Παίδες, κανείς λύση για το 1ο θέμα του Ιούνιου 2016;
Προφανώς δεν γίνεται να εφαρμόσουμε την θεωρία με την Ιακωβιανή καθώς η ορίζουσα βγαίνει 0.
Η Z ακολουθεί και αυτή κανονική κατανομή.
H W μπορεί να γραφεί ως 9Z^2... Αλλά απο εκεί και πέρα δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι άλλο με αυτή τη μέθοδο.
Έπειτα αν πάμε με τον ορισμό της κοινής pdf σκέφτηκα:
f zw (z,w) = P(z,w) = P(z) * P(w/z) = P(z) * P(W<=w / Z<=z) = P(z) * P( 9Z^2 <=w / Z<=z) = P(z) * P( -3sqrt(w) <= Z <= 3sqrt(w) / Z<=z) , και τελικά ο δεύτερος όρος του γινομένου να γραφτεί ως ολοκλήρωμα της fz(z) (pdf της Z) από -3sqrt(w) έως z ??
Προφανώς δεν γίνεται να εφαρμόσουμε την θεωρία με την Ιακωβιανή καθώς η ορίζουσα βγαίνει 0.
Η Z ακολουθεί και αυτή κανονική κατανομή.
H W μπορεί να γραφεί ως 9Z^2... Αλλά απο εκεί και πέρα δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι άλλο με αυτή τη μέθοδο.
Έπειτα αν πάμε με τον ορισμό της κοινής pdf σκέφτηκα:
f zw (z,w) = P(z,w) = P(z) * P(w/z) = P(z) * P(W<=w / Z<=z) = P(z) * P( 9Z^2 <=w / Z<=z) = P(z) * P( -3sqrt(w) <= Z <= 3sqrt(w) / Z<=z) , και τελικά ο δεύτερος όρος του γινομένου να γραφτεί ως ολοκλήρωμα της fz(z) (pdf της Z) από -3sqrt(w) έως z ??
Η W γράφεται ως (Ζ/3)^2 => Η W παίρνει διακριτές τιμές ανάλογά με την τιμή της Z=> f_w(w)=P((z/3)^2))*δ(w-(z/3)^2)) και f_w/z=δ(w-(z/3)^2) .
Οι Χ και Υ ακολουθούν κανονική κατανομή => Η Ζ θα ακολουθεί κανονική κατανομή (ως γραμμικός συνδυασμός κανονικών μεταβλητών).
Από τη στιγμή που ξέρεις τις μέσες τιμές και τις διασπορές των Χ, Υ μπορείς να βρεις τα αντίστοιχα μεγέθη και για την Ζ.
Ξέρεις τον τύπο της κανονικής κατανομής, άρα βρίσκοντας τη μέση τιμή και τη διασπορά της Ζ σχηματίζεις την f_z(z).
Ισχύει ότι f_zw(z,w)=f_z(z)*f_w/z. Ξέρεις f_z και f_w/z άρα βρίσκεις f_zw.
Για να είναι ανεξάρτητες πρέπει να ισχύει f_zw=f_z*f_w που εδώ δεν ισχύει => δεν είναι ανεξάρτητες.
Τώρα για το αν είναι ασυσχέτιστες ή όχι νομίζω πρέπει να υπολογίσεις E[zw] και E[w] και να βγάλεις συμπέρασμα με το αν ισχύει ή όχι η σχέση E[zw]=E[z]*E[w]