Θέμα 3 Σεπτέμβριος 2017 έχει κανείς καμία ιδέα? Ή ακόμα καλύτερα να ανεβάσει καμία λύση? Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Δυστυχώς δεν έχω χρόνο να το λύσω αλλά αυτό που θυμάμαι ότι είχα κάνει στο α) (και μου το πήρε σωστό) είναι:Αρχικά θέτεις x1=y x2=y_dot και με βάση την (3) βρίσκεις τις δύο εξισώσεις κατάστασης. Από αυτές βρίσκεις το σημείο ισορροπίας (μοναδικό), το οποίο βγαίνει διάφορο του (0,0) οπότε κάνεις αλλαγή μεταβλητής για να το φέρεις στο (0,0).
Τώρα με βάση το νέο σύστημα παίρνεις κάποια υποψήφια Lyapunov για να δείξεις την ευστάθεια. Θυμάμαι ότι αν πάρεις την κλασσική V=1/2(x1^2+x2^2) δεν μπορείς να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για το πρόσημο της V_dot οπότε προσθέτεις ή αφαιρείς κάτι στην V και η V_dot θα προκύψει αρνητικά ημιορισμένη.
Μέχρι εδώ έχεις δείξει ότι το σημείο ισορροπίας είναι ολικά ευσταθές. Για να αποδείξεις την ασυμπτωτική ευστάθεια πας με Lasalle και δείχνεις ότι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο είναι το σημείο ισορροπίας.
Αφού το (0,0) είναι μοναδικό ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ, και το ΣΙ του αρχικού συστήματος (πριν την αλλαγή μεταβλητής) θα είναι μοναδικό ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές.
Τώρα για το β), βρίσκεις τις εξισώσεις κατάστασης του συστήματος και θέτεις u τέτοιο ώστε να φεύγει το απόλυτο που είναι η μη γραμμικότητα. Από εκεί και πέρα δεν ξέρω τι άλλο ήθελε...
Ελπίζω να βοήθησα κάπως.