THMMY.gr

Έχει λύσει κάποιος το 3ο Θέμα του Ιανουαρίου 2019 ;

Επισυνάπτω το αρχείο.

+1...Αν καποιος εχει καποια ιδεα ας μας φωτισει !!!

Στο θέμα 1 Ιανουαρίου 2019, για την ελάχιστη υλοποίηση, λέω απλά ότι b = 0 και γ = 0 και μετά αποδεικνύω ότι το σύστημα παραμένει ελέγξιμο και παρατηρήσιμο παρά τις αλλαγές;

Εγώ το έκανα ως εξής:

α) Βάζεις τα τονούμενα ίσον με μηδέν, βρίσκεις σημεία ισορροπίας (0,0) και (1,2)

β) Κάνεις γραμμικοποίηση για εύρεση ευστάθειας (σελ 24. στις σημειώσεις του κονγρπεν) και βρίσκεις ότι είναι ευσταθές μόνο το πρώτο σημείο ισορροπίας

γ) Κάνεις αντικατάσταση τις μεταβλητές σου με αυτά που σου λέει και βγαίνει νομίζω έτσι όπως το έχω στο αρχείο

Εγώ έβαλα έναν ελεγκτή της μορφής u= -k1x1 -k2x2 , έκανα τις πράξεις, έβγαλα το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο και μετά εφόσον σου λέει ήδη ότι a,b >0 , οι λύσεις του χαρακτηριστικού πολυωνύμου βγαίνουν ότι είναι ούτως η άλλως στο αριστερό ημιεπίπεδο οπότε η ελάχιστη υλοποίηση είναι ή u= -k1x1 ή u = -k2x2

Στην ελάχιστη υλοποίηση το ζητούμενο είναι να έχουμε και τις δύο μεταβλητές στο τέλος έτσι ώστε να μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες και για τις δύο; Μπορεί να το έχω καταλάβει λάθος για αυτό ρωτάω. Επίσης, άμα έιναι έτσι, γιατί συγκεκριμένα το b , γ = 0 και όχι κάποια άλλα;

Αν μηδενίσεις a ή δ τότε γίνεται μη ελέγξιμο και μη παρατηρήσιμο αντίστοιχα

 το 3ο Θέμα του Ιανουαρίου 2019 και εγώ έτσι το έλυσα.

Στο 2ο θέμα έχετε λύσεις?

Σελίδα 129 από επίσημες σημειώσεις μαθήματος (από e-learning), ελάχιστη υλοποίηση έχουμε όταν το σύστημα είναι ταυτόχρονα ελέγξιμο και παρατηρήσιμο

Τσέκαρε το συνημμένο

το β) το ελυσες με ιδιοτιμες? αν ναι μπορεις να βγαλεις μια φωτογραφια την λυση

για το ερωτημα με την ελαχιστη υλοποιηση απλως παιρνεις του Α) και του Β) μαζι. γ<>-δ και α<>β
"Ορισμός (Ελάχιστη Υλοποίηση).
Η υλοποίηση μιας συνάρτησης μεταφοράς G(s) θα λέγεται ελάχιστη, αν
δεν υπάρχει για την G(s) υλοποίηση μικρότερης τάξης.

Η ελάχιστη υλοποίηση συνδέεται με την ελεγξιμότητα και την παρατηρησιμότητα με το θεώρημα που
ακολουθεί.

Θεώρημα 6.7 Η υλοποίηση μιας συνάρτησης μεταφοράς είναι ελάχιστη αν και μόνο αν είναι ελέγξιμη και
παρατηρήσιμη."

Για το Θέμα 1ο ερώτημα (ε) του Ιανουαρίου 19, μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος τι εννοεί με το "ταχύτερο";

Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-ΒΚ να είναι αριστερότερα των ιδιοτιμών του πίνακα Α στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Ευχαριστώ πολύ  :D


Το c*g^2(x3) πως το έβγαλες μηδέν;

Έκανα λάθος, από κεκτημένη ταχύτητα  :D . Παίρνεις και x3 =0 στην μελέτη για το S, και ελέγχεις με τον ίδιο τρόπο που έκανα, απλώς για τα σημεία (0,α,0)

Γενικά το έλυσα έτσι. Νομίζω αυτό εννοείς λέγοντας ιδιοτιμές έτσι;
 
Άμα δε καταλαβαίνεις κάτι μου λες

ευχαριστω αυτο ηθελα

Ας τσεκάρει κάποιος αν είναι σωστό. Είναι το θέμα 2 Ιουνίου

Στο πρώτο ερώτημα δεν μας λέει να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα μέσω ελεγκτή, αλλά μιας και μας δίνεται ότι a,b,c γνωστά και c διάφορο του 0, δεν μπορούμε να γραμμικοποιήσουμε μέσω του u=(asinθ+bθθ'+v)/c?   (θ' η παράγωγος του θ) Εγώ το έλυσα έτσι αλλα μετά καταλήγω σε μια αδύνατη σχεση στο γ) ερώτημα και λέω οτι δεν είναι εφικτό να υλοποιηθεί ελεγκτης ΓΑΚ... δεν ξερω αν είναι σωστό :-\

με τον ελεγκτή το γραμμικοποιεις άλλα όχι γύρω από το (0,0) οπότε πάλι θα πρέπει να κάνεις τη διαδικασία με τους πίνακες

αα ναι σωστος ευχαριστω! αρα η λυση σου μια χαρα σωστη μου φαινεται :)

Στο πρωτο ερωτημα του θεματος 2, αφου το σημειο ισορροπιας δεν βγαινει το (0,0)  αλλά το (x1*,0,-asinx1* / c) δεν θα πρεπει να γραμμικοποιησουμε θετοντας Z1=x1-x1*, Z2=x2, V= u + asinx1* / c ??

Δεν έχεις ενα ΣΙ αλλα απειρα, ενα εκ των οποιων ειναι και το (0,0,0) αφου για x1*=0 => sinx1*=0.
Στο δ ερωτημα που σου ζηταει να γραμμικοποιησεις το (δ,0) μπορεις να κανεις αυτην την αλλαγη μεταβλητής και να αντικαταστήσεις το (0,0,0) ή να γραμμικοποιησεις κατευθείαν και να αντικαταστήσεις το (x1*,0,-asinx1*/c) οπου x1*=δ.

Eυχαριστω΄! Aρα για τον ελεγκτη του ερωτηματος γ, σε ποιο συστημα αναφερεται? Στο γραμμικοποιημενο γυρω απο το (0,0) ή με χ1* ?

να ρωτησω και κατι ακομα...εκει που βρισκεις τον ελεγκτη συναρτησει των z1,z2,v θα πρεπει να μετασχηματίσεις ξανα το σύστημα για να βρει τα χ ή δεν χρειάζεται;

Ειχε κανει διευκρίνηση οτι ο ελεγκτής αφορα το γραμμικοποιημενο συστημα του ερωτήματος α). Αρα δεν χρειάζεται μετασχηματισμός στα χ1,χ2.

άρα σε κάθε άλλη περίπτωση πρέπει να το γυρνάω πίσω στο x;

Νομίζω πως ναι γιατι οι μεταβλητές x ειναι μετρήσιμες και οχι οι z αλλά αν σου τύχει καλυτερα να ζητήσεις μια διευκρίνιση εκεινη την στιγμή μην σε παρω στον λαιμο μου   :P

Με αφορμή τις λύσεις που είναι ανεβασμένες για την πρόοδο του 2019, θέλω να ρωτήσω για το πρώτο θέμα . Είναι γενικότερη απορία και αναρωτιώμουν αν υπάρχουν σαφή βήματα. Όταν ζητάται μελέτη ευστάθειας, το Λασάλ το παίρνουμε για να δείξουμε ΟΛΙΚΗ ασυμπτωτική ευστάθεια, ή ολική ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ευστάθεια ? Με βάση τις λύσεις που είναι ανεβασμένες καταλαβαίνω το δεύτερο μιας και λέει πως η ΟΛΙΚΗ ευστάθεια αποδείχτηκε επειδή  η παράγωγος Λυαπουνοφ βγήκε <= 0 . Yπάρχει κάποιος μπούσουλας για τα συγκεκριμένα ερωτήματα ? Eίμαι σίγουρος πως υπάρχει σε αντίστοιχα τόπικ παλαιότερα αλλά επειδή το ψάξιμο είναι λίγο χαωτικό θα διευκόλυνε πολύ αν απαντουσε  καποιος εδώ.

Αν θυμάμαι καλά Lassale χρησιμοποιείς για να πας από απλή ευστάθεια σε ασυμπτωτικη. Το τοπική ή ολική έχει να κάνει με το αν έχεις περιορισμούς όπως πχ παρονομαστή διάφορο μηδενός κλπ.

σε ευχαριστω! αυτοι οι περιορισμοι υπαρχουν καπου έτσι συμπυκνωμενοι?

Απ' ότι καταλαβαίνω εγώ χωρίς να είμαι καθόλου σίγουρος με το Lyapunov δειχνεις τοπική απλή ή ασυμπτωτική ευστάθεια (αναλογά με το αν η παράγωγος της Lyapunov έιναι αρνητικά ημιορισμένη ή ορισμένη αντίστοιχα) και με το LaSalle δείχνεις την ολική ευστάθεια.

εκτός αν ασυμπτωτική ευστάθεια => ολική ευστάθεια

Όποιος ξέρει κάτι παραπάνω ή πιο σίγουρο ας γράψει...

Στο παράδειγμα σελίδα 31 στις σημειώσεις του Καναβούρα το εξηγεί ακριβώς. Στο Lasalle, επειδή το t τείνει στο άπειρο, η ευστάθεια είναι ολική γιατί λέει στην παραπάνω σελίδα ότι ποιάνει το μεγαλύτερο δυνατό αμετάβλητο υποσύνολο του S. Εκτός αν κατάλαβα λάθος.

Έστω η κλασσική Lyapunov:
V = 1/2 x₁² + 1/2 x₂²
με παράγωγο:
V' = x₁x'₁ + x₂x'₂
και το σύστημα τέτοιο ώστε η V' τελικά να γίνεται:
V' = -x₁²

η V' είναι αρνητικά ορισμένη ή ημιορισμένη?

Γιατί μηδενίζει στο (0,0) αλλά μηδενίζει και σε όλα τα σημεία της μορφής (0, α).

Δες το παράδειγμα σελίδα 27 στις σημειώσεις. Είναι αρνητικά ημιορισμένη.

έχει κανείς τη λύση του Θέματος 3 του Ιουνίου '19?

Μπορει να ανεβασει καποιος θεμα 1 ιουνιο 19;

με επιφυλαξη για...

edit:
...τον ρόλο του βάρους που συζητάμε πιο κάτω με τον φίλο nggianno

νομιζω ειναι σωστο

μπορεί να εξηγήσει κάποιος στην άσκηση με τα ελατήρια κ τους αποσβεστήρες πως διώχνουμε το βάρος? γτ δεν θέλουμε ουσιαστικά να το βάλουμε στις εξισώσεις κατάστασης.

Στου Ιανουαρίου στο 2β πως διωχνουμε τον ορο cg(x3)^2 απο την V'?

δοκιμασε να κανεις μελετη για τα σημεια (0,α,0) θετοντας δηλαδη και το χ3=0.

Θα το δοκιμασω, θενξ!

έχει λύσει κάποιος τα θέματα του Ιουνίου 2019?
Πρώτο Θέμα ερώτημα 2 ποια lyapunov παιρνεις?

Υπάρχει μία λύση εδώ, σωστή φαίνεται https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=74454.msg1303149#msg1303149
Γενικά κοίτα σε αυτό το board είναι καλύτερα χωρισμένα https://www.thmmy.gr/smf/index.php?board=585.0

Ώντως στις λύσεις μου δεν έχω βάλει το βάρος και λογικά απο εκεί πρέπει τελικά να μου είχε κοψει ο ροβι (εχω στειλει mail να δω το γραπτο μου μεχρι Τεταρτη οποτε θα ενημερωσω σε περιπτωση που με δεχτει τλκ), αλλά από ότι βλέπω στην πρόοδο του 19 αυτο που κάνει για να διώξει το βάρος είναι να πάρει τη συνθήκη ισορροπίας για t=0 οπου q'=0 (αφου ειναι παραγωγος και θα εμφανιστει μετα απο λίγο) και u=0 και να πει ότι mg = kq(0). Το ερώτημα που προκύπτει άρα εδω είναι: Στα θέματα μοντελοποίησης (όπως πχ Πρόοδος 18) όσον αφορά το ελατήριο k πανω σε μια μάζα m, θα το παίρνουμε ως -kq ή -k(q-q(0))???

Εικασία: Λογικά η απάντηση έγκειται στο αν τα ελατηρια ειναι οριζοντια ή κάθετα αλλά δεν ειμαι καθολου σιγουρος

update: Σε λυση του ίδιου του Ogata απο τον οποιο πήρε το Θέμα 3/Προοδος 19 ο Ροβι δεν αναφερεται τιποτα σχετικα με το βαρος απλά παίρνει τις εξισώσεις κατευθείαν : https://ibb.co/CWtXYwQ

Γνώμη μου για το θέμα 1 ερώτημα β:

Το ΣΙ ειναι το (0,θ). Βρίσκουμε ότι V' = -κz₁^2 που σημαινει οτι ειναι αρνητικα ημιορισμένη. Άρα το σημειο μας τοπικα ευσταθες.

Με θεώρημα Lassale βρισκουμε οτι το μεγαλύτερο υποσύνολο του S ειναι το (0,0). Αλλά το (0,0) δν ειναι ΣΙ. Άρα το (0,θ) παραμένει τοπικά ευσταθες.

μα με αλλαγη μεταβλητης μπορεις να βγάλεις τα αποτελεσματα σου πανω στο 0,0 και να ακολουθησεις την κλασικη διαδικασια με την lyapunov (για αυτο και κανεις αλλαγη μεταβλητης γιατι η lyapunov σου πεταει τα αποτελεσματα για το ΣΙ=(0,0) ). Στην ουσια απλα μετατοπιζεις τους αξονες, δεν καταστρεφεται η καθολικοτητα του αποτελεσματος σου.

Σωστότατος.. ευχαριστω πολύ :D

Τώρα που γυρίζει παιδάκια μήπως έχουμε καμια άποψη για το θέμα 2ο του Ιουνίου 19, να έχουμε μια πλήρη εικόνα για τα θέματα;

αν εντοπισετε λαθη πειτε να τα διορθωσω

στο 1β αφου κανεις γραμμικοποιηση το συμπερασμα που βγαζεις ειναι για τοπικη ευσταθεια ετσι ?
Το Lassale τι θα σου προσφερει? ( επειδη δεν βγαζω τα γραμματα :P )

δεν κανω γραμμικοποιηση. κανω αλλαγη μεταβλητης. στην ουσια απλως μετατοπιζω τους αξονες. αν εκανα γραμμικοποιηση θα επρεπε να βρω και τους αντιστοιχους πινακες με τις μερικες παραγωγους. και εγω ετσι την πατησα και δεν το ελυσα και μολις βγηκα μου το παν και εκλαιγα.

γενικα αν το σημειο ισορροπιας σου δεν ειναι το 0,0 τοτε προκειμενου να αποπειραθεις lyapunov καλο ειναι να κανεις αλλαγη μεταβλητης πρωτα

στο λασαλ δεν λεω τιποτα καινουργιο. κοπυ πεηστ το κλασικο ποιηματακι

αν σας μπερδευει η αλλαγη μεταβλητης για ΣΙ (a,b) βγαινει και με την V(x1,x2) = 1/2*(x1-a)^2 + 1/2(x2-b)^2.

Για αυτο λεμε οτι "η lyapunov ""δουλευει"" μόνο με το 0,0". Γιατι αυτη η συναρτηση - λιαπουνοβ που παιρνεις δεν ειναι θετικα ορισμενη καθως δεν μηδενιζει στο 0,0.

Απο οτι καταλαβαινουμε μας τα χαλαει η συνθηκη οτι η λιαπουνοβ πρεπει να ειναι θετικα ορισμενη (και θετικα ορισμενη σημαινει να μηδενιζει αποκλειστικα και μονο στο 0,0)

 ¯\_(ツ)_/¯

Ισχυει αυτο που λες. Ωστοσο σας το λεω επειδη ο ροβιθακης στα τελευταια μαθηματα ειχε δειξει αυτην την μορφη της συναρτησης Lyapunov χωρις να αναφερει κατι για αλλαγη μεταβλητης. Εγω το ιουνιο ετσι εκανα την ασκηση 1 και μου την πηρε σωστη

ΛΕΠΟΝ!!!

Η λύση είναι φουλ τετριμμένη παρ' ολα αυτα ο ροβι στην περασμενη εξεταστικη μαλλον μου εκοψε πολυ πιο πανω απο το μισο θεμα λογω του οτι δεν δικαιολογησα την απωλεια των βαρων με συνθηκες ισορροπιας.  Ανεβάζω αυτό, δεν ξερω κατα ποσο ειναι σωστο. Ειναι οτι καταφερα να βγαλω απο διαφορες απορίες στο stack exchange.


πηγες:

• https://math.stackexchange.com/questions/1034045/what-are-the-equations-modelling-a-vertical-spring-system-with-two-masses
• https://physics.stackexchange.com/questions/79937/two-hanging-masses-connected-by-springs

Πειτε αποψεις μπας και το σιγουρεψουμε καπως...

Παρουσιαζω μια απλοποιημενη μορφη του σχηματος του Θεματος3/Ιουνιος 19 καθώς αυτό είναι που μας απασχολεί και μόνο τα δύο ελατήρια επιδρούν στο σύστημα την στιγμη t=0 όπου έχει επέλθει ισορροπία

οκ απλα κανοντας αλλαγη μεταβλητης το Σ.Ι ειναι πλεον το (0,0)  σωστα ;; η δεν μας νοιαζει ;;  στο συγκεκριμενο απο τον Laypunov μας βγαινει τοπικα ευσταθες ;; ( τοπικα γιατι εχω περιορισμο για το κ ) και μετα με Lasalle για ν.δ.ο τοπικα ασυμπτωτικα ευσταθες

ναι κανοντας αλλαγη μεταβλητης το νεο ΣΙ σου πλεον ειναι το 0,0, σωστα. δεν μας βγαινει τοπικα ευσταθες αλλα ολικα ευσταθες. ο περιορισμος δεν αφορα τις μεταβλητες καταστασης αλλα απλως μια σταθερα.

Καταρχάς ευχαριστούμε για τις λύσεις! Αυτό που λες έχω την εντύπωση ότι αναφέρεται στο θέμα 3 στις λύσεις της προόδου 2019 που υπάρχουν στα downloads. Ίσως αυτό που γράφει εκεί αρκεί.

EDIT: Πρέπει να αρκεί 100% γιατί στα downloads γράφουν ότι τη λύση την έδωσε ο ίδιος ο Ροβι.

Για το 1ο θέμα Ιανουάριος 19
Στο ε ερώτημα πρέπει να βγάλουμε τις  ιδιοτιμες πικ αριστερά από το - 2 και το - 6
Ή προσθήκη του πίνακα γίνεται όπως το κάνα? Βέβαια μετά έχει πολλές πράξεις έτσι.
Επίσης θα πάρουμε τη λύση μικρότερη του - 6 η του - 2?

Αυτο που λεω το λεω ορμωμενος απο το θεμα της προοδου του 19 αλλα το λεω για το θεμα του Ιουνιου του 19 που ειναι ιδια φιλοσοφια (καθετα ελατηρια). Ουσιαστικα το ερωτημα ηταν πως θα κανουμε στο θεμα 3 Ιουνιος 19 αυτο που εκανε ο ροβι στο θεμα 3 Προοδος 19. Δηλαδη πως θα αιτιολογησουμε την απωλεια του βαρους σε ενα τετοιο συστημα που ειναι πιο συνθετο απο τις προοδου.

Το μόνο που έχω καταλάβει διαβάζοντας ΣΑΕ 2 είναι ότι το μάθημα είναι ότι να'ναι έτσι όπως το διδάσκει ο Ροβιθάκης...  :(

Θέμα 1 Σεπ 2019
Βγάζει νόημα;

εφόσον έκανες αλλαγή μεταβλητής w=y-δ, θέλεις η έξοδος του γραμμικοποιημένου συστήματος να τείνει στο 0 στη μόνιμη κατάσταση. Οπότε αρκεί ο ελεγκτής u=-kz. Από εκεί και πέρα, εφόσον έχεις μεταφέρει το σημείο ισορροπίας στο 0, νομίζω ότι αρκεί να δείξεις ότι ο πίνακας (A-Bk) έχει ιδιοτιμές στο LHP, έτσι ώστε να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (δηλαδή για t->Inf η έξοδος w->0).

Πήγα να το λύσω έτσι παίρνοντας περιπτώσεις για δ>0 ή δ<0, αλλά η εκφώνηση δεν δίνει τίποτα για το g, οπότε δεν ξέρω τι παίζει σε αυτή την περίπτωση.

Αυτό;
Θέμα 2 Σεπ 2019

Έχεις δίκιο, w = 0 ήθελα! Ευχαριστώ!

το g είναι η σταθερά παγκόσμιας έλξης. Ήμουν στην εξέταση, θυμάμαι που το ρωτήσαμε.

Σε αυτή την περίπτωση, στο 1δ) είναι εφικτό να φτάσουμε στον στόχο μόνο για δ<0, αν έκανα σωστά τις πράξεις.

Στο 2β) πες και ότι b<3, έτσι ώστε k₂>0.

Στο 2γ) εγώ έφτασα μέχρι εδώ. Καλή σκέψη είχες, αλλά δεν κατάλαβα γιατί έβγαλες τόσο την παράγωγο του sin^-1(x₁). Επίσης με τέτοιο ελεγκτή, το σύστημα θα ήταν πάλι μη-γραμμικό, αφού d(x₂)/dt = 1/sqrt(1-x^2).

Εντάξει... το κ2 είναι δικιά μου μεταβλητή, ότι πρόσημο θέλω μπορεί να έχει. Όχι;

Αν χ1 σταθερό, δεν έχουμε σύστημα. Χάσαμε όλες τις μεταβλητές κατάστασης.

Εγώ θυσίασα την μία ώστε να μου μείνει η άλλη μία γραμμική.

@mpraskafoutas

Το θέμα3 από Σεπ 2019 το έβγαλες;
Το β) φυσικά.

σωστός, τώρα κατάλαβα τι έκανες.
το κέρδος του ελεγκτή είναι πάντα θετικό, δλδ. u=-kx, k>0.

ναι το απάντησα στο thread ασκήσεις 2019, επειδή το ρώτησε κάποιος εκεί.


θα βγει η παράγωγος της V ιση με -h(x2)x2<=0 και με Lasalle δείχνεις ολική ασυμπτωτική ευστάθεια.

Αυτό δεν το πιασα, η παράγωγος της Λυαπούνοφ  δεν θα βγει  x2*x2' + g(x1)= -x2*g(x1)-x2*h(x2)+g(x1)  ?

Αυτό προσπαθούσα να καταλάβω και εγώ :P

x2*x2' + g(x1)*x1'

Feedback για τη λύση μου του 1ου θέματος Σεπτεμβρίου; Κυρίως για το δ ερώτημα

(Θεώρησα δ>0, αλλά δεν παίζει ρόλο, γιατί και για δ<0 απλά θα είναι η άλλη ιδιοτιμή θετική)

Γενικά για την ελάχιστη υλοποίηση δλδ τι θέλει να κάνουμε; Γενικά όχι μόνο για το συγκεκριμένο. έχουμε κάποιες συνθήκες από παρατηρησιμότητα και ελεγξιμότητα Και μετά τι; Παίρνουμε u το -k1x1 ή το -k2x2?

Νομίζω ότι όταν βγάζεις τις ιδιοτιμές στην ευστάθεια , έχεις ξεχάσει να βάλεις ρίζες στην διαφορά τετραγώνων. Άμα ισχύει αυτό που λέω, δεν θα έχουμε θέμα με το δ<0 (αφού είναι μέσα σε ρίζα) ή η ύπαρξη μιγαδικών ιδιοτιμών δεν μας αλλάζει τα δεδομένα ;

Αυτό που λες εσύ είναι διαφορετικό. Όταν ζητά ελάχιστη υλοποίηση σε ελεγκτή θέλει στην ουσία να χρησιμοποιήσεις όσο το δυνατόν λιγότερες από τις μεταβλητές κατάστασης έχεις. Δες στις σημειώσεις του Apostolov (εξαιρετικές) στις τελευταίες ασκήσεις έχει ένα τέτοιο παράδειγμα αν θυμάμαι καλά.

Αυτό που σχολίαζαν τα παιδά είναι πότε έχω ελάχιστη υλοποίηση στο σύστημα μου, το οποίο συμβαίνει όταν είναι και ελέγξιμο και παρατηρίσιμο (αυτό προκύπτει γιατί τότε ο πίνακας μου θα ταυτίζεται με τον αντίστοιχο από την αποδόμηση Καλμαν και συνεπώς και με τη συνάρτηση μεταφοράς, έτσι το έχω καταλάβει εγώ)

Γενικά υποψιαζόμουν ότι κάπου θα έρπεπε να βγάλω κάποια σχέση με το δ για αυτό είχα παραξενευτεί. Τέλεια, θενκ γιου θα το ξαναδώ

Γενικά νομίζω ότι όταν καταλήγεις στον τελικό τύπο και κάνεις Routh–Hurwitz και στις δυο περιπτώσεις για τα δ θα καταλήξεις σε αστάθεια, οπότε γιατί μπλέκουμε με την τιμή του δ;

Επίσης όσον αφορά το 2α του Σεπτ19 , στην γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης είχα δει στα βιντεάκια ότι αφήνουμε μόνο την είσοδο στην τελική μορφή, εδώ μήπως θα πρέπει να κρατήσουμε και τον όρο -bx2 ή δεν χρειάζεται ;

'Εχω την εντύπωση ότι καλό θα ήταν απο τη στιγμή που όρος -bx2 είναι ήδη γραμμικός να τον αφήσεις, διότι αν τον συμπεριλάβεις στον ελεγχτή απο πρακτικής άποψης κοστίζει ενεργειακά. Οπότε για να είσαι safe καλό θα ήταν μάλλον να το σχολίαζες.

Προκειμένου να απαντήσουμε στο ερώτημα δ δεν αρκεί απλά να πούμε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο, οπότε με την χρήση ελεγχτή u=-kx θα μπορούμε να μετατοπίσουμε όπως εμείς επιθυμούμε τις ιδιοτιμές ώστε να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές και τελικά να προκύπτει το ζητούμενο; Δηλαδή νομίζω απο την στιγμή που δεν σου λέει βρες τον ελεγχτή, σου λέει απλά αν είναι εφικτή η επίτευξη δεν είναι ισοδύναμο με τον να σου λέει είναι ελέγξιμο;

Σκεφτόμουν αυτό που είπες και χαζεύοντας τυχαία τον Πετρίδη (όχι ως πηγή γνώσης γιατί προφανώς και τα βιβλία του πετρίδη είναι κακά, έτσι μήπως έχει τίποτα χαζό θεωρητικό) έπεσα πάνω σε ένα θεώρημα που νομίζω επιβεβαιώνει αυτό που λες. 11.2.1 σελίδα 91. Εγώ θα το έπαιρνα κατευθείαν λοιπόν.

Ναι συμφωνώ απολύτως σε αυτό, απλά βρήκα και τον ελεγκτή για παν ενδεχόμενο :P

Έχει κανεις ολόκληρο το θέμα 1 ΙΑΝ 19??

τι εννοείς με αυτό;


Εννοείται, κρατάς τους γραμμικούς όρους και από όσο έχω καταλάβει αν δεν τους κρατήσεις θα σου κόψει κι όλας

Αν έχει δει κανείς το 2γ από Σεπτέμβρη, ας μου πει να το συζητήσουμε

Στα Σεπτέμβρη 19 2ο θέμα, τι εννοεί να γραμμικοποιηθεί μέσω ανάδρασης; Να βάλουμε είσοδο ετσί ώστε να απαλοιφθεί το ημίτονο με το x1; Ή να προσεγγίσουμε με παράγωγο γύρω από κάποιο σημείο;

Σε αυτό το τόπικ νομίζω ένα παιδί ανέβασε μια λύση που είχε το εξής σκεπτικό. Αφού δεν μπορώ να γραμμικοποιήσω τον πρώτο όρο μέσω ανάδρασης θα κάνω το sinx2 γραμμικό όρο θέτοντας x2=arcsinx1. Αυτό νομίζω το προδίδει κιόλας κάπως το πρόβλημα με τον περιορισμό που δίνει για το x2. Έτσι λέει u=x1^2+f(x1) αν θυμάμαι καλά και λύνει την διαφορική. Μου φάνηκε σωστό εμένα.

Νομίζω απο τη στιγμή που αναφέρει την λέξη ανάδραση, πρέπει να πας με τον τρόπο του να απαλείψεις κάπως τις γραμμικότητες, δηλαδή τα ημίτονα. Αλλιώς θα σου έλεγε γραμμικοποίηση γύρω απο σημείο ισορροπίας για να πας με παραγώγους κλπ

οντως makes sense, με μπερδεψε μαλλον που στο δευτερο ερωτημα λεει για γραμμικη αναδραση καταστασεων. Στο γ ερωτημα ομως πως γινεται να απαλειψεις τη μη γραμμικοτητα του x1 dot;

ναι ουσιαστικά για το β ερώτημα, θα έπρεπε στο α να επιλέξεις έτσι τον ελεγχτή ώστε να φύγουν οι μη γραμμικότητες αλλα ΚΑΙ να προσθέσεις μια νέα είσοδο v, την οποία πλέον θα την χρησιμοποιήσεις για να κάνεις αυτά που ζητάει στο β. Επίσης για το ερώτημα γ υπάρχει μια κουβέντα στα θέματα του 2019. Το concept απο όσο κατάλαβα είναι ότι πρέπει με κάποιον έμμεσο τρόπο μέσω της χ2, αφού αυτή μπορώ να ελέγξω, να επηρεάσω το χ1, και αυτό μπορείς να το κάνεις αν χ2 = arcsinx1

Μηπως μπορει καποιος να δωσει κανα hint για τη lyapunov θεμα 3 σεπτ 19;  :'(

Δες και στο ανάλογο τόπικ, αλλά θέλει συνάρτηση ολοκλήρωμα :P

Εγώ πήρα την 1/2*x2^2+ ολοκλήρωμα από 0 έως x1 της g(x)

Απλά έτσι το x2_dot θα είναι γραμμικό;

Στα λυμένα 14-17 υπάρχει σχεδόν ολόιδια Σεπτέμβρη 16. Ο Thunderlord έδωσε hint

Ευχαριστω

το δοκιμασα αυτο αλλα παλι και οι δυο μεταβλητες ειναι μη γραμμικες, και ο ελεγκτης δεν μπορει να αναιρεσει και τις δυο μη γραμμικοτητες ταυτοχρονα. Ισως να ειναι αυτο που ελεγε το mpraskafoutas και ειναι αποδεκτη η λυση του συνδιασμου αναιρεσης με το u και την προσεγγιση του ημιτονου στο 0

Εγώ έκανα το εξής αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρος

Όχι δεν θα είναι γραμμικό, αλλά δεν θα είναι πια μεταβλητή κατάστασης. Εφόσον ισχύει x2=arcsin(x1) τότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε με αυτό σε κάθε εξίσωση. Οπότε αλλάξαμε το σύστημα από τάξης 2 σε τάξης 1.

Δείτε λίγο εδώ διαφάνεια 4: http://users.isr.ist.utl.pt/~pedro/NCS2012/07_FeedbackLinearization.pdf

Για μένα δεκτή και αυτή η λύση  ;D Τώρα ο Ροβιθάκης δεν ξέρω τι είχε στο μυαλό του. Θέλω να πιστεύω ότι θα δεχόταν και τις 2!

Στη δικιά μου απλά δεν ξέρω αν επιτρέπεται να παραγωγίσεις.

 Άρα αυτό που είπες εσύ είναι να θέσω στον ελεγκτή την τιμή x1^2 + (arcsinx1)' -> δηλαδή παράγωγος του arcsinx1, ώστε το x2 να παίρνει την τιμή που λες; το σκέφτηκα αυτό, άρα έτσι δεν μου φαίνεται ότι το x2 θα είναι σταθερό. Επίσης πώς ξες ότι δεν έχει αρχική τιμή, που θα σου μένει μετά μέσα στο sinx2?

 ^wav^

Πήγα να κάνω κάτι τέτοιο, αλλά σκέφτηκα ότι θα αφήσω το x2 μη γραμμικοποιημένο, οπότε εν τέλει θα μπορούσα αν ήθελα τη μία μεταβλητή μη γραμμική θα μπορούσα απλά να βάλω u = x1^2+v

Βέβαια, το νέο σύστημα κρύβει μέσα του τα x1,x2 οπότε πρέπει αν είναι σωστό

Έχεις δίκιο! Λάθος πρέπει να είναι...

^^

Το έχω κάνει, αλλά όχι καθαρογραμμένο για να το ανεβάσω, και λίγο στο ε βαρέθηκα σε ένα σημείο.

Πες μου αν θες κάτι

Στα θέματα σεπτεβρη 19, θεμα 3, στο β) : Τη συνάρτηση Lyapunov τη βρίσκουμε κάπως ή απλά τη μαντεύουμε βάσει παραδειγμάτων που έχουμε δει;

Γενικά όταν βλέπεις συναρτήσεις άγνωστες βάζεις ολοκλήρωμα. Οπότε εμπειρικά μόνο.

Ε και μετά προσθέτεις ό,τι χρειάζεται για να βγάλεις αυτό που θες

Στο θέμα σεπτεμβρίου 1δ δεν θα ειχε νοημα να παω για ελεγκτη μορφης -kx-kr*r?

Σεπτ19 - θεμα 1.δ  πήγα στον ροβι να δω γραπτο και μου επιβεβαιωσε λιγο πολυ οτι πραγματικα ζητουσε μονο να αποδειξουμε οτι ειναι ελεγξιμο και εκει τελειωνε το θεμα.  :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :)

...ροβι  ¯\_(ツ)_/¯

πως σε πετσοκοψε ετσι; :P απλα οταν ζηταει συγκεκριμενη εξοδο μου παει το μυαλο σε αυτου του τυπου

Υπαρχει καποιο θεμα που πρεπει να βαλουμε τον ελεγκτη που ανεφερες;

Δεν εχω βρει αντίστοιχη εφαρμογή, να οδηγείς την yss σε συγκεκριμενη τιμη.

Ιούνιος θέμα 2 το α η λύση στον πίνακα γραμμικοποιησης δεύτερη γραμμή πρώτη στήλη δεν θα έπρεπε να έχει 0 αφού df2=-acosx1*x1' ;

Εχει κανει 1,2 ασκησουλες τυπικα μες την ταξη. Σαν θεμα δεν νομιζω να εχει πεσει ποτε μεχρι το 14', πλην μιας περιπτωσης σε ενα τελευταιο θεμα μιας παλια; εξετασιτκης που νομιζω δεν εχει βρεθει η λυση του. Οποτε εν τελει θα λεγαμε πως οι πιθανοτητες ειναι να μην βαλει τετοια εφαρμογη.

 :o
makes sense αλλα! Αν βγει 0 μετα το συστημα νομιζω βγαινει μη-ελεγξιμο και αρα αχρηστευεται ολο το ερωτημα 1γ που λεει να σχεδιαστει ελεγκτης κλπ...
(??)

Θέμα 1 Σεπ, 2019, σε ενα Pdf με πολλά λύμενα , στο ερώτημα γ, έχει βάλει ανάποδα τα στοιχεία της 2ης γραμμής του πίνακα Α.
https://www.thmmy.gr/smf/index.php?action=tpmod;dl=item5491

Θέματα Προόδου 19 -> Λύσεις εδώ: https://www.thmmy.gr/smf/index.php?action=tpmod;dl=item4630
Θέμα 1:
Νομίζω έχει λάθος η λύση. Επισυνάπτω φωτό από το βιβλίο Applied Nonlinear Control του Slotline.
1)Με την συνάρτηση Lyapunov που επιλέξαμε, έχουμε συμπέρασμα για τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια επειδή η περιοχή Ωl δεν είναι φραγμένη για κάθε l. Οπότε είναι άκυρος ο συλλογισμός περί ολικής ασυμπτ. ευστάθειας.
2) Το οποίο δικαιολογεί γιατί ο Slotline θέτει έξτρα περιορισμό V(x) -> inf καθώς το ||x|| -> inf

3) Επίσης δεν είμαι σίγουρος πάλι λόγω της ιδιομορφίας της συνάρτησης Lyapunov που πήραμε αμα μπορούμε να μιλήσουμε για ολική ευστάθεια του 0.
Δεν ξέρω μαθηματικά το γιατί, αλλά από προσομοίωση σε αυτήν την σελίδα https://homepages.bluffton.edu/~nesterd/apps/slopefields.html
φαίνεται με το μάτι, αν δεν γίνεται τραγικό λάθος στην αριθμητική επίλυση ότι υπάρχουν τροχιές που φεύγουν προς το άπειρο.
4)Στο βιβλίο του Slotline έχει ένα θεώρημα ,για Ασυμπτ. Ευστ. όμως, που βάζει πάλι σαν έξτρα συνθήκη η V(x) -> inf καθώς το ||x|| -> inf. Οπότε αν ισχύει κάτι τέτοιο και για σκέτη ευστάθεια ίσως να μην μπορούμε να μιλήσουμε για ολική ευστάθεια του 0.

Ευπρόδεκτη κάθε εξήγηση για την ολ. ευστάθεια του 0 κυρίως, αλλά και διόρθωση στα υπόλοιπα.

Χωρίς να λέω ότι ξέρω τη λύση, θα πω κάποια από αυτά που βλέπω.
1,2) η V(x) που επιλέξαμε έχει V(0,0) = 0 και V(x) -> inf καθώς ||x|| -> inf (αν και για να γίνει αυτό θα πρέπει το x₂ -> inf, καθώς αλλιώς δεν)

Τώρα το 4) που δίχνει έχει ακριβώς την ίδια Lyapunov άρα ξεκάθαρα θα ξέρει κάτι παραπάνω για να λέει αυτά που λέει. Ωστόσο κάποια πράγματα που σίγουρα υπάρχουν. Υπάρχει μια διαφορά ανάμεσα στην θεωρητική ευστάθεια και την πρακτική. Θεωρητικά (όπως λέει και το βιβλίο) θα πηγαίνουμε όλο και σε μικρότερες τιμές της Lyapunov (δηλαδή V -> 0 => dV < 0). Άρα για t -> inf μπορούμε όντως να φτάσουμε στο ΣΙ. Ωστόσο πόσο πρακτικό είναι η κατάσταση x₁ να καταλήξει σε μία πολύ μεγάλη τιμή πχ α = 10¹⁵< inf πριν αυτή σιγά σιγά και μετά από σχεδόν άπειρο χρόνο καταλήξει στο 0;

Επισυνάπτω και ένα matlab file που βγάζει το τα φασικό πορταίτο. Επίσης έχω επιλέξει εγώ συγκεκριμένα 3 αρχικά σημεία για να δω την αντίραση του συστήματος.

α) (0.1,0.1) πολύ κοντά στο 0 και όντως καταλήγω στο 0.
β)  (0.5, 2) μακρυά το x₂ ώστε να έχω αρκετό χρόνο να αυξηθεί η τιμή του x₁. Βλέπω ότι μικραίνει λίγο η τιμή του x₂ κατά 0.27185744 αλλά η τιμή του x₁ έχει μεγαλώσει πάρα πολύ, πρακτικά αστάθεια αλλά ακόμα < inf και το x₂ μειώνεται ακόμα απλά πολύ σιγά.
γ) (1000, 0.0001) σημείο στο οποίο μπορώ να βρεθώ κάποια στιγμή καθώς το x₂ έχει πέσει πλέον αρκετά και το x₁ είναι μεγάλο ώστε να μηδενίζει σχεδόν τη παράγωγο του x₂. Βλέπω ότι το σύστημα πάει στο ΣΙ.

Υπάρχει περίπτωση φυσικά τα σημεία που επέλεξα να είναι ιδανικά για να βγάλουν αυτό που θεωρώ ότι ισχύει, άμα βάλεις x₂ μεγάλο δεν νομίζω ότι θα συγκλίνει ποτέ στο matlab.

All in all, το βιβλίο κάτι παραπάνω θα ξέρει μάλλον. Αν θες όμως, παίξε με το matlab για να δεις τι βγάζει.

Ευχαριστώ για όλα :), πολύ ωραίες οι παρατηρήσεις!

έχει κανείς ολόκληρες τις λύσεις του Ιανουαρίου 2019 έστω και κακογραμμένες?

Δεν είναι ολοκληρα λυμένα στο pdf με τα λυμένα σελ 75 ?