THMMY.gr

Στο βιντετάκι 3.5 που ανέβηκε την προηγούμενη βδομάδα, κάνει δύο ασκήσεις, που υπάρχουν σελίδα 28 και 29 στις σημειώσεις του Καναβούρα.

Αρχικά, στο πρώτο παράδειγμα, δοκίμασε κανείς να ελέγξει το σημείο -2; Γιατί ακολουθώ την ίδια τακτική και η V' που βρίσκω είναι θετική, άρα δεν μπορώ να επικαλεστώ το θεώρημα ευστάθειας.

Στο δεύτερο παράδειγμα, όταν παίρνει τις εξισώσεις ενέργειας, στη δυναμική ενέργεια, η οποία είναι mgh, νομίζω ξεχνάει το g. Γιατί, οκ θεωρεί τη μάζα 1, αλλά αν το μήκος του σκοινιού είναι κι αυτό 1 τότε το ύψος θα είναι όντως 1-cosx1, αλλά όλο αυτό δεν πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 10 (ή έστω 9,8);

Για το πρώτο η V' βγαίνει αρνητική γιατί ο αριθμητης είναι θετικός -z^2(z-3) αλλά ο παρονομαστής z-1 είναι αρνητικός αφού θεωρούμε r<1 δηλαδή |z|<1.
Στο επόμενο παράδειγμα με την πρώτη επιλογή της V γιατί εφόσον η V'  βγαίνει αρνητικά ημιορισμενη καταλήγει στο βίντεο ότι το (Ο,Ο) είναι τοπικά ασυμπτωτικα ευσταθες. Δεν θα έπρεπε βάσει της θεωρίας να είναι απλά τοπικά ευσταθες δηλαδή όχι ασυμπτωτικα αφού V' <=0?

Πω σωστά, χαζομάρα μου. Έκανα όλην την ανάλυση και δεν θυμήθηκα να κοιτάξω τον παρονομαστή. Ευχαριστώ  :P


Έχεις δίκιο, νομίζω απλά μπερδεύτηκε. Αν δεις στις σημειώσεις του Καναβούρα, το έχει σωστά

Ανέβηκαν καινούρια βίντεο για το 4ο Κεφάλαιο.

Στο παράδειγμα που υπάρχει στο βίντεο από το κεφάλαιο 4.2, ή στις σημειώσεις του Καναβούρα Άσκηση σελίδα 40, ενώ έχουμε είσοδο u στο σύστημα, χρησιμοποιεί τους τύπους που απέδειξε για μηδενική είσοδο u.

Δεν είναι λάθος αυτό, νομίζω λείπει κάτι.

παιδες μια απορια πανω στη θεωρια. λεει μεσα στις σημειωσεις του καναβουρα οτι αν ολα τα σημεια ισορροπιας ειναι ευσταθη, τοτε και το συστημα ειναι ευσταθες. αν καποιο σημειο ισορροπιας, δεν ειναι ευσταθες, τοτε το συστημα ειναι ασταθες?

Και στο μάθημα έτσι την έκανε.

Ναι. Γενικα αρκει ενα ΣΙ να ειναι ασταθες και τοτε ολο το συστημα θα ειναι ασταθες.

να την ακουτε την mermaid, τα σαε ειναι τα αγαπημενα της  ::) ::)

ευχαριστω. και αλλη μια ερωτηση. λεει στις σημειωσεις οτι τα σημεια ισορροπιας μπορει να ειναι 0,1,πολλαπλα ή και απειρα. αν τα σημεια ισορροπιας ειναι 0, μπορουμε να αποφανθουμε κατι για την ευσταθεια του συστηματος?

Ξέρουμε άμα θα γίνει κανένα μάθημα ακόμα ή αν θα ανέβει κανένα ακόμα βιντεάκι με ασκήσεις;

Είπε ότι το βίντεο της Κυριακής που πέρασε ήταν το τελευταίο. Μόνο με τον Σταμουλη για απορίες στο εργαστήριο και με αυτόν για ενημέρωση για τον τρόπο εξέτασης και απορίες πανω στο μάθημα είπε θα γίνουν διασκέψεις.

Αν δεν εχεις ΣΙ δεν εχει νοημα να μελετας ευσταθεια κατα Lyapunov, καθως για να εφαρμοσεις το θεωρημα θα πρεπει να εισαι σιγουρος/η οτι εχεις ΣΙ και το ΣΚΒ εχει λύση. Προσωπικα δεν θυμαμαι να ειχα συναντησει τετοια περιπτωση παντως. Παρ' ολα αυτα καλυτερα να ρωτησεις τον ροβιθακη για να τα ξεκαθαρισεις και στο μυαλο σου, ειναι πολυ σημαντικο!!  :)

υπάρχουν κάπου τα θέματα της προόδου του 2018; προσπαθώ να βρω το σχήμα της τρίτης άσκησης αλλά δεν το έχει ο καναβουρας

Δεν υπάρχουν ούτε στα Downloads. Γενικά, δεν νομίζω όμως να το χρειάζεσαι. Λογικά θα είναι ένα κλασσικό σύστημα με δύο σώματα που συνδέονται με ελατήρια και αποσβεστήρες. Σου δίνει όμως οδηγίες για να κάνεις ό,τι χρειάζεσαι

Ένα τελευταίο κεφάλαιο με ελεγκτές υψηλού κέρδους και προσαρμοστικούς , που υπάρχει στις σημειώσεις του καναβουρα είναι εντός ύλης ? Στα βιντεάκια που ανέβαζε αν δεν κάνω λάθος σταμάτησε στην διόρθωση chattering

Δεν ανέφερε κάτι φέτος, οπότε φαντάζομαι πως όχι.

Γενικα οταν μας ζηταει γραμμικο ελεγκτη αναδρασης καταστασεων και ευσταθεια στον ΣΚΒ,στην γενικη μορφη του ελεγκτη u=-Kx-Krr αγνοουμε τον ορο Kr?πχ θεμα 3 σεπτ 14.Ποτε περιλαμβανεται και το -Krr?

όταν σου ζητάει απλά θέσεις ιδιοτιμών, τότε παίρνεις μόνο -kx. Αν θες να επηρεάσεις και την έξοδο στην μόνιμη κατάσταση, παίρνεις και τον k_r r.

Οταν το ΣΙ δεν είναι το (0,0) και θέλω να δείξω ευστάθεια με γραμικοποίηση πρέπει να κάνω αλλαγή μεταβλητής ή μπορώ να βρω απλά τον πίνακα Α από τις παραγώγους και αν βγουν αρνητικές ιδιοτιμές να πω οτι είναι ευσταθές?

Νομίζω ότι απο την στιγμή που κάνεις αλλαγή μεταβλητής θα πρέπει να γράψεις το σύστημα με την νέα του μορφή και έπειτα αυτό με τους παραγώγους που λες για να βρεις τον νέο πίνακα Α, έχει να κάνει με το καινούριο F(x) (F(z)) που προέκυψε απο την αλλαγή μεταβλητών. Αυτό συμβαίνει διότι η γραμμικοποίηση που έχουμε μάθει ειναι γύρω απο το σημείο (0,0) οπότε πρέπει να είσαι σε αυτήν την μορφή

edit: Αν και τωρα που το ξανασκέφτομαι αν παραγωγίσεις ως προς χ την F(x) για χ* και υ*, είναι ισοδύναμο με το να παραγωγίσεις ως προς z την F(z) για (0,0) αφού z = x - x* ?

Για να είναι ένας πίνακας θετικά ορισμένος αρκεί οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες να είναι θετικές. Για έναν πίνακα 2χ2 αρκεί άρα τα στοιχεία της κυρίες διαγωνίου να είναι θετικά;

αρκεί το στοιχείο (1,1) και η ορίζουσα του πίνακα να είναι θετικά.

ναι αυτο κανει ο καναβουρας, αλλα απο που βγαινει;
Και αν ειναι 3χ3 ο πινακας κανω κανονικα τις ελασσονες;

Η πρώτη ελάσσονα ορίζουσα είναι το στοιχείο.

Σε ένα 3x3 πίνακα θα ήθελες:

• το στοιχείο (1,1)
• την ορίζουσα που περιέχει τα στοιχεία (1,1), (1,2) | (2,1), (2,2)
• την "κανονική" ορίζουσα του πίνακα 3x3.

πχ (https://i.postimg.cc/PqDhS5nQ/image.png)

Τώρα γιατί ισχύει αυτό δεν θυμάμαι, αλλά έχει να κάνει ότι θες να γράψεις τον πίνακα A (που ελέγχεις για θετικά ορισμένο) στην μορφή A = LDU (LDU decomposition) και αν αυτές οι ορίζουσες είναι θετικές, τότε αποδεικνύεται πως είναι θετικά ορισμένος.

ΥΓ. απλά κράτα ότι σου αρκεί αυτό για να είναι θετικά ορισμένος ο πίνακας :D και δεν χρειάζεται να βγάλεις ιδιοτιμές.

Ευχαριστώ παρα πολυυυ

σε μια μερα βγαινει; τι πρεπει να διαβασω;

όχι δεν βγαίνει


Καλή ερώτηση. Θέλει να βάλεις είσοδο ώστε να γραμμικοποιηθεί. Δεν ξέρω αν η προσέγγιση είναι αποδεκτή. Λογικά είναι.

Απορία που μόλις συνειδητοποίησα και μου έχει φάει την ψυχή:

Έστω ότι έχω τον 2 x 2 πίνακα [-1 0
                                                   0 -1]

Ουσιαστικά είναι ο -Ι. Με το κριτήριο των ιδιοτιμών ο πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος (διπλή ιδιοτιμή -1) ενώ με το κριτήριο της ορίζουσας δεν είναι. Άρα είναι ή δεν είναι; Αρκεί δηλαδή να πληρούται μόνο ένα κριτήριο;

Γενικά σε οποιονδήποτε 2 x 2 πίνακα ισχύει ότι det(A)=det(-A) όμως οι ιδιοτιμές του Α είναι αντίθετες από τις ιδιοτιμές του -Α (αν είναι μιγαδικές τότε το πραγματικό μέρος είναι το αντίθετο). Επομένως πως μπορώ να συνδέσω την όριση του Α με του -Α; Συνδέονται;

Πχ σε μια άσκηση βρίσκω V' = Trn(x)*P*x οπότε αρκεί να δείξω ότι ο P αρνητικά ορισμένος (ο P μου είναι 2 x 2). Προσπαθώντας όμως να βγάλω ένα - εκτός του πίνακα και να δείξω τότε ότι θα πρέπει να είναι θετικά ορισμένος δε βγαίνει.

Χελπ.

Νομίζω ότι και με το κριτήριο της ορίζουσας είναι αρνητικά ορισμένος. Γενικά θυμάμαι ότι ένας πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος όταν οι ελάσσονες ορίζουσες εναλλάσσονται πρόσημα ξεκινώντας από το - . Δηλαδή  για τον -Ι det(-1)=-1<0 και det(-I)=1>0 και επομένως είναι αρνητικά ορισμένος πίνακας.

Ισχύει αυτό που λες, αν εναλλάζει πρόσημο είναι αρνητικά ορισμένος.

Ωστόσο, το κριτήριο αυτό με τις ορίζουσες δεν είναι και πάντα ο δρόμος για να πάτε. Θέλει συμμετρικό πίνακα για να ισχύει* και αν μια από τις ορίζουσες βγει 0, τότε το αποτέλεσμα του κριτηρίου είναι δεν ξέρεις τι ισχύει για τον πίνακα (αν είναι θετικά/αρνητικά ορισμένος/ημιορισμένος).

*πχ A = [1 10; 0 1] -> det(1) = 1 > 0, det(A)= 1> 0 αλλά για x=(1, -1) => x'Ax=-8

μπορεί καποιος να μου εξηγήσει πως βρίσκουμε το βαθμό ενός πίνακα Μ σε ενα μη ελεγξιμο σύστημα?. Ο Μ θα έχει βαθμό nc<n αλλά πως ξέρουμε ποιος είναι?

**απο βιντεο ροβι 5_5 στο 11:30. μερσίιι

Δες αυτό το βιντεάκι μπορεί να σε βοηθήσει. https://www.youtube.com/watch?v=kJnpQo0CxGc

πολυ βοηθητικό, εχει ολη τη διαδικασία αναλυτικά, ευχαριστώ

Στο παράδειγμα από σελ. 68 σημειώσεων Καναβούρα, μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πώς βρίσκει ότι kr = P₂;

χωρίς να είμαι σίγουρος, νομιζω πως το θετει αυθαιρετα για να μπορει να εμφανισει μετα το e

Eυχαριστώ. Επίσης το x* στην Άσκηση σελ. 77 Καναβούρα γιατί το παίρνει έτσι; Ξέρει κάποιος;

θες να μην είναι παρατηρήρισμο και άρα Ce^Atx^* = 0. Επειδή ο C = [c 0] έχει τέτοια μορφή οποιοδήποτε σήμα x_* = [0 x]^T θα έκανε τη δουλειά. Θα μπορούσες να ορίσεις το x^* = [a₁ a₂]^T και να κάνεις τη πράξη για να δεις αν ισχύει η ισότητα για κάτι άλλο εκτός του a₁ = a₂ = 0.

Ευχαριστώ για την απάντηση. Βέβαια δεν λέει ότι δεν είναι παρατηρήσιμο, μας ζητάει να βρούμε τι είναι. Άρα θεωρητικά θα ήταν πιο σωστό να το θέσουμε γενικά όπως είπες και να δούμε σε ποιες περιπτώσεις είναι και σε ποιες όχι;

Όταν εξαιτάζω ευστάθεια σε ενα σύστημα, θεορώ την είσοδο u=0;

Όχι απαραίτητα, εξαρτάται τι σου ζητάει. Για ευστάθεια γραμμικού συστήματος εξετάζεις τις ιδιοτιμές του πίνακα Α (θες να είναι το ΑΗΠ για να έχεις ευστάθεια), ενώ για μη γραμμικού εξετάσεις την ευστάθεια κάθε ΣΙ ξεχωριστά (αν όλα τα ΣΙ βγουν ευσταθή τότε και το σύστημα είναι ευσταθές). u = 0 παίρνεις μόνο εάν σου το λέει η εκφώνηση, αλλιώς με χρήση μεθόδων (π.χ. ανάλυση Lyapunov) προσπαθείς να επιλέξεις u ώστε να καταλήξεις σε ευσταθές σύστημα.

Αυτά ισχύουν γενικά, αλλά πάντα δίνεις βάση στο τι σου ζητείται.

Μια βοήθεια λίγο για το πώς καταλήγουμε σ αυτό γιατί τα έχω κάψει  :D

Θα πρέπει ουσιαστικά για δοσμένο πίνακα Q^T = Q >0 η εξίσωση lyapunov PA + A^TP = -Q να έχει λύση το οποίο ισχύει εάν ο πίνακας Α είναι ευσταθής. Επομένως πρέπει οι ιδιοτιμές του Α να είναι στο ΑΗΠ και είναι το α γιατί οι άλλοι δύο πίνακες έχουν ιδιοτιμές στο ΔΗΠ (με βάση το πολυαγαπητό wolfram γιατί βαριόμουν τις πράξεις :P).

Η υποψήφια συνάρτηση Lyapunov θα είναι η V(x) = x^TPx, με P = P^T>0 και θα καταλήγει σε V(x)_dot = -x^TQx < 0.

Ναι εννοώ όταν σου δίνει ένα σύστημα και σε ρωτάει αν ένα είναι ευσταθές, όχι όταν σου ζητάει να το κάνεις ευσταθή μέσω ανάδρασης.

Αααα εσύ παίζεις με ζαβολιές, εγώ καθόμουν και έλυνα για να καταλήξω σε συμπέρασμα και με πρόλαβες  :P

χαχαχα για εξετάσεις νομίζω θα ήταν αναγκαίο κακό οι αναλυτικές πράξεις αλλά όπου μπορώ τις αποφεύγω ;D



Τότε βλέπεις αν είναι γραμμικό ή όχι και πας ανάλογα

Παιδιά σήμερα αυτό που ζητούσε στο 2β να πετύχουμε ζ και ω_n συγκεκριμένα στου ανοιχτού βρόχου, πάλι με χαρακτηριστικό πολυώνυμο από τον πίνακα του (γραμμικού πλέον) συστήματος δεν έπρεπε να το πάρουμε;