THMMY.gr

Ανεβάζω κάποια λυμένα που βρήκα! Αν ο συγγραφέας τους θέλει copyright, ας μου στείλει πμ. Μέχρι τότε τον ευχαριστούμε !

https://mega.nz/#F!PQphFJTS!MSoaRblmIT7IfWVPJgr1Jw (https://mega.nz/#F!PQphFJTS!MSoaRblmIT7IfWVPJgr1Jw)

edit: fix link

Άντε να ξεκινάμε και φέτος
θέμα 1 α) Φεβρουάριος 2017
/εδιτ Παίζει να έχω λάθος όπως μου είπε ένας συνάδελφός. Θα το ελέγξω και θα το διορθώσω
/edit2 έχω λάθος
(1/(α*(|b|+c))) δεν είναι <= από το 1/(α*|b|)+1/(α*c) για όσους το κατέβασαν  το κατεβάζω και θα προσπαθήσω να το λύσω

Βασικά επειδή είναι ΠΑΡΑ πολλά τα pages αν μπορεί κάποιος να μαζέψει τις ανεβασμένες λύσεις ώστε να μπορούμε να τις σχολιάζουμε πιο εύκολα... Το λέω βασικά μήπως κάποιος που έχει ξαναδώσει το μάθημα μήπως το έχει κάνει ήδη..

Να κάνω μια ερώτηση; Με το x τι συμβαίνει κατά τον προσδιορισμό της Lyapunov; Γιατί μου φαίνεται κάπου χάνομαι με τις παρενθέσεις και τους κοινούς παράγοντες.

Η πρώτη  αλλαγή u=Ax άρα βγαίνει: V'=x*(ax+ βAx+f(x)Ax)=x*x*(a+ βΑ+f (x)Α)
Που δίνει X τετράγωνο.
Κυρίως το ζήτημα είναι ότι το c δεν μπορείς να το εισάγεις στο u οπότε το χρησιμοποιείς στην lyapunov.

υπαρχει καποιος που ν ελυσε  καποιο θεμα απο την προοδο 2017 κι μπορει ν το ανεβασει ?

Ο Ρόβι στο μάθημα σήμερα, το θέμα με το sat. Θα το ανεβάσω στις σημειώσεις.

Επίσης, οι λύσεις των περσινών (Φεβρουάριος 17) είναι more than welcome.

Δεν το βρήκα στις σημειώσεις που έχεις ανεβάσει μεχρι τώρα. Παίζει να μην τις ανέβασες ακόμη οπότε /εδιτ δική μου λύση θέμα 3.
Δεν είμαι σίγουρος για το Lassale, όχι δεν ότι χρειάζεται, αν αρκεί αυτό που έχω γράψει ή όχι. Αν μπορεί κάποιος να απαντήσει.
Επίσης σε ένα γραμμικό σύστημα το χαρ πολυώνυμο είναι το det(λ*Ι-Α)=0 όπου λ->s. Αρκεί να πεις επειδή οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι αρνητικές (έστω το Real αρνητικό) το σύστημα ευσταθές;

η λυση ειναι απο το μάθημα η δικη σ?

δική μου... αφού έγραψα ότι δεν είμαι σίγουρος για το επιχείρημα Lassale...

σωστα.

Ναι, συγκεκριμένα θα έχεις ασυμπτωτική ευστάθεια.

Καλησπέρα.
Από τη στιγμή που έχεις τον πίνακα Α, είναι πιο σίγουρο να μελετήσεις την ευστάθεια παίρνοντας τις ιδιοτιμές του από το det(λI-A).
Εμένα μου βγαίνουν και οι 2 να έχουν αρνητικο πραγματικό μέρος, άρα έχουμε και τοπ ασ ευστάθεια νομίζω.

Δεν ήμουν σίγουρος ότι έχεις τ. α. ευστάθεια για αυτό το ρώτησα. Αλλά ναι νομίζω ότι αρκεί.

Έχει λύσει κανείς το 2ο Φεβρουαρίου 2017 ή το 1ο Προοδου 2017; Αυτά με τα κατακόρυφα συστήματα. Με μπερδεύει αρκετά η φυσική στερεών.

τελικά το έλυσες?

Όχι έκανα κύκλους γύρω από την ίδια ιδέα και είπα να το αφήσω καμιά μέρα  :-\

υπάρχει κ αυτή (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=68281.msg1176878#msg1176878) η λύση πάντως αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστή.

δεν ισχύει διότι |f (x)|<=c άρα -c <=f (x)<=c συνεπώς αν το πολλαπλασιασεις με αρνητικό όπως έκανε  βάζοντας u=-x/abs(b) έχεις αντιστροφή της ανισότητας και πάλι θετικό

και επίσης δεν εχω καταλαβει εκεί στην ανισότητα που γράφει "<- lyapunov" αντικατέστησε το |f(x)| με το c..

έχει λύσει κάποιος και θέλει να μοιραστεί τα θέματα με τις εξισώσεις κατάστασης και τα ελατήρια του Φεβρουαρίου και της Προόδου του 2017;

Ρίξε μια ματιά στο παράδειγμα 11.4 στο Khalil nonlinear systems. Είναι ουστιαστικά το θέμα του Φλεβάρη. Ελπίζω να σε βοηθήσει.

Αν δεν κάνω λάθος είναι:

m1 q1'' = - k1 q1 - b1 q1' + b1 q2' + u1

m2 q2'' = - k2 q2 - b1 q2' + b1 q1' + u2

(για την πρόοδο)

Ευχαριστώ πολύ!
Για όποιον ψάχνει το βιβλίο
https://www.researchgate.net/file.PostFileLoader.html?id=532f014bd2fd64df198b45ef&assetKey=AS%3A272534484783104%401441988692243 (https://www.researchgate.net/file.PostFileLoader.html?id=532f014bd2fd64df198b45ef&assetKey=AS%3A272534484783104%401441988692243)

Τα u1 και u2 πού ακριβώς είναι;

Ξέχασα να το γράψω πάνω, αυτά είναι για την πρόοδο του 17. Τα u οι εξωτερικές δυνάμεις που λέει η εκφώνηση είναι.

Θ6 Ιουνης 17. Βρήκατε καμία Lyapunov  που να δουλεύει;

Επισυνάπτω την λύση μου για το 6β και ακούω γνώμες

κανονική
Γενικά έβγαινε σχετικά γρήγορα αν πήγαινες σε τετραγωνική μορφή και έβγαζες αρνητικά ορισμένο.
επισυνάπτω την λύση μου.

Τα υπόλοιπα θέματα (εκτός από κάποια πράγματα στα 3α, 4β).

Εδιτ: στο 4δ είναι V'<0 και αρνητικά ορισμένη (όχι ημιορισμένη).

Το Μ2 τι παριστάνει ; Τον αριθμό στο (1,2)  του Q ; Θετικό δεν βγαίνει ;

Α σόρρυ λάθος, η Μ2 είναι η ορίζουσα άρα είναι αρνητικά ορισμένος ο πίνακας άρα κομπλε... Νομίζω σωστός είσαι, δες λίγο και την δική μου λύση και πες μου αν είναι σωστή και αυτή  :P

υπό ορίζουσα
Μ1 υπο ορίζουσα Μ1=(1,1)
Μ2 δεύτερη υπό ορίζουσα  Μ2=det(του πίνακα)
αν είναι και οι δυο αρνητικές είναι αρνητικά ορισμένος ο πίνακας

3o στα θέματα του ιουνίου του 2017 μπορεί να μου πει κάποιος πως υπολογίζω τον πίνακα μετασχηματισμού για να πάω στην ελέγξιμη κανονική μορφή;

Βασικά δεν ξέρω πως θα υπολογίσω τον πίνακα ελεγξιμότητας του μετασχηματισμένου συστήματος, αυτού δλδ που το ονομάζει με περισπωμένη στις σημειώσεις του ροβιθάκη.

Οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη!

EDIT:η απορία λύθηκε ! (σελ 40 σημειώσεις exomag)

Ιουνης 2017, επισυναπτω τη λυση μου! περιμενω διορθωσεις  :P
στην αιτιολογηση, βαλατε κατι τετοιο ή οτι η ταξη του συστηματος ειναι ιση με τον αριθμο των μεταβλητων καταστασης που επιλεγω στο 2ο ερωτημα?

Εγώ απλά είχα γράψει ότι είναι τρίτης τάξης επειδή η πρώτη διαφορική είναι δεύτερης τάξης και η δεύτερη πρώτης τάξης!
Oπότε το σύστημα είναι το άθροισμά τους δλδ τρίτης τάξης και μου το πήρε για σωστό αν κρίνω από το βαθμό μου και ότι δεν είχα γράψει και πολλά  :D

Ioύνιος 17 4β με γραμμικοποίηση βγαίνει ασταθές στη γειτονιά του 0;  ΜΕ τον πίνακα Α=[κ*κ κ*κ
                                                                                                                                            -κ*κ κ*κ]

Σωστά η λάθος; 

Θέμα 2 -  Ιούνιος 2017

Στο α) αν πας να υπολογίσεις Μ = [Β  ΑΒ  Α²Β  Α³Β] δεν παίζει με την καμία να χρειάζεται να κάνεις τόσες πράξεις.
Αν υπολογίσεις όμως τις 2 πρώτες στήλες του Μ βγαίνουν  [0,0,0,3] και [0,0,0,-6] , που είναι γραμμικά εξαρτημένες αφού η 2η προκύπτει αν πολλ/σιάσεις την 1η με το -2.
Άρα rank(M)<n  (όπου n=4 η τάξη του συστήματος), αφου rank(πίνακα) = ο αριθμός των γραμ. ανεξ. στηλών του.
Οπότε το α) σύστημα :   ΜΗ ΕΛΕΓΞΙΜΟ.
Είναι σωστό το σκεπτικό μου;;  :)

Στο β) , ισχύει ότι ο πίνακας Α είναι στην Ελεγξιμη κανονική μορφή;;

ιουνιος 2017 θεμα πρωτο. οι μεταβλητες καταστασεις που θα παρω θα ειναι x1=x,x2=x',x3=i ή θα παρω x1=x',x2=i? γιατι παρακατω ρωταει και την ταξη του συστηματος

Παιδιά μια απορία, γιατί υπήρχε και στα θέματα του Ιουνίου 2017. Όταν σου δίνει πίνακα C, της μορφής [1 0] τότε ο ελεγκτής περιέχει μόνο τον όρο x1, δηλαδή u= -k1*x1.
Αντίστοιχα αν ήταν [0 1] τότε ο ελεγκτής θα ήταν u= -k2*x2
Αυτό μου το είπε ο Ροβιθάκης στο γραπτό.Τότε όμως γιατί στις σημειώσεις υπάρχει αυτό στο συνημμένο?!!

Μηπως ο ρομπι αναφεροταν σε ελεγκτη εξοδου? Τον ιουνιο τουλαχιστον ηταν ελεγκτης εξοδου, μπορει στο παραδειγμα να θελει ελεγκτη εισοδου

? Δεν το έπιασα...
Ο ελεγκτής στο θέμα 5 του 2017 είναι ακριβώς η περίπτωση που λεω, με C=[0 1]. Αν έβαζες μέσα στον u, -k1*x1 στο κοβε όλο.

στο θέμα 5 ζητάει γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης εξόδου (y). ο ελεγκτής -k1*x1 είναι γραμμική ανάδραση της κατάστασης 1. Το παράδειγμα που έχεις επισυνάψει πιο πάνω είναι δυναμική ανάδραση καταστάσεων. Είναι τρία διαφορετικά πράγματα...

οκ τώρα μπερδεύτηκα. Τι είναι ο γραμμικός ελεγκτής ανάδρασης εξόδου;;;  ^seestars^

λοιπόν στον ιούνιο 2017 η έξοδος μας είναι ίση με χ2. άρα ελεγκτή παίρνεις u=-kx2. αντικαθιστάς στις εξισώσεις κατάστασεις και ξαναφτιάχνεις πίνακα Α' και από αυτόν βρίσκεις χαρ. πολυώνυμο.

Ιούνης 17 στο 3α πως ακριβώς βρίσκουμε τον Τ?

Επίσης, στο 4β ποιά παίρνουμε ως H που έχει κάποιος στις λύσεις του πιο πίσω?

εδιτ: για το 3α έχει παρόμοιο στις σημειώσεις exomag σελ40

για τ Τ υπαρχει σ προηγουμενα ποστ (σελ: 40 σειμειωσεις τ exomag νμζω)

αν καταλαβα σωστα τ F ειναι η πανω εξισωση dot(χ1) κ η Η dot(χ2) δλδ τ Α B C D θα ειναι οι τιμες του πινακα Α(διαφορετικος απο τ προηγουμενο) οπου (dot(z)=Az)

μ καθε επιφυλαξη

Ποιος ηταν ο ελεγκτης στο 2β????? (Σεπτ 2017)

Στο 2α πηρε κανεις δυναμικη αναδραση; (Σεπτ 2017)

Δε μπορω να τον βγαλω. Φτανω σε σημειο που πρεπει να παρω περιπτωσεις για το γ αλλα δε βγαζει πουθενα

Το βρηκα. Σελ 31/38 απο τις φετινες σημειωσεις part 2 εχει ιδιο παραδειγμα σχεδον.

Εδιτ: στην ουσια δε βρισκεις k1 k2 αλλα το διαστημα στο οποιο βρισκεται το κερδος μιας εξτρα ενισχυτικης βαθμιδας για να ειναι τα k1 k2 μικροτερα απο 1 και να πληροιται και το α ερωτημα

το συστημα ειναι ελαχιστης υλοποιησης αν ειναι ταυτοχρονα ελεγξιμο και παρατηρησιμο σωστα;

Ναι! Διαφάνεια 6 (Linear Output Feedback Control) τελευταία σελίδα.
Τι καλά που θα ήταν να το έγραφα κιόλας! :P

απτο (α) ειχες κ1=4/γ και κ2=4/γ*(1-1/γ)
εβαζες κκ1=4/γ και κκ2=4/γ*(1-1/γ), αρα κ1=4/κγ<1 και κ2=4/κγ*(1-1/γ)<1
αρα κ>4/γ και κ>4/γ*(1-1/γ), δηλαδη κ>4/γ, κ1, κ2 οπως πριν
(σελ 31-32 μερος 2ο σημειωσεις αποστολοφ)


θενκς!

αν πεις όταν οι ιδιοτιμές ταυτίζονται με τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς;
no hope  ^innocent^

ok μπορεί να το είχε κάνει, όμως όταν έχεις διαβάσει 100 σελίδες σημειώσεις & θεωρία & παλιά θέματα, serioulsy, θα πρεπε να το θυμάσαι?  ^banghead^

στο 3β σου ζητουσε να κανεις το συστημα γραμμικο και ελεγξιμο.Το 1ο  σχετικα ευκολα βαζοντας το μη γραμμικο στοιχειο στον ελεγκτη ωστε να απαλοιφθει,ομως το 2ο wtf? εφοσον εξαρχης εχεις ενα μη γραμμικο συστημα και δεν μπορεις να τσεκαρεις ελεγξιμοτητα,μετα το κανεις γραμμικο χρησιμοποιωντας τον ελεγκτη αρα τι σκατα(ηδη το ελεγξες)?Το μονο που μπορω να σκεφτω ειναι ο αρχικος ελεγκτης να εχει εναν δευτερο ελεγκτη μεσα(u' πχ) και να τσεκαρες μετα την ελεγξιμοτητα(που ειχες πινακες Α,Β) που προφανως εβγαινε αλλα και αυτο πολυ τρολλ ερωτημα

Στα δύο τελευταία ερωτήματα του πρώτου θέματος έγραψα θέλει δύο ενεργοποιητές (όσες κ οι μεταβλητές κατάστασης) και δύο αισθητήρες (ένας για είσοδο κ ένας για έξοδο).. Πιάνω τίποτα;

Κανείς ρε παιδιά;

ετσι βγαζεις οτι ελαχιστο πληθος ενεργοποιητων και αισθητήρων  ειναι 1.

Thanks

Θέμα 2 Πρόοδος 2017:

Η σωστή απάντηση είναι το (2) ? Διότι αφού είμαι πάνω στον κύκλο θα συνεχίσω να κινούμαι πάνω σε αυτόν;

Έχει ασχοληθεί κανείς με τον περιβόητο Φλεβάρη του 17;

Το 1α είναι λυμένο στις σημειώσεις (σελ 88-89 απ'το merged pdf του Apostolof), όπου εκεί είχαμε την γενική περίπτωση με πίνακες.

Στο 1β όμως πώς θα το προσεγγίσουμε αφού δεν είναι γνωστές οι παράμετροι α, β ;

Τέλος, το θέμα 2 είναι παρμένο από το παράδειγμα 11.4 από το βιβλίο Khali Non-Linear Systems και η λύση του φαίνεται από άλλο πλανήτη. Ορίζει μάλιστα κάτι σταθερές του αυτοκινήτου όπως φυσική συχνότητα του λαστίχου, του σώματος του στηρίγματος κλπ και κάνει κάτι scalings με σταθερές 'ε' κλπ.
Not sure if όντως ήθελε να γράψουμε όλα αυτά (που τότε το θέμα είναι όντως ότι να ναι) ή απλώς ήθελε να γράψουμε τις απλές εξισώσεις και να σταματήσουμε εκεί...

Θέμα 3 Σεπτέμβριος 2017 έχει κανείς καμία ιδέα? Ή ακόμα καλύτερα να ανεβάσει καμία λύση? Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Δυστυχώς δεν έχω χρόνο να το λύσω αλλά αυτό που θυμάμαι ότι είχα κάνει στο α) (και μου το πήρε σωστό) είναι:
Αρχικά θέτεις x1=y x2=y_dot και με βάση την (3) βρίσκεις τις δύο εξισώσεις κατάστασης. Από αυτές βρίσκεις το σημείο ισορροπίας (μοναδικό), το οποίο βγαίνει διάφορο του (0,0) οπότε κάνεις αλλαγή μεταβλητής για να το φέρεις στο (0,0).
Τώρα με βάση το νέο σύστημα παίρνεις κάποια υποψήφια Lyapunov για να δείξεις την ευστάθεια. Θυμάμαι ότι αν πάρεις την κλασσική V=1/2(x1^2+x2^2) δεν μπορείς να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για το πρόσημο της V_dot οπότε προσθέτεις ή αφαιρείς κάτι στην V και η V_dot θα προκύψει αρνητικά ημιορισμένη.
Μέχρι εδώ έχεις δείξει ότι το σημείο ισορροπίας είναι ολικά ευσταθές. Για να αποδείξεις την ασυμπτωτική ευστάθεια πας με Lasalle και δείχνεις ότι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο είναι το σημείο ισορροπίας.
Αφού το (0,0) είναι μοναδικό ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ, και το ΣΙ του αρχικού συστήματος (πριν την αλλαγή μεταβλητής) θα είναι μοναδικό ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές.
Τώρα για το β), βρίσκεις τις εξισώσεις κατάστασης του συστήματος και θέτεις u τέτοιο ώστε να φεύγει το απόλυτο που είναι η μη γραμμικότητα. Από εκεί και πέρα δεν ξέρω τι άλλο ήθελε...
Ελπίζω να βοήθησα κάπως.

Επισύναψα μια πιθανή λύση αλλά δεν είμαι καθόλου σίγουρη α) αν η Λιαπούνοφ είναι σωστή β) αν χρειάζονται τα κ1, κ2 στις κ/σεις χ1 και χ2 του ελεγκτή, οπότε οποιαδήποτε διόρθωση είναι more than welcome.

Αύριο έρχεται κύμα αποριώνε

Εγώ πήρα πιο απλή lyapunov : V = (k/2)*(x1-gM/k)^2 + (M/2)*x2^2 και βγαινει μια χαρα
στο β πηρα u = c2x2|x2| -gM +r (αφου στις ΕΚ προκυπτει u/M) δε βαζω k1 k2 αφου δε σβηνεις τα χ1 χ2 απ την αρχικη, γιατι να βαλεις κ αλλα?

τα χ1, χ2 δε ξερω απλα σκεφτηκα ότι εφόσον ειναι ελεγκτής τα χρειάζεται αλλά μαλλον περισσευουν
στο cx2|x2| δε θέλει κι ενα Μ στον ελεγκτη; αλλιώς δε φεύγει
επίσης εφόσον σου λέει να ειναι ελέγξιμο δε θα πρεπει να βαλεις κι ενα k3*u ;
αλλιώς πώς θα είναι ελέγξιμο;

Εκανες ενα λαθακι οταν εγραψες τις εξισωσεις καταστασης, δεν το διαιρεσες με το Μ. Οποτε μετα δε θελει να βαλεις Μ. Το r που εγραψα ειναι η καινουρια εισοδος για να ειναι ελεγξιμο, βαλτο u' αν θες δεν παιζει ρολο ο συμβολισμος. Δε χρειαζεται να εχει καποιο k αυτο

ναι το ειδα σμρ το λαθακι αλλα θελει διαίρεση με το Μ γιατι στην πραγματικοτητα διαιρειται απλά το ξέχασα :P
για το r/u0 έχεις δίκαιο, αρκεί να έχει κάποια καινούρια είσοδο για να μπορεί να είναι ελέγξιμο, απορώ όμως αν το βάλουμε το κ3 και πούμε ότι πρέπει απλά να είναι !=0 αν θα το θεωρούσε λάθος (στο ίδιο καταλήγουμε :P)
Ροβι είναι οπότε μάλλον θα το θεωρούσε :-\

Κατάλαβα, ευχαριστώ πολύ, βγαίνει όντως με αυτή τη Luapunov V(z)=(k/2)*(z1)^2+(M/2)*(z2)^2 & ελεγκτή u=c2*x2*|x2|-M*g+Μ*u'.. May the odds be ever in our favor!  ;D

Ας πει κάποιος τη γνωμη του.

Εγώ θα έλεγα το 2 σίγουρα και το 4(με  δισταγμό). Εφ'όσον η V είναι συνάρτηση Lyap σημαίνει ότι ικανοποιεί την προϋπόθεση να ειναι θετική παντού  εκτός από τα σημεία ισορροπίας* όπου μηδενίζεται και αρνητική παράγωγος σημαίνει ότι η συνάρτηση τείνει προς τα σημεία ισορροπίας. Στο διάγραμμα φαίνεται σημεία ισορροπίας (έστω σ.ι: α,-α,β,-β) να ειναι τα σημεία όπου μηδενίζουν τα x1 &x2 άρα θα θέλουμε η f(x) να "τραβάει" τη συνάρτηση προς τα σημεία αυτά, το οποίο το κάνουν τα διανύσματα (2) και (4). Όχι;;;

*θετικά ορισμένη είναι η συνάρτηση η οποία μηδενίζεται μόνο στο 0 ή μόνο στα σ.ι;;
εδιτ: απαντάω στην εαυτή μου: μάλλον μόνο στα σ.ι απλά κάνουμε συνήθως γραμμικοποίηση γι αυτό θεωρούμε ότι μηδενίζεται στο 0

Παρακαλώ απαντήσετε το συντομότερο δυνατόν κλείνουν σπίτια

1.Όταν έχουμε Lyap συναρτήσει των x1,x2 τρόπον τινά ώστε αυτά τα 2 να πολλαπλασιάζονται στο ένα μέρος, ας πούμε V'=-x2*sinx τότε η συνάρτηση δεν είναι αρνητικά ορισμένη, έτσι? Γενικά απλά λέμε ότι είναι ημιορισμένη και ότι το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές ή απλά δεν υπάρχει περίπτωσις πρέπει να βρω άλλη Lyap?


2α. Γενικά αν έχω ένα σ.ι και η d(Lyap)/dt μηδενίζεται στο σ.ι και σε έναν οριακό κύκλο, γίνεται αρνητική εκτός αυτού και θετική εντός,  τότε το σημείο ισορροπίας δεν είναι ασυμπτωτικά ευσταθές,ε? Αφού οι λύσεις τείνουν στον οριακό κύκλο και μόνο αν ξεκινήσω από το σ.ι δε θα μεταβληθώ ε? Άρα είναι απλώς ευσταθές?
2β. Αν σε ίδια φάση η παράγωγος της Lyap γίνεται αρνητική εντός του κύκλου και θετική εκτός, τότε το σ.ι είναι τοπικά (στην περιοχή εντός του κύκλου) ασυμπτωτικά ευσταθές?

γ.  Αν έχω 2 σημεία ισορροπίας, έστω το (0,0) και το (α,0) τότε το (0,0) είναι πάλι απλώς ευσταθές έτσι? Αφού έχουμε μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο, το (α,0) ή κάτι έχω καταλάβει πολύ λάθος;

Ερώτηση

Σε πολλές ενδεικτικές λύσεις έχω δει να αγνοείται η βαρύτητα στην κατάστρωση των εξισώσεων (π.χ. Προοδος 17 ή Φλεβ 17). Το σωστό δεν θα ήταν να μην την αγνοήσουμε;


1) Στις σημειώσεις λέει ότι μια συνάρτηση V είναι αρνητικά ορισμένη αν V > 0 και V(x) != 0 για χ !=0 και V(x) = 0 για χ = 0.
Άρα λογικά το V' = -x2sinx1 δεν είναι αρνητικά ορισμένο αφού μηδενίζεται και για x1 !=0...

2α) Νομίζω πως είναι ασυμπτωτικά ευσταθές

2β) Αν γίνεται θετική εκτός του κύκλου τότε λογικά θα έχουμε αστάθεια αφού η λύση ξεφεύγει. Τώρα αρνητική εντός του κύκλου σημαίνει ότι τείνει στο Σ.Ι, σε κάθε περίπτωση νομίζω ότι ο κύκλος δεν είναι οριακός ασυμπτωτικά ευσταθής.

2γ) Λογικά θα τύχει να έχουμε ένα σημείο ισορροπίας της μορφής (α, 0). Τότε αν πας με Lyapunov θα βγάλεις ότι η V' είναι αρνητικά ημι-ορισμένη και άρα το Σ.Ι είναι απλώς ευσταθές. Όμως αν πας με LaSalle τότε λογικά θα βγάλεις ότι το S = {...} (βλέπε σημειώσεις Apostolf σελ 33) είναι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο και άρα έχουμε ασυμπτ ευσταθεια.

Για τη βαρύτητα, συμφωνώ δε νομίζω να πρέπει να αγνοηθεί.

ευχαριστώ πολύ! :)

2α) πώς το σ.ι είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ? Αφού υπάρχει μεγαλυτερο αμετάβλητο σύνολο από το σ.ι στο οποίο τείνουν οι λύσεις της V παράγωγος ....
2β)οχι δε μιλάω για τον κύκλο, μιλάω για το σ.ι όπως και παραπάνω
   αυτό δλδ εντός του κύκλου να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές
γ) ναι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο όμως είναι το (α,0) κι εγω μιλάω για την ευστάθεια του (0,0)

Δες λίγο σελίδα 29 απο τις συνολικες σημειωσεις, λεει η F(x) θα πρεπει να κατευθυνεται στο εσωτερικο της ισοβαρους, αρα σιγουρα οχι το 4. Λογικα ειναι το 3 κ οχι το 2 γτ με το 2 φευγει εκτος του κυκλου ενω εχεις V'<0.

ναι τώρα που το ξαναλές σα να χεις δίκαιο
απλά μπερδευόμουν επειδή θεωρούσα ότι τα σημεία ισορροπίας είναι αυτά στα οποία η V τέμνει τους άξονες ενώ στην ουσία είναι το (0,0) για να είναι Lyap
βέβαια με μπερδεύει κάπως η ύπαρξη του κύκλου αλλά τί να κάνεις...

Είπες θα πρεπει να κατευθυνεται στο εσωτερικο της ισοβαρους, αρα και το 2. οχι;

Εχει κανεις ιδεα για το ερωτημα  β ??? :-\
https://prnt.sc/jj0jgn

Θεματα Σεπτεμβριου 2017.Τα εχει λυσει κανενας;

Έλυσε κάποιος το ερώτημα β Θέμα 2ο Σεπτέμβριος 2017;

http://helit.org/ece-notes/sae2.pdf#page=67
https://prnt.sc/jr8pmr

Στις εξισωσεις στο θέμα 1ο της προόδου 2017 την βαρύτητα την λαμβάνουμε κανονικά υπόψιν;

εγω πιστευω πως ναι

είμαι 99% σίγουρος ότι ΟΧΙ

edit: pare auto

http://www.sharetechnote.com/html/DE_Modeling_Example_SpringMass.html#SingleSpring_SimpleHarmonic
εδώ εξηγεί γιατί δεν το λαμβάνει υπόψιν άμα πάρει ως αναφορά τη θέσηισορροπίας.Εχει και το παράδειγμα από μία πτυχιακή εξέταση με τις αναρτήσεις του αυτόκινήτου  

Δεν μπορώ να βρω κάτι σχετικό εδώ (ή δεν έψαξα αρκετά  :P) αλλά γνωρίζεις κανείς τι είναι αυτα που ζητάει στο πρώτο θέμα, ερωτήματα (δ) και (ε) του Σεπτεμβρίου 2017;

Επίσης, στο (γ), απλά λέμε ότι η υλοποίηση είναι ελάχιστη όταν το σύστημα είναι παρατηρήσιμο και ελέγξιμο;

Για το 3ο θέμα, καμία ιδέα γενικά; Προσπάθησα να κάνω κάτι με Lyapunov αλλά δεν μπορώ να βγάλω τίποτα.

Στα θέματα Ιουνίου 2017, στο 3α ζητάει τον πίνακα μετασχηματισμού Τ. Ξέρει κάποιος πως το υπολογίζουμε αυτό;

Για το θεμα 4β του Ιουνιου 17 μπορουμε να πουμε οτι επειδη το ΣΙ ειναι το (0,0) μπορω να γραψω τους ορους με τα τετραγωνα οτι ειναι σχεδον ισοι με κ^2 και να γραμμικοποιησω ετσι το συστημα μου;

ειναι νομιζω Τ=M'M^(-1) οπου Μ΄ ο πινακας ελεξιμοτητας της ελεξιμης μορφης και Μ ο πινακας ελεξιμοτητας της αρχικης

τί ακριβώς εννοείς?


Έχεις ένα σύστημα με πίνακες Α και Β τους οποίους ξέρεις και βρίσκεις ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο άρα μπορείς να το φέρεις στην εκμ η οποία έχει πίνακα Α'.
Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος που βλεπεις στην εκφώνηση δίνεται από την εξίσωση det(sI-A)=0 και είναι της μορφής s²+as+b ενώ το χπ της εκμ ειναι s²+a₁s+a₂. Οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες αφού η εκμ γίνεται με κατάλληλο ΜΣ ζ=Τχ χ=Τζοπότε εξισώνοντας τα όρους των δύο πολυωνύμων βρίσκεις τα α1, α2 και φτιάχνεις τον Α'. Ο Β' στην εκμ είναι πάντα [1 0...0]^Τ και με τα Α', Β' φτιάχνεις το Μ'. Ο μη ιδιόμορφος Τ= Μ'Μ^-1 και τον Μ προφανώς τον έχεις βρει πρώτον πρώτον.

'Εχει απαντηθεί ποοοοοοοολύ πίσω αν δεν απατώμεν.

εδιτ:με πρόλαβαν :P

There you go

Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!

Εν προκειμένω βγαίνει σωστό δε ξέρω όμως αν είναι συμπτωματικό. Προσωπικά δε θα το ρίσκαρα αφού η Ιακωβιανή βγαίνει πανεύκολα εδώ.
Αλλά ποιά η φυσική σημασία της υπόθεσής σου? Θέλω να πω, αν δεν υπήρχε ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας χ₁ πχ και είχες απλά κ²-χ₁ θα υπέθετες ότι ισούται με κ² ? Αν ναι, το 1ο στοιχείο της ιακωβιανής θα έβγαινε 0 ενώ κανονικά θα έπρεπε να βγεί 1.

Πάντως η υπόθεση σου είναι κάτι σαν "κοντά στο σ.ι. το σύστημα παίρνει τιμές πάνω σε οριακό κύκλο" το οποίο αν το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές μάλλον ισχύει, δηλ. αν υπάρχει ε<κ² για την οποία η λυαπ να είναι θετική τότε όντως έχει νόημα, αν όμως ήταν ευσταθές ΥΠΟΘΕΤΩ πως δε θα ίσχυε.  :-\ :-\ #confused

γενικα το σκεπτικο μου το βασισα στο παραδειγμα του ανεστραμμενου εκκρεμους που εχει κανει. Που εχει ενα sinx1 και επειδη το x1 του στο ΣΙ ειναι το 0 λεει μπορω να υποθεσω οτι sinx1 = x1.

Εδω η F ποια ειναι; γιατι σε προηγουμενες σελιδες λενε μια οτι ειναι η πρωτη εξισωση (δηλαδη του χ1_dot) και μια οτι ειναι το συστημα και των 2.

Εννοείς για την Ιακωβιανή; Το σύστημα και των δύο, σκέψου ότι στη σειρά i έχουμε δFi και στη στήλη j έχουμε /δzj.

Aυτό με το εκκρεμές το  υποθέτεις χαριν ευκολίας εδώ δε ξέρω αν μπορείς να το κάνεις αλλά ας πει κανας πιο σοφός τη γνώμη του.

Ωραια, ενιωσα τι λες σε ευχαριστω πολυ!

Δεν έχω ιδέα αν είναι σωστό. Θέμα 3 του Σεπτέμβρη 2017

Ορίστε και το θέμα 1 του Σεπτέμβρη 2017 το οποίο ανεβάζω κυρίως λόγω των 2 τελευταίων ερωτημάτων για τα οποία δεν είμαι (σχεδόν καθόλου) σίγουρος για τη λύση τους.

Άρα λες ότι ελάχιστο πλήθος ενεργοποιητών =2 (αφού α!=0) και αισθητήρων =1 (αφού το β μπορεί να είναι 0)?
Κι εγώ αυτό είπα. :P

Μπράβο σου!

Και μπράβο μας! Ναι αυτό εννοούσα ότι από τη στιγμή που δεν γίνεται να είναι μηδέν, υπάρχει, άρα 2 ελεγκτές και 1 αισθητήρας το ελάχιστο.

Κάτι ακόμα που μπορεί να είναι και χαζο: Στην πρώτη λύση που ανέβασες, στην παράγωγο dz₂^'/dz₂, πως ακριβώς παραγώγισες το |z₂|?

εχμμ το θεωρησα ίσο  με z₂ δηλ σα να εχω ζ^2
επίσης τώρα που ξαναβλέπω τη λύση μαλλον ειναι λάθος μισό
 εδιτ: ναι δε μπορείς να θεωρήσεις αυτό που θεώρησα οπότε αυτό που γράφω παρακάτω είναι το σωστό

εδιτ: ε χμμμ δε ξέρω δε μπορω να σκεφτώ τι αλλο να κανω με τo |z₂| απλά ίσως μπορείς να το αποφύγεις ορίζοντας στο αρχικό σύστημα Lyap την V=(k/2M)(x₁-(Mg)/k)²+(1/2)x₂²
 η οποία είναι πάλι αρνητικά ημιορισμένη (για χ₁*=c) και μετά κάνεις LaSalle για το σημείο ισορροπίας Μg/k δηλ υποθέτεις πως η λύση του χ₁ για V'=0 είναι διάφορη αυτού του αριθμού.

στα α και β σε ρωταει για ποιες τιμες ΔΕΝ ειναι ελεξιμο κ παρατηρσιμο αρα νομιζω πρεπει να πεις det=0 για τους πιανκες ελεξιμοτητας και παρατρισιμοτητας

exactly

Ανέβασα λύσεις θεμάτων από 2014-2017 στα downloads σε περίπτωση που κάποιος δεν τα έχει προσέξει, με κάθε επιφύλαξη.

Στις λυσεις στα downloads για το ερωτημα δ 1ο θεμα Σεπτεμβριου 17, προκειμενου να βρει το ελαχιστο πληθος ενεργοποιητων στον πινακα Β=[α 1]^-1 μηδενιζει το στοιχειο με τιμη 1 επειδη δεν μπορει να μηδενισει το α(χανεται η ελεγξιμοτητα)..γινεται αυτο? δεν αλλαζει ετσι το συστημα ομως?

εχεις δικιο. Ωστοσο δεν μπορεις να ξερεις τι εχει στο μυαλο του ο ροβι, και ετσι θα μπορουσες να σημειωσεις οτι:

"Αν μηδενισω το α εχω το ταδε προβλημα, αν ωστοσο μου δινοταν η δυνατοτητα να πειραξω το αλλο στοιχειο του πινακα Β, τοτε θα μπορουσα να εχω εναν ενεργοποιητη."

Υγ. εγω προσωπικα θα απαντουσα οτι το ελαχιστο πληθος = 2.

ευχαριστω, αλλα διδαχτηκαμε φετος καθολου για ενεργοποιητες και αισθητηρες? δε θυμαμαι να το λεει σε καποια διαλεξη του ο ροβι ουτε το βρηκα στις σημειωσεις...και αν ναι σε ποιο κεφαλαιο?

Τα είχε αναφέρει στο πρώτο μάθημα. Μετά τα θεωρεί γνωστά υποθέτω.

Σεπτεμβριος 2017..... θεμα 1γ)
Ποτε ένα σύστημα έχει ελάχιστη υλοποίηση;;;;

αρχικα λιγο περισσοτερη προσοχη που ποσταρουμε... τοση δουλεια ριξαμε για να γινουν τα τοπικ ευαναγνωστα! Τα τοπικ ειναι ανα χρονια!

το συστημα εχει ελαχιστη υλοποιηση, οταν ειναι ελεγξιμο και παρατηρησιμο.

Σεπτέμβριος 2017 θέμα τρίτο έχουμε καμία λύση; δεν μπορώ να βρω τη lyapunov

Υπάρχει Σεπτεμβριος 2017 3ο θέμα λυμένο;

Στην προηγούμενη σελίδα  ;)

Στο 4γ Ιούνιο 2017 που παίρνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο της Lyaponov, γιατί καταλήγουμε στο συμπέρασμα της αστάθειας; Δεν θα μπορούσαμε να πούμε πως το σύστημα είναι τοπικά ευσταθές στην περίπτωση που η Lyapunov βγαίνει αρνητικά ορισμένη;

Ιούνιος 17: Θέμα 5. Για να καταλάβω, από τη στιγμή που δείξουμε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο και βρούμε την τιμή του κ2 για να ικανοποιείται η προϋπόθεση του ζ = 1, δε χρειάζεται να δείξουμε ότι:

α) Το (0,0) είναι σημείο ισορροπίας; (ντάξει αυτό κλάιν)

β) Το συγκεκριμένο Σ.Ι. είναι ασυμπτωτικά ευσταθές;

Η ελεγξιμότητα συμπεριλαμβάνει την ασυμπτωτική ευστάθεια ΟΛΩΝ των Σ.Ι.;

και κάτι πιθανόν πιο χαζό: Η ελεγξιμότητα απ'όσα έχω καταλάβει μας βοηθάει να ελέγξουμε την ταχύτητα σύγκλισης στην τελική τιμή. Μπορούμε να μετατοπίσουμε μέσω ελεγκτή το-τα Σ.Ι.;

Όλα αυτά στα πλαίσια της λύσης που διάβασα στο "SAEII_Themata_Lyseis_2014_2017.pdf" στη σελ. 42.

Αν έχω καταλάβει σωστά τι ακριβώς ρωτάς -κι από τα όσα έχω καταλάβει-, βγαίνει ότι είναι ασταθές γιατί το αρνητικό πρόσημο της V εξαρτάται από τις τιμές των x1 και x2 σε συνάρτηση με το κ. Ουσιαστικά -το λέω με επιφύλαξη- αν πάρεις τιμές χ1 χ2 κοντά στο Σ.Ι. (αλλά και οπουδήποτε αλλού) θα καταλήγουν (το πώς καταλήγουν φαίνεται από τις παραγώγους) στον οριακό κύκλο και όχι στο Σ.Ι. σου. Μόνο όταν χ1=χ2=0 μένει εκεί το σύστημα το οποιό πρακτικά σημαίνει ασταθές Σ.Ι.

Αν κάνω λάθος ας με διορθώσει κάποιος.

+1

Φεβρουάριος 2017?? Για το α κτλβαίνω ότι θα χρησιμοποιήσουμε την V(x) =1/2x^Tx αλλά στη συνέχεια τι? :D

Φεβρουάριος 2017 κανείς???

Φεβρουάριος 2017 κανείς?????????

Αν παρεις V=1/2x^2, τοτε V' = x^2*[a-k(b+f(x)]. Μετα πρεπει να βρουμε Κ τετοιο ωστε να ειναι ολη η αγκυλη αρνητικη. Αλλα με μπερδευει επειδη δεν ξερουμε προσημο για το β...

Βάλε V=(1/2*|b|)*x^2

ας ανεβασει καποιος αν το εχει λυσει το θεμα pleasee.Όπως και το 2

Έχω βέβαια μια ένσταση για το 1/(b+c) αλλά είναι το καλύτερο που μπόρεσα να βγάλω (εγώ αυτό θα έγραφα :P ). Νομίζω η συνάρτηση V=(x^2)/(2|b|) δεν βοήθησε σε αυτό το ερώτημα, πάλι στην ίδια συνθήκη καταλήγεις.

Άντε και ο Θεός μαζί μας αύριο....

Η ασκηση ζηταει ολικα ασυμπτωτικα ευσταθες. Η γραμμικοποιηση γυρω απο το ΣΙ ωστοσο σε αναγκαζει τα αποτελεσματα σου να αφορουν αποκλειστικα και μονο την τοπικη ευσταθεια.

Υπάρχει μήπως κάποια σωστή λύση για το σεπτ 17 θέμα 3 αρα;;;

+1

Καλησπέρα παραθέτω την λύση για το α) μέρος, νομίζω ότι είναι σωστή.
Παρατήρηση 1) το σημείο ισορροπιας εμφανιζεται στην lyapunov
                      2)Το θεωρημα lasalle το εφαρμοζω γυρο απο το σημειο ισορροπιας που δεν ειναι το μηδεν οπως λεει στην θεωρια αλλα με αλλαγη μεταβλητης
                          λογικα ειναι το ιδιο

.. και το β) μερος, αν καποιος βρει λαθος ας πει

Αυτη η Λιαπουνοφ δεν ειναι θετικα ορισμενη . αρα δεν μπορουμε να την χρησιμοποιησουμε .

η λιαπουνοβ σου δεν βγαζει καποιο νοημα ως προς το προσημο της. ουτε αρνητικη ουτε αρνητικα ημιορισμενη.... μπορεις να εξηγησεις πως το σκεφτεσαι ; ;)

Μπορείς να γράψεις τις εξισώσεις κατάστασης χρησιμοποιώντας ως x1 το y - Mg/k και x2 το ydot. Τότε θα έχεις xdot = Ax + δ(x2). Αν πάρεις ως Lyapunov την V = x^TPx, με τον P θετικά ορισμένο μπορείς κάνοντας τις πράξεις να βγάλεις Vdot = -x^TQx + 2δ^T(x2)Px. Κάνοντας τις πράξεις για τον τελευταίο όρο μπορεί κανείς να δει ότι με σωστή επιλογή του P (p12 = p21 = 0) η Vdot προκύπτει αρνητικά ορισμένη.

Για το δεύτερο ερώτημα κάνε γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης.

Χρησιμοποιώντας αυτό το x1 κάνεις γραμμικοποίηση γύρω από το Σ.Ι., οπότε δεν μπορείς να ψάξεις ΟΛΙΚΗ ευστάθεια ανεξάρτητα με τι επιλογή V και Vdot κάνεις μετά. Έτσι δεν είναι? Διορθώστε με αν κάνω λάθος...

Συμφωνώ, κι εγώ αυτή κατέληξα οτι είναι η πιο σωστή λύση, αν και θεωρώ ότι ίσως υπάρχει κάποια θεωρητική τρύπα στις απαιτήσεις του θεωρήματος La Salle.

Δεν κάνω καμιά γραμμικοποίηση. Απλά μετακινώ το ΣΙ.

οπως αποδειχθηκε στην εξεταση σημερα σημερα γινεται και παραγινεται. shout out to Mr.Robot!

για αυτο το θεμα πηρα μια πιο by the book προσεγγιση (σεπτ 17-θεμα 3α). δεν ξερω. τι λετε;

Φεβρουαριου 17 εχει κανες λυμενα?

Για το 2ο θέμα της Προόδου 17:

Θεωρώ πως η σωστή απάντηση είναι σίγουρα το 3ο, καθώς θα σχηματίζει αμβλεία γωνία η F με την V'. Το 1ο νομίζω είναι λάθος, αλλά το 2ο και το 4ο δεν ξέρω.

Έχει κανείς καμιά ιδέα;

Λοιπόν αν και δεν το έχω διαβάσει και πολύ καλά θεωρώ ότι το 2ο θα ήταν λάθος καθώς είναι εκτος του κύκλου r άρα λογικά σε αυτή την περίπτωση η V' θα ήταν θετική και το ίδιο λογικά ισχυεί και για το 1ο.

Μετα για το 4ο ετσί οπως το βλέπω μάλλον το απορρίπτεις γιατί δεν σχηματίζει αμβλεία γωνια με την V'.
Αν έχει κάποιος αλλος καμία καλύτερη ιδεα ας πει...

Γενικά ακόμα παλεύω να βρω σωστή άκρη. Βλέποντας και τη συζήτηση για τα θέματα του 20 (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=75838.0), όπου έβαλε το ίδιο θέμα, καταλήγω μάλλον στο 3,4.

Το 4 γιατί λες πως δεν σχεδιάζει αμβίλα γωνία;

Νομίζω ότι η εφαπτομενη για να σχεδιασουμε το κάθετο δίάνυσμα της dV/dx ειναι πάνω στην έλλειψη οπότε ετσι οπώς το βλέπω στο σχημα  θεωρώ οτι η γωνία δεν ειναι αμβλεια..αυτη ειναι η σκεψη μου αλλα δεν ξερω αν ειναι σωστη..


edit:Επισης τωρα που ξανα ειδα λιγο το βιντεο 3_4 λεπτο 13,20 περιπου λεει οτι το διανυσμα της F  πρεπει να ειναι εντος της ισοβαρους καμπυλης δλδ στην περιπτωση μας εντος της ελλειψης οποτε ισως και για αυτο..

ΦΕΒ 17 θέμα 2 ποιές είναι τελικά οι σωστές εξισώσεις?

σε συνέχεια του παραπάνω, στο Σεπτ 17 - θεμα 3.β δεν μπορούμε απλά να βαλουμε για ελεγκτη το u = c2/M * x2 * |x2| + v , οπου v η νεα εισοδος και αρα απλα να μας βγει το συστημα γραμμικο;;; (βγαινει οτι εχει και ευσταθεια).

Τα έχει κανένας λυμένα?
Δεν τα έχω δει σε κανένα αρχείο.

λογικά λαθος θα είναι ...

ωραίο όνομα αρχείου, το θέμα 2 και εγώ έτσι το έχω κάνει, αλλά δεν απάντησα και εγώ σε μια ερώτηση που έχει στο τέλος.
Θεμα 1. Το c μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε στον ελεκτή μας? Γιατί δεν λέει κάπου ότι είναι γνωστό.

edit: Θέμα 1) α) βάζουμε u = 0 για να βγει αυτό που θέλει.