THMMY.gr

Topic σχετικά με γενικές ερωτήσεις/απορίες για τα θέματα, που όμως δεν αναφέρονται σε κάποια συγκεκριμένη χρονιά. Αν οι απορίες σας αφορούν συγκεκριμένα θέματα, απευθυνθείτε στα κατάλληλα topics.

---

Σπερααααααα.Οταν δεν ειναι  ελεγξιμο το συστημα μου και το γραφω στην μορφη που πας λεει πρεπει να κατασκευαω τον πινακα Τ.Ο Τ ομως οριζεται ως εξης Τ=[μ1 ... μν Δ] οπου τα μ ειναι οι γραμμικα ανεξαρτητες στηλες τους πινακα ελεγξιμοτητας.Τον Δ (ας τον πουμε ετσι) τον επιλεγω εγω ετσι ωστε οτι Τ να μην ειναι ιδιομορφος;

Ναι

σωστα

Γίνεται να μου εξηγήσει κάποιος την γραμμικοποίηση μέσω ανάδραση? Δεν μπορώ να το καταλάβω από κανένα παράδειγμα  :( :( :( :( :( :( :(

Ετσι οπως το εχω καταλαβει εγω ειναι οτι προσπαθεις απλα να πεταξεις τον μη γραμμικο ορο εξω(οταν αυτο  γινεται).u=μη γραμμικο πραγμα + v( =καινουργια εισοδος)
Αν ειμαι λαθος παρακαλω διορθωστε :D

και ο μη γραμμικός όρος ας πούμε είναι ένα sin?

Ή ενα τετραγωνο,Με λιγα λογια οτι δεν ειναι γραμμικο. Α και  προσπαθεις να πεταξεις και τους σταθερους ορους οξω.
[/list]

Ευχαριστωωωω

Nα ρωτήσω κάτι..στην περίπτωση που έχουμε γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης..πως καταλαβαίνω αν πρέπει να είναι της μορφής u=-kx ή της μορφής u=-kx +kr*r???

νομιζω ΝΟΜΙΖΩ, οταν σου λεει να ακολουθει το σημα αναφορας r, οπως στο θεμα 3, ιουνιου 2014, αλλα δεν ειμαι απολυτα σιγουρος..

δεν εννοω πως καταλαβαινω αν θα παρω  απλα γραμμικη αναδραση ή δυναμικη αναδραση...λεω στηνν περιπτωση της γραμμικης αναδρασης πως θα καταλαβω αν θα βαλω και το kr ή οχι..

Σε ένα παλιότερο post αυτού του topic ,  κάποιος ανέφερε ότι :

"ολικη ευσταθεια εχω οταν εχω μονο ενα σημειο ισορροπιας και ευσταθεια"

Ισχύει αυτό έτσι?

απ' ότι έχω καταλάβει.

η ευστάθεια χαρακτηρίζει Σ.Ι. πάντα. αν κάθε Σ.Ι. είναι ευσταθές, τότε η ευστάθεια χαρακτηρίζει συνολικά το σύστημα.

προυπόθεση είναι η μελέτη ευστάθειας του κάθε Σ.Ι. να είναι ολική κι όχι τοπική.

Τελικά δυναμική ανάδραση καταστάσεων πότε βάζουμε και πότε γραμμική? Πώς θα το ζητάει πχ? Δυναμική όταν ο Α είναι γενικά άγνωστος? Ενώ αν υπάρχει αβεβαιότητα ως προς μόνο μια ας πούμε παράμετρο του Α τότε γραμμική? Και αν υπάρχουν διαταραχές ή θόρυβος?

παιδια,ποιος ειναι ο τυπος για  να βρουμε το δυαδικο ενος συστηματος?γσε καποια σημεια το βλεπω με - και σε καποια χωρις..

Που το έχεις δει με -? Το δυαδικό σύστημα έχει αυστηρό ορισμό, στην κλασσική μορφή των συστημάτων πας και βάζεις
Α'=Α^T
B'=C^T
C'=B^T
D'=D^T
όπου με τον τόνο συμβολίζω τη θέση Α,Β κοκ

στις λυμενες απο σταμουλη στα downloads..στης σημειωσεις exomag ειναι ακριβως οπως το λες.

Γενικά αυτός είναι ο μόνος ορισμός που σε ενδιαφέρει γιατί αυτόν σου δίνει ο Ροβιθάκης (αυτόν που έχει κι ο Exomag) και πάνω από όλα είμαστε επιστήμονες.

να ρωτησω κατι, πως δειχνουμε ολικη ασυμπτωτικη ευσταθεια? γιατι ο λασαλ δειχνει μονο τοπικα. ή τελοσπαντων πως θα επρεπε να στοιχειοθετησεις ολικη ασυμπτωτικη ευσταθεια για να τη δεχτει ο ροβιθακης :D

Στο λασαλ έχεις δείξει ότι το σημειο ισορροπίας είναι το μεγαλύτερο αμετάβλητο σύνολο και αν είναι το μοναδικό τότε έχεις ολική ασυμπτωτική ευστάθεια

H θεωρία γράφει επι λέξη ότι το x=0 θα είναι τότε τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν αυτό σημαίνει ολική ασυμπτωτική αστάθεια, πάσο.

Στη θεωρία όμως ορίζει και την V(x) τοπικά θετικά ορισμένη. Αν η V(x) είναι θετικά ορισμένη σε όλο το R² τότε σημαίνει ότι δεν έχεις περιορισμό στα x και άρα μπορείς να βγάλεις ολική ευστάθεια.

Προφανώς ο λασαλ έχει τοπική ισχύ και μάλιστα στο Ωr, αν όμως ειναι το μοναδικό σ.ι. το Ωr είναι το Rⁿ οπότε προκύπτει ολική ασυμπτωτική ευσταθεια

Αυτό που λες ισχύει για Lyapunov

Κατ' επέκταση ισχύει και στο lasalle αφού όταν πας να βρεις για ποια x μηδενίζει η V'(x) δεν έχεις για το Ω_r κάποιο περιορισμό στο r από τον αρχικό ορισμό της συνάρτησης lyapunov.

Ναι αλλά γιατί να πάρεις λασαλ όταν έχεις βγάλει ολική με lyapunov?? Τώρα ξανά διάβασα το ποστ. Συνοψιζω: παίρνεις lyapunov, αν ή παραγωγός είναι αρνητικά ημιορισμενη είσαι κομπλε, αν είναι ημιορισμενη παίρνεις λασαλ. Για ολική θες πάντως μοναδικό σ.ι.

Εννοούσα ότι αν έχεις βγάλει την V'(x) αρνητικά ημιορισμένη και πας μετά για lasalle, τότε δεν έχεις από τον ορισμό της lyapunov κάποιο περιορισμό στα x, αν η V(x) θετικά ορισμένη στο R².

αν έχουμε στην παράγωγο της συνάρτησης Lyapunov μια ποσότητα μη θετική, η οποία μηδενίζεται εκτός απο το (0,0) και σε σημεία της μορφής π.χ. (0,α), πρέπει να πάρουμε Lasale για ασυμπτωτική ευστάθεια?

ναι

Πιθανότατα έχει απαντηθεί στα προηγούμενα αλλά με ποια λογική εκλέγουμε συνάρτηση Lyapunov;

εμπειρια του σχεδιαστη που λεει και ο ροουβι. αλλα επειδη ο σχεδιαστης δεν εχει εμπειρια, βαζεις την κλασσικη και αν δεν πετυχει ειναι συνηθως μια παραλλαγη της (σε βολευει να αφαιρεσεις κατι να μηδενιστει κατι , να πολλαπλασιασεις κλπ).

ή αν ειναι καμια κουλη κοιτας παρομοιες ασκησεις και βλεπεις τι πηρε σε αυτη την περιπτωση

Σε ευχαριστώ!

καμια ιδεα παιδια ? πως αποδεικνυω σταθεροποιησιμο?

+1

1 κοιτας αν ειναι ελεγξιμο , τοτε ειναι σταθεροποιησιμο
2 αν δεν ειναι το χωριζεις σε ελεγξιμο και μη και κοιτας τις ιδιοτιμες του Α2
αν ειναι αρνητικεες σταθεροποιησιμο ( κεφαλαιο 5 δειτε σταθεροποιησιμοτητα)

να σαι καλα !

Στις εξετασεις θελει αποδειξεις σε τυπους κλπ, ή μπορεις να τους χρησιμοποιείς απευθείας;

νομίζω αν δε λέει κάτι μπορείς απευθείας, αλλά εγώ προσωπικά κάνω την απόδειξη μιας και δεν μπορώ να μάθω τίποτα απ' έξω και δεν είναι τίποτα τρομερό, απλή αντικατάσταση είναι τα περισσότερα

Αν Q = (C^t)*C, τότε ο Q είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος;

Στην σελίδα 37 από το SAE_II_Shmeiwseis_2016.pdf έχει την
(χ1)' = χ2
(χ2)' = sin(x1) + u*cos(χ1)
και ζητάει να προσδιορίσω την u ώστε το (0,0) να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ΣΙ.
Στη συνέχεια με ποιό σκεπτικό διαλέγει συνάρτηση Lyapunov αυτής της μορφής?

Με κάποιο όνειρο που είδε μάλλον! Είδα και λίγο πιο πίσω στις σημειώσεις που έχει ένα άλλο παράδειγμα με (χ2)' = -sinx1 παίρνει αντίστοιχα μια  1-cosx1 Lyapunov. Προφανώς βολεύει οπότε αν βάλει κάτι αντίστοιχο ας το έχεις στο μυαλό σου.

Όταν κάνουμε γραμμικοποίηση γύρω από το ΣΙ, για ποιον λόγο να βρούμε και τους άλλους πίνακες B, C και D, εφόσον αν βρούμε τον A μετά την γραμμικοποίηση αποδεικνύουμε μέσω ιδιοτιμών την ευστάθεια;

Για λόγους ότι ο εξεταστής είναι λίγο τελειομανής να το θέσω ευγενικά;

Να ρωτήσω κάτι, στην γραμμική ανάδραση καταστάσεων, πότε δεν βάζουμε το kr*r ?

Από όσο έχω καταλάβει όταν δεν σε ενδιαφέρει να πας σε κάποια συγκεκριμένη έξοδο τότε δεν το χρησιμοποιείς δηλαδή αν μόνο σε νοιάζει πως να κάνεις Ευσταθες το σύστημα

κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που δεν είναι ελέγξιμο, δεν μπορεί να σταθεροποιηθεί.

Σωστό ή λάθος;

δεδομένου ότι η σταθεροποιησιμότητα είανι ελεγξιμότητα σε άπειρο χρόνο, θα έλεγα εκ πρώτης όψεως λάθος,
αλλά σε κάτι παλιές απαντήσεις, το βρήκα σωστό  :???:

Λάθος είναι... ένα σύστημα μπορεί να σταθεροποιείται μετά από άπειρο χρονο.. αλλά για να είναι ελέγξιμο πρέπει να σταθεροποιείται σε πεπερασμένο χρόνο.

Παιδιά ελέγξιμο σύστημα είναι και παρατηρήσιμο; Επίσης όταν έχεις την ελέγξιμη κανονική μορφή μπορείς να βρεις την παρατηρήσιμη;

Για το πρώτο δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητο.

Για το δεύτερο το ένα είναι το δυαδικό του άλλου. Δηλαδή αν έχεις ένα σύστημα σε ΕΚΜ και πάρεις το δυαδικό του αυτό θα είναι σε παρατηρήσιμη κανονική μορφή.

Εννοείς να κρατήσω την κύρια διαγώνιο όπως είναι και να εναλλάξω τους άλλους 2 όρους (τον ένα με 0 και τον μη μηδενικό) σε ενα 2χ2?

εννοώ ότι αν έχεις ένα σύστημα σε ελέγξιμη κανονική μορφή και πάρεις το δυαδικό του, το 2ο σύστημα θα είναι σε παρατηρήσιμη κανονική μορφή.

Πίνακας 6.1 σελίδα 6, 6ο κεφάλαιο, Σημειώσεις μαθήματος

^super^

Όταν μας δίνονται δύο εξισώσεις κατάστασης που έχουν μέσα u, και θέλουμε να πάρουμε Lyapunov, τότε δε μηδενίζουμε το u, βρίσκουμε σημείο ισορροπίας και μετά το ξαναεμφανίζουμε όταν ψάχνουμε τη συνάρτηση Lyapunov;

παιδια αν ενα συστημα ειναι μη-παρατηρησιμο και το παμε για χωρισμό σε παρατηρησιμο και μη τοτε η διαδικασία είναι ιδια με την ελεγξιμότητα οπου ορίζαμε τον πινακα Τ και βρισκαμε τον Α' = (Τ^-1)(Α)(Τ)?
ή το πάμε μεσω παρατηρήσιμης κανονικής μορφής?

Νομίζω αυτό που λες απλά ο πίνακας Τ είναι οι γραμμικώς ανεξάρτητες στήλες του πίνακα W.

δυαδικό -> ελέγξιμο και μη -> δυαδικό (θα ειναι παρατηρισιμο και μη). Το έχει στο 6ο κεφάλαιο

ναι αυτο εννοουσα απο τον Πίνακα 6.1 Διαδικασία εύρεσης της παρατηρήσιμης κανονικής μορφής

Πότε το ΣΙ είναι ολικά ασυμπτωματικά ευσταθές και πότε τοπικά ασυμπτωματικά ευσταθές;

Ολικά είναι όταν μπορείς να το γενικεύσεις για ολόκληρο το πεδίο ορισμού. π.χ. αν έχεις μοναδικό Σ.Ι. τότε η ευστάθεια που αποδεικνύεται με LaSalle είναι ολικά ασυμπτωτική.

Αν, τώρα, έχεις γραμμικοποιήσει το σύστημά σου γύρω από ένα Σ.Ι., τότε μιλάμε πάντα για τοπική ευστάθεια. Επίσης, αν έχεις περισσότερα από ένα Σ.Ι., τότε πάλι τοπικά. Τέλος, αν στη Lyapunov σου υπάρχουν περιορισμοί που εισάγονται στο Br, τότε και πάλι έχεις τοπική ευστάθεια.

Έχω την εξής απορία αν κάποιος μπορεί να βοηθήσει.
Έστω ότι μελετάμε την ευστάθεια του συστήματος στο ΣΙ x^*=(0,0) και μετά απο την επιλογή της Λιαπούνοφ καταλήγουμε να βγάλουμε την παράγωγό της ίση με
V' = -x₁² -x₂².

Τώρα μπορούμε να πούμε πως το σύστημα θα είναι ευσταθές αλλά δε μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την ασυμπτωτική ευστάθεια καθώς η V' είναι αρνητικά ημιορισμένη;

Εν συνεχεία της σκέψης μου, για να καταλήξουμε στην ασυμπτωτική ευστάθεια πρέπει να προχωρήσω με Λασάλ και να βρω ποιά (x₁,x₂) μηδενίζουν την V' ?

και εγώ αυτό κατάλαβα.

thanks!

Μα η V' = -x₁² -x₂² δεν ειναι αρνητικα ορισμενη (και οχι αρνητικα ημιορισμενη) οποτε εχουμε κατευθειαν ασυμπτωτικη ευσταθεια?

είναι V' <= 0 αν x1 = x2 = 0. Aρα lasalle

V'<0 για όλα τα ζεύγη x1,x2 εκτός αν χ1=χ2=0 όπου η V'=0, άρα η V' αρνητικά ορισμένη, άρα ασυμπτωτική ευστάθεια στο (0,0). Δεν χρειάζεται LaSalle

Σκεφτειτε και το εξης: Η V = (1/2)x₁² + (1/2)x₂² που χρησιμοποιουμε συνεχεια και ειναι θετικα ΟΡΙΣΜΕΝΗ (και οχι ημιορισμενη) εχει απλα αντιθετα προσημα
με την V' = -x₁² -x₂².

ναι σωστα εχετε δίκιο

συμφωνω μαζι σ αλλα εδω δεν ειναι ΟΛΙΚΑ ασυμπτωτικα ευσταθες αφου τ μοναδικο σημειο π μηδενιζεται η V'=0 ειναι τ (0,0)??

Οταν έχω ένα σύστημα με είσοδο ελέγχου u . Και μας ζητάει να αποδείξουμε ασυμπτωτική ευστάθεια με Lyapunov.

Θεωρούμε απλά απο μόνοι μας το u=0 ;;
ή το ενσωματώνουμε στην υποψήφια Lyapunov που παίρνουμε;;

Επισυνάπτω ένα παράδειγμα.

προσωπικά θα έπραιρνα μια Lyapunov (π.χ. την συνηθισμένη V = 1/2 x₁² + 1/2x₂²) και θα αντικαθιστούσα στην V' τις εξισώσεις κατάστασης κ μετά θα έβλεπα τι βολεύει να ειναι το u και θα εβαζα αναλόγως.. δεν ξερω αν θέλει u=0.

Θέλω να πιστεύω πως από τη στιγμή που σου δίνεται ελεγκτής u, έχεις δικαίωμα να τον κάνεις ότι θες. Τώρα, στο παράδειγμά σου, μπορείς να τον κάνεις ζάφτι και να διώξεις όλους τους όρους ώστε να μείνεις με ένα -x2^2 που βολεύει αφάνταστα.

Κάποιος όμως σε παλιότερο post έλεγε ότι αυτό δεν είναι σωστό, γιατί Lyapunov παίρνεις γύρω απο ΣΙ  και άρα δεν μπορείς να πάρεις V που να έχει και το u μέσα.

Μα παίρνεις "στο πρόχειρο" Lyapunov με το u για να το προσδιορίσεις όπως σε βολεύει και όταν βρεις κάποιο που ταιριάζει, γυρνάς πίσω και το αντικαθιστάς στις εξισώσεις κατάστασης. Στη συνέχεια ξαναπαίρνεις Lyap και όλα καλώς.

btw, κατεβαίνω σε καμιά ώρα στο καμαράκι για να λύσουμε κάνα θέμα, θα είναι κανείς;

Αυτο το παραδειγμα το ελυσε καποιος?Κολλαω λιγο στη θεωρια.Εγω πηρα u=-x1-x2 και βρισκω 2 σημεια ισορροπιας,το (-1/3,0) και (0,0).Με τη γνωστη lyapunov καταληγω οτι μονο το χ2 πρεπει να μηδενιζεται,δηλαδη το χ1 μπορει να ειναι οτιδηποτε.Παιρνω Lassalle (S=[a,0]) και μετα τι λεω?Αμα ηταν μονο το (0,0) θα ελεγα το γνωστο οτι ειναι το μεγαλυτερο αμεταβλητο συνολο και αρα ειναι ολικα ασυμπτωτικα ευσταθες,τωρα με τα 2 ΣΙ δε ξερω τι παιζει ακριβως

Πότε καταλαβαίνεις αν θα λύσεις το πρόβλημα σου με Γραμμικη Αναδραση Καταστάσεων ή Δυναμική Ανάδραση Καταστάσεων;;
Υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας; :)

Δυναμική παίρνεις οταν το σύστημα έχει διαταραχή d(t) (Σταθερή όμως d(t)=d) ή όταν δεν γνωρίζεις με βεβαιότητα τις παραμέτρους του συστήματος (δεν ξέρεις με σιγουριά τον Α στην ουσια) ή και τα 2 παραπάνω ταυτόχρονα.

Σε Μη-Γραμμικά συστήματα που δεν μπορώ να πάρω πίνακα Μ ώστε ελέγξω αν ειναι Ελέγξιμο .
Υπάρχει άλλος τρόπος να διαπιστώσω αν είναι Ελέγξιμο;;

ή απλά το θεωρώ δεδομένο ότι είναι;; 

Γενική ερώτηση,
Άμα θέλω το y να καταλήξει σε συγκεκριμένο δ, επιλέγω
α) u =-k * x + kr * r (k για ευστάθεια) (kr = μακρυνάρι τύπος και r = δ)

ή

β) Δυναμική ανάδραση καταστάσεων με  z' = y - δ
?

Χωρίς να θέλω να σε πάρω στον λαιμό μου, νομίζω το 1ο. Η δυναμική ανάδραση είναι για περιπτώσεις τύπου διαταραχών κτλπ. Το kr*r είναι αυτό ακριβώς, δηλαδή η έξοδος μας να τείνει σε μία συγκεκριμένη τιμή. Και αφού μας την δίνει ( κάποια δ ) θα είναι και η κατάλληλη ανάδραση

Και γενικά θυμάμαι είχε πει ότι χρησιμοποιούμαι το kr*r ΜΟΝΟ οταν μας το ζητάει ξεκάθαρα στην εκφώνηση

Και το σκεπτικό:
-  u =-k * x + kr * r (k για ευστάθεια) (kr = μακρυνάρι τύπος και r = δ)
είναι σωστό?

Έτσι θα το έπερνα και εγώ..  Από εκεί και πέρα τι να σου πω.. :P

Εξαρτάται. Άμα ξέρεις τα πάντα στο σύστημα, ό,τι και να πάρεις θα σε οδηγήσει στο σωστό αποτέλεσματα. Παρόλα αυτά, η πρώτη μέθοδος απαιτεί γνώση του μοντέλου. Άμα δεν ξέρεις ακριβώς το σύστημα, δεν μπορείς να υπολογίσεις τα k. Άρα τότε θα πας με δυναμική ανάδραση επιλέγοντας ασφαλή κέρδη για να αντιμετωπίσεις τις αβεβαιότητες. Θα χρειαστείς δυναμική ανάδραση και άμα έχεις σταθερή διαταραχή, καθώς στην πρώτη περίπτωση θα είχες ένα σφάλμα στην παρακολούθηση του σήματος αναφοράς.

Και τα δύο είναι γραμμική ανάδραση καταστάσεων, οπότε όταν σου το ζητάει έτσι, το ποιο θα επιλέξεις εξαρτάται από τον αν ξέρεις επακριβώς το σύστημα

αν δηλαδή δίνει μόνο x' = Ax + Bu με τα Α,Β γνωστά αλλά δεν αναφέρει καθόλου για y = Cx + Du το πάμε με δυναμική ανάδραση κατευθείαν?

Εφόσον θες η έξοδος να ακολουθεί κάποιο σήμα αναφοράς, θα σου δίνει την εξίσωση για την έξοδο. Στη δυναμική ανάδραση έχει z = y - r άρα θες την έξοδο. Το να μην ξέρεις το μοντέλο συνήθως είναι του στυλ χ = -αχ και να σου λέει ότι το α κυμαίνεται σε κάποιο διάστημα. Δώσε μου ένα παράδειγμα για να δω τι εννοείς αν υπάρχει κάτι τέτοιο σε παλιά θέματα.

δεν θυμαμαι να το ειδα καπου, απο το μυαλο μου το εβγαλα  :D thanks!

Μπορεί να σου λέει η τάδε κατάσταση να ακολουθεί κάποια τιμή. Τότε μπορείς να πάρεις σαν έξοδο την κατάσταση εκείνη. Αλλιώς αν έχεις πχ

\dot{x} = ax + u με a > 0 και σου λέει το x να πηγαίνει στο 0, μπορεί απλά να πάρεις u = -kx και τότε \dot{x}  = (a-k) x οπότε θες k > a (χωρίς να πεις δηλαδή παίρνω y=x που είναι τετριμμένο).

γενικοτερες απορίες:

1. kr*r στον ελεγκτή βάζω μόνο σε γραμμικής ανάδρασης καταστάσεων; αλλά και πάλι πότε; ή το βάζω πάντα;
επίσης θέλει να το βρίσκουμε το kr από εκείνο τον τύπο με τους πίνακες ή όχι;
2. γραμμικοποίηση γύρω από ΣΙ κάνετε με τα dx ή με τα dz? κάνει μια με το ένα κ μια με το άλλο.

εγώ έχω καταλάβει ότι το kr το βάζουμε μόνο όταν μας ζητάει η έξοδος να συγκλίνει σε συγκεκριμένη τιμή (r) και το υπολογίζεις από τον τύπο με τους πίνακες ή αν έχεις ελέγξιμη κανονική μορφή kr=(an+kn)/bn

αν θελουμε να φερουμε ενα συστημα σε ελεγξιμη κανονικη μορφη, πως βρισκουμε τον πινακα Τ;;

λεει οτι Τ=Μ(παυλα)*Μ(αντιστροφος), αλλα τον Μ(παυλα) πως τον βρισκουμε, αφου ειναι ο Μ του νεου συστηματος(το οποιο ψαχνουμε);

Aπό σημειώσεις exomag παράδειγμα!
https://prnt.sc/gj0z7a

Γενικά τα κ που βάζουμε στους ελεγκτες μπορούν να παίρνουν αρνητικές τιμές;

Nομίζω ότι οπως και να το πάρεις , αν κάνεις σωστά τις αντικαταστάσεις z=x-x^* θα σου προκύψει το ίδιο.   

Αν πας με dz , τότε όπου x θα βάλεις x=z+x^* ,  και αφου κάνεις την παραγώγιση θα βάλεις z=0  ώστε θα έχεις μέσα στον πίνακα Α(περισπωμένη) μόνο τον όρο x^*
π.χ :  x1^* , x2^* .

Ελπίζω να μην σε μπέρδεψα.

Οταν πηγα να δω το γραπτο μ ειπε οτι μπερδεψα γραμμικο ελεγκτη καταστασεων και εξοδου.
Μπορει καποιος να διευκρινισει τη διαφορα?

Στο Υλικό στο ethmmy, αν πας στο Κεφάλαιο 6 ,  το pdf λέγεται  Γραμμικός Έλεγχος Ανάδρασης Εξόδου. Εκεί στην ουσία γίνεται όλη η ανάλυση για Παρατηρησιμότητα, Παρατηρητή κτλ
και χρησιμοποιείται ανάδραση εξόδου.  :)

Η ανάδραση εισόδου, έχει να κάνει με το να χρησιμοποιήσεις u (είσοδο) συναρτήσει x1,x2 κτλ , κεφάλαιο Γ.Α.Κ.

Χωρίς να είμαι σίγουρος και επειδή με προβλημάτισαν λίγο αυτά που γράφτηκαν,θεωρώ πως:
1)Αν σου λέει ξεκάθαρα ελεγκτή ΕΞΟΔΟΥ τότε πράγματι κοιτάς τον πίνακα C για να δεις ποια από τα x θα συμπεριλάβεις.
2)Αν ΔΕΝ λέει κάτι, παίρνεις u με όλα τα x σου μέσα (είτε τον γραμμικό με το kr είτε τον δυναμικό).

Εξάλλου, σε 2 παραδείγματα του Apostolof, 2o pdf, 23/28 και ολικό pdf 98/101, "ΑΓΝΟΕΙ" τον C και βάζει μέσα και τα x1,x2...

Αν γνωρίζει κάποιος κάτι πιο επίσημα παρακαλώ να το πει...

Γενικά αν λέει "ανάδραση εξόδου" σημαίνει πως το μόνο πράμα που είναι μετρήσιμο (και επομένως μπορεί να χρησιμοποιήσει κανείς στον ελεγκτή του) είναι το y = C * x. Εφόσον θελήσει κανείς τις καταστάσεις θα πρέπει να μπλέξει με παρατηρητές κλπ.

Αν δεν λέει κάτι, η λογική λέει πως θεωρεί αυτονόητο πως όλες οι καταστάσεις είναι μετρήσιμες οπότε μπορεί κανείς να τις χρησιμοποιήσει όλες στον ελεγκτή του. Οπότε εκεί μπορείς να σχεδιάσει έναν γραμμικό ελεγκτή ανάδρασης όλων των καταστάσεων.

Σε ευχαριστώ πολύ :)

Όταν ζητάει ελεγκτή ανάδρασης εξόδου αυτό που σου λέει είναι ότι γνωρίζεις μόνο το y. Δηλαδή δε ξέρεις ούτε το x1 ούτε το x2. Αυτό που ξέρεις είναι το C*x.
Τον Ιούνη ήταν έτσι ο πίνακας C ώστε τελικά να βγαίνει y=2*x2 αλλά αυτό δε θα ισχύει πάντα. Μπορεί ο πίνακας C να είναι οποιοδήποτε [c1 c2]. Ο ελεγκτής που θα χρησιμοποιήσεις πρέπει να είναι της μορφής u = -ky = -kCx


a minute too late :P

Αυτό πιστεύω πλέον και εγώ.Απλά αυτό δεν αναφέρεται πουθενά ρητά και ξεκάθαρα τόσα χρόνια...

Έχω συμπεράνει οτι χρησιμοποιούμε ελεγκτή μορφής u=-k*x+kr*r όταν δεν έχω διαταραχή d και δυναμικό ελεγκτή όταν έχω μπορεί κάποιος να επιβεβαιώσει οτι είναι έτσι? (Πλιζ καιγομαιιιι)

Εγω εχω καταλαβει οτι οταν σου ζηταει "Σχεδιασε ελεγκτη που να συγκλινει στην εισοδο r", τοτε σχεδιαζεις -k*x + kr*r, όμως πολλές φορές όταν λέει απλά "κλείσε το βρόχο με ελεγκτή" βάζει απλά -k*x.

Για την δυναμική, ναι οταν εχω διαταραχες

Ακριβως το ίδιο έχω καταλάβει κ εγώ. Δεν ειπα την περιπτωση του -kx γιατι ειναι στανταρ οταν δε σου ζηταει να συγκλινει στην εισοδο. Ευχαριστω

Απ' οσο καταλαβαινω χρειαζεται να βρεις διαφορα αναμεσα σε εξοδο και αναφορα οταν εχεις διαταραχη
που αυτο γινεται με μια τριτη διαφορικη αρα ναι

Τωρα αμα σε δινει χρονομεταβλητο r και φραγμενο πρεπει να παρεις και μια εξισωση σφαλματος οπως σελιδα 19 part 3
και κοιτας να συγκλινει αυτη η μαλακια

Ελπιζω να μη λεω πιπες

Αυτό στο συνημμένο ισχύει; Μήπως έχει μπερδέψει λίγο τα πρόσημα στο x; Μου κάνει εντύπωση γιατί και στις φετινές σημειώσεις και στις σημειώσεις του 2016 έχουν γράψει το ίδιο πράμα.

ναι λογικά το dot(x)=-x είναι το ευσταθές και το άλλο χωρίς το - είναι ασταθές.

Όταν μας ζητείται να σχεδιαστεί γραμμικός ελεγκτής ανάδρασης καταστάσεων ώστε η έξοδος να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, αν υπάρχουν διαταραχές στο σύστημα (πχ Ιούνης 14) προφανώς θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί δυναμική ανάδραση καταστάσεων (u = -K*x -Ki*z) για να εξασφαλιστεί αυτό. Αν όμως δεν υπάρχουν διαταραχές (πχ Ιούνης '15), τότε και ο ελεγκτής u = -K*x +Kr*r δε θα έκανε τη δουλειά;

Ναι αν έχεις πλήρη γνώστη του συστήματος (i.e. καμία άγνωστη παράμετρο) και καμία εξωτερική διαταραχή, η γραμμική ανάδραση καταστάσεων σου κάνει τη δουλειά.

Ρε παιδιά 2 ερωτήσεις έχω γιατί δεν μπορώ να τα βρω πουθενά:

1) Τι είναι οι ελεγκτές και οι αισθητήρες; Που υπαρχουν στην θεωρία;

2) Τι είναι ο συντελεστής απόσβεσης; Παίρνω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και το γράφω ως:

  s² + (2jω)s + ω²

και λέω ότι είναι το ω ;

1) Αισθητήρες είναι οι τιμές του C. Ελεγκτές είναι τα u αλλά μήπως θέλεις να πεις ενεργοποιητές ? (που είναι οι τιμές του Β)?
2) Νομίζω πως είναι το j το οποίο παρεπιπτόντως συνήθως συμβολίζεται ως ζ, τουλ. στα κυκλώματα. Το ω είναι η φυσική συχνότητα.

στον ιουνη του 15 δε γνωριζεις καποιες παραμετρους αρα και παλι χρειαζεσαι δυναμικη αναδραση καταστασεων

1) Σε ευχαριστώ! Ενεργοποιητές εννοούσα και τα συνάντησα και σε άλλα θεματα! (Σεπτέμβρη του 15 και Σεπτέμβρη του 17)
Αν έχει κανείς καμία ιδέα πως τα λύνουμε να επιβεβαιώσουμε καμία λύση καλά θα ήταν!

2) Άρα όταν δίνει φυσική συχνότητα *τάδε* και συντελεστή απόσβεσης *κάτι άλλο* (που λογικά θα τα συνδέει και κάποια σταθερή σχεση), απλά εξισώνω τους συντελεστές του πολυωνύμου ε;


Έτσι έλυσα εγώ το ζήτημα της ελέγξιμης κανονικής μορφής γιατί δεν τον καταλαβαίνω αυτον τον πίνακα M^~

Με μια προχειρη ματια που εριξα δεν νομίζω να ειναι λαθος. Αυτό που λες πως δεν καταλαβαινεις τον πίνακα Μ~. Στο σημείο που επιλέγεις τον Α~ μπορείς να πεις ότι αυτός έχει το ίδιο ΧΠ με τον πίνακα Α. Άρα μπορεις εύκολα να βρεις τις τιμές α1, α2. Μετά τον Μ~ τον υπολογίζεις όπως ακριβως τον Μ, απλά αντί για τα Α, Β, χρησιμοποιείς τα Α~, Β~. Και ο Τ προκύπτει από τη σχέση που μας δίνει στην θεωρία.

Επειδή σε λυμένες ασκήσεις οι απόψεις διίστανται, θέλω αν μπορεί κάποιος να μου το διευκρινίσει.

Έστω Lyapunov V'= -x^2 που είναι < ή ίση με το 0. Αυτό μας δίνει απλή τοπική ευστάθεια και χρειαζόμαστε LaSalle για να αποδείξουμε ολική ασυμπτωτική ευστάθεια ή αυτή η Lyapunov μας αρκεί για να πούμε πως έχουμε ολική ασυμπτωτική ευστάθεια;

Αν η κατάσταση σου είναι μόνο το χ τότε έχεις όλική
Αν οι καταστάσεις σου είναι χ και y τότε θες Lassale
Τα ονόματα είναι παράδειγμα, θα μπορούσε να είναι x1 x2 πχ

Το <= και το < έχουν να κάνουν με ευστάθεια και ασυμπτωτική ευστάθεια αντίστοιχα.

Για τοπική/ ολική, εξαρτάται από το πεδίο εφαρμογής της (την περιοχή που μελετάς). Σε παραπέμπω στον ορισμό του θεωρήματος (πχ Αποστολοφ σελ 29), που λέει ότι η μελέτη σου γίνεται στο B_r = {x ανήκει Rⁿ: |x|<r}. Αν αυτό το r είναι το άπειρο, έχει ολική ευστάθεια. Σκέψου πχ αν έχεις βάλει κάποιο περιορισμό λόγω παρονομαστή ή άλλο σημείο ευστάθειας (το 2ο δική μου προσθήκη, το 1ο το θυμάμαι σίγουρα).

Επειδή βλέπω ότι έθιξες και τα 2  ::)

Όταν ένα σύστημα 2χ2 δεν είναι ελέγξιμο και θέλουμε να δείξουμε πως είναι σταθεροποιήσιμο, παίρνουμε πίνακα μετασχηματισμού Τ και πρέπει ο νέος πίνακας Α να έχει και τις δύο ιδιοτιμές αρνητικές ή μόνο την δεύτερη;

παίρνεις πινακα ΜΣ και τον φερνεις στη μορφη |Α11   Α12|
                                                                           |  0     Α2  |

Το Α2 ειναι το μην ελεγξιμο μερος αν αυτο ειναι αρνητικος πραγματικος αριθμος τοτε το συστημα ειναι σταθεροποιήσιμο.

αν το Α2 δεν βγει πραγματικος αρνητικος αριθμος (με προυποθεση οτι εσυ εχεις κανει τον Τ μη ιδιομορφο). Τοτε χρειαζεται να το επαναλαβουμε ελπιζοντας να το βγαλουμε αρνητικο? Ή απο τη στιγμη που εγω κατασκευασα αυτο το μετασχηματισμο απο μη ιδιομορφο πινακα και το μη ελεγξιμο μερος παραμενει ασταθες, σημαινει οτι γενικα το συστημα αρα δεν ειναι σταθεροποιησιμο?

Μια συνάρτηση λέμε ότι ειναι θετικά/αρνητικά ορισμένη όταν είναι V > 0 ( ή V < 0, για την αρνητικά ορισμένη) σε ολο το R ??? Γιατι διαβαζω από τις σημειώσεις το θεωρημα Lyapunov και κάτι τετοιο καταλαβα..καλα τα λεω ή μπα ?

Ναι! Βάσει του ορισμού, θέλεις όλο το R (γενικότερα: όλο το R^N, όπου N το πλήθος των μεταβλητών κατάστασης που όρισες).
Ωστόσο, κατά την εφαρμογή του θεωρήματος Lyapunov, σε νοιάζoυν κατά κανόνα μόνο εκείνα τα x ε R^N που ορίζουν γεωμετρικά τη μπάλα Β_r(0). Bέβαια, δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός: μπορεί η μπάλα σου να'ναι και όλο το R^Ν. :P

θενκ γιου βερι ματς

sorry που σπαμαρω αλλα δεν ξερω αν το καταλαβα 100% κομπλε.

Αρα οταν εχω βγαλει την V' < 0 στο R τοτε εχω ολικη ασυμπτωτικη ευσταθεια , αν είναι σε σε εναν κυκλο ακτινας r τοτε εχω τοπική ασυμπτωτική ευσταθεια. Αν εχω βγαλει την V'<=0 τοτε ισχυει οτι ειπα πιο πριν απλα χωρις το ασυμπτωτικη σωστα τα ειπα ή χάνω τιποτα;

εδιτ: (οπου < εννοω αρν.ορισμενη και <= αρν.ημιορισμενη)

Γενικώς, όταν βάζουμε ελεγκτή ή παρατηρητή, μπορούμε να πούμε στην λύση πως το επιθυμητό πολυώνυμο είναι της μορφής pd(s) = s^2+ρ1*s+ρ2 και να υπολογίσουμε ό,τι μας ζητείται συναρτήσει αυτών των ρ1 και ρ2;

τα ρ1 και ρ2 δε θα τα ξερεις; Αν δεν τα ξερεις η αν δεν μπορεις να τα προσδιορισεις καπως δε μου φαινεται οτι μπορεις να κανεις κατι τετοιο..

Ναι και εμένα αυτό μου έκανε εντύπωση, είδα κάτι λυμένες που δίνουν αποτέλεσμα συναρτήσει των ρ1 και ρ2, ενώ η άσκηση δεν δίνει κάποιο στοιχεία για το επιθυμητό πολυώνυμο. Θέμα 3&4 από Ιούνιο 2014.

παιδια ξερεις κανεις στην γραμμικοποιηση μεσω αναδρασης οταν το u ειναι πολλαπλασιασμενο με μια ποσοτητα οποτε εσυ χρειαζεται να το διαιρεσεις με αυτην την ποσοτητα πρεπει να παρεις περιορισμο αυτη η ποσοτητα να μην γινεται αρνητικη;;

oχι αρκει να μη μηδενιζεται

Διαβασε λιγο εκει τι λεει , το βρηκα στις σημειωσεις και μου φανηκε περιεργο . Αρα αυτο που λεει δεν ισχυει;

Χμμ τοτε νομιζω οτι καπου ειδα στις φετινες σημειωσεις οτι σε νοιαζει να παρεις συστημα με ιδιοτιμες 2-6 φορες μεγαλυτερες απο αυτες που εχεις ηδη για να συγκλινει γρηγοροτερα. Αρα προκυπτει καπως ετσι το χαρακτ. πολ/μο. Με επιφυλαξη αυτο που λεω γιατι δεν μπορω να το βρω στις σημειωσεις αλλα εχω την εντυπωση οτι το ειδα καπου. Οποτε ισως προεκυπταν ετσι τα ρ1 και ρ2

υποθετω πως ειναι "τυπογραφικο" για να αναφερεται σε "απειρισμο" πιθανον εννοει διαιρεση με 0 και οχι κατι αρνητικο
ας επιβεβαιωσει και καποιος αλλος βεβαια

συμφωνω κι εγω οτι μαλλον προκειται για τυπογραφικο και με ενα γρηγορο ψαχτηρι σε παλιοτερες σημειωσεις και διαλεξεις ροβι δεν ειδα να αναφερει κατι παρομοιο.

γνωριζει κανεις γιατι οταν ζηταει να κανουμε γραμμικοποιηση μεσω αναδρασης δεν τσεκαρουμε ελεγξιμοτητα ενω οταν θελει να κανουμε γραμμικη αναδραση καταστασεων;

αν καταλαβαινω τι ρωτας, στο συστημα που προκυπτει μετα την  γραμμικοποιηση μεσω αναδρασης, οντως δεν θυμαμαι σε καποια ασκηση ο ροβι να ελεγχει ελεγξιμοτητα (αλλα ελεγε, οτι "παρατηρουμε οτι το συστημα ειναι ελεγξιμο"). Δηλαδη, πριν το ελεγξει κατι ελεγε ως προς την ελεγξιμοτητα του συστηματος.

All in all, αν εχεις χρονο και καθαρο μυαλο κανε μια γρηγορα τον πινακα M και τσεκαρε το. Αν τρεχεις κι δεν φτανεις, ΜΠΟΡΕΙ και να χασεις κατι ψιλα απο την βαθμολογηση.

δεν ρωταω ακριβως αυτο αλλα χρησιμο κι αυτο που λες οποτε θενκιου  :)

Αυτο που ρωτουσα ειναι γιατι σε συστημα στα οποια θελει να βαλουμε ενα u για να τα γραμμικοποιησουμε δεν τον νοιαζει να ειναι ελεγξιμο ενω σε συστηματα που θελει π.χ. να εχουν συγκεκριμενο χαρακτ. πολ/μο πρεπει πριν θεωρησουμε την κλασικη u = -κx να δειξουμε οτι ειναι ελεγξιμο.

Ξέρει κανείς πως πρέπει να διατυπώσουμε τον Lasalle για να μην κόψει μονάδες ο ροβι; (πχ πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις για θετικό και αρνητικό;)