THMMY.gr

Στα σημερινά θέματα, στο θέμα 2α με την ισοβαρή καμπύλη και το κύκλο τι έπρεπε να απαντήσουμε;
(Παρόμοιο με το θέμα 2 της πρόοδου του 2017)

δε ξερω εβαλα οτι δε μπορει να παει μεσα στο κυκλο γτ θα παει σε ασταθεια και οτι θα διαλεξει να παει μεσα στην ισοβαρη γτ εχει την ταση να μενει στην οριακη ευσταθεια του κυκλου τωρα κατα ποσο ειναι σωστο θα σε γελασω

Στο 2β τι κάνατε;

+1  :-X

και εδω αυτοσχεδιασα εγω και ειπα οτι γυρω γυρω του δεν εχει ευσταθεια οποτε δε μπορει αν φυγει απο κει και οτι ειναι το μεγαλυτερο αμεταβλητο συνολο κατι σαν αντιστροφο lassale
γελαω και μονο που το γραφω παιζει να ειναι μεγαλη πατατα αλλα ηταν το καλυτερο που μπορουσα να σκεφτω

Και γω αντίστροφο Lasalle έκανα... Και όλοι όσοι ρώτησα αυτό κάνανε.

Εγώ για το 2β έγραψα ότι αφού είναι ολικά ασυμπτωτική ευσταθες τότε υπάρχει υπάρχει lyapunov που έχει αρνητική παραγωγό. Οπότε
Αν βρεθούμε οπουδήποτε εκτός του 0 τότε θα με στέλνει προς το 0 μετά από άπειρο χρόνο οπότε
Το σημείο ισορροπίας μου θα είναι μόνο 1.

Αν θυμάμαι έλεγε v αρνητική στο εξωτερικό του κύκλου και πάνω στο κύκλο. Αυτό δεν σημαίνει ότι άμα είμαι έξω από το κυκλο η πάνω στο κύκλο τότε η κατεύθυνση που θα έχω θα είναι προς τα μέσα στο κύκλο?
Άρα η κατευθύνσεις 3 και 4 ως σώστες.

Μεγαλη πατατα ε? Αν κρίνω από ότι λέτε

Επίσης
 θέμα 1.
Β)
Για τη ευστάθεια πήγα με ιδιοτιμες,
Βρήκα ευστάθεια.
Γ) νομίζω έκανες V(x) = (a x1 +b x2) ^2

Και μετά με τη παραγωγό έβρισκες τι ήθελε για το α και β.( Δεν πρόλαβα)
Δ) ο ελεγκτης που βρήκα ήταν  k1 = 11 k2=6


Για την ευρωστία τι λέγαμε?

Επίσης στο 3ο εγώ βρήκα σημείο ισορροπίας το 0 και μετά πήρα κλασική lyapunov και μετά βρήκα κάτι αρνητικό ένα μέρος που εδιεξα ότι είναι θετικά ημιορισμένος πίνακας.

Και μετά είπα με lasalle ότι έχω ολική ασυμπτωτική ευασταθεια.

Εγώ το έκανα αλλιώς είπα ότι στο σημειο τομής αφού έχω αρνητική παράγωγο lyapunov η ενέργεια θα μειώνεται. Πάνω στην ισοβαρη έχω σταθερή ενέργεια άρα θα τείνω στο εσωτερικό της όπου η ενέργεια θα είναι μικροτερη
δε ξέρω ίσως και να ναι λαθος

Μ αρέσει πόσο σίγουροι είμαστε όλοι πάντως  ;D ;D ;D

Στο θέμα 2α), η εκφώνηση έλεγε ότι τα βελάκια δείχνουν την κατεύθυνση της x' και όχι των σημείων (x1,x2). Εφόσον στο σημείο τομής έχουμε ασυμπτωτική ευστάθεια, η x' θα έπρεπε να μειώνεται έτσι ώστε για t->Inf το σύστημα να τείνει σε κάποιο σημείο ισορροπίας. Οπότε μου φαίνεται πιο λογικό να ισχύουν τα (3),(4).

Στο 2β) εγώ σκέφτηκα ότι αν το 0 είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές, το 0 είναι το μεγαλύτερο αμετάβλητο υποσύνολο εντός του S, στο οποίο η V' μηδενίζεται (Lasalle). Αν υπάρχει και άλλο σημείο ισορροπίας διάφορο του μηδενός, τότε αυτό θα ήταν το μεγαλύτερο αμετάβλητο υποσύνολο εντός του S, το οποίο είναι άτοπο, άρα το 0 μοναδικό σημείο ισορροπίας.


 :D

ΠΟΛΥ ΚΑΛΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΓΙΑ 2Β

Τόπικ για σχολιασμό των θεμάτων 2020.

Άποψή μου σχετικά με το Φ20 Θ2α:

Το ότι η Lyapunov είναι πάνω και εκτός του κύκλου σημαίνει ότι ξεκινώντας από τα σημεία που βρίσκονται εκεί θα καταλήξουμε στην ευστάθεια. Άρα η μοναδική πληροφορία που παίρνουμε από το ότι το σημείο μας είναι πάνω στον κύκλο είναι ότι η τροχιά θα καταλήξει στην ευστάθεια.

Οι κατευθύνσεις που μπορεί να γίνει αυτό είναι οι 2 και 3, οι οποίες είναι αυτές που σχηματίζουν αμβλεία γωνία με την παράγωγο της V (βλ. και σημειώσεις Ρόβι) και οδηγούν τα μελλοντικά x σε ισοβαρείς που έχουν c μικρότερο της δοθείσας και βρίσκονται εντός της. Το ότι η 2 δεν πάει κατευθείαν προς το κέντρο δε μας πειράζει, γιατί η τροχιά μπορεί να είναι σπειροειδής.

Και εγω αυτο σκεφτηκα...2,3 γιατι οδηγουν σε επομενες μικροτερες ισοβαρεις...

Παιδιά προσπάθησα να λύσω το θέμα 3 Φεβρουαρίου, αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος, πιστεύεται ότι είναι σωστό; Προσπάθησα να επιλέξω τη Lyapunov με τέτοιον τρόπο ώστε να αναιρέσω τυχόν αβεβαιότητες ως προς το πρόσημο της (δηλαδή τον παράγοντα χ1*χ2)

edit: Νομίζω βασικά ότι η lyapunov μηδενίζεται για οποιδήποτε (α,0) άρα ήθελε και LaSalle για την ασυμπτωτική ευστάθεια. Αυτό που γράφω ότι η lyapunov μηδενίζεται για χ1=χ2=0 είναι λάθος, μηδενίζεται για (α,0) δηλαδή για χ2 = 0 και για οποιοδήποτε χ1

Πώς βρίσκεις τη γωνία του dV/dX ; Και επίσης στις σημιεώσεις του γράφει ότι "Αν V'(x)<0 τότε το χ θα συγκλίνει οπωσδήποτε στο 0". Αρά τελικά μήπως μόνο το 3 είναι σωστό;

Πώς το σκέφτομαι εγώ: Αφού η v' είναι αρνητική όταν είμαι πάνω ή εκτός του κύκλου τότε σίγουρα θέλω να κατευθυνθώ μέσα στον κύκλο, άρα σίγουρα το x' θα δείχνει κάπου μέσα στον κύκλο, άρα απορρίπτονται κατευθείαν τα βελάκια 1 και 2.

Όσον αφορά την ισοβαρή καμπύλη, αν βγω εκτός της τότε σίγουρα πάω κάπου με μεγαλύτερο V(x) το οποίο δεν είναι δυνατόν από τη στιγμή που V'(x)<0. Άρα απορρίπτεται το 4.

Επομένως το μόνο που τηρεί όλες τις προϋποθέσεις, δηλαδή να είναι και μέσα στον κύκλο αλλά και να πηγαίνει εσωτερικότερα της καμπύλης είναι το 3. Άρα είναι το μόνο πιθανό.

Νομίζω ότι συμφωνώ με την αρχική άποψη . Όταν μπαίνει σε καμπύλη μικρότερη από την αρχική τότε είσαι κομπλέ (σύμφωνα με την γεωμετρική ερμηνεία) . Οπότε τα 2,3 είναι σωστά.

Εγώ πάντως συμφωνώ με αυτό, νομίζω μόνο το 3 είναι

Την πρώτη φορά που το κοίταξα, σκέφτηκα κι εγώ ότι προφανώς απορρίπονται τα βελάκια 1 και 2 γιατί σκέφτηκα οτι θα πάει προς μικρότερο c, άρα και η 3 και η 4 με πιο πιθανή ίσως την 3. Ωστόσο με βάλατε σε σκέψεις και τώρα νομίζω ότι είμαι περισσοτερο σίγουρος για την 2. Σκέφτηκα ουσιαστικά η πληροφορία ότι V'(x) < 0 ισχύει μόνο για τα σημεία που είναι εντός και πάνω στον κύκλο. Οπότε αφού ξεκινάμε από ένα σημείο πάνω στον κύκλο, έστω ότι πάμε προς την  κατεύθυνση 3. Τότε θα βρισκόμαστε στο εσωτερικό του κύκλου για το οποίο πλέον δεν ισχύει από τα δεδομένα ότι V'(x) < 0, άρα μετά από λίγο δεν θα έχουμε ιδέα τι θα κάνει το σημείο αν πάει προς την κατεύθυνση 3. Σωστό αυτό ή το σκέφτομαι τελείως λάθος;

Αυτό βέβαια δεν ξέρω αν σημαίνει κάτι, γιατι ουσιαστικά το τι κάνει μετά την κατεύθυνση 3 ίσως δεν μας απασχολεί και πολύ, απλώς δεν κατάλαβα γιατί απορρίπτετε την κατεύθυνση 2 και θεωρείτε ότι πρέπει να πάει προς μικρότερα c μόνο στο εσωτερικό του κύκλου. Αντίθετα εγώ άρχισα να πιστεύω πλέον ως πιο σίγουρη την κατεύθυνση 2 ( :P ), μιας και αν πάει προς την 2 ξέρουμε ότι θα συνεχίσει να κινείται προς όλο και μικρότερα c (μέχρι να φτασει σε κάποιο σημείο ισορροπίας, όποιο κι αν είναι αυτο).

Νομίζω ότι στην προκειμένη περίπτωση δεν μας ενδιαφέρει τι θα γίνει στο μεθεπόμενο βήμα. Δηλαδή το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι ότι βρίσκομαι πάνω στον κύκλο και η παράγωγος είναι αρνητική, συνεπώς χρησιμοποιείς μόνο αυτό το δεδομένο για το επόμενο βήμα. Για το μεθεπόμενο, όντως εξαρτάται αν θα είσαι μέσα στον κύκλο ή έξω απο αυτόν (αλλά και πάλι δεν ξέρουμε τι γίνεται μέσα στον κύκλο, δεν μας δίνει δεδομένα). Ίσως βέβαια θα μπορούσες να το σχολιάσεις. Επίσης στις διαφάνειες του μαθήματος σελίδα 86, στην γεωμετρική ερμηνεία αναφέρεται ότι αρνητική παράγωγος κατευθύνει τις λύσεις σε εσωτερικές ισοβαρείς καμπύλες, το οποίο στη συνέχεια σημαίνει σύγκλιση στο μηδέν.

Συμφωνώ με αυτό, ότι δεν μας νοιάζει καθόλου τι θα γίνει μετά, απλώς το έγραψα έτσι για να δείξω το λόγο που δεν συμφωνώ ότι πρέπει να απορρίψουμε την 2, κάθε άλλο μάλιστα. Εγώ δηλαδή πιστεύω ότι είναι πιθανές και η 2 και η 3.

Οκευ περφεκτο, θα συμφωνήσω και εγώ να κρατήσουμε και το 2

Μην σας μπερδέψω γιατί έχω και κάνει ΣΑΕ 2 πριν μερικά χρόνια αλλά το V_dot ορίζεται ως V_dot = dV/dx*x_dot, άρα το γεγονός πως V_dot < 0, σημαίνει πως η γωνία μεταξύ dV_dx και x_dot πρέπει να είναι αμβλεία (Εσωτερικό γινόμενο μικρότερο του 0).

Επίσης, ξέρετε ότι το dV/dx είναι κάθετο στο V(x), άρα σωστές απαντήσεις είναι η 2,3 που δείχνουν προς το εσωτερικό.

Λοιπόν μετά από συζήτηση με ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΟ υποψήφιο διδάκτορα που έχει τρέλα με σαε, καταλήξαμε στα εξής:

Δεν πρέπει να μπερδεύουμε το πρόσημο της παραγώγου της λιαπουνόβ με τις ισοβαρείς καμπύλες ενέργειας. Ο κύκλος δεν είναι ισοβαρής καμπύλη, απλώς έχουμε την πληροφορία πως οποιοδήποτε σημείο πάνω στον κύκλο θέλει να μεταβεί σε μικρότερη ενεργειακή στάθμη. Άρα τα 1 και 4 απορρίπτονται καθώς πηγαίνουν σε V(x)>c, άτοπο, αφού εμείς θέλουμε να μειωθεί. Άρα τα 2 και 3 είναι σωστά γιατί οδηγούν στο εσωτερικό της καμπύλης όπου και έχουμε μικρότερη ενέργεια, όπως φαίνεται και στο σχήμα που επισυνάπτω. Το 2 θα έχει καμπυλωτή τροχιά γενικά.

Για το θεμα 1 ερωτημα (ε) πως θα το αιτιολογουσατε οτι βελτιωνει την ευρωστια?

Μπορείς να πεις δύο πράγματα:

1) Αν είναι πολύ αριστέρα οι ιδιοτιμές το σύστημα φτάνει γρήγορα στην τελική του τιμή και συνεπώς επηρεάζεται λιγότερο από τις διαταραχές

2) Αν δεις και από σελίδα 69 από σημειώσεις Καναβούρα, οι διαταραχές είναι αντιστρόφως αναλόγες του κ1. Όσο στέλνεις πιο αριστερά τις ιδιοτιμές, και από την σχέση που λογικά έχεις βρει στο δ, τόσο μεγαλώνει το κ1 οπότε μειώνονται και οι διαταραχές.

Βέβαια πάντα θα υπάρχουν διαταραχές απλά το  πόσο θα επηρεάζουν είναι το θέμα

Έχουμε το θέμα 1γ?

καλησπέρα, στις λύσεις του Ιουλη 2020 απο downloads, κουίζ, δευτερη ερώτηση.. με ποια λογική επιλέγονται τα α και β?

Αν δε κανω λαθος είναι διοτί εχουν αντιστροφο πινακα για καθε χ1,χ2,χ3. Για να εχεις αντιστροφο πινακα θες η οριζοσα να ειναι παντα διαφορη του 0 για καθε χ1,χ2,χ3.

γενικά άμα μπορούσε κάποιος να πει πως βγαίνουν οι απαντήσεις στο κουίζ καλό θα ήταν

Λοιπον απο το αρχειο με τις ερωτησεις τις παιρνω με τη σειρα.
1) Λαθος.
Διοτι αμα υπαρχει μη μηδενικο διανυσμα που ειναι καθετο και στο C και στο CA κτλ τοτε το C το CA κτλ θα ειναι εξαρτημενα, αφου ο ορισμος λεει οτι δυο διανυσματα ειναι εξαρτημενα μεταξυ τους αν και μονο αν ειναι συνευθειακα αρα Rank(M)<n.

2) α) , β).
Για τον λογο που ανεφερα παραπανω, πρεπει το det(G(x)) να ειναι διάφορο του μηδενος για καθε χ1,χ2,χ3.

3) c)
Βρισκεις τους πινακες M και W για την ελεγξιμοτητα και την παρατηρησιμοτητα αντιστοιχα και βρισκεις το Rank τους με την οριζουσα του καθενος.

4) d)
Απλα κανεις τις πραξεις βαζοντας οπου u αυτο που δινει και βρισκεις τις ιδιοτιμες του χαρακτηριστικου πολυωνυμου του νεου πινακα Α*.

5) Λαθος.
Δεν βρηκα καποιον τροπο να το κανω με το ματι συνεπως το εκανα με πολλαπλασιασμο πινακων, οποτε βρηκα τον M = [B AB A^2B A^3B] και βγαινουν 2 γραμμες [0 0 0 0] συνεπως Rank(M)<4.

6) Σωστο.
σελ 79 στον καναβουρα. Ειναι τα δυαδικα συστηματα.

7) a)
σελ 9 στον καναβουρα αν παρουμε αυτη την μεθοδολογια βγαζει 2 μεταβλητες.

8) Σωστο.
Διοτι καθε ευσταθες συστημα εχει συναρτηση Lyapunov.

9) c.
Εγω κανοντας παλι τη μεθοδολογια στη σελ 9 του καναβουρα βγαζω κατι αλλο.

10) Σωστο.
Αλλα δεν ειμαι σιγουρος το γιατι. Ισως επειδη το συστημα εχει θετικη ιδιοτιμη αρα ειναι και ασταθες.

Ελπιζω να βοηθησα.

να σαι καλα για την βοηθεια.. συμφωνω για το δυο και ειναι και λογικό αφου θέλουμε να είναι αντιστρέψιμος ο G(x) για να μπορέσουμε να τον ξεφορτωθούμε...
για το 9,  ισως κάνει κάποια άλλη επιλογή μεταβλητών, δεν ξερω.. ΔΙΑΛΕΓΩ ΜΑΥΡΟ
για το 10, δεν νομίζω οτι δεν εχει νόημα να πάμε με τον ορισμό εφόσον το σύστημα ειναι ασταθές

Ναι ισχυει, αμα βγαλεις καποια ακρη ενημερωσε !

Απο τον Ιούλιο στην άσκηση, στο ερώτημα γ, ο πίνακας Α που έχουμε βρει και έχει 2 μηδενικές ιδιοτιμές δεν μας λέει κάτι για την ευστάθεια;

εγω αυτο θα έδινα σαν απάντηση .δηλαδή θα έλεγα οτι εφόσον η γραμμικοποιηση στο (0,0)  δίνει πίνακα με μηδενικές ιδιοτιμες το σημείο αυτό είναι ασταθές
αυτό κάνει και στο pdf με τις λύσεις Ιουνιος 2015 θέμα 2 το β

Οριακά ευστάθες είναι, αφού το 0.0 ανήκει  στον φανταστικό άξονα.

ειχα καταλάβει οτι για οριακη ευστάθεια θέλει μια ιδιοτιμι 0 και τις άλλες αρνητικές..είναι λάθος;

Δεν ειμαι πολυ σιγουρος αλλα ο ορισμος λεει οτι για να εχω ενα ευσταθες γραμμικο συστημα πρεπει να εχω ολες τις ιδιοτιμες του στο αρνητικο ημιεπιπεδο. Αν εστω και μια ιδιοτιμη είναι στο θετικο ημιεπιπεδο ειναι ασταθες. Επισης, Αν εστω και μια ιδιοτιμη ανηκει στον φανταστικο αξονα τοτε ειναι οριακα ευσταθες. Δεν νομιζω να μας επηρεαζει το γεγονος οτι εχω δυο ιδιοτιμες στο 0,0.

και γω νομίζω ότι από τη στιγμή που έχουμε ιδιοτιμές με πραγματικό μέρος = 0 και όχι θετικές το σύστημα είναι οριακά ευσταθές

Ναι αλλα στις λυσεις αποδεικνυει οτι εν τελει ειναι ασταθες :p

Έχει κάποιος την αναλυτική λύση? Προσπαθώ να το κάνω με τους τύπους σελ 9 από Καναβούρα αλλά δεν βγάζω καμία από τις επιλογές

Αυτο εγραψα παραπανω και γω. Δε βρισκω καμια απο τις απαντησεις!

Προσπαθούσα και εγώ να βγάλω κάποια από τις επιλογές, αλλά δεν τα κατάφερα...σε κάποιο κουίζ που έτυχε να κοιτάξω είχε και την επιλογή "Καμιά από αυτές" αλλά σύμφωνα με τις λύσεις δεν είναι σωστή.

Αν θεσεις Χ1 = Υ και Χ2 = Υ' - U + a1Y βγαίνει η επιλογή b)

Ωραιος

αυτό προκύπτει από κάπου ή πρέπει να το φανταστούμε? Επειδή αν πάρουμε τους τύπους θα βγει χ2 = y' - u

Απο οτι καταλαβαινω ειναι αν θα σου ερθει η φωτιση εκεινη την ωρα ;ρ

Επισης βγαινει αν πας και παραγωγισεις την χ1' και μετα σε αυτην (δηλαδη την χ1'') κανεις αντικατασταση την χ2'. Και ετσι βγαινει η αρχικη εξισωση με οπου χ1=ψ...

Εχουμε αναθεωρησεις κουιζ ευκαιρες; Να ξερουμε κατα ποσο ειναι σωστες οι απαντησεις που δοθηκαν εδω στο τημμυ;

Φερεις επαξια το ονομα του αερινου! Πως σου ρθε αυτη η λυση; πραγματικα!

Ξεκίνησα με τη X2 = y' - u και είδα ότι λείπει ένας όρος όταν βρήκα τις εξισώσεις κατάστασης οπότε τον συμπλήρωσα στη Χ2. Το θέμα είναι ότι αυτό θα πρεπε να γίνει σε 3 με 4 λεπτά... Οπότε ακόμα και εγώ ο 6 φορές πρωταθλητής του nba δε ξέρω αν θα σκεφτόμουν αυτή τη μεταβλητή

Μια πολυ καλη προταση που ακουσα ειναι να το παμε αντιστροφα και να ελεγξουμε μια - μια τις προτεινομενες λυσεις παραγωγιζοντας την μια εξισωση και αντικαθιστοντας σε αυτην την αλλη εξισωση (βγαινει).

...sounds more deterministic...

Παιδιά, ξέρει κανείς ποια είναι η απάντηση (και η αιτιολόγηση) στην ερώτηση θεωρίας του ιουνίου 2020, που λέει για ποιες περιπτώσεις πινάκων G(x) μπορεί το σύστημα να γραμμικοποιηθεί μέσω ανάδρασης;

https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=75838.msg1350160#msg1350160

για οποιους πινακες ειναι αντιστρεψιμοι, δηλαδη det(G)!=0

Ευχαριστώ πολύ!

Λοιπόν επισυνάπτω την λύση μου για το θέμα 2ο (άσκηση) Σεπτεμβρίου 2020 .
Όταν το έλυσα νόμιζα ότι ήταν ολόσωστο αλλά ξέρετε στην εξέταση λόγω άγχους και πίεσης μια λάθος κίνηση μπορεί να σου φανεί σωστή.
Όποιος έχει όρεξη και χρόνο ας το ρίξει μια ματιά γιατί αν όντως βρει κάποιο λάθος θα με βγάλει από μεγάλη απορία καθώς εγώ νόμιζα ότι πάω για βαθμό και μην σας πω τι πήρα.  ;D

Το μονο λαθακι που εντοπισα ειναι στο Β) οπου στο dx'2/dx1 ξεχασες να παραγωγισεις το πρωτο χ1 με αποτελεσμα κατω αριστερα στον πινακα Α να εχεις 0 και οχι 1.

Κατα τ' αλλα μου φαινεται ολοσωστο το γραπτο. Με απολυτη επιφυλαξη βεβαια

Και γω έτσι το έχω λύσει πάνω κάτω με τη διαφορά ότι στο ερώτημα για την ΑΕ στο (0,0) πήρα τις ιδιοτιμες του πίνακα του γραμμικοποιημενου συστήματος και έδειξα ότι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος.. Ίσως να ήθελε την ακριβή δικαιολογηση πιο μετά για το τι αποδεικνύει το θ. Lyapunov και τι το lasalle

Μια παράγραφο έγραψα θέλει και άλλο ;; :D
Αλλά πέρα από την πλάκα δεν μπορώ να δω κάτι εδώ που να δικαιολογεί τον βαθμό μου, άντε το λαθάκι που βρήκε ο MeloNYK αλλά πόσο να πιάνει αυτό ; 0.5  μονάδα;
Δεν ξέρω βεβαια αν μας διαφεύγει κάποιο πιο χοντρό λάθος.

Το θεμα ηταν πανευκολο. Οσοι διαβασαμε ετσι το λυσαμε. Μηπως οντως οι παγιδες ηταν στη θεωρια;

Υπάρχει πουθένα λύσεις για πτυχιακή Φεβρουαρίου 2020;

Εδώ (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=75838.15) έχουν συζητηθεί εκτενώς τα θέματα και έχουν ανέβει και λύσεις, οπότε τσέκαρε το τόπικ.

Και θυμίζω, για ΣΑΕ 2 παλιά θέματα, γράφουμ (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?board=585.0)!

υπάρχει λυμένο στο αρχείο με τα πολλά λυμένα. σελ 83.

Στο θέμα του Ιουλίου 2020 το (γ) που ρωτάει για την ευστάθεια του μηδενός, πώς λύνεται; Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα από το γραμμικοποιημένο όπως στην λύση που ανέβασα;

ναι νομίζω είναι έγκυρο, επειδή σου δίνει αρχικές συνθήκες, αλλιώς κανονικά όχι.
Με επιφύλαξη βέβαια :-\...

σε μία λύση του σεπτεμβρίου που ανέβηκε πιο πάνω είδα στο τελευταίο ερώτημα να γίνεται ορισμός ελεγκτή u=1/x2(....) αυτό μπορούμε να το πούμε ή δεν γίνεται γτ μπορει το x2 να ειναι 0?

μπορεί κάποιος να μου πει στο θεμα το γ του ιουλιου 20 στην ευστάθεια του 0 στην λύση γτ πήρε την παράγωγο του  χ2=0?

Νομίζω παίρνει x2_dot = 0 γιατί στην ουσία x2_dot = 0 αν κοιτάξεις το γραμικοποιημένο σύστημα στην προηγούμενη σελίδα (ερωτημα β) και χ1_dot = x2

Αφού ζητάει για το σημείο δε μπορούμε να το αιτιολογήσουμε και με τις ιδιοτιμές; Αφού είναι διπλή ρίζα είναι οριακά ευσταθές;

Δεν σε καταλαβαίνω, που είναι η διπλή ρίζα στο γ ?

Διπλή ρίζα έχει το χαρ. πολυώνυμο.

Δεν βλέπω πουθενά απάντηση για το 1γ του Φεβρουαρίου 2020. Είναι Lyapunov αλλά πώς θα την υπολογίσουμε αφού δεν ξέρουμε το u? Και λέει ότι είναι ανοικτού βρόχου σύστημα. Εννοεί u=0?

ναι, και αν το φαντάζομαι σωστά είναι η κλασική με διαφορετικούς συντελεστές των τετραγώνων.