Ναι

Λοιπόν έστω πίνακας Α=
[ a  b ]
[ c  d ]

Για να είναι ένας πίνακας ταυτοδύναμος πρέπει να ισχύει Α*Α=Α
Άρα βρίσκουμε τα στοιχεία του γινομένου με τον κανόνα του πολλ/σμού
(Α*Α)₁₁=a*a + b*c
(Α*Α)₁₂=a*b + b*d
(Α*Α)₂₁=c*a + d*c
(Α*Α)₂₂=c*b + d*d

Όμως
(Α*Α)₁₁=(Α)₁₁    Από τον ορισμό του ταυτοδύναμου
(Α*Α)₁₂=(Α)₁₂
(Α*Α)₂₁=(Α)₂₁
(Α*Α)₂₂=(Α)₂₂

Άρα
a*a + b*c = a <=> a*(1-a)=b*c
a*b + b*d = b <=> b*(a+d-1)=0   "*"
c*a + d*c = c  <=> c*(a+d-1)=0   "*"
c*b + d*d = d <=> d*(1-d)=c*b

Και τώρα παίρνουμε περιπτώσεις

Α) b<>0 και c<>0
τότε ισχύουν τα "*" ότι a+d-1=0 οπότε a+d=1
το ίδιο βγαίνει και από το 2ο "*"
Επίσης λόγο του περιορισμού για το b και c, η 1η και 4η σχέση αν αντικαταστήσουμε  1-a και 1-d με d και a αντίστοιχα βγαίνει ότι a*d=c*b

B)b=0 ή c=0
τότε από τη 1η σχέση a=0 ή a=1
και από τη 4η d=0 ή d=1

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα

οπότε οι σχέσεις αυτές δικαιολογούν και τους πίνακες που έγραψαν οι συνάδελφοι παρα πάνω

Μου κίνησε την περιέργεια όμως το ότι |Α|=0 ή 1 από τον τύπο Α^2=Α
Η μόνη λογική εξήγηση που έχω (εκτός το να έχω έναν αδύναμο μαθηματικά συλλογισμό) είναι ότι τελικά ένας ταυτοδύναμος πίνακας 2x2 δεν μπορεί να έχει ορίζουσα ίση με 1
Άλλωστε το |Α|=0 ή 1 δεν μας λέει σίγουρα ότι το |Α|=1, μπορεί να μην ισχύει καθόλου

επίσης από τις 4 σχέσεις προκύπτει ότι όταν a=1, το b αποκλείεται να είναι 1 και αντίστροφα