιφάνεια??

'Ετσι όμως στο πρώτο που έχουμε σταθερό όρο που θα ξέρουμε αν είναι είναι ελλειψοειδές ή υπερβολοειδές?

[iliasp]

οταν λεει να αναγνορίζουμε χωρίς πράξεις τις παρακάτω επιφάνειες

τι εννοει ???

οτι θα κανουμε εμεις τις πραξεις αλλα αυτος θελει μονο το συμπερασμα να του γραψουμε??

[Ariel]

συνήθως είναι θέμα χωρίς πράξεις...
Στηρίζεται απλά στη θεωρία.
Πρέπει να θυμάσαι από τη θεωρία σε τι γραφική αντιστοιχεί κάθε εξίσωση και τι στοιχεί α της μπορείς να βγάλεις από αυτή (π.χ κεντρο , ακτίνα κλπ κλπ)

[Emfanever]

Για το πρώτο εγώ θα έλεγα ότι είναι μονόχωνο υπερβολοειδές.  Έλαβα υπόψη μου μόνο τα x,y,z που είναι στο τετράγωνο και καταλήγω σε κάτι σαν

x²/a + y²/b -z²/c + P(x,y,z)=1

Δεν ξέρω αν είναι σωστό....

[tsolarion]

mporei kapoios na ekshghsei pws vriskoume to span 3 grammikws eksarthmenwn dianysmatwn?genikotera pws vriskoume to span???

[sm]

Όσον αφορά τις επιφάνειες, νομίζω πως η εξήγηση είναι η εξής:

Ας πάρουμε την πρώτη που είναι 3(x-y)^2+(y-2)^2-(z-y+4)^2=10. Αυτή κατ' αρχή φαίνεται λίγο σύνθετη αλλά ταυτόχρονα είναι και οργανωμένη με τρόπο ο οποίος να μας λέει πως ως προς τις ποσότητες
u=x-y
v=y-2 και
w=z-y+4

ισχύει η σχέση 3u^2 + v^2 - w^2 = 10 ή ισοδύναμα



Δηλαδή, αν ως σύστημα συντεταγμένων λαμβάναμε αυτό που ορίζει ο παραπάνω γραμμικός μετασχηματισμός, τότε, σε αυτό, μεταξύ των νέων συντεταγμένων u,v και w θα ισχύει η παραπάνω σχέση. Αυτή η σχέση, όμως, προσδιορίζει ενα μονόχωνο υπερβολοειδές (αυτό που είναι σαν βάζο!) το οποίο τυλίγεται γύρω από τον άξονα της συντεταγμένης w (και ο οποίος προσδιορίζεται από την ταυτόχρονη ικανοποίηση των σχέσεων u=0 και v=0). Επειδή, τώρα, ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός, στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων η εξίσωση θα παριστά επίσης ένα μονόχωνο υπερβολοειδές, μόνο που αυτό δεν θα είναι όμορφα τοποθετημένο γύρω από τον άξονα z, αλλά, θα τυλίγεται γύρω από την ευθεία που προκύπτει από την τομή των επιπέδων x-y=0 και y-2=0. Δηλαδή, θα τυλίγεται γύρω από μια ευθεία που είναι παράλληλη προς τον άξονα z και περνάει από το σημείο (2,2,0).

Με απλά λόγια, η αρχική εξίσωση εκφράζει μια επιφάνεια, της οποίας η θέση (και τα απλά χαρακτηριστικά) έχει αλλάξει από τη συνηθισμένη που μας επιτρέπει να την εκφράσουμε με απλό τρόπο. Παρ' όλα αυτά, οι όροι της νέας εξίσωσης, έχουν οργανωθεί έτσι ώστε να ορίζουν ποσότητες (νέες συντεταγμένες) ως προς τις οποίες η επιφάνεια αποκτάει απλή και συνηθισμένη μορφή (το πως μπορεί να γίνει αυτό γενικά, νομίζω πως το εξετάζει η θεωρία που παρουσιάζεται στην παράγραφο της ταξινόμησης δευτεροβάθμιων επιφανειών). Άρα, βρίσκουμε τι επιφάνεια χτίζεται με βάση τη σχέση αυτών των νέων ποσοτήτων. Αυτό πάντως που είναι σημαντικό, είναι πως η σχέση των νέων και των παλιών ποσοτήτων είναι γραμμική (είναι γραμμικός μετασχηματισμός) το οποίο σημαίνει πως απλά έχει αλλάξει η θέση και η τοποθέτηση της επιφάνειας στον χώρο. Μπορεί να έχει αλλάξει και το σχήμα αλλά με τρόπο που δεν αλλάζει την κατηγορία της επιφάνειας. Κάτι τέτοιο δεν θα ίσχυε αν η σχέση ήταν μη-γραμμική, όπου εκτός της μετατόπισης, μπορεί να άλλαζε και βασική μορφή της επιφάνειας.

Αυτό μάλιστα που συμβαίνει στη συγκεκριμένη επιφάνεια -όπως το καταλαβαίνω απλά τουλάχιστον- είναι πως ναι μεν τυλίγεται γύρω από τον άξονα της συντεταγμένης w, με τις ελλείψεις που τη χτίζουν να βρίσκονται στα ισοσταθμικά επίπεδα της w (τα οποία είναι παράλληλα στο συντεταγμένο επίπεδο των u,v στο οποίο w=0), αλλά, επειδή το σύστημα συντεταγμένων (u,v,w) δεν είναι ορθοκανονικό, τα επίπεδα των ελλείψεων σχηματίζουν μη-ορθή γωνία με τον άξονα w. Αυτό ίσως θα μπορούσαμε να πούμε πως οφείλεται σε τέντωμα -streching- της επιφάνειας προς κάποια κατεύθυνση διαφορετική από αυτή των αρχικών αξόνων με αποτέλεσμα οι διαδοχικές ελλείψεις να μην τοποθετούνται συμμετρικά η μια πάνω στην άλλη (κάθετα προς την πορεία των κέντρων τους) αλλά τα κέντρα τους να ακολουθούν την πορεία ενός νέου άξονα - του άξονα w. Αν δούμε αυτό το αποτέλεσμα σε γραφική παράσταση (π.χ. στις επισυναπτόμενες εικόνες), μπορεί να μας δώσει την ψευδαίσθηση πως η επιφάνεια τυλίγεται όχι γύρω από τον άξονα w αλλά γύρω από μια ευθεία κάθετη στα επίπεδα w=c! Αυτό δεν είναι σωστό και νομίζω πως η συγκεκριμένη αίσθηση οφείλεται στη μορφή που παίρνει η επιφάνεια λόγω του ότι οι ελλείψεις δεν σχηματίζουν ορθή γωνία με το άξονα w γύρω από τον οποίο σχηματίζονται.

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτει πως η δεύτερη επιφάνεια 3(x+y)^2+z^2=(x+y+z)^2 είναι ένας κώνος ο οποίος τυλίγεται γύρω από την ευθεία
x+y=0
z=0

[panatha_g13]

ΜΗΠΩΣ ΜΠΟΡΕΙ ΚΑΝΕΝΑΣ ΝΑ ΑΝΕΒΑΣΕΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΠΕΣΑΝ ΣΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ?
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!!!

[El Niño]

που μπορω να βρω θεματα εκτος απο το τημμυ??οποιος εχει παρακαλω να ανεβασει...

[El Niño]

υπαρχει πιθανοτητα να βαλει ο ξενος κατι σχετικο με σφαιρικο σ.σ. ηκυλινδρικο η στροφη,παραλληλη μεταφορα???

[ΚΗΜΜΥ]

Σχετικά με το κομμάτι της Γραμμικής, είμαι καλυμμένος αν διαβάσω τις σημειώσεις του Κεχαγιά απο το blackboard?

[El Niño]

δεν νομιζω 100%!!!εγω προσωπικα βλεπω τι μας εκανε στο τετραδιο!!θα κοιταξω και αυτες βεβαια απο το blackboard!!

[ΚΗΜΜΥ]

Nαι, ΟΚ από τις σημειώσεις μου... Από το βιβλίο?