[Γρ. Άλγεβρα] Απορία στις "επιφάνειες-καμπύλες"

[Thmmy.gr portal]

  Thmmy.gr portal
   Forum
   Downloads
   Ενεργ. Λογαριασμού
   Επικοινωνία
  
  Χρήσιμα links
   Σελίδα τμήματος
   Βιβλιοθήκη Τμήματος
   Elearning
   Φοιτητικά fora
   Πρόγραμμα Λέσχης
   Πρακτική Άσκηση
   Ηλεκτρονική Εξυπηρέτηση Φοιτητών
   Διανομή Συγγραμμάτων
   Ψηφιακό Καταθετήριο Διπλωματικών
   Πληροφορίες Καθηγητών
   Instagram @thmmy.gr
   mTHMMY
  
  Φοιτητικές Ομάδες
   ACM
   Aristurtle
   ART
   ASAT
   BEAM
   BEST Thessaloniki
   EESTEC LC Thessaloniki
   EΜΒ Auth
   IAESTE Thessaloniki
   IEEE φοιτητικό παράρτημα ΑΠΘ
   SpaceDot
   VROOM
   Panther
  

THMMY.gr Web

Helios_MultiScribbles2SMF Default ThemeSMFone_Blue

[Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads]

Είσαι πρωτοετής;... Καλώς ήρθες! Μπορείς να βρεις πληροφορίες εδώ. Βοήθεια για τους καινούργιους μέσω χάρτη.

Κατεβάστε εδώ το Android Application για εύκολη πρόσβαση στο forum.

Ανεβάζετε τα θέματα των εξετάσεων στον τομέα Downloads με προσοχή στα ονόματα των αρχείων!

[height=400]

  Όταν ανεβάζουμε φωτογραφίες στις Ανακοινώσεις και Έκτακτα νέα, βάζουμε τη μεγαλύτερη πλευρά 400 (width=400 ή height=400 ). π.χ. [img height=400 (κλείνει η αγκύλη) 

[evageliav]

Έχω την εξής απορία:
Αν θεωρήσουμε την τομή μιας σφαίρας και ενός επιπέδου το αποτέλεσμα θα είναι κύκλος,
αλλά  αλγεβρικά με τη λύση του συστήματος προκύπτουν δυο λύσεις ,δηλαδή δυο κύκλοι.Ποια είναι η γεωμετρική σημασία αυτού του αποτελέσματος;
π.χ
C:χ²+(ψ-2)²+(ζ-8)²=4
F:5χ+3ψ-2ζ=9
Λύση του συστήματος είναι:
[ζ=(6/(29))ψ+(5/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)+((182)/(29)),χ=(2/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)-((15)/(29))ψ+((125)/(29))]  και

[ζ=(6/(29))ψ-(5/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)+((182)/(29)),χ=((125)/(29))-(2/(29))√(-38ψ²+266ψ-625)-((15)/(29))ψ]
Θα παρακαλούσα αν κάποιος μπορεί να δώσε μια εξήγηση ας απαντήσει,
Ευχαριστώ προκαταβολικά!

[AgentCain]

Όταν λύνεις ένα σύστημα επίπεδο κύκλος, λύνεις το επίπεδο ως προς μία μεταβλητή, αντικαθιστάς στη σφαίρα, λύνεις το επίπεδο ως προς άλλη μεταβλητή, ξαναντικαθιστάς στη σφαίρα.
Έτσι παίρνεις δύο εξισώσεις π.χ. η μία με μεταβλητές x-z και η άλλη με x-ψ
Δεν υπάρχει κάτι πιο απλό σε εξίσωση κύκλου στο χώρο 3D

[evageliav]

Σίγουρα  η λύση του συστήματος θα περιλαμβάνει δυο εξισώσεις εφόσον πρόκειται για κύκλο στο R^3,η έρώτηση μου όμως είναι γιατί να έχουμε δυο τέτοιες λύσεις ,δηλαδή δυο κύκλους ;.Πιστεύω να έγινε κατανοητό ποιο σημείο του  προβλήματος δε μπορώ να κατανοήσω "γεωμετρικά" ,γιατί αλγεβρικά είναι κατανοητό

[AgentCain]

Η λύση του συστήματός σου είναι:

29x²+30xy-250x+13y²-166y+625=0
34x²-20xz-30x+13z²-132z+549=0

που είναι το περίεργο? 

[Junior]

AgentCain, αυτά που γράφεις είναι δυο επιφάνειες, η τομή των οποίων είναι ο κύκλος που ζητάμε.
Ναι, αλλά και οι δύο αρχικές επιφάνειες που έδινε η άσκηση ήταν το ίδιο πράγμα (και μάλιστα πιο απλή μορφή!). Δηλαδή με αυτή την αντικατάσταση κάνουμε μια τρύπα στο νερό!

Ο evageliav προχώρησε στο να υπολογίσει τα x και z συναρτήσει του y, που έχει νόημα.


Η γεωμετρική ερμηνεία των δύο συστημάτων εξισώσεων είναι τα δύο ημικύκλια του κύκλου. Όπως όταν λύσεις την x^2+y^2=1 ως προς y θα πάρεις δύο λύσεις, που αντιπροσωπεύουν τα δύο ημικύκλια, έτσι και στον κύκλο της άσκησης τα δύο συστήματα εξισώσεων είναι τα δύο ημικύκλια.

***

Ας το προχωρήσουμε λίγο παραπέρα: Τα δύο ημικύκλια θα συναντιώνται σε δύο σημεία. Δηλαδή, θα υπάρχουν δύο τιμές του y για τις οποίες παίρνεις ίδιες λύσεις (x,y,z) και από τα δύο συστήματα.
Ποιες θα είναι αυτές οι τιμές του y; Θα είναι αυτές για τις οποίες (από εκεί και πέρα) παύεις να παίρνεις πραγματικές λύσεις (τερματίζεται η καμπύλη). Πότε παύεις να παίρνεις πραγματικές λύσεις; Όταν η τιμή του y γίνει τέτοια που η υπόρριζη ποσότητα να δίνει αρνητικές τιμές. Άρα, τα σημεία στα οποία θα δίνουν ίδια λύση τα δύο συστήματα (συναντιούνται τα ημικύκλια) είναι αυτά για τα οποία η υπόρριζη ποσότητα μηδενίζεται.
Μπορείς να το επαληθεύσεις αν θες και να βεβαιώσεις και εμένα ότι δεν είπα κάποια βλακεία

[AgentCain]

Για να ξέρουμε και τι λέμε, ποια είναι η άσκηση αυτή?
Έχει άλλα δεδομένα, τίποτα πιο μπροστά? Είναι από το βιβλίο?

Κάτι πολύ σημαντικό.
Αν ζητάει "τις εξισώσεις του κύκλου" το αφήνεις στη μορφή που περιέργαψα.
Αν ζητάει "τις συναρτήσεις" τότε το αναπτύσεις.

Δηλαδή στο επίπεδο έχουμε 1 εξίσωση κύκλου αλλά 2 συναρτήσεις ημικυκλίων (που αν εννοθούν σχηματίζουν τον κύκλο)!
Και για να είμαστε πιο σωστοί πρέπει να διευκρινήσουμε που (σε ποια εξίσωση) ανήκουν τα 2 σημεία επαφής των ημικυκλίων


junior
αυτά τα δύο δεν είναι επιφάνειες με την έννοια Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0, είναι ένα είδος καμπυλόγραμης επιφάνειας.
Η 2η π.χ. επιφάνεια μοιάζει με αυτή που επισυνάπτω

[aliakmwn]

Για να ξέρουμε και τι λέμε, ποια είναι η άσκηση αυτή?
Έχει άλλα δεδομένα, τίποτα πιο μπροστά? Είναι από το βιβλίο?

Κάτι πολύ σημαντικό.
Αν ζητάει "τις εξισώσεις του κύκλου" το αφήνεις στη μορφή που περιέργαψα.
Αν ζητάει "τις συναρτήσεις" τότε το αναπτύσεις.

Δηλαδή στο επίπεδο έχουμε 1 εξίσωση κύκλου αλλά 2 συναρτήσεις ημικυκλίων (που αν εννοθούν σχηματίζουν τον κύκλο)!
Και για να είμαστε πιο σωστοί πρέπει να διευκρινήσουμε που (σε ποια εξίσωση) ανήκουν τα 2 σημεία επαφής των ημικυκλίων


junior
αυτά τα δύο δεν είναι επιφάνειες με την έννοια Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0, είναι ένα είδος καμπυλόγραμης επιφάνειας.
Η 2η π.χ. επιφάνεια μοιάζει με αυτή που επισυνάπτω

Ω θεε μου............

[AgentCain]

Έχεις ένσταση αλ.? που?

αν εννοείς το "καμπυλόγραμη επιφάνεια" δεν ξέρω πως το λένε, σίγουρα πάντως δεν είναι επίπεδο!
ίσως βέβαια να εννοείς τις "συναρτήσεις". Τώρα που το σκέφτομαι ο κύκλος δεν εκφράζεται από συνάρτηση.

Γεγονός είναι ότι αν έχεις δυο εξισώσεις, μία χ-ψ και μία ψ-ζ (ή άλλο συνδιασμό αυτών) αρκούν για να ορίσεις το επίπεδο σχήμα που θες στο χώρο.
Σαν ένας αλγόριθμος βάζεις χ σου βγάζει ψ. Βάζεις αυτό το ψ στην άλλη σου βγάζει ζ. Νάτο το σημείο.

Για πε μας...

[Junior]

Αν ζητάει "τις εξισώσεις του κύκλου" το αφήνεις στη μορφή που περιέργαψα.

Δεν μπορεί να σου ζητάει τις εξισώσεις του κύκλου, διότι σου τις δίνει (ένα πιθανό ζευγάρι).
Και είναι αυτές.

C:χ²+(ψ-2)²+(ζ-8)²=4
F:5χ+3ψ-2ζ=9

Τώρα από αυτές μπορείς να βγάλεις άλλα ζευγάρια, άπειρα. Όλα αυτά προκύπτουν λύνοντας τη μία εξίσωση ως προς μια μεταβλητή και αντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση, όπως έκανες. Δεν κερδίζουμε όμως τίποτα αλλάζοντας τις εξισώσεις με... ισοδύναμες!

Το ιδιαίτερο των δικών σου λύσεων είναι ότι η καθεμία περιέχει μόνο δύο μεταβλητές, που γεωμετρικά σημαίνει ότι είναι δύο καμπύλες επιφάνειες (μάλλον αυτός είναι ο σωστός όρος) παράλληλες προς έναν άξονα. Πχ, αν σε μια εξίσωση έχεις μόνο τις μεταβλητές x,y, τότε η επιφάνεια που περιγράφεται είναι παράλληλη στον άξονα z, δηλαδή είναι κυλινδρική επιφάνεια (όχι όμως με κυκλική τομή).

Αυτό όμως δεν είναι αρκετά χρήσιμο, ιδιαίτερα σε σύγκριση με τις δύο αρχικές επιφάνειες που ήταν δύο γνωστές καμπύλες (επίπεδο και σφαιρική επιφάνεια). Οι επιφάνειες που βρίσκουμε με το μετασχηματισμό που λες είναι δύο "περίεργες" κυλινδρικές επιφάνειες.

Το να λύσεις ως προς μια μεταβλητή από την άλλη (δηλαδή να βρεις τις δύο μεταβλητές συναρτήσει της τρίτης) μου φαίνεται πιο χρήσιμο. Γιατί; Επειδή τότε θα έχεις συναρτήσεις! Αν τα μεγέθη x,y,z είχαν φυσικό νόημα ίσως το y να ήταν το πρωτογενές και τα x, z δευτερογενή άρα να θέλαμε να λύσουμε ως προς y!

Δηλαδή στο επίπεδο έχουμε 1 εξίσωση κύκλου αλλά 2 συναρτήσεις ημικυκλίων (που αν εννοθούν σχηματίζουν τον κύκλο)!

Ναι και στο χώρο έχεις δύο συστήματα από δύο εξισώσεις το καθένα. Και κάθε σύστημα είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων που αντιπροσωπεύουν ένα ημικύκλιο.

Και για να είμαστε πιο σωστοί πρέπει να διευκρινήσουμε που (σε ποια εξίσωση) ανήκουν τα 2 σημεία επαφής των ημικυκλίων

Σημεία επαφής σημαίνει ότι στα δύο συστήματα για ίδιο y παίρνουμε ίδια και x και z. Τα σημεία επαφής δεν ανήκουν σε κάποια εξίσωση. Είναι οι τιμές που δίνουν ίδιο αποτέλεσμα στις δύο εξισώσεις!

αυτά τα δύο δεν είναι επιφάνειες με την έννοια Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0, είναι ένα είδος καμπυλόγραμης επιφάνειας.

Το Αχ+Βψ+Γζ+Δ=0 είναι επίπεδο. Τα υπόλοιπα είναι καμπύλες επιφάνειες. Όλα μαζί λέγονται απλά επιφάνειες

[AgentCain]

Άρα όταν χρειαστεί να ορίσουμε ένα επίπεδο σχήμα στο χώρο, θα εκφράσουμε τις εξισώσεις του ως συνάρτηση π.χ. Φ(χ,ψ) σαν να έχουμε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές?
Και αν σου ζητάει τις "εξισώσεις του κύκλου με τάδε χαρακτηριστικά" θα προτιμήσεις το σύστημα σφαίρα-επίπεδο ή το επιφάνεια-επιφάνεια σαν απάντηση?

Εγώ απλά το σκέφτηκα σαν να μιλούσαμε για το επίπεδο. Δίνεις μια τιμή σε μία ανεξάρτητη μεταβλητή και προκύπτουν τα υπόλοιπα.

Τουλάχιστον συμφωνούμε ότι το επίπεδο είναι επιφάνεια

[Junior]

Άρα όταν χρειαστεί να ορίσουμε ένα επίπεδο σχήμα στο χώρο, θα εκφράσουμε τις εξισώσεις του ως συνάρτηση π.χ. Φ(χ,ψ) σαν να έχουμε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές?

Ένα σχήμα, αν εννοείς μια γραμμή (όχι αναγκαστικά ευθεία), για να οριστεί στον τρισδιάστατο χώρο χρειάζεται αναγκαστικά δύο εξισώσεις. Έστω και αν βρίσκεται ολόκληρη πάνω σε ένα επίπεδο (πχ ο κύκλος είναι πάντα επίπεδος)
Με μία εξίσωση παίρνεις μια επιφάνεια (στη γενική περίπτωση)

Οι εξισώσεις αυτές μπορεί είτε να είναι σε πεπλεγμένη μορφή πχ F(x,y,z) = 0 και G(x,y,z) = 0 είτε λυμένες ως προς κάποια μεταβλητή η καθεμιά, πχ y=f(x) και z=g(x) ή z=g(x,y).

Και αν σου ζητάει τις "εξισώσεις του κύκλου με τάδε χαρακτηριστικά" θα προτιμήσεις το σύστημα σφαίρα-επίπεδο ή το επιφάνεια-επιφάνεια σαν απάντηση?

Θα εξαρτηθεί από τα χαρακτηριστικά. Αν δε λέει τίποτα μπορείς να δώσεις οποιοδήποτε ζεύγος εξισώσεων. Αν σου λέει βρες δύο κυλινδρικές επιφάνειες των οποίων η τομή είναι η λύση του προβλήματος πρέπει να γίνει στη μορφή που έγραψες παραπάνω (δύο μεταβλητές κάθε εξίσωση)

Υ.Γ. Χρησιμοποιώ τους όρους που χρησιμοποιεί το βιβλίο του Ξένου (και προφανώς είναι οι καθιερωμένοι)

[evageliav]

Για όσους ενδιαφέρονται για την πλήρη διατύπωση του προβλήματος είναι:
Να βρεθούν οι εξισώσεις του κύκλου ο οποίος είναι τομή της σφαιρικής επιφάνειας S και του επιπέδου Π.
Βέβαια αυτές τις λύσεις τις βρήκα με το "scientific workplace" ,(γι'αυτό το ζ και χ εκφράζονται συναρτήσει του ψ ).

[Komimis]

Μυρίζω καμμένο σ'αυτό το topic..