THMMY.gr

Στη γραμμική ανάδραση καταστάσεων πώς υπολογίζουμε το kr με πίνακες στον παρανομαστή ?

Υπάρχει ο τύπος υπολογισμού στις σημειώσεις του Ροβιθάκη που είναι ανεβασμένες στο elearning.

k r = −1 / C*(A − B*K)^-1*B

Επίσης επειδή αναφέρεις τον παρονομαστή, οι πίνακες καταλήγουν μετά από πράξεις σε βαθμωτό μέγεθος αν εννοείς αυτό.

ναι αυτό εννοω αν και δε μπορώ να καταλάβω πως θα καταλήξουν οι πίνακες σε σταθερό αλλά λογικά θα υπάρχει κάπου κάνα λυμένο παράδειγμα  ;D

Απλά με τις πράξεις μεταξύ των πινάκων, καταλήγεις σε βαθμωτό μέγεθος.

ωραίος, αλλιώς ο θείος Ρόβι θα βάλει ένα προζυμένιο κουλούρι και θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την παρουσία μας δίπλα του μετά από αυτό

Ίσως και να είναι η ιδέα μου αλλά διακρίνω έτσι μια διαβολική ευχαρίστηση να μηδενιζει πράγματα

 ^hello^ ^hello^ ^hello^ ^hello^ ^hello^

Δες τις διαστάσεις των πινάκων. To διάνυσμα C έχει μέγεθος [1 επι 2]. Ο πίνακας (A - BK) είναι [2 επί 2] και το Β είναι [2 επί 1]. Αν τα πολλαπλασιάσεις όλα αυτά προκύπτει διάνυσμα μεγέθους [1 επί 1], δηλαδή βαθμωτό μέγεθος.

Πώς δείχνουμε ότι ένα σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο ;

Επίσης πώς επιλέγουμε πίνακα μετασχηματισμού T ;

Σταθεροποιησιμο είναι ένα σύστημα του οποίου μπορούμε να ελέγξουμε τις ασταθείς ιδιοτιμές. Σε κάποιο σημείο των μαθημάτων ο ροβι λέει ότι κάθε σύστημα σπάει σε ένα ελεγξιμο και ένα μη ελεγξιμο. Αν το μη ελεγξιμο έχει έστω και μία μη ευσταθη ιδιοτιμη τότε το σύστημα είναι μη σταθεροποιησιμο.

αναλόγως νομίζω σε τι θες να το μετασχηματίσεις.
Αν πχ θες να το πας σε ελέγξιμη κανονική μορφή, τότε T = (M κυματιστό) * M^-1, δες αναλυτικά την ενότητα 5.3 σελ. 62-63 στις σημειώσεις του kongr45gpen

Οι σημειώσεις αυτές βρίσκονται στα Downloads;

Δεν μπορώ να τις βρώ

http://helit.org/ece-notes/sae2.pdf

Καποιος που να έχει καμιά ιδέα τι σημαίνει απόλυτη τιμή ενος πίνακα (πχ |Α|), είναι ή νόρμα του ? Και αν ναί πια απο τίς νορμες του ?
 ή  

Οταν μας ζηταει ελεγκτη γραμμικής ανάδρασης καταστάσεων, το kr*r το συμπεριλαμβάνω μονο οταν μου διευκρινίζει οτι θελει η εξοδος να συγκλίνει σε μια τιμη; :???:

αρκετές φορές εννοεί την ορίζουσα

Δεν είναι ξεκάθαρο τι εννοεί ομως. Θα μπορούσε είτε να είναι η πρωτη νορμα ||A||1 είτε η δευτερη νόρμα ||A||2 είτε η ορίζουσα. Υπάρχει κάποιος τρόπος να ξέρουμε σε κάθε περίπτωση τί εννοεί ;  :D

http://prntscr.com/nyz18s

http://prntscr.com/nyz1g8

Από ότι καταλαβαίνω στα γραμμικα συστηματα μπορουμε απο την ευσταθεια του ΣΙ να βγαλουμε συμπερασμα για την ευσταθεια ολου του συστηματος. Ομως εδω ο ροβι λεει οτι οταν οι ιδιοτιμες ειναι αποκλειστικα αριστερα και μονο
α) το ΣΙ ειναι εκθετικα ευσταθες
β) το συστημα ειναι ασυμπτωτικα ευσταθες

οποτε τι απο τα 2 ειναι το συστημα. My guess: η εκθετικη ευσταθεια αναφερεται καθαρα και μονο στην περιπτωση που το συστημα εχει πινακα Α διαγωνιο (η εστω block διαγωνιο)

Γενικά η εκθετική ευστάθεια είναι μια πιο αυστηρή μορφή της ασυμπτωτικής ευστάθειας. Αποδεικνύεται και με άλλους τρόπους, αλλά για τα πλαίσια των ΣΑΕ ΙΙ νομίζω αρκεί αυτό που λες.

Δεδομένου ότι μια σταθερά c>0 είναι άγνωστη θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή μιας συνάρτησης Lyapunov ?

Μπορείς να πεις που το είδες;

Γενικά αν δεν χρησιμοποιείς κάπου την τιμή της, και σου αρκεί που είναι θετική πιστεύω πως ναι. Αλλά καλύτερα δώσε και ένα παράδειγμα.

Δεν θυμάμα να το είδα κάπου συγκεκριμένα  :D . Απλά επειδή στους ελεγκτές ξέρω πως δεν επιτρέπεται σκέφτηκα πως ίσως να μην επιτρέπεται ούτε στις Lyapunov. Ευχαριστώ πάντως!

Άπαξ και το σύστημα είναι ελέγξιμο, συνεπώς έχει νόημα να μιλώ για γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης καταστάσεων, η έξοδος πάντα συγκλίνει σε τιμή. Αν δεν υπάρχει είσοδος αναφοράς τότε η έξοδος στη μόνιμη κατάσταση θα συγκλίνει στο 0, αν υπάρχει θέλεις και τον όρο kr*r ώστε να εξασφαλίσεις ότι y=r στη μόνιμη κατάσταση.

ως εισοδο αναφορας εννοεις την u;

Παιδιά ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός τοπικά ασυμπτωτικα ευσταθους σημείου και ενός ολικά ασυμπτωτικα ευσταθους σημείου? Διάφορα ως προς τα κριτήρια που πρέπει να πληρούν..

Θέλετε να κάνουμε discord το βράδυ για να συζητήσουμε λύσεις παλιών θεμάτων;

Και γω το σκεφτηκα αλλα θα γινει λιγο μπουρδελο. Σαν εναλλακτικη ελεγα μηπως στηναμε ενα τσατρουμ με topics συγκεκριμενα δυσκολα θεματα συγκεκριμενων χρονων και να πεταξει ο καθενας την ιδεα του, την υλοποιηση του η οτιδηποτε μπορει να συνεισφερει ωστε να δημιουργησουμε λυσεις για καποια θεματα τα οποια δεν εχουν λυσεις.

Νομίζω χωρίς να έιμαι σίγουρος πως ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές είναι το σημείο ισορροπίας σου αν και μόνο αν  το πεδίο εφαρμογής του θεωρήματος Lyapunov είναι ολόκληρος ο χώρος καταστάσεων ( δηλαδή οι συναρτήσεις V(x), dV(x)/dt έχουν πεδίο εφαρμογής ολοκληρό το R^n και δεν περιορίζονται απο κάποιο κύκλο με ακτίνα ρ πχ  Βr(0)={x ε R^2 : X1^2 + X2^2 < ρ ^2 },  οπου εδώ το πεδίο εφαρμογής του θεωρήματος Lyapunov σου είναι περιορισμένο)

ok καλη ιδεα

https://discord.gg/2ADgRY

Does it work?Οποιος μπει δινω δικαιωματα.

Αν εχω συστημα το οποιο περιεχει μια u. Το ΣΙ  το βρισκω μηδενίζοντας την u ή συναρτησει της u? [δηλαδη (x1 *,x2 *,u *) = (0, x2 *, g(x2 * )) ]

Εστω οτι μας δινεται ενα συστημα και αποδεικνυουμε οτι ειναι μη ελεγξιμο.Μπορουμε  για αυτο το συστημα να σχεδιασουμε ελεγκτη αν κανουμε την κλασσικη διαδικασια με ελεγξιμο και μη ελεγξιμο μερος; δεν μπορω να καταλαβω  :'( :'(

To ΣΙ το βρίσκεις λύνοντας τις Fi(xi)=0, όπου Fi το δεξί μέλος των εξισώσεων xi παράγωγος=0. Αν από τη λύση αυτή σου προκύψει τιμή για το u συναρτήσει κάποιων MK που δεν είναι μηδενικές, τότε αυτό είναι το u*. Γενικά, με την υπόθεση ότι u ε R, ως ΣΙ ορίζεται ένα ζεύγος (x*,u*) ε R^(n+1) το οποίο ικανοποιεί το παραπάνω.

τοτε εδω γιατι ο ροβυ το εχει παρει ετσι? (απο τις σημειωσες του μαθηματος)

http://prntscr.com/nz90t5

Ελεγκτή για οποιοδήποτε σύστημα υπάρχει μπορείς (θεωρητικά) να σχεδιάσεις. Το ζήτημα είναι το εξής: θα έχει θετική συνεισφορά στο να λύσω το πρόβλημα ή θα είναι άχρηστος;

Στο δια ταύτα. Έχεις εσύ ένα σύστημα το οποίο είναι μη ελέγξιμο. Αυτό τι σημαίνει; Πως όποιον γραμμικό ελεγκτή και να δοκιμάσεις, δεν θα καταφέρεις ποτέ να πας από μια αρχική κατάσταση στο 0 σε πεπερασμένο χρόνο. Το θεώρημα ύπαρξης μετασχηματισμού Τ τέτοιου ώστε το αρχικό σύστημα να μπορεί να σπάσει σε ένα ελέγξιμο και ένα μη-ελέγξιμο κομμάτι δεν σου κάνει ως δια μαγείας ελέγξιμο το σύστημα. Υπό προϋποθέσεις όμως στο κάνει σταθεροποιήσημο. Τι σημαίνει σταθεροποιήσιμο; Πως αν ξεκινήσω από μια αρχική κατάσταση ΟΚ δεν θα μπορέσω ποτέ να πάω στο 0, μπορώ όμως να καταφέρω να το πάω σε κάποια τιμή κάπου κοντά στο 0. Πόσο κοντά στο 0; Τόσο όσο μου επιτρέπουν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α22 του μη-ελέγξιμου κομματιού.

Γιατί αυτό; Γιατί μετά τον μετασχηματισμό του αρχικού συστήματος, λαμβάνεις ένα σύστημα για τα z1,z2 παράγωγοι για το οποίο το θεώρημα σου λέει ότι σιγουρα το ζεύγος (Α11,Β11) θα είναι ελέγξιμο. Άρα έχει νόημα να πάρεις γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης ώστε να μετακινήσεις τις ιδιοτιμές αυτού του ζεύγους τόσο αριστερά όσο επιθυμείς. Συνεπώς, και βάσει του ορισμού της ελεγξιμότητας, θα υπάρχει και ελεγκτής τέτοιος ώστε ξεκινώντας από μια αρχική τιμή z1(0) να μπορεί να σου το πάει το (Α11,Β11) στο 0 σε πεπερασμένο χρόνο. Έχεις όμως κι έναν έξτρα όρο ο οποίος είναι (κάτι σαν) διαταραχές. Αυτός ο όρος συμπεριλαμβάνει έναν πίνακα μετάβασης e^(A2τ). Αν ο πίνακας Α2 έχει ιδιοτιμές στα αριστερά, δηλ. είναι ευσταθής, τότε ΟΚ ίσως να μην είναι και ο πιο γρήγορος (αφού δεν μπορώ να τον ελέγξω με κάποιον τρόπο· η εξίσωση για το z2 παράγωγος δεν περιέχει όρο ελεγκτή), αλλά κάπου θα συγκλίνει.

edit: Προφανώς αν το σύστημα μου είναι ελέγξιμο εξαρχής, είναι και σταθεροποιήσιμο.

Αποκλείεται να είπε τέτοιο πράγμα. Το πιο πιθανόν είναι να πήρε για ευκολία u=0 γιατί δεν είχε μιλήσει ακόμη για ελεγκτές τότε. Είναι λάθος αυτό που γράφει ο συνάδελφος στις σημειώσεις. Εξ' ορισμού, σημεία ισορροπίας είναι οι (οποιεσδήποτε) σταθερές λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης.

ευχαριστω παρα πολυ,πληρως κατανοητο  ;D ;D ;D

και στις δικες μου σημειωσεις το ιδιο εχω..αρα θα το ειπε..μπορει οντως να το πηρε για ευκολια..αλλα το πηρε

ετνομεταξυ οταν γραμμικοποιουμε ενα συστημα μεσω ελεγκτη u  (γραμμικοποιηση μεσω αναδρασης) υπαρχει μια αντιφαση. γιατι για να εφαρμοσω ελεγκτη πρεπει να αποδειξω οτι ειναι ελεγξιμο (ασχετως του λογου του οποιου εφαρμοζω τον ελεγκτη, το εχει ξεκαθαρισει ο ροβι οτι πριν βαλεις οποιονδηποτε ελεγκτη πρεπει να εχουμε αποδειξει ελεγξιμοτητα) αλλα για να αποδειξω οτι ειναι ελεγξιμο πρεπει να παρω πινακες αρα να ειναι γραμμικο. συνεπως οταν εχουμε ασκησει με μη γραμμικο συστημα, το γραμμικοποιουμε μεσω αναδρασης (εφ οσων εχει ζητηθει προφανως) χωρις να εχουμε δειξει κατι για την ελεγξιμοτητα...

Η ελάχιστη υλοποίηση που ρωτάει σε κάποια θέματα(π.χ. 1ο Ιανουάριος 2019) τί είναι ;

να ειναι παρατηρησιμο και ελεγξιμο

Νομίζω ότι σε τέτοια ερωτήματα το ζητούμενο είναι ο πιο απλός ελεγκτής ( δηλαδή ένας ελεγκτής με τους ελάχιστους όρους, μπορείς να πεις ότι στις ασκήσεις κοιτάω να μηδενίσω κάποιο συντελεστή k για να διώξω όρους) με την προϋπόθεση ότι το σύστημα θα παραμείνει παρατηρήσιμο και ελέγξιμο.

Αυτό κατάλαβα εγώ, αν έχω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.

Σε ποια περίπτωση παίρνουμε δυναμική ανάδραση καταστάσεων ? (ελεγκτή με ολοκληρωτή)?

Συστήματα ανοιχτού και κλειστού βροχου τι εννοεί?

Όταν θέλω να φέρω το σύστημα στην κανονική ελέγξιμη μορφή, πρέπει να βρω τον πίνακα Τ για τον μετασχηματισμό z=Tx. Αυτός βρίσκεται μέσω του τύπου: Τ  = M_bar*M^(-1). Για να βρω το M_bar όμως, χρειάζομαι το B_bar. Αλλά το B_bar προκύπτει μόνο αν ξέρω το Τ, γιατί Β_bar = T^(-1)*B. (Το Α_bar βρίσκεται αλλιώς). Πώς λύνεται μια τέτοια άσκηση;

*λύθηκε: είναι απλά από τον τύπο της ελέγξιμης μορφής, το Β είναι [1 0 0 .... 0]

Αν δεις στις σημειώσεις σελ 62, σου δινει την ελεγξιμη κανονικη μορφη δηλαδη τον πίνακα Α_bar και τον Β_bar.
Αν εννοείς μια ασκηση σαν το θέμα 3/ Ιουνιος 2017 τοτε παιρνεις det(sI-A)=0, βρισκεις τα a1, a2 κτλ και τα αντικαθιστας σαν στοιχεια του Α_bar και ο Β_bar= [ 1 0 ]^T
δεν ξερω αν τα εξηγω καλα ::)

ναι ευχαριστώ. :) Το είχα μπερδέψει απλά με το σπάσιμο σε ελέγξιμο και μη ελέγξιμο μέρος, που είχε και αυτό πίνακα Τ. Αλλά είναι άλλη διαδικασία

Στις σημειώσεις σελ 73 πως βγαίνει ο πίνακας P? (κάπως αναλυτικά αν γίνεται :P)

Λύσε ((A-B*K)^T) *P + P*(A-B*K) = -Q  ως προς P  όπου Q = I

ευχαριστώ!

Αν ένα σύστημα έχει πολλαπλά σημεία ισορροπίας  και όλα είναι ασυμπτωτικά ευσταθή τότε αυτά από μόνα τους προσδιορίζουν το σύστημα για το αν είναι ευσταθές?

Ναι. Το σύστημα είναι ευσταθες οταν ολα τα σημεια ισορροπίας του είναι ευσταθη.

Σε αυτήν την άσκηση παίρνει σαν ελεγκτή εισόδου u=-2a*sin(x1)-x2*cos(x1)

(https://i.imgur.com/LPRYrH5.png)

(https://i.imgur.com/ORWazY1.png)

όμως στο καινούριο σύστημα που προκύπτει με την επιλογή του u και την αντικατάσταση στο x2_dot υπάρχει και άλλο σημείο ισορροπίας το x1* = arccos(1/2a) kai x2* = 0 με 1/(2α) <1 γιατί α>1/2

Θα πρέπει να μελετήσουμε την ευστάθεια και εκείνου του σημείου ισορροπίας?

Ειχα σημειωσει οτι το να βρουμε ελεγκτη που να επιφερει ισορροπια στην επανω κατακορυφη θεση του εκκρεμους για εμας σημαινει να αποδειξουμε οτι το (0,0) ειναι ασυμπτωτικα ευσταθες σημειο ισορροπιας, δηλαδη ζηταει να αποδειξουμε ευσταθεια σημειου και οχι ολου του συστηματος αρα νομιζω πως πρεπει να ασχοληθουμε μονο με το συγκεκριμενο ΣΙ.

ευχαριστώ  ;)

"Να μελετηθεί η ευσταθεια του συτηματος χρησιμοποιωντας επιχειρηματα Lyapunov" . Σε αυτο το ερώτημα πριν πάρουμε την Lyapunov δεν πρεπει ΠΑΝΤΑ να βρίσκουμε πρωτα το ΣΙ ; (και λογικα να το βρισκουμε και ίσο με μηδεν ).

 Ρωτάω γτ στα λυμενα των Downloads Σεπτ14/Θεμα 3 δεν το βρίσκει αλλά μάλλον θα το θεωρεί τετριμένο καθώς ευκολα προκύπτει μετα την αντικατάσταση του u.

Ναι πρέπει να βρεις τα ΣΙ και κανεις Lyapunov για το καθένα ξεχωριστά, να δεις αν ειναι ευσταθη και να βγάλεις συμπέρασμα και για το σύστημα.

Αμα η παραγωγος της lyapunov βγαινει 0 σημαινει κατι η εχω κανει λαθος?

αν η παράγωγος της V κάνει 0 λογικά το σημείο ισορροπίας ειναι οριακά ευσταθές

Λύση θέμα 1 του Σεπτεμβρίου 2014 το β ερώτημα η λύση είναι σωστή?

Γιατί βάζει ελεγκτή και στο παλιό και στο νέο σύστημα?

Γενικά σταθεροποιησιμοτητα και ευστάθεια είναι το ίδιο πράγμα;

@electric67 σταθεροποιησιμοτητα έχει να κάνει με το να κρατήσεις την έξοδο σε μια επιθυμητή σταθερή τιμή. ένας τρόπος να την εξετάσεις είναι η ελεγξιμοτητα. ένα ελεγξιμο σύστημα είναι σταθεροποιησιμο, ένα σταθεροποιησιμο δεν είναι απαραίτητα ελεγξιμο.

Στο θέμα 2 του Σεπτέμβρη 2019 που λέει να γραμμικοποιηθεί το σύστημα μέσω ανάδρασης τι εννοεί;

@Theoxwriths στο α η στο γ?

Στο Α.

Σελίδα 51 Καναβούρα.

@theoxwriths εννοεί ότι γραμμικοποιεις το σύστημα με ανάδραση και το πέτυχαινεις μέσω του ελεγκτή. δηλαδή θα τον θέσεις σε μια μορφή που να απαλείφει τις μη γραμμικότητες, στην προκειμένη αυτά τα ημιτονα.( Η ανάδραση έγκειται στο ότι περιέχει τις καταστάσεις και μάλιστα ολόκληρα κομμάτια της εξίσωσης που περιγράφει το σύστημα - πχ τα ημιτονα είναι κομμάτια του συστηματος).

Σας ευχαριστώ πολύ και τους δύο. Για το θέμα 3, ερώτημα β, Σεπτεμβριος 2019 έχετε καμία ιδέα;

Πρέπει να είναι μια λίγο πιο περίπλοκη εκδοχή του Θέματος 1 Σεπτεμβρίου 2016...

Οκ ευχαριστώ!

πρέπει να βρεις τη Lyapunov V=1/2 * x₂² + ολοκλήρωμα {g(y)d(y)} από 0 έως x₁
μετά βγαίνει εύκολα.

στο θέμα 2γ) του Σεπτεμβρίου 19, αρκεί ο ελεγκτής u=x₁²; Έτσι βγαίνει ότι x₂(t) = x₂(0), άρα σταθερό. Ή μήπως θέλει να γραμμικοποιηθεί το σύστημα στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας (0,0), για να βγει ότι sinx₂ ~= x₂;