[Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

THMMY.gr > Forum > Μαθήματα Βασικού Κύκλου > 3ο Εξάμηνο > 3ο Εξάμηνο - ΠΠΣ > Θεωρία Σημάτων & Γραμμικών Συστημάτων (Moderators: chatzikys, Tasos Bot, tzortzis) > [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Pages: 1 ... 9 10 [11] 12 13 ... 61

Author

Topic: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες (Read 141426 times)

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #150 on: February 15, 2009, 17:17:25 pm »

λοιπόν σελις 111 στο βιβλίο του Πανά..σχέση 4.8.6..αναπτύσσει το σήμα σε σειρά,η οποία είναι ισοδύναμη με το σήμα και στην συνέχεια κάνει μετασχηματισμό στην σειρά..άρα και στο ίδιο το σήμα Wink


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

Γιώργος

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3796

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #151 on: February 15, 2009, 17:41:11 pm »

Κάθε περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη περίοδο $T=\frac{2\pi}{\omega_0}$ μπορεί να γραφεί σαν σειρά Fourier:

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\exp(k j \omega_0 t)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\exp(k j\frac{2\pi}{T}t)$

Όπου οι συντελεστές δίνονται από τη σχέση:

$a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\exp\left(-j k \omega_0 t\right)dt=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\exp\left(-j k \frac{2\pi}{T}t\right)dt$

Σελίδα 191 του Signals & Systems του Oppenheim (για τα Σήματα-Συστήματα αυτό είναι το βιβλίο, απλό, κατανοητό, μεταδοτικό, τώρα κάτι Πανάδες και Παπάδες είναι απλά ιεροσυλία κατά τη γνώμη μου Tongue

).

Το σετάκι των συντελεστών $\{a_k\}$ καλείται Συντελεστές Σειράς Fourier ή αλλιώς συντελεστές του φάσματος της x(t). Αν γνωρίζεις τους συντελεστές γνωρίζεις και τη σειρά Fourier.

Ε, σε συναρτήσεις που 'ναι γραμμικός συνδιασμός ημιτόνων-συνημιτόνων δεν χρειάζεται να κάνεις το ολοκλήρωμα, τα αναπτύσσεις κατευθείαν σε εκθετικά, τα μαζεύεις και voila βρήκες τους συντελεστές.

--------------------------

Γενικά μία περιοδική συνάρτηση μπορείς (1) είτε να την αναπτύξεις σε σειρά Fourier είτε (2) να κάνεις τον μετασχηματισμό Fourier.
Σε μη-περιοδικές μόνο το (2) μπορείς να εφαρμόσεις.

πχ για την $x(t)=\cos(\omega_0 t)$ :

1) μπορείς να την μετασχηματίσεις κατά Fourier:

$X(j\omega)=\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$

Όπου είναι δύο κρουστικές στις θέσεις $\omega=\pm\omega_0$ , δηλαδή έχει διακριτό φάσμα.

----

2) μπορείς να την γράψεις ως Σειρά Fourier:

$x(t)=\cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2}e^{j\omega_0 t} + \frac{1}{2}e^{-j\omega_0 t}$

Άρα: $a_{1}=a_{-1}=\frac{1}{2}$ και $a_k=0$ για $|k|\neq1$

Οπότε εδώ έχεις φάσμα μόνο στις θέσεις $k=\pm1$ , δηλαδή για $\omega=\pm1\times\omega_0$ , όπως και πριν.

----

Είτε την μετασχηματίσεις κατά Fourier είτε γράψεις τους συντελεστές της σειράς είναι το ένα και το αυτό.

Και από τη μια περιγραφή πας εύκολα στην άλλη. Πχ:

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\exp(k j \omega_0 t)\\ X(j\omega)=\mathcal{F}\left[\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\exp(k j \omega_0 t)\right]\\ X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\mathcal{F}\left[\exp(k j \omega_0 t)\right]\\ X(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\left[2\pi\delta(\omega-\omega_0)\right]\\ X(j\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}a_k\delta(\omega-\omega_0)$

Σε αυτήν την άσκηση, εφόσον έχουμε:

$a_{-1}=\frac{1}{2}\exp\left(-j\frac{\pi}{8}\right)\\ a_0=1\\ a_1=\frac{1}{2}\exp\left(j\frac{\pi}{8}\right)$

Και οι άλλοι συντελεστές είναι μηδενικοί, έχουμε:

$X(j\omega)=2\pi\left[\frac{1}{2}\exp\left(-j\frac{\pi}{8}\right)\delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega) + \frac{1}{2}\exp\left(j\frac{\pi}{8}\right)\delta(\omega-\omega_0)\right]$

--------------------------

Οπότε φαντάζομαι αυτή είναι η λύση που θέλει. Εφόσον ζητάει μετασχηματισμό Fourier (κι όχι τους συντελεστές της σειράς απλά), το γράφεις πρώτα σαν σειρά και μετά μετασχηματίζεις.

Αλλά να έχεις υπόψην σου ότι είτε σαν σειρά Fourier είτε σαν μετασχηματισμό Fourier είναι ακριβώς ισοδύναμη περιγραφή.

Ελπίζω να τα 'πα κατανοητά. Tongue


« Last Edit: February 15, 2009, 17:48:35 pm by Γιώργος »	Logged

class Windows extends Throwable implements Failure

fourier

Guest

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #152 on: February 15, 2009, 17:44:03 pm »

FT και FS ειναι το ιδιο πραγμα, ή πιο σωστα ο FT ειναι η γενικευση της FS για μη περιοδικα σηματα.

Ο FT περιοδικων συναρτησεων "εκφυλιζεται" σε μια σειρα ωσεων, με πλατος το αντιστοιχο των συντελεστων της εκθετικης FS.

Οποτε αν εχεις περιοδικη συναρτηση εκφρασμενη σε αρμονικες ημιτονων, με τη μεθοδο που εγραψε ο Γιωργος τυποποιεις τη FS, και μετα πολλαπλασιαζεις τον καθε ορο με την καταλληλα μετατοπισμενη δ(ω) για να παρεις και τυπικα τον FT.

Πιο περιγραφικα: Σε μια FS, οι συντελεστες εκφραζουν το "συντελεστη βαρυτητας" για καθε αρμονικη (αρμονικη = ημιτονοειδεις συναρτησεις με συχνοτητες ακεραια πολλαπλασια της θεμελιωδους).
Εχεις δηλαδη ενα απειρο αθροισμα ημιτονοειδων, που το καθενα εχει συχνοτητα ταλαντωσης n*ω0, και συμμετεχει στο "χτισιμο" του σηματος σου κατα ποσοτητα αναλογη με το συντελεστη Fourier.
Ειναι καπως σαν τα διανυσματα: Ενα διανυσμα στον τρισδιαστατο χωρο εκφραζεται ως το αθροισμα 3 συνιστωσων, μια προς καθε κατευθυνση του καρτεσιανου χωρου x,y,z, που την πολλαπλασιαζεις κατα εναν αριθμο ο οποιος δειχνει ποσο "τραβαει" το διανυσμα προς αυτην την κατευθυνση. Οι FS ειναι το ιδιο πραγμα, μονο που εδω οι διαστασεις δεν ειναι μονο 3 αλλα απειρες.

Οταν η συναρτηση δεν ειναι περιοδικη, οι συχνοτητες ταλαντωσης των ημιτονοειδων συνιστωσων δεν ειναι πλεον διακριτες αλλα συνεχεις: πλησιαζουν τοσο πολυ η μια την αλλη που πλεον δυο διαδοχικες συχνοτητες ταλαντωσης που συμμετεχουν στο χτισιμο του σηματος δεν απεχουν κατα ω0 αλλα κατα dω. Γι' αυτο το φασμα γινεται συνεχες, και το αθροισμα γινεται ολοκληρωμα.

Με προλαβε ο Γιωργος οσο τα 'γραφα Cheesy


	Logged

stefdth

Ανερχόμενος/Ανερχόμενη

Posts: 85

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #153 on: February 15, 2009, 17:49:10 pm »

Στο θέμα 2 του Δεκ. 2003 πως βρίσκουμε τις αντιστοιχίες και ιδίως το 4 & 5?


	Logged

N3ikoN

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 1018

one piece 4ever

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #154 on: February 15, 2009, 17:49:29 pm »

παιδια ν κανω κ γω μια ερωτηση... εχει διαφορ η sinc απο τη Sa ?? Γιατι στο βιβλιο τον μετασχηματισμο του παλμου το βγαζει ως : Sa(ωτ/2) , όταν έχει πλάτος τ..ενώ σε μια άσκηση βγάζουμε sinc(τω/2π) ...γιατι στο ενα έχει το π και στ άλλο οχι?


	Logged

o,ti aksizei na to kaneis , aksizei na to parakaneis!

fourier

Guest

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #155 on: February 15, 2009, 17:57:07 pm »

Quote from: N3ikoN on February 15, 2009, 17:49:29 pm

Αυτη ειναι η διαφορα τους: η μια βαζει μεσα το π και η αλλη οχι.
Το ποια ειναι ποια ουτε εγω το θυμαμαι, και οταν εδωσα το μαθημα το ειχα σημειωσει στο βιβλιο.
Google it και γραψτο καπου στην ακρη.


	Logged

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #156 on: February 15, 2009, 17:57:08 pm »

αγαπητέ φίλε...και συνάδελφε...

η sinc(t)=sin(πt)/πt

ενώ

sa(t)=sin(t)/t

κεγω την ειχα αυτην την απορια μεχρι π εψαξα στο νετ και την βρηκα.. Cheesy


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

N3ikoN

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 1018

one piece 4ever

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #157 on: February 15, 2009, 17:59:31 pm »

thnxxx both! Cheesy


	Logged

o,ti aksizei na to kaneis , aksizei na to parakaneis!

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #158 on: February 15, 2009, 18:03:22 pm »

Γιωργάρα θενκς για την διευκρίνηση...

την είχα αυτή την απορία γενικά αλλά τώρα μου λύθηκε..
όταν έχουμε περιοδικές συναρτήσεις αναλύουμε με το exp(..) και έχουμε την σειρά fourier κατευθείαν...δεν χρειάζεται νακάνουμε όλες τις παπαριές με τα ολοκληρώματα.

να σε ρωτήσω και κατι άλλο..
όταν λες FT και σειρά είναι ισοδύναμο τι εννοείς???δλδ αν το άφηνα σε σειρά..δεν τον πείραζε?? Cheesy

pm:το βιβλίο αυτό που το βρίσκεις??...μάλλον σκας κάνα φράγκο ε?? Grin


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

Γιώργος

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3796

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #159 on: February 15, 2009, 18:10:17 pm »

http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function

Λέει εδώ ότι η sinc ορίζεται στα ΨΕΣ (η συνέχεια του μαθήματος αυτού ένα πράμα) σαν κανονικοποιημένη:

Ενώ στα μαθηματικά αυστηρά ορίζεται σαν:

Η λύση απλή: μην την χρησιμοποιείτε. Cheesy

Για τον παλμό btw:

$x(t)=\left\{ {1,\:\:|t|<W\\0,\:\:|t|>W}\right\}\\ X(j\omega)=\frac{2\sin(\omega W)}{\omega}$

Quote from: elisabet on February 15, 2009, 18:03:22 pm

να σε ρωτήσω και κατι άλλο..
όταν λες FT και σειρά είναι ισοδύναμο τι εννοείς???δλδ αν το άφηνα σε σειρά..δεν τον πείραζε?? Cheesy

Ότι στη συχνότητα μπορείς να το περιγράψεις είτε με FS (Fourier Series) είτε με FT (Fourier Transform). Εάν ζητά μετασχηματισμό θα πρέπει να το γράψεις σαν FT. Αλλά φαίνεται θέλει να βρεις τον FT μέσω της σειράς πρώτα.

Quote from: elisabet on February 15, 2009, 18:03:22 pm

pm:το βιβλίο αυτό που το βρίσκεις??...μάλλον σκας κάνα φράγκο ε?? Grin

Κυκλοφορεί και σε e-book. Wink

Ωστόσο η ποιότητα δεν 'ναι κι ό,τι καλύτερο θα βρεις. Εγώ προσωπικά το 'χω και κανονικό, έσκασα 67€ στον Παπασωτήρη, αλλά είναι μακράν απ' τις καλύτερες αγορές ever. Αν και είναι στα Αγγλικά, βγαίνει πάρα πολύ ωραία κι εύκολα. Κατανοητό, επεξηγηματικό, με παραδείγματα, γενικά πας (κατά τη γνώμη μου) να γράψεις με πάρα πολύ καλές προοπτικές εάν το 'χεις διαβάσει, ακόμα κι αν δεν έχεις καταλάβει τίποτα από τις παραδόσεις (καλή ώρα σαν εμένα Tongue

).

Δηλαδή μαζί με τις Διαφορικές των Boyce-DiPrima, το Sedra-Smith για Ηλεκτρονική και τον Morris Mano για Ψηφιακή Σχεδίαση είναι τα τρία καλύτερα βιβλία που 'χω στη βιβλιοθήκη μου.


	Logged

class Windows extends Throwable implements Failure

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #160 on: February 15, 2009, 18:14:47 pm »

δλδ τώρα η sa είναι ίδια με την sinc...δεν νομίζω ρε...τεσπα..καλά λες..να μην την χρησιμοποιούμε καθόλου...μπορούμε να γράφουμε τον FT με ημίτονο.. Cheesy

και σιγά να μην δώσω 67 ευρουλάκια για μεθαύριο...μακάρι να τόξερα πιο νωρίς ότι υπάρχει το βιβλίο αυτό...

ευχαριστω πολύ... Cheesy


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

Γιώργος

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3796

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #161 on: February 15, 2009, 18:17:53 pm »

Ε, ψάχτο σε καμιά Αλεξάνδρεια (έτσι δεν το λένε?). Λογικά θα υπάρχει.


	Logged

class Windows extends Throwable implements Failure

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #162 on: February 15, 2009, 20:15:22 pm »

EΡΩΤΗΣΙΣ

απο που βρισκουμε τα κολοφασματα???απο σειρα η απο μετασχηματισμο??


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

gate4

Μόνιμος κάτοικος ΤΗΜΜΥ.gr

Posts: 1996

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #163 on: February 15, 2009, 20:17:30 pm »

τρίτο θέμα 2008 σεμπτέμβριος ,ζητάει το ψ(t) ως ολοκλήρωμα συνέλιξης. Πρώτα με laplace βρίσκουμε το Υ(s),αντίστροφο μετασχηματισμό laplace για να βρούμε την y(t) και μετά εφαρμοζουμε το ολοκλήρωμα y(t)*δ(t)??
Eγω βρήκα ιδια την y(s) αρα και y(t) για τα διαστήματα (1,2) (2,+oo),αλλιως πως γίνεται να εφαρμόσουμε συνέλιξη για συνάρτηση που δεν ειναι ίδια σε όλο το πεδιο ορισμού της??

Θέλουμε λύση απο τον Γιωργο Cheesy


« Last Edit: February 15, 2009, 20:21:51 pm by gate4 »	Logged

Διαμαντοπουλου: Οι καταλήψεις είναι μια μορφή πάλης και θα έλεγα ότι είναι η ανώτατη μορφή πάλης. Στην Ελλάδα ξεκίνησαν και αυτή τη φορά με την ανώτατη μορφή πάλης που είναι οι καταλήψεις, όμως όταν κάποιος επιλέγει να αγωνιστεί με τέτοιες μορφές έχει και ένα κόστος.

我學會并且講仅中文，因為沒人明白我，當我講希臘語時

sΚονταριτσα

Αbsolute ΤΗΜΜΥ.gr

Gender:

Posts: 3652

Re: [Θεωρία Σημάτων] Παλιά θέματα - Σχολιασμός και απορίες

« Reply #164 on: February 15, 2009, 20:33:35 pm »

Kανένας που να ενδιαφέρεται ναπαντήσει??? Cheesy

.....πολυ κλάσιμο φάγαμε...


	Logged

sprich mir nicht wenn du nicths wichtiges zu sagen hast.

Pages: 1 ... 9 10 [11] 12 13 ... 61

Jump to: