THMMY.gr

Από όλα τα παλιά θέματα, ξέρουμε ποια είναι του Ροβιθάκη? π.χ. στα θέματα Σεπτ.2009 κάπου βρήκα ότι το 1ο ήταν του Ροβιθάκη.

Μπορεί να ανεβάσει κανείς τις λύσεις από τα σημερινά θέματα; Έχουν ανέβει στα downloads. Άντε κάντε έναν κόπο όσοι τα λύσατε!  ;)

θα βλεπεις θεματα απο 2014 κ μετα.



λιγο προχειρα θα σου πω τι παιζει:
1ο θεμα:α) ελεγξιμο=σταθεροποιησιμο. βλεπεις για ποια τιμη του γ δν ειναι ελεξγιμο. για τις αλλες εισαι οκ. μετα πας κ ειτε παιρνεις ολοκληρωμα(σελ.37 σημειοσεις εξομαγκ) ειτε πας σελ.40 απο σημειωσεις κ θες να βρεις απο μη ελεξγιμο μερος την ιδιοτιμη κ να δεις τι παιζει
β) δν ειμαι σιγουρος
2ο θεμα: κλασικα πραματα. βαζεις ελεγκτη u=-k1x1 -k2x2
3ο θεμα: u=-kx. κανεις lyapunov V=1/2*x^2 τα κλασσικα βγαζεις μια ανισωση για το k κ μετα κανεις lyapunov

καλα τα λες

Σκατα τα λεω. Ακου πως ειναι κανονικα:

1α)ελεγξιμο=σταθεροπ. Ως εδω ισχυει. Μετα χωριζεις σε ελεγξιμο κ μη ελεξγιμο μερος (κεφ.5 πως γινεται απο σημειωσεις ροβιθακη, τα λεει πολυ καλα) και ιδιοτιμη του Α₂₂ ειναι η ιδιοτιμη του μη ελεξγιμου μερους. Αν ειναι θετικη μη ελεγξιμο, αλλιως ελεγξιμο.
2) δν σου ζηταει γραμμικη αναδραση, αρα βαζεις μια εξισωση που σ βολευει. Προσοχη να μην υπαρχει πηλικο γτ σ το Σ.Ι ειναι το (0.0) κ θα απειριζεται. edi: το ελυσα κ με u=-x2 βγαινει ασυμπτωτικα ευσταθες.
3)ευκολο οπως το ειχα γραψει. u=-kx.
1β) Πρπεει να κατσω να το λυσω. :P :P

Αν εχω καταλαβει σωστα, το 2ο και το 3ο θεμα Σεπτεμβριου λυνονται με την ιδια μεθολογια. Επιλεγουμε την συναρτηση u που θελουμε και αντιστοιχα τη V και βρισκουμε τα K για τα οποια V' <0
Καταρχας το παραπανω σκεπτικο ειναι σωστο;
Τις συναρτησεις u και V με πια λογικη τις επιλεγουμε;

Αφου ξεκαθαρα και στα 2 σου ζηταει να βρεις την u ωστε να εχεις ασυμπτωτικη ευσταθεια.
Στο 3ο θεμα σου ζηταει γραμμικρο ελεγκτη αναδρασης, αρα χωρις να εχεις επιλογη θετεις u=-kx. Εδω μπορεις να πεις τι γινεται για διαφορες τιμες του k. Εγω στο θεμα ειχα επιλεξει ενα k (νομιζω ισο με 2) κ ειχα πει ασυμπτωτικη ευσταθεια και το πηρε σωστο (το ειδα το γραπτο μου).
Στο 2ο θεμα σου ζηταει εναν ελεγκτη. Οποιονδηποτε. Θες αναγκαστικα να καταληξεις σε μια lyapunov που η παραγωγος της θα ειναι αρνητικα ορισμενη. Επιλεγεις οτι u θες εσυ. Οποιαδηποτε εξισωση μεταξυ χ1 και χ2. Απλα δν μπορεις να εχεις στον παρονομαστη καποιο απο αυτα τα 2 γτ τοτε δν θα οριζεται η u στο Σ.Ι.

εντιτ: ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΣ ΟΤΙ Κ V>0. Δεν αρκει V'<0.

Ευχαριστω!
Στο 2ο θεμα δεν πρεπει το u να ειναι γραμμικος συνδυασμος και του χ1 και του χ2 ;;

Λοιπον μολις ελυσα ξανα το θεμα 3 του σεπτεμβριου. Συγκεκριμενα γραφω την λυση:
V(x)=1/2 x^2
V'(x)=...=-x^2(1+2k-ksinx)
Θελεις η παραγωγος να ειναι παντα αρνητικη. Αρα η παρενθεση παντα θετικη:
Στην χειροτερη περιπτωση sinx=1.
Αρα η παρενθεση ειναι: (1+2k-k)=1+k. Αρκει κ>0. Επελεξε κ τυχαιο κ βγαινει ασυμπτωτικα ευσταθες. Μην ξεχασεις να γραψεις οτι u=-kx αντικαθιστωντας την τιμη του k. Ο ροβι εχει πει οτι κοβει.

Επισης για το θεμα 1β του ιουνιου νομιζω η λυση που εχει ανεβει εδω δν ειναι πολυ σωστη. Η λυση ειναι στην σελιδα 21 απο pdf exomag. Θελω να ακουσω γνωμες πανω σ αυτο. Κ τελικα τι ευσταθεια εχει, γτ στο παραδειγμα δν καταληγει καπου.

εισαι σιγουρος οτι ειναι
V'(x)=...=-x^2(1+2k-ksinx)
και οχι
V'(x)=...=-x^2(1+2k+ksinx)
?
χανω κατι?

Εχεις απολυτο δικαιο. ΔΝ αλλαζει ομως κατι. Γτ θα παρεις χειροτερη περιπτωση το sinx=-1, αρα η παρενθεση πάλι θα καταληξη στο ίδιο.

Θεε μου κανω quote τον εαυτο μου. ελεος.....
Ον τοπικ: Τελικα ειναι λαθος η λυση που εχει ανεβει, γτ αν δν εχουμε V'<0 δν σημαινει οτι εχουμε ασταθεια, απλα δν μπορουμε να αποδειξουμε ευσταθεια.

για το πρωτο θεμα του σεπτεμβριου καποια ιδεα?στο α χρειαζεται μονο η οριζουσα του πινακα Μ να ειναι διαφορη του μηδενος?και για το β αν το ελυσε καποιος....

Βρισκεις την οριζουσα στο α κ βρισκεις για ποιο γ μηδενιζεται. για τα υπολοιπα ειναι ελεγξιμο, αρα και σταθεροποιησιμο. Μετα για το γ που βρηκες οτι μηδενιζεται χωριζεις σε ελεγξιμο κ μη ελεγξιμο μερος κ βρισκεις ιδιοτιμες μη ελεγξιμου μερους. Αν ειναι αρνητικες τοτε ειναι σταθεροποιησιμο, αλλιως δεν ειναι. Το θεμα ειναι οτι την βρισκω αρνητικη, αρα δν μπορω να κανω κατι για το β, αφου το συστημα ειναι ηδη σταθεροποιησιμο :-\ :-\

στο 1ο θεμα του Σεπτεμβρη τα χ1(0) και χ2(0) πως θα τα χρησιμοποιησουμε;;

Πως χωρίζω σε ελεγξιμο και μη?

Μαλλον στο 1β τα χρησιμοποιεις, αλλα γενικα δν εχω ιδεα.


Θεωρεις εναν πινακα Τ με m_c ανεξαρτητες στηλες του πινακα Μ κ μετα συμπληρωνεις εσυ με δικες σου ανεξαρτητες στηλες. Μετα βρισκεις πινακες Α,Β συμφωνα με την θεωρια. Το μη ελεγξιμο μερος ειναι αυτο που αναφερε στη θεωρια ως Α₂

για το 1ο θέμα Σεπτέμβρη:

βρήκα ότι για γ= sqrt(2) το σύστημα είναι μη ελέγξιμο, οπότε το χώρισα σε ελέγξιμο και μη (για αυτή την τιμή του γ), με τη διαδικασία που περιγράφει στις σημειώσεις. ο πίνακας Α που προέκυψε έχει τιμή Α₂=-2/sqrt(2). Πώς ορίζουμε ιδιοτιμές του Α₂ εδώ;

αν ο Α2 ηταν πινακας θα εβρισκες τις ιδιοτιμες του οπως ξερεις...στη συγκεκριμενη περιπτωση ο Α2 ειναι ενα στοιχειο οποτε αυτο το στοιχειο ειναι και η ιδιοτιμη και αφου ειναι αρνητικη τοτε το μη ελεγξιμο μερος ειναι σταθεροποιησιμο....

Ακριβως. Κ η απορια μου ειναι. Τι σκατα κανουμε στο β ερωτημα????????????????????????

θενξ!


εγώ θα έπαιρνα ελεγκτή u=-k₁x₁-k₂x₂+k_rr και θα πήγαινα όπως στα λυμένα παραδείγματα.

Μπορείς να ανεβάσεις ένα παραδειγματακι τσακ μπαμ ? Στη θεωρία έχει πολύ λίγα πράγματα

στο Θεμα 1 του σεπ. 2014 ο πινακας Μ ελεγξιμοτητας ειναι Μ=[1,γ]
                                                                                            [γ,2]
επειδη λοιπον το det του ειναι 0 για γ=sqrt2 σημαινει πως τα 2 ιδιοδιανυσματα του πινακα αυτου ειναι γραμμικα εξαρτημενα δλδ τα [1;γ] και [γ;2] (στηλες)
για να βρεις τον πινακα Τ που θα σου χωρισει το συστημα σε ελεγξιμο  και μη ελεγξιμο μερος θες 2 γραμμικα ανεξαρτητα διανυσματα....οποτε παιρνεις ενα ιδιοδιανυσμα απο τον πινακα Μ εστω το διανυσμα στηλη [1,γ] και το δευτερο θα πρεπει να ειναι ενα γραμμικως ανεξαρτητο ως προς αυτο...και η καλυτερη επιλογη ειναι να παρεις ενα απο τα κανονικα ιδιοδιανυσματα του χωρου R², εστω το στηλη [1,0].
ετσι ο πινακας Τ ειναι Τ=[1, 1]
                                     [γ, 0]
και μετα ο πινακας Α του νεου χωρισμενου συστηματος σε ελεγξιμο και μη ελεγξιμο μερος δινεται απο τη σχεση Α'=Τ^-1*Α*Τ και ο αντιστοιχος Β'=Τ^-1*Β

Σ διδαξα καλα αγορινα μου!!

Μα ρε φιλε το συστημα ειναι ηδη σταθεροποιησιμο. Εσυ τι θα κανεις; θα το κανεις πληρως ελεγξιμο; δν εχει νοημα δηλαδη.

Ο Τ θα είνα 4χ4? Και θα βρω τα στοιχεία του από την εξίσωση?

Ο Τ παντα θα εχει τις διαστασεις του Μ. Θα βαζεις οσες ανεξαρτητες στηλες υπαρχουν στον Μ κ μετα θα συμπληρωνεις εσυ τυχαιες ανεξαρτητες στηλες.

και απο αυτον τον πινακα Τ πως βρισκουμε Α22?

Οταν εχει διασταση 2χ2 ο πινακας ειναι ευκολο. Ειναι απλα το στοιχειο α22. Αν εχει μεγαλυτερη διασταση πρεπει να καταλαβεις πιο ειναι το ελεγξιμο κ μη ελεγξιμο μερος. Αυτο δν μπορω να στο εξηγησω μεσω ποστ. Το πιο απλο που μπορω να σου πω ειναι οτι τα στοιχεια που ειναι δεξια απο μηδενικα δημιουργουν τον ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ πινακα απο τον οποιο θα βρεις τις ιδιοτιμες.

Έχει κανείς ιδέα για το θέμα 3 από την περσινή πρόοδο?

http://prntscr.com/6z6ywp

Εχεις όλη την εξεταση σε φωτο;

Υπάρχουν πολλα ΣΙ, Έστω (x*,u*)=((1+γ)/c,δα)
Εφαρμόζεις τυπους γραμικοποιησης (σελ.14 /4η διαφανεια)
Α=ac/2 >0 ασταθές στο γραμμικοποιημένο άρα ασταθες κοντα στην περιοχη του ΣΙ στο μη γραμμικο

#Δεν μπορεις να γραμμικοποιήσεις στο (0,0) γτ έχεις απροσδιοριστία.

Πρέπει να πάρεις το x συναρτήσει το u ή το αντίστροφο και να βρεις την ιδιοτιμή

Η πρόοδος του 2014: http://imgur.com/ZEKuUqS

Στο 4ο θέμα τι παίζει με τις παραμέτρους που είναι άγνωστες ;

Ουσιαστικά σου λέει να επιλέξεις ελεγκτή της μορφής u = N/ω * sinq + v/ω

το θέμα είναι ότι το γραμμικοποιημένο συστημά είναι της μορφής dz/dt = Az + Bu, επομένως πως μπορείς να βγάζεις συμπέρασμα για ευστάθεια χωρίς γνωση του u? Δε θα επρεπε να επιλέξεις ελεγκτή ή να έχεις καποια πληροφορία για το u για να μιλας για ευστάθεια?

Μόνο σχόλιο θα κάνεις. Η γραμμικοποίηση πρέπει να γίνει με παράμετρο το x* και να βρεις μετά την ιδιοτιμή που έχει εκείνος ο πίνακας που σχηματίζεται (1x1, αλλά πάλι το λες πίνακα και βρίσκεις εύκολα αυτή τη μία ιδιοτιμή - ο συντελεστής του z είναι δηλαδή). Αυτή πρέπει να σου βγει θετική λόγω περιορισμών του ριζικού. Οπότε θα πεις ότι το σύστημα είναι ολικά ασταθές, εκτός αν υπάρξει κάποιος ελεγκτής ανάδρασης που να το κάνει ευσταθές.

ok thanks

Σωστός είσαι εγώ πριν έκανα λάθος. Μια ερώτηση στα γραμμικά συστήματα γενικότερα όταν δεν εχουμε ανάδραση την ευστάθεια την εξετάζουμε για u=0? Θέλω να πώ αν έχουμε συστημα της μορφής. Χ'=ΑΧ+ΒU εξετάζουμε τις ιδιοτιμές του Α μόνο ?

Δεν είμαι ακριβώς σίγουρος γιατί ως u μπορείς να δώσεις και ό,τι θες, αλλά εφόσον λέμε ότι δίνουμε απλώς την επιθυμητή τιμή, τότε ναι, μπορείς να πεις απλώς για την ευστάθεια του Α. Αυτό φαίνεται αν δεις στις σημειώσεις σου για τη βηματική απόκριση.

Νομίζω οτι στην ευστάθεια εξετάζουμε για u=0 για αυτό στο θεμα 3 της προοδου κανουμε αλλαγή μεταβλητών έτσι ώστε (z*,v*)=(0,0)

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις!

Ορίστε και όλα τα θέματα της περσινής προόδου: http://prntscr.com/6zh71z

Πάλεψε μήπως κανείς από Σεπτέμβρη 2014 το θέμα 1β??

Γενικά έχουν μια συζήτηση στις προηγούμενες 2-3 σελίδες αυτού του topic αν και απάντηση δεν έχει δοθεί... Καταρχάς στο Α ερώτημα δείχνεις ότι για γ=sqrt(2) είναι μη ελέγξιμο, το χωρίζεις σε ελέγξιμο - μη  ελέγξιμο μέρος και η ιδιοτιμή μου βγαίνει -sqrt(2)=-1.4 να μη πεδεύομαι στο γράψιμο. 'Αρα σταθεροποιήσιμο.

Συγκεκριμένα z'=|1.4  1  | z + | 1 | u με πίνακα Τ=|1    0|, Τ^-1=|1     0| και x=Tz (αφού έτσι το θέλει η θεωρία).
                         |  0 -1,4|       | 0 |                       |1.4  1|         |-1.4 1|

Πάμε στο β: Σε περίπτωση που γ διάφορο του 1,4 είναι ελέγξιμο. Βάζω ελεγκτη -κ₁x₁-κ₂χ₂ και βρίσκω χαρακτηριστικό πολυώνυμο... Το έβαλα στο σύστημα πριν το μετασχηματίσω για να μη πεδεύομαι με τις αλλαγές των k μετά. Από κει και πέρα 2 περιπτώσεις:
- Είτε απαιτώ θετικούς συντελεστές (δευτεροβάθμιο είναι) για να είναι ευσταθές και να σταθεροποιηθεί και βγάζω περιορισμό για θετικά k,γ: 2k₂+γk₁-2>0
- Είτε θεωρώ επιθυμητό πολυώνυμο s²+p₁s+p₂ και εξισώνοντας βρίσκω k1,k2. Θα μου βγάλει ένα 2*2 σύστημα. Αν το λύσω βγάζει στον παρονομαστή 2-γ² που είναι διάφορο του 0 στην περίπτωση μας.
Αν είσαι και μερακλής, υπολογίζεις και ένα kr, αν και η σταθεροποιησιμότητα μιλάει για σύγκλιση στο 0, οπότε ας μη τα μπερδέψουμε.

Στη περίπτωση τώρα που γ=1.4 θα χρησιμοποιήσω τη μορφή με τα z του ερωτήματος (α). Καταρχάς z(0)=T^-1x(0) και z₁(0)=δ, z₂(0)=0.
Τώρα βάζω ελεγκτη -k₁z₁ αφού δεν έχει νόημα το k2... Δεν επηρεάζει ούτε στις ιδιοτιμές ούτε ελέγχει κάτι. Απαιτώντας αρνητική ιδιοτιμή είναι k₁>1.4 ή διαφορετικά αν θέλω σύγκλιση του ελέγξιμου μέρους με p₁, είναι k₁=p₁+1.4. Οπότε το z₂ μένει στο 0 αφού z₂(0)=0, το z1 συγκλίνει στο 0. Και το x=Tz πάει επίσης στο 0. Τέλος z₁=x₁ λόγω του Τ, οπότε ο ελέγκτης u=-k₁z₁=-k₁x₁


Τώρα δε ξέρω αν τα θελε όλα αυτά... Επίσης οι αρχικές τιμές είναι λίγο άκυρες. Γιατί και να μη ξεκινούσε το z2 από το 0 θα πήγαινε εκεί, αφού ο πίνακας είναι ευσταθής. Τέλος εγώ πήρα έναν Τ, στη διαδικασία χωρισμού όμως σε ελέγξιμο - μη  ελέγξιμο μπορείς να πάρεις οποιαδήποτε διανύσματα στις "κενές" στήλες που ναι γρ. ανεξάρτητα. Λογικά θα βγάλεις τα ίδια...

Ωραίος ευχαριστώ!  :)

ΥΓ: επειδή ζητάει τον ελεγκτή συναρτήσει του γ μπορούμε να γράψουμε μια γενική σχεδίαση u=-k1x1 -k2(γ-1.4)x2 ? ώστε να καλύπτει και τις δυο περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή του γ?

Γενικά μου φαίνεται ότι μπορείς να κάνεις ότι θες αρκεί: 2k₂+γk₁-2>0 στην (α) περίπτωση και k₁>1.4 στη (β).

Δηλαδή ακόμα και k2 να βάλεις στη 2η περίπτωση δε φαίνεται να αλλάζει κάτι. Ευσταθής θα είναι ο πίνακας. Τώρα αν θες να τα γράψεις σε μια έκφραση και κάπως να προσαρτήσεις τους περιορισμούς γίνεται.

ΥΓ: Πάντως αν δεις τις εκφράσεις για γ=1.4 στην πρώτη και k1>1.4 το k2 είναι ελεύθερο αρκεί να είναι θετικό. Απλώς μπαίνει ο επιπρόσθετος περιορισμός ότι στην πρώτη δε θα μου βάλεις k2=100 και k1=0.5 γιατί αν και σταθεροποιήσιμο (=μπορεί να σταθεροποιηθεί) ο ελεγκτής σου το πάει στην αστάθεια.

Για το θέμα 2 του Σεπτέμβρη '14 μπορεί κάποιος να μου πει τι συνάρτηση V πήρε? Γιατί εμένα δε μου βγαίνει με το κλασσικό V=1/2x₁²+1/2x₂²

Αυτήν παίρνεις, δεν θυμάμαι τι ελεγκτή είχα πει αλλά έβγαλα V' = -(x1^2 + x2^2)sin^2(x2) <= 0 και πας με Lassale

και το u=?

Με u=-x₂ νομίζω βγάζεις V'=-x₂^4-x₁^2sin^2(x₁) κι αποφεύγεις και το Lassale

Πάρε τον ελεγκτή που προτείνει ο Βασίλης, γιατί δεν θυμάμαι τον δικό μου και η χαρά βρίσκεται στην απλότητα. Μετά θα πάρεις Lasalle και πρέπει να βρεις ότι το μέγιστο αμετάβλητο σύνολο είναι το {(0,0)}. Αυτό θα το κάνεις αντικαθιστώντας χ2 = 0 στις εξισώσεις κατάστασης και πρέπει οι δύο παράγωγοι να μηδενίζονται μόνο για κ=0.

ευχαριστω!

Θέμα 4 Ιούνη 2014 που λεει μπορουμε να μετρήσουμε μονο μια απο τις δυο καταστάσεις, βρίσκουμε οτι για να ειναι παρατηρησιμο πρέπει c1 διαφορο του μηδενος και c1 διαφορο του c2. Μετά ποια διαλέγουμε να παρατηρήσουμε και γτ;

οπου c1, c2 είναι C=[c1 c2] και οι συνθηκες βγαινουν απο τον W

Αφού πρέπει το c1 διάφορο του μηδενός, παίρνεις αναγκαστικα αυτό σαν μέτρηση. Και αφού δεν έχει σημασία η τιμή του c2 για την παρατηρισμότητα, το παίρνεις ίσο με 0 . Άρα μετράς την κατασταση 1.

Και οπου c1=1 για απλοποιηση των πραξεων;

Γενικά και του Σεπτ 2014 αν έχει κάποιος...

guys, προοδος του 14, θεμα 2β..

αν θεσω u=-k1x1-k2x2 και Lyapunov την κλασικη V=1/2x1^2 +1/2x2^2, θεωρητικα μετα πρεπει να τη βγαλω αρνητικη αλλα μου βγαινει ενα τερατουργημα

να παρω αλλη u ή αλλη Lyapunov??

πέρνεις τη lyapunov και προκυπτει ότι για να ειναι η παραγωγος < 0 της πρεπει u = -μ* * x2 * (x1^2 + x2^2)

Μην πάρεις ελεγκτή αρχικά, κράτα το u ως έχει και πάρε την κλασική υποψήφια Lyapunov. Μετά δες πως βγαίνει η Lyapunov και ανάλογα πράξε. Δεν ζητάει γραμμική ανάδραση καταστάσεων, αλλά ανάδραση καταστάσεων, οπότε δεν χρειάζεται (και δεν βολεύει) να πάρεις τον ελεγκτή που επιλέγεις.

Αν πάρεις τι γίνεται;

με βγαίνει σε μένα

Ναι σωστά

OK θενξ, απλα υπαρχει το εξης θεμα
θελουμε
v'(x ) = μx2^2(x1^2+x2^2)+x2u <0

εδω αν θελουμε να ειμαστε πολυ τυπικοι, νομιζω δε μπορουμε να βγαλουμε κοινο παραγοντα το χ2 και να το απαλειψουμε, γιατι δε ξερουμε το προσημο του. παρ'ολα αυτα ειναι ενα καλο cheat για να βρουμε την καταλληλη u σωστα?? ουτως ή αλλως θεωρητικα επιλεγουμε μια στην τυχη..

επισης λεει οτι μ ανηκει (0,μ*), ανοιχτο διαστημα, οποτε αν u=-x2μ*-(...) ειναι παντα v<0 εε?

Στο θεμα 1 του Σεπτ14 για γ=ριζα 2 το δεν ειναι ελεγξιμο το συστημα γιατι οι στηλες/γραμμες ειναι γραμμικα εξαρτημενες μεταξυ τους. Εκει δηλαδη δεν βαζουμε καθολου τους μ;Εννοω οτι απλα διαλεγουμε εμεις τον Τ;

Παίρνεις τη μία στήλη από τον Μ και βρίσκεις μία ακόμα. Είναι γραμμικά εξαρτημένες οι στήλες του Μ, οπότε μπορείς να κρατήσεις τη μία και να βρεις μια άλλη ανεξάρτητη.

Αυτο εκανα και μου βγηκε μην σταθεροποιησιμο για γ=ριζα 2 ενω παραπανω καποιος εχει λυσει το θεμα και το εβγαζε σταθεροποιησιμο.Και ειπα να δω αν εχω λογικο κενο ή fail πραξεις.

Εμένα μου βγαίνει σταθεροποιήσιμο πάντα, έκανες κανένα λάθος στις πράξεις;

Χειροτερο.Πηρα τον Α12 και οχι τον Α1.uber fails.Thanks παντως.

Εμενα εδω για u=-x2 βγαινει V'=-x1^2(sin^2(x2) + x2^2) :S

άρα

Λουζω ασταματητα.Να'σαι καλα ρε.

Για το 3ο θεμα του σεπτ14 εχει να προτεινει κανεις κατι;

τι χαρακτηριστικο πολυωνυμο παιρνεις?? το να μηδενισω την u και να βγαλω το πολυωνυμο απο τον A μονο παιζει?? (και μετα να εξισωσω τους ορους που θελω)

κανω την αρχη.

σεπτεμβριος 2014, θεμα 2

have fun  :D

Υ.Γ. δεν ειμαι και 100%, διορθωσεις καλοδεχουμενες...

κάποιος που να έχει κάνει το Θεμα 1β απο Σεπτε 2014???   :'( :'( :'( :'( :'( :'(

αφου ζηταει σταθεροποίηση πάλι με τον πίνακα Μ δεν θα πάμε?

Σεπτεμβριος 14, θεμα 1α και θεμα 3, κλασσικα, δεχομαστε τυχον διορθωσεις

για το 1β δεν εχουμε βγαλει ακομα ακρη??

Ωραίος. Αλλά τελικά το ότι παίρνουμε U = - x2 από που  προκύπτει; εκεί το χάνω...

Η συναρτηση Lyapunov πρεπει να ειναι αρνητικα ημι(ορισμενη).Εδω πηραμε την κλασσικη 1/2χ1^2+1/2χ2^2,την παραγωγισαμε και είχε εναν όρο μεσα που έλεγε (κατι θετικο)*χ2*u.Αμα βάλεις u=-x2 τοτε όλο αυτό γίνεται αρνητικό ή μηδεν.

θα τα παιξω τελειως. θεμα 4, ιουνιος 14, εκει που λεει να σχεδιασουμε τον παρατηρητη.

εχω το χαρακτηρηστικο πολυώνυμο det(sI-(A-LC)) και με L=[l1 l2]^T και C=[1 0] βγαινει
s²+s(3+l1)+2+2l1+l2

και μετα και μετα??

με ποιο χαρακτηρηστικο πολυώνυμο το εξισωνω για να βρω τα l1, l2??

(αντιστοιχα και στο 1β του σεπτ14. αντε και βρισκω το πολυωνυμο συναρτησει των κ1 κ2, μετα τι κανω????)

Δεν μπορω να καταλαβω πως με lassale καταληγεις σε ολικη ευσταθεια.  Το θεωρημα αναφερει οτι οταν το μεγαλυτερο αμεταβλητο συνολο ειναι το ΣΙ τοτε εχω ΤΟΠΙΚΗ ασυμπτωτικη ευσταθεια. Επειδη αναφερει οτι η υποψηφια συναρτηση ειναι τοπικα θετικα ορισμενη;

Ναι αν είναι θετικά ορισμένη στον Rn και το μεγαλύτερο αμεταβλητο είναι  ο Rn τότε έχεις ολική ευσταθεια

θεμα 2 απο ιούνιο του 14 καμια ιδέα;

Εννοεις το μεγαλυτερο αμεταβλητο ειναι το ΣΙ..?

θεωρείς εσύ αυθαίρετα ένα ΧΠ με τις ιδιοτιμες που θες. πχ p_do(s) = (s+4)(s+8) πραξεις και εξισώνεις τα πολυώνυμα

για το 1β του σεπτέβρη 2014 έχει απαντηθεί εδώ:

Τον πίνακα  C πως τον βρήκες;

θες να είναι παρατηρήσιμο το σύστημα => rank(W)=n => det(W) =/= 0. O C=[c1 c2] και ενα απο αυτά είναι 0 και το αλλο ένα (απο εκφώνηση) και κανεις πράξεις και βγαινει

ευχαριστώ!

για να γραμμικοποιηθεί γύρω από ΣΙ πρέπει πρώτα να έχει ΣΙ, και εδώ αμα ψαξεις για ΣΙ θα δεις ότι πρέπει tan(u) = 0 => cosz = sinz = 0 άτοπο, άρα δεν ισορροπεί, άρα προφανώς δεν γραμμικοποιείται

αρχικα λεω οτι εχω τοπικη ασυμπτωτικη, ομως μετα αποδεικνυεται οτι το (0,0) ειναι το μοναδικο Σ.Ι., αρα εκει εχω ολικη ευσταθεια. (ολικη ευσταθεια εχω οταν εχω μονο ενα σημειο ισορροπιας και ευσταθεια)

αυθαιρετα?!? seriously? εγω ελεγα μηπως παιζει τιποτα του στυλ να βρω το χπ μονο απο τον Α πινακα και να τα εξισωσω.. :P



οποτε κι εδω παιρνω ενα ο,τι ναναι ΧΠ??

μα τις θές τις ιδιοτιμές του Α του συστήματος. απο κεί και πέρα ο μονος γνωμονας που έχεις είναι οτι θες οι ιδιοτιμες του πίνακα Α του παρατηρητη να είναι 2-6 φορες γρηγορότερες από το σύστημα ωστε να προλάβεις το μεταβατικό

α οποτε βαζω στο χαρακτηρηστικο μεγαλες ιδιοτιμες, got it

Δεν βαζουμε απλα s^2 +δ1s +δ2 ;Εννοω πρεπει να βαλουμε αριθμους αμα δεν μας το ζηταει;

θεμα 4, ιουνιος 2014...
εξακολουθω να εχω ανησυχιες για τον παρατηρητη..

εγω γενικα πηρα σαν επιθυμητο p=s^2+2ζω+ω^2 και δεν εβαλα τυχαια τιμη,οποτε εβγαλα τ l1 k l2 συναρτησει αυτων...δε ξερω... :-\

Για το Θεμα 1 Ιουνιος 2014 παίρνετε σαν αιτιολόγηση αυτή που υπάρχει σαν λύση εδώ ή αυτό που λέει στην σελίδα 21 των σημειώσεων;

δεν είναι το ίδιο, εδώ έχεις έναν αρνητικό παράγοντα μ,ο οποίος προκαλεί την αντίθετη συμπεριφορά. ουσιαστικα έχεις τοπική ευστάθεια σε κύκλο ακτίνας 1

Εδω αμα παρω Lassale το μεγαλυτερο αμεταβλητο συνολο το 0,0 δεν ειναι;

η V έχει λύση και για x1^2+ x2^2 =1

Οντως και ειναι και μεγαλυτερο συνολο.Αρα ποια ειναι η σωστη απαντηση;

lassale δεν νομίζω να χρειάζεται καθώς για  x1^2+ x2^2  < 1, V<0 οπότε ασυμπτωτική τοπική ευστάθεια. lassale θα έκανες αν δεν ειχες τοπικό περιορισμό και είχες αρνητικά ημιορισμένη V, ώστε να αποδείξεις το ασύμπτωτο της λύσης

εμ εχεις και το μ που ειναι αρνητικο.Αρα για χ1^2+χ2^2<1 V'>0.

όχι ρε αφού x1^2+ x2^2  < 1 => 1 - x1^2 - x2^2  >0 και V' = μ (1 - x1^2 - x2^2 )( x1^2+ x2^2 ), άρα αρνητική

Εχει κανεις ιδεα για το α;

Αφού τα Ν,ω είναι γνωστά θέτεις u = Nsinq/ω + v/ω και γραμμικοποιήθηκε το σύστημα. (Το v είναι δικιά σου είσοδος ελέγχου.)

ευχαριστώ !!

θεμα 3 Ιουνιος 14 ο ελεγκτης που χρησιμοποιω είναι ο απλος u=-k*x+kr *r ετσι; Με δυναμική αν'αδραση θα εχω κάλυτερα αποτελέσματα λόγω τ d;

λοιπον παλικαρια κ κοπελιες εχει κανεις καμια καλή ιδέα για το 3γ από τον ιούνη του 14??? :D :D

επίσης στο θέμα 4 στο δευτερό ερώτημα απλώς παίρνουμε τους τύπους με το L??

α) Υπάρχει λυμένο στις σημειώσεις νομίζω.

β) Ναι, και επιλέγεις ιδιοτιμές 2 έως 6 φορές μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες του Α.

ωω ναι δε το χα προσεξει
θενκς  :D :D :D

θεμα 3 ιουνιος του 14 ερωτημα 1 οταν καταληξω στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο s^2+(a1+k1)s+(a2+k2) για να ειναι σωστή η απάντηση θα πω εστω ενα ενα επιθυμητό πολύωνυμο s^2+p1s+p2 και θα γράψω τι πρεπει να ισχυει αναμεσα στα π1,α1,κ1 ή θα πρεπει να αναφερω οτι για την ευστάθεια πρέπει να ισχυει α1+κ1>0 και α2+κ2>0 και την αντιστοιχη σχεση για το Kr μετα :-\;

Αυτό ισχύει σίγουρα; Έχει κάνει κάτι τέτοιο σε άσκηση;
Αυτό που έχω διαβάσει σχετικά, είναι ότι οι ιδιοτιμές του Α-LC είναι τόσες φορές γρηγορότερες από του Α-ΒΚ όταν σχεδιάζουμε ελεγκτή ανάδρασης εξόδου με παρατηρητή για να αποσβαίνουν πιο γρήγορα τα σφάλματα εκτίμησης. Εδώ έχουμε απλά έναν παρατηρητή, οπότε  ο Α-LC πρέπει να είναι ευσταθής και να πληροί τις προδιαγραφές της επιθυμητής μεταβατικής απόκρισης του συστήματος. Για αυτές δεν ξέρουμε τίποτα, οπότε μάλλον θέλει να υποθέσουμε ΧΠ με τυχαίο ων και ζ.
Τί λέτε;

edit απάντηση:

Πρόοδος 2014, Θέμα 3:

τελική λύση δεν πρέπει να είναι

z' = (ac) / [ 2*sqrt(cx1* - γ) ] επί z + (1/δ)v ??

(στις ανεβασμένες λύσεις είναι χωρίς το "επί z".

Για το θέμα 4ο:
 Βάζεις αισθητήρα στο χ1
 Δε νομίζω ότι χρειάζεσαι τους τύπους ολόκληρους.
 Έχουμε
   L = ( l1 )
        ( l2 )
   C = (c1 c2)
 Για c2 != 0 :
   Αφού χ^ = ( χ1 ,  χ2^ )
   Άρα  χ_bar = ( 0 , x2_bar )
   Επομένως  d (x_bar) / dt = (A-LC) * x_bar
   Τότε κάνοντας τον πολλαπλασιασμό βλέπεις ότι:
   d (x_bar) / dt = ( 1 - l1 * c2, 2 - l2 * c2  ) * x2_bar
   Αφού x1_bar = 0 ποιος ο λόγος να το βάζω σε μπελάδες => 1 - l1 * c2 = 0
   Απαιτώ μόνο 2 - l2 * c2  < - τ
   Όπου τ η σταθερά χρόνου που θέλω να έχει ο παρατηρητής μου.
 
 Για c2 = 0 :
   Πάρε τύπους, άλλα τώρα θα είναι πιο έυκολοι να τους χειριστείς!
   p(A-LC) = s^2 + (l1 * c1 - 1) S + ( l2 * c1 - 2 - 2 * l1 * c1 )
   Τώρα απλά απαιτείς:
      σ = ζω_n= ( l1 * c1 - 1 ) /  2 < -τ
      Όπου τ η σταθερά χρόνου που θέλω να έχει ο παρατηρητής μου.
 
Αν κάνω λάθος παρακαλώ πείτε μου!

Εφόσον σου λέει ότι μπορείς να παρατηρείς μόνο μία κατάσταση, η οποία προκύπτει να είναι η χ1, αυτόματα c2=0 ? Ισχύει κάτι τέτοιο ή πρέπει να γίνει ολόκληρη η διερεύνηση ?

Τον παρατηρητή τον φτιάχνω διότι έχω καταστάσεις που δεν μπορώ να μετρήσω δηλαδή για τα χ1, χ2, ... που δεν ξέρω την τιμή τους. Για αυτό βάζω χ^ .

Επίσης, ο C είναι προσδιορισμένος από πριν και δεν τον διαλέγω εγώ.

Αν εννοείς ότι η έξοδος y βγαίνει από τον αισθητήρα που θα βάλεις ... αυτό δεν ισχύει. Η έξοδος y είναι του συστήματος του ίδιου και όχι των αισθητήρων που βάζεις.

1) Εγώ κατάλαβα ότι στο πρώτο ερώτημα διαλέγουμε C = [1 0] ή C = [0 1] και βλέπεις ποιο βολεύει.
2) Στο δεύτερo θεωρείς τον C του πρώτου ερωτήματος και πρέπει να κάνεις παρατηρητή και για τις 2 καταστάσεις

Συμφωνώ ότι ο πίνακας C είναι κάτι στο οποίο δεν μπορούμε να παρέμβουμε, απλά εμείς εξετάζουμε συστήματα μίας εισόδου και μίας εξόδου, οπότε η μία τιμή μεταξύ των c1,c2 θα βγαίνει 0.  Πριν δεν το διατύπωσα σωστά  :P

Ότι και αν ήταν το C πάλι θα ήταν Μίας Εισόδου-Μίας Εξόδου.

Έχεις δίκιο, δεν μπορώ να βρω μια καλή αιτιολόγηση ! Μόνο ότι σε όλα σχεδόν τα παραδείγματα του ο c ειναι της μορφής [0 1] η [1 0]... Από την άλλη μια πιο γενική λύση είναι πάντα σωστή  :P

θεμα 3 ιουνιος του 14 ερωτημα 1 οταν καταληξω στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο s^2+(a1+k1)s+(a2+k2) για να ειναι σωστή η απάντηση θα πω εστω ενα ενα επιθυμητό πολύωνυμο s^2+p1s+p2 και θα γράψω τι πρεπει να ισχυει αναμεσα στα p1,α1,κ1 ή θα πρεπει να αναφερω οτι για την ευστάθεια πρέπει να ισχυει α1+κ1>0 και α2+κ2>0

Επίσης για να βρω kr τι αλλάζει πλέον που έχω εξωτερικές διαταραχές? Παίρνω τ΄θπο kr= -1/(C(A-Bk)^-1 * Bd ?

Ιούνιος 14, 2ο θέμα καμιά ιδέα;; Έχει σημείο ισορροπίας αυτό το πράμα;;

δεν έχει σημείο ισορροπίας, γιατί θα έπρεπε x',y'z'=0 για z'=0 πρέπει tanu=0. Εφαρμόζοντας στα x y προκύπτει cosz=0 και sinz=0 που είναι άτοπο.

Παίζει να έχεις λύσεις 3ου και 4ου θέματος του Ιουνίου 14;;

το 3ο το έχει λυμένο στα παραδείγματα του τσαι-borg στα downloads και το 4ο το έχουν ανεβάσει σε προηγούμενες σελίδες

Απλά για το τέταρτο κανένας δεν αναφέρει το α ερώτημα... Το χ1 ή το χ2 θα μετρήσω;; Αυτό με ποια λογική το απαντάς;

έχει κάποια αριθμητικά το βρήκα σε προηγούμενες σείδες. εμένα μου βγαίνει μόνο ο περιορισμός c1 διάφορο του μηδέν. οπότε για ευκολία παίρνεις c2=0 και άρα επιλέγεις για παρατήρηση χ1

Θενκς ε λοτ!!!

νομιζω εχεις και συ αριθμητικο στο CA ... δεν εναι [-c1 c1-2c2] ?? η τα χω παιξει εντελως? αν και δεν αλλαζει κατι στη λυση

Γιες, ιτ χεζ λάθος εκεί! Τέστιντ μπάι ας του!

Δε το λύνεετε σωστα!
Η λύση έχει ως εξής. Αφού μπορείς να παρατηρείς μονο τη μία η εξοδος y θα είναι είτε η y=[1 0][x1 x2]T είτε ή y=[0 1][x1 x2]T
Θα ελέγξεις για κάθεμια αν είναι παρατηρησιμο και η μια θα σου βγει όντως παρατηρησιμη ενώ η άλλη όχι!

το ιδιο πραμα ειναι. οριζεις ενα C=[c1 c2] βρισκεις το W και βρισκεις για ποιο ειναι παρατηρησιμο, δηλαδη det(W) διάφορο του μηδενος. Εφόσον   έχεις περιορισμό c1 να είναι διάφορο του μηδενός και μπορείς να παρατηρείς μόνο μια κατάσταση άρα παρατηρείς με c1 και θέτεις c2=0

Για το 3 α) του Ιουνίου 14', χρειάζεται παρατηρητής σε συνδυασμό με γραμμικό ελεγκτή λόγω της άγνωστης d?

Στα θέματα της προόδου '14 στο 3ο θέμα μου φαίνεται σου ξέφυγε ένα μείον. Στην αντικατάσταση  του ν έχεις v = u-u* = u-αδ sqrt(cx*-γ) ενώ θα έπρεπε να είναι  u+αδ sqrt(cx*-γ). Επίσης, χωρίς να είμαι σίγουρη γι' αυτό, στο 4ο θέμα δε μπορείς να διαιρέσεις με το Μ, τουλάχιστον αυτό μου έλεγε ο ροβι όταν πήγα το φλεβάρη να δω το γραπτό. πρέπει να γράφεις Μ^-1, υποθέτω γιατί θεωρείται πίνακας και τέτοια. Αν ξέρει κάποιος ας επιβεβαιώσει.

Για το - οντως εχεις δικιο μου ξεφυγε. Για το αλλο, το μπερδευεις με τον πινακα ελεγξιμοτητας Μ. Σε εκεινο το θεμα συγκεκριμενα, το Μ δεν ειναι ο πινακας ελεγξιμοτητας. ειναι απλα μια θετικη σταθερα, οποτε μπορω μια χαρα να παρω 1/Μ. :)

βρε καλως τηη  :P
και ελεγα θα μαι μονος μου αυτη τη φορα ! :)

τελικά έλυσε κανείς το 3ο θέμα από Ιούνιο του ΄14?

Φαντάζομαι κάπως έτσι θα γίνεται

εισαι σίγουρος? τις διαταραχες δε τις κανουμε τιποτα? καποιες σελιδες πιο πριν ο condemned ελεγε οτι οταν εχουμε σταθερεσ διαταραχες παιρνουμε δυναμικη αναδραση καταστασεων και οχι απλη

εδιτ: επισης για οσους το δινουν πρωτη φορα, οταν κανεις γραμμικη/ δυναμικη αναδραση καταστασεων παντα να του γραφεις και αν ειναι ελεγξιμο το συστημα.

Νομίζω έχει λυθεί και πιο πριν με αυτό τον τρόπο. Δυναμική παίρνεις όταν δεν γνωρίζεις τους πίνακες Α,Β,C,D. Εδώ (λογικά) ξέρεις τα α1, α2 και γνωρίζεις ότι το d είναι σταθερό. Άρα μπορείς να πάρεις γραμμική ανάλυση και απλά να πεις ότι θες το kr να είναι αρκετά μεγάλο ώστε να ελαχιστοποιείται η επίδραση του σταθερού θορύβου (σελ 43 σημειώσεις exomag)

Υ.Γ. Δεν έβαλα στο διάγραμμα το d.

σορρυ που σπαμαρω συνεχεια, αλλα καπως πρεπει να βγαλω ακρη  :D Στην προοδο του '14 εφοσον μας ζηταει η πιο αργη ιδιοτιμη να ειναι -1 δε θα επρεπε να μας βγανει ο περιορισμος κ1>2 ? ή μαλακιες λεω?

Σωστός. Το έχει και λυμένο στα επιπλέον παραδείγματα που έχει στα downloads, σελ 8

Χωρίς δυναμική ανάδραση δεν εξασφαλίζεται η ασυμπωτική σύγκλιση, εφόσον σου έχει βάλει διαταραχή στο δοσμένο σύστημα. Το ότι σου λέει ότι η διαταραχή είναι σταθερή είναι άλλο ένα hint για να βάλεις ολοκληρωτή πιστεύω...

edit απάντηση :

Σεπτέμβριος 2014 στο θέμα 1 στα λυμένα από την Μεταλλαγμένη Πάπια γράφει: Α^~=Τ^-1ΑΤ, όμως εμένα μου βγαίνει Α^~=ΤΑΤ^-1. Επίσης το ίδιο με το Β^~. Σωστά είναι και τα 2;

ο τυπος ειναι Α^~=Τ^-1ΑΤ
δεν πρεπει να σου βγει κατι, αυτον παιρνεις και το ιδιο για Β μετα

Καλησπέρα παιδιά,
Θέμα 3 Ιουνίου 14 έκανα την εξής διαδικασία όπως ελεγε το βιβλίο. Θέτω το ddot σαν τριτη μεταβλητή κατάστασης και σχεδιάζω παρατηρητή και μετά βάσει αυτού ελεγκτή, εφόσον δεν μπορώ να πάρω κατευθείαν για το d. Για τον παρατηρητή θέτω χαρακτηριστικό πολυώνυμο 3ου βαθμού με p1 p2 p3 >0 και εξισώνω με τις τις ιδιοτιμες του (sI -A +LC) κ βρίσκω τα l1 2 3 του παρατηρητή. Συνεχίζω μετά με τον ελεγκτή και βρίσκω εξισώνοντας τις ιδιοτιμές του (sI - A +BK ) με άλλο Χ.Π 3ου βαθμού >0. Τελικά καταλήγω σε μορφή με x και x-σφάλμα με kr που προκύπτει από το τύπο. Είναι σωστό? Δεν είναι πολυ αυθαίρετη η επιλογή δύο Χ.Π για παρατηρητή και ελεγκτή με θετικές τιμες?

σε εχασα μολις ειπες βιβλιο..
τι βιβλιο?  :D :D

Αυτο που λες εσυ χρησιμοποιειται για το μετασχηματισμο καταστασεων. Για να χωρισεις ενα συστημα σε ελεγξιμο και μη ελεγξιμο μερος και να δεις αν ειναι σταθεροποιησιμο χρησιμοποεις τον τυπο που χρησιμοποιει και η Παπια

Στο θέμα 3 Ιούνιος του 2014 λύνεται όπως η άσκηση στις επιπλέον σημειώσεις που έχουν ανέβει ή πρεπει να κάνουμε κάτι διαφορετικό(Δυναμική ανάδραση καταστάσεων)????. Ρωτάω γιατι το θέμα ζητάει να τείνει στο r ενω στην άσκηση το r=0

Αν κάποιος ήρωας έχει λύσει τα θέματα 3 και 4 απο τον ιούνιο 2014 η τουλάχιστον ένα απο τα δύο,ας ανεβάσει μια φώτο.

Τελικά στο θέμα 3 του Ιουνίου 14 κάνουμε δυναμική ανάδραση με ελεγκτή u=-kx-Ki*z, με z_dot=y-r? Και φτάνουμε σε ανισότητες στο τέλος με Routh?

στο θέμα 1β σεπτ.2014 έχω πάρει δυο περιπτώσεις, μια για γ = sqrt(2) και μια για διάφορο.
στην πρώτη περίπτωση φαντάζομαι θα ορίσουμε έναν ελεγκτή u = -Kx. με πράξεις βρίσκω τον πίνακα Α - ΒΚ. μετά για να είναι το σύστημα σταθεροποιήσιμο πρέπει να πω ότι αρκεί ο πίνακας ελεγξιμότητας M να είναι det(M) != 0 άρα rank(M) = n ή πρέπει να απαιτήσω το σύστημα να είναι ευσταθές;

υπαρχει λυση για αυτο στα downloads την τσεκαρες ?

ναι την τσέκαρα, και θέλω να αλλάξω την ερώτηση μου! αφού στο πρώτο ερώτημα με διαχωρισμό των συστημάτων και τα λοιπά έχω αποδείξει ότι το σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο και για γ = sqrt(2) και για γ != sqrt(2) στο δεύτερο ερώτημα τι ακριβώς προσπαθώ να κάνω;
σόρυ αν ρωτάω μλκίες απλά έχω κολλήσει στο συγκεκριμένο ερώτημα και πλέον δεν μπορώ να το σκεφτώ καθαρά.

δν πειραζει ρε φιλε καλα κανεις για αυτο ειναι το τοπικ
λεει να βρεις εναν ελεγκτη που να σταθεροποιει το συστημα σου ( απεδειξες οτι ειναι σταθεροποιησιμο ) αρα τελικα θελει να επιλεξεις τα k1,k2 και ο ελεγκτης να ειναι συναρτησει του γ . Οταν γ=sqrt(2) χρησιμοποιεις τον μετ/μο απο το α ερωτημα

edit: απάντηση

Σταθεροποιήσιμο = μπορεί να σταθεροποιηθεί, έχει την δυνατότητα να σταθεροποιηθεί

Εσυ βάζεις ελεγκτή για να το σταθεροποιήσεις όντως.

Γενική απορία: Οι τιμές των κερδών του ελεγκτή μπορούν  να παίρνουν αρνητικές τιμές?

αν κατάλαβα καλά τι ρωτάς, φαντάζομαι ότι δεν έχει νόημα αν ορίσεις τον ελεγκτή όπως είναι στις σημειώσεις. αυτό που μάλλον θα γίνει θα είναι να μετατοπίσεις τις ιδιοτιμές πιο κοντά στον φανταστικό άξονα.

το λέω ας πούμε για το 3ο του Σεπτεμβρίου του '14, που το ανέβασε λυμένο και η Μεταλλαγμένη Πάπια. Κάνει διερεύνηση για όλες τις πιθανές τιμές του k. Αν αυτό είναι απλά θετικό, δε χρειαζόταν καν συζήτηση και το σύστημα ήταν ευσταθές ούτως ή άλλως.

edit απάντηση:

Βρε παιδιά, στο θεμα 3 σεπτεμβρίου 2014, εφόσον ζητείται η ανάλυση της ευστάθειας του ΣΚΒ με Lyapunov, η ανάλυση αυτή είναι η ίδια για την απόδειξη της ασυμπτωτικής ευστάθειας του ΣΙ? αν το ΣΙ είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, ισχύει το ίδιο και για το σύστημα?

Τώρα προσπαθώ να τις λύσω. Ότι καταφέρω θα το ανεβάσω για συζητηση. Στο 1ο θέμα το μ το βάζεις μεσα στην συνάρτηση Lyapunov ή παίρνεις την κλασσική "θετικα ορισμένη" και μετα το συμπεριλαμβάνεις στην αναλυση περιπτωσεων;

Γενικά πρεπει παντα να παιρνεις την Lyapunov θετικά ορισμένη; Εδώ αν βάλω το μ μεσα στην Lyapunov θα εχω αρνητικα ορισμενη αλλα μετα στην παραγωγο φευγουν τα μ και παιρνω πιο ευκλα περιπτωσεις.

εγώ το κράτησα πάντως  και πήρα την κλασσική τετραγωνική. εφόσον δίνει ότι είναι μ > 0 μετά στην Lyapunov μου βγαίνει οριακός κύκλος παρόμοιο με ένα παράδειγμα που είχε στις φετινές σημειώσεις.

εννοεις  το κρατησες εκτος Lyapunov. Ναι οκ και εγω αυτο κανω διοτι λεει μ<0 οποτε αλλιως θα εβγαινε αρνητικα ορισμενη.

EDIT : Ανέβασα την λύση μου. Χρειάζεται όλη αυτή η ανάλυση; Ρωτάω επειδή δεν ξέρω αν παίζει ρόλο που ζητάει να χαρακτηριστεί η ευστάθεια στο (0,0) μονο. Στο τέλος τι απάντηση θα δώσουμε;

εφοσον απο οπου και να ξεκινησεις καταληγεις στο V'=0 θα εχεις το Σ.Ι ευσταθες απλα ( οχι ασυμπτωτικα) και λογικα ειναι και ολικα ευσταθες αφου δεν περιοριζεσαι πουθενα και παντα καταληγεις στον οριακο κυκλο

στις λύσεις που υπάρχουν στα downloads, θεμα 1 σεπτ 2014, πως προκύπτει ο πίνακας μετασχηματισμού? (http://prntscr.com/ci4d0l (http://prntscr.com/ci4d0l))
και γενικά πως βρίσκουμε πίνακα μετασχηματισμού?

Επιλέγεις αυθαίρετα. Πρέπει απλά οι στήλες του να είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Εγώ συνήθως παίρνω τον Μ, και λεω ο Τ θα είναι ίδιος απλά η μια στήλη θα είναι 1 0 0 η 0 0 1, ο,τι βολέυει περισσότερο στις πράξεις.

same here. γενικά το σκεπτικό είναι να επιλέξεις τις γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του Μ και να τις βάλεις στον Τ και μετά συμπληρώνεις με ότι θέλεις. το πιο απλό είναι να βάλεις το υπόλοιπο του I. μπορείς αφού σχηματίσεις τον Τ να τσεκάρεις κιόλας αν είναι γραμμικά ανεξάρτητος με την ορίζουσα.

στο θέμα 3 σεπτ. 2014 μου βγαίνει σαν περιορισμός για την ευστάθεια k > - 1/3 και όχι k > -1 όπως είναι ανεβασμένο στις λύσεις. έχω κάνει κάποια χοντρή πατάτα μήπως;

και εγώ το ίδιο έβγαλα

ειναι ευκολο να μ πεις πως το εβγαλες ?? εδω γενικα κανεις την απλοποιηση οτι επειδη εισαι στην γειτονια του 0 θα ναι sinx=x ?

εγώ μετά απάντησα ότι είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές γιατί με k> -1/3 έχω αρνητικά ορισμένη V'(x). αυτό το "τοπικά" είναι σωστό ή πρέπει να απαντήσουμε ότι το κάνουμε ασυμπτωτικα ευσταθές (σκέτο);

μισό θα ανεβεί φώτο.

schro:

https://www.dropbox.com/s/hzu6uogbptku8s5/2016-09-15%2012.11.45.jpg?dl=0

τνξ ! βλεπω πως αν εχω sinx=0 εστω δηλαδη x=π με k=-1/2 μηδενιζεται η V' ετσι δεν ειναι ?

εφόσον το 0 είναι το μοναδικό ΣΙ, θα είναι ολικά ασυμπτωτικά ευσταθές. Τοπικά αν έχεις και άλλα ΣΙ

Από τις λύσεις που έχουν ανέβει (νομίζω από Μεταλλαγμένη Πάπια)

Σεπτ.2014

Θέμα 1ο:

β ερώτημα)
πώς προκύπτει αυτός ο πίνακας κάτω κάτω με το sqrt(2)-k1 στο 1,1 στοιχείο του, κ πώς προκύπτει ότι k1>sqrt(2)?

έκλεισε τον βρόχο βάζοντας ελεγκτή u=-k1*z. Οπότε προκύπτει αυτό που λες

Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου, μπορείς να το δεις πάρεις κανονικά την det(sI-A). Τότε θες ιδιοτιμές στο αριστερό ημιεπίπεδο, δηλαδή αρνητικές (αφού εδώ είναι πραγματικές) και άρα sqrt(2)-k1<0

αα οκ ευχαριστώ πολύ! :)

και τον -k1*z τον επιλέγουμε επειδή είπαμε από την αρχή ότι θα είναι της μορφής u=-k1x?
kr*r δεν παίρνουμε επειδή όπως λέει κ στη θεωρία, δεν παίζει ρόλο, σωστά?

ναι, επειδή εξετάζεις την περίπτωση όπου γ=sqrt(2),  οπότε όπως όρισες αρχικά τον ελεγκτή δεν έχει πλέον το δεξί κομμάτι

Ναι το kr δεν επιδρά στην ευστάθεια, εσύ ευστάθεια θες να μελετήσεις.

Ιούνης 2014
Θέμα 1ο
β) καταλήγουμε σε οριακούς κύκλους;
και άρα τι λέμε για το ΣΙ; 

sorry αν έχει απαντηθεί, αλλά είναι άπειρες σελίδες το topic  :(

Όταν μας ζητάει ολική ευστάθεια ενός Σ.Ι οφείλουμε να δείξουμε ότι το συγκεκριμένο  Σ.Ι είναι και μοναδικό ?

π.χ Σεπτέμβριος 2014 Θέμα 2ο, θα πρέπει να λύσουμε το x_1dot = 0 & x_2dot =0 για να βρούμε πιθανώς και άλλα σημεία ισορροπίας ή όχι ?

Αυτό καταλαβαίνω εγώ. Δεν θες απλά να βάλεις το (0,0) και να δεις ότι επαληθεύεται η ύπαρξη του.

Επίσης έχει κανείς τα Σ/Λ από Σεπ 15 γιατί δεν βρίσκω κάτι...

γενικά όταν μας λέει να σχεδιαστεί ΓΑΚ, δεν πρέπει να είναι της μορφής u=kx?

π.χ. σε λύσεις που έχουν ανέβει από σεπτ.2014 βλέπω ότι έχει επιλέξει, στο 1ο θέμα, β ερώτημα
έναν ελεγκτή με πολλούς μη γραμμικούς όρους, τετράγωνα κτλ
ενώ το πρόβλημα λύνεται επίσης αν πάρουμε απλά έναν u=-kx2

τι παίζει?  :???:


Επίσης αν δε μας λέει σταθεροποίηση στο 0, μπορούμε να παίρνουμε kr*r=0 αυθαίρετα?

Τέλος, σ' αυτό το θέμα, στο α) δεν μας βγαίνει σταθεροποιήσιμο?

Για γ!=sqrt(2) είναι ελέγξιμο. Για γ=sqrt(2) έχεις τις ρίζες του μη ελέγξιμο στο ΑΗΠ (πρέπει να χωρίσεις δλδ σε ελέγξιμο και μη μέρος) όποτε είναι σταθ.

Για τον ΓΑΚ έτσι είναι. Εδώ απλά έχει βάλει έναν όρο ο οποίος εξαρτάται από το γ έτσι ώστε στην περίπτωση που δεν μπορεί να ελεγχθεί η μια κατάσταση ο ελεγκτής να μην κάνει προσπάθεια  :P

οκκκ thaaanks!
 
τέλος, η συνθήκη ώστε το Α1 (ελέγξιμο μέρος) να είναι αρνητικό, είναι σωστή?

δεν σε καταλαβαίνω. στις λύσεις εννοείς αν ειναι σωστό?

νόμιζα ότι αυτό που ξέρουμε από τη θεωρία είναι, το Α2(μη ελέγξιμο) να είναι <0 ή αν είναι πίνακας, να έχει αρνητικές ιδιοτιμές.
Για το Α1 ισχύει το ίδιο?

απο την στιγμή που κανεις το διαχωρισμό για το μη ελέγξιμο μέρος σε ενδιαφέρει. Το αναφέρει και στις σημειώσεις

οκ ευχαριστώ!!

Επειδη ειμαι σε φαση να καταλαβω τι παιζει με το μαθημα,μερικες ερωτησεις αρχαριου βλεποντας τα λυμενα θεματα που ειναι ανεβασμενα.

Σεπτεμβριος 2014
1ο θεμα:α ερωτημα,πως προκυπτει ο Τ?
β)Το χ' μου φαινεται οτι εχει λαθος προσημο,αφου βρισκεται απο το Α-ΒΚ.Επισης στο τελος με το z',τις αρχικες συνθηκες τις βρισκουμε για τυπικους λογους η παρατηρουμε κατι απο αυτο,γιατι βλεπω οτι δεν τις χρησιμοποιουμε αργοτερα.Ο δευτερος z' απο που προκυπτει(με το Κ1) οπως και η τριτη συνθηκη.

καλησπερα,αφου το μ ειναι αρνητικο δεν νομιζω οτι βγαινει σε οριακους κυκλους,περιοριζεσαι στην περιοχη μεσα του μοναδιαιου κυκλου και βγαζεις τοπικη ασυμπτωυικη ευσταθεια στο (0,0) με Lyapunov+lasalle

όταν ζητείται να σχεδιαστεί γραμμικός ελεγκτής τύπου ανάδρασης καταστάσεων πότε επιλέγουμε δυναμική ανάδραση και πότε γραμμική?
π.χ. θέμα 3α Ιούνης 2014: να σχεδιαστεί γραμμικός ελεγκτής τύπου ανάδρασης καταστάσεων που να διασφαλίζει την ασυμπτωτική σύγκλιση της εξόδου στην είσοδο αναφοράς r

EDIT: μήπως επειδή θέλει "..την ασυμπτωτική σύγκλιση της εξόδου στην είσοδο αναφοράς r" επιλέγουμε δυναμική ανάδραση επειδή η y(t) πάει πίσω στην r(t)?

Ναι, άμα αποδείξεις ασυμπτωτική ευστάθεια ενός σημείου και δεν υπάρχει περιορισμός, τότε η ιδιότητα είναι καθολική.

Και τα 2 είναι γραμμικές αναδράσεις καταστάσεων. Αν μπορείς να τις υλοποιήσεις, και τηρούνται οι προδιαγραφές τότε όποια και να πάρεις είσαι ΟΚ. Συγκεκριμένα όμως σε αυτό το παράδειγμα έχεις διαταραχή οπότε πρέπει να πάρεις τη δυναμική ανάδραση, καθώς με απλή γραμμική θα έχεις μη-μηδενικό σφάλμα.

όταν ρωτά όπως σεπτ 2014 θεμα 1 να σχεδιαστει ελεγκτης που σταθεροποιεί το σύστημα αν πρέπει να πάρουμε και Kr.

Επίσης γιατί δίνει τα x1(0), x2(0)??

Θέμα 2 σεπτ2014, δεν χρειάζεται να κάνει lassale κανείς σωστά; όταν Vdot=-x1^2sin(x2)^2-x2^4 , μόνο στο 0,0 ειναι 0 και είναι και αρνητική.

Αυτο θα ρωτουσα τωρα,γιατι μονο στο (0,0)?Αν χ2=0,τοτε δεν ειναι απειρα σημεια για το χ1?

ναι.. ισχύει αυτό...γι αυτό και χρειάζεται οπωσδήποτε Lassale

Ιούνιος 2014 - Θέμα 3α

Έχω περδευτεί τόσο πολύ με τις διαφορετικές λύσεις που έχουν δοθεί στις προηγούμενες σελίδες.

Τελικά λόγω της διαταραχής θα πάω με Δ.Α.Κ όπως στην φωτό που επισυνάπτω;
Ή εδώ επειδή γνωρίζουμε πίνακες Α,B,C,D  θα λυθεί γραμμικά όπως σελ 43 απο Σημειώσεις Exomag (επισυνάπτω και αυτό)

Ιουν 14 θέμα 3α. λέει "Να σχεδιαστεί ελεγκτής τύπου ανάδρασης καταστάσεων που να διασφαλίζει την ασυμπτωτική σύγκλιση της εξόδου στην είσοδο αναφοράς r."
στις λύσεις που ανέβηκαν βλέπω ότι βάζει ελεγκτή δυναμικής ανάδρασης u = - kx - k_iz.
ο λόγος που επιλέγουμε δυναμική ανάδραση είναι για αυτό που υπογράμμισα ή θα μπορούσαμε κ με ελεγκτή της μορφής u = - kx +k_rr?

Ο λόγος που επιλέγουμε ΔΑΚ,έτσι όπως το έχω καταλάβει εγώ είναι ότι κάποιες σταθερές είναι άγνωστες ή έχουμε διαταραχές.Διάβασε την πρώτη παράγραφο του 5.4 κάτι τέτοιο λέει εκεί.

σωστό αυτό που λες αλλά και στην παράγραφο 5.2 (γραμμικη αναδραση καταστασεων) λέει κάτι παρόμοιο..
"[...] Στόχος του ελεγκτή είναι να εξαναγκάσει την έξοδο του
ελεγχόμενου συστήματος y(t) να «παρακολουθεί» το επιθυμητό σήμα αναφοράς παρουσία εξωτερικών
διαταραχών καθώς και αβεβαιοτήτων στη δυναμική του ελεγχόμενου συστήματος."

Σεπτ 14 θέμα 2: "δίνεται το σύστημα x₁' = 2x₂ -x₁sin2(x₂), x₂' = ... και ζητάει ελεγκτή που να καθιστά το (0,0) ολικα ασυμπτωτικά ευσταθές"

γενικά τώρα, για το sin²(x) σε αυτή αλλά κ σε παρόμοια περίπτωση θα μπορούσα να πω ότι sin²(x) = x επειδή θέλω Σ.Ι. κοντά στην περιοχή του μηδεν?

Όχι επειδή σου ζητάει ΟΛΙΚΗ ασυμπωτική αστάθεια, τσέκαρε την λύση στο συννημένο

ναι την εχω δει απλα ήταν μια απορία που μου δημιουργήθηκε  ::) thanks

Λιγο χαζη ερωτηση,αλλα με τετοια κενα τι να κανεις...Ιουνιος 2014,στο πρωτο θεμα,παιρνουμε την κλασικη Lyapunov και βγαινει οτι η λυση θα κινειται στον οριακο κυκλο με ακτινα 1.Επειδη ζηταει ομως ευσταθεια στο (0,0) μονο,πως πρεπει να το απαντησουμε?

Επειδη η συναρτηση λιαπουνοφ ειναι αρνητικη μεσα στον κυκλο, θετικη εκτος του κυκλου και 0 πανω στον κυκλο, αν ξεκινησω  μεσα απο τον κυκλο, καταληγω στο (0,0), αν ξεκινησω απο την περιφερεια δεν παω πουθενα και αν ξεκινησω εκτος κυκλου τοτε αποκλινω. Αρα το (0,0) ειναι τοπικα ασυμπτωτικα ευσταθες μεσα στον οριακο κυκλο

http://prntscr.com/kgcrgc

Θεμα 1ο Σεπτεμβριος 2014
Πως επιλεγεται η 2η στηλη του πινακα Τ? Ειναι τελειως αυθαιρετο αρκει να μην ειναι γραμμικα εξαρτημενη απο τις αλλες? Δηλαδη οχι μονο οσον αφορα αυτο το θεμα αλλα και γενικα την βαζουμε οτι μας κατεβει?

σελίδα 4 στο 5ο pdf.
Τισ επιλέγεις έτσι ώστε ο Τ να μην είναι ιδιόμοροφος (και να σε βοηθάει στις πράξεις).

Σεπτ 14 Θεμα 1.β. Λεει να σχεδιαστει ελεγκτης. Απο προηγουμενο ερωτημα δειξαμε οτι το συστημα δεν ειναι ελεγξιμο γενικα αλλα αποτελειται απο 2 επιμερους κομματια: ενα ελεγξιμο και ενα μη ελεγξιμο. Συνεπως ο ελεγκτης που θα σχεδιασουμε δεν θα πρεπει να αφορα αποκλειστικα το ελεγξιμο κομματι του συστηματος; Δηλαδη ο ελεγκτης δεν μπορει να φτιαχτει βασει των μεταβλητων χ1, χ2 οι οποιες χρησιμοποιουνται στο αρχικο συστημα αλλα πρεπει να φτιαχτει βασει των z1, z2 που ειναι το μετασχηματισμενο συστημα και συγκεκριμενα μονο συναρτησει της z1 αφου η z2 αφορα το μη ελεγξιμο κομματι. (???)

Κανω καπου λαθος;

ΥΓ: Ρωταω επειδη οι 2 λυσεις που βρηκα στα Downloads αφορουν και οι 2 ελεγκτη συναρτησει των μεταβλητων x1,x2 και μαλιστα στη μια επιλέγει u = -k1x1-k2(γ-sqrt(2))x2 επειδη λεει "για γ = ριζα(2) η δευτερη κατασταση δεν ειναι ελεγξιμη". Το παραπανω συμπερασμα θεωρω το βγαζει απο τον πίνακα B(μπάρα) ο οποιος ομως αφορα τις z1, z2.

edit:

ΥΓ2: Βεβαια μολις παρατηρησα οτι ο Ροβι λεει "να σχεδιαστει ελεγκτης ΓΑΚ συναρτησει του γ" αρα ίσως η πρόταση μου είναι λάθος καθώς, αν ο ελεγκτης σχεδιαστεί για το ελεγξιμο κομματι του μετασχηματισμενου συστηματος το γ θα εχει ηδη θεωρηθει =sqrt{2}   ¯\_(ツ)_/¯ 

Πως χωρίζουμε σε ελέγξιμο και μη ελέγξιμο μέρος? Υπάρχει κάπου στις σημειώσεις σαφώς?

απλα διατηρεις τις γραμμικα ανεξαρτητες στηλες του Μ ενω τι αλλες τι διαγραφεις και τις συμπληρωνεις με οτι εσυ θελεις. αρκει ο πινακας που θα σχηματισεις να εχει ολες του τις στηλες γραμμικα ανεξαρτητες. αυτος ο νεος πινακας που σχηματισες ειναι ο Τ και μετα για να βρεις τον Α_μπαρ Β_μπαρ κανεις τις πραξεις που σου λεει (Α_μπαρ = Τ^-1 * Α * Τ και Β_μπαρ = Τ^-1 * Β).

Ο Α_μπαρ προκυπτει:

Α_μπαρ = Α1 Α12
                 0   Α2

και ο Β_μπαρ:

Β_μπαρ = Β1
                  0

το Α1, Β1 ειναι το ελεγξιμο κομματι
το Α2 το μη ελεγξιμο κομματι
και το Α12 οι διαταραχες του 2 στο 1

Σεπτέμβριος 14 Θεμα 1..

Τις αρχικές τιμες τις χρησιμοποιούμε κάπου με κάποιον τρόπο?  :(

Από το pdf με τα λυμένα στον σεπτ.14:
Θέμα 1: νομιζω εχει κανει αριθμητικο
Θέμα 2: γιατι κανουμε Lassale ενω ειναι αρνητικα ορισμενη η V?\
Θέμα 3: δεν μπορουμε απλα u=1/(sinx+2);

Θέμα 3ο και 4ο Ιουν 2014 τι κάνουμε ?
Δεν το χω βρει λυμένο, στα downloads.

Σε αυτό το τόπικ υπάρχουν λύσεις,τα επισυνάπτω εδώ.

Εχεις μήπες λυμένα τα πρώτα 2 θέματα του Ιουνίου 2014?

όκ ευχαριστώ, τα έχω λύσει τα 2 πρώτα, αλλά δεν έχω κρατήσει τα χαρτιά μου, θέμα 1, έχει πέσει πολλές φορές παρόμια άσκηση, υπάρχουν λυμένες, αν έχεις συγκεκριμένη απορία πές μου.
Θέμα 2, έχει κάνει παρόμιο ο ροβι στα βίντεο, πιθανότατα να υπάρχει και στις σημειώσεις του καναβουρα, είναι η συνέχεια μιας άσκησης με ένα ποδήλατο που είχε κάνει στα πρώτα μαθήματα που έκανε στο zoom.

Δεν μπορεί να γραμμικοποιηθεί γιατί δεν υπάρχει σημείο ισοροπίας.
αν πάρεις z_dot = 0 => u = 0
x_dot = 0 = > cos(z) = 0
y_dot = 0 => sin(z) = 0
υψώνεις τα δυο τελευταία στο τετράγωνο, sin(z)^2 + cos(z)^2 = 0 => 1 = 0 Αδύνατο, άρα δεν υπάρχει σημείο ισοροπίας δεν μπορείς να το γραμικοποιήσεις.

Ναι ευχαριστώ τα είχα λύσει και εγώ αλλα δεν ήξερα για το θέμα 2 αν είναι σωστό αυτο που είχα κάνει (που δεν ήταν),η δικιά σου λύση είναι καλύτερη για το θέμα 2 και πιστεύω σωστή έτσι όπως τα είπες.