THMMY.gr

Πειτε μου οτι στο θεμα 2γ τουντει επρεπε απλα να.πουμε οτι δε μπορω να βαλω ελεγκτη αφου το συστημα μου ειναι μη ελεγξιμο. Υπαρχει περίπτωση; Δύο μοναδες ετσι;;;;;;;

μηπως επρεπε να βρεις το μη ελεγξιμο μερος και μετα να παρεις ελεγκτη -κχ1;

εγω αυτο εκανα αλλα νμζω οτι επρεπε να πεις οχι

καμια ιδεα για το 3α? βρηκε κανενας ημιτονοειδη εισοδο δεδομενου οτι εδινε το u(t) φραγμενο?

εγω. αλλα lyap δ καταφερα να στρώσω

νομιζω εβγαινε με την u=-sinx αλλα δεν ξερω αν τηρει την πρωτη προδιαγραφη, δεν την καταλαβα πολυ καλα

αυτο νομιζω ηθελε, τσεκαρεις σταθεροποιησιμοτητα που ισχυει και μετα παιρνεις u=-kx

πηρα V=1/2x^2 + θ*(1-cosx) που ειναι θετικα ορισμενο αλλα εβγαζα παραγωγο -χ^2 + θ^2sin^2x 

 :-\

εγω πηρα κλασσικη V=(1/2) * x^2 και μετα εβγαινε v'=-x^2 +x*θ*u, και με u=-sinx μου βγηκε V'=-x^2-θ*x*sinx που ειναι αρνητικη

αν δεν κανω λαθος, δεν ειναι αρνητικη αφου το x ανηκει στο R αρα μπορει να παρει αρνητικες τιμες και ο ορος θxsinx να βγει θετικος.

είσαι σιγουρος γι' αυτο; ρωτησε κανενας ροβιθάκη; γιατι απο θεωρια η ελεγξιμοτητα ειναι αναγκαια συνθηκη για να παρω ελεγκτη.

ειναι ρε φιλε αλλα τι φαση θα σε δωσει 2 μοναδες για να πεις οχι?

επισης βαζεις ελεγκτη χχρησιμοποιωντας το ελεγξιμο μερος του συστηματος γιατι ειναι λαθος αυτο?

Δε λες απλα οχι. Το επισημενεις και λιγο . Ωστοσο ναι δυο μοναδες ακραιο να τις δινει ετσι . Απλα παλι κουλο μου φαινεται να παρεις ελεγκτη μονο για το ενα κομματι του συστηματος σου που ειναι ελεγξιμο. Εγω προσωπικα δεν το εχω δει σε καμια ασκηση αυτο.

 Ακομα και στο θέμα1 του Σεπτεμβριου 2014 το συστημα σου ειναι μη ελεγξιμο για ριζα2 και παιρνεις ελεγκτη διαμορφωμένο ειδικα για γ=ριζα 2

Ακριβως!
Μπορουσες να κανεις κατι
Εδω ελεγες οχι γιατι δεν ειναι ελεγξιμο

Μαλακα δε μπορει να μη καταλαβαινει οτι θα σκεφτει κανεις ετσι...

Δεν καταλαβα. Εσυ συμφωνεις με αυτο που λεω ή πιστευεις ήθελε σταθεροπ? :P

Μη μαλώνετε κοπήκαμε όλοι

σταθεροπ δε ξερω γιατι να θελει
οτι μπορει να παει καπου σε απειρο χρονο τι το θες δ κτλβα

συμφωνω απλα δεν εκανα αυτο και αναρωτεμαι αν ειναι κομπλε αυτο π εκανα εγω

Μπαρντον?

σταθεροποιησιμοτητα: ελεγξιμοτητα εκφρασμενη για απειρο χρονο ροβι κεφ5 p.5

Μα δε το θελω. Ελπιζω να μη χρειαζεται να παει ετσι. Απλα ειπατε πηρατε μη ελεγξιμο μερος το βγαλατε σταθεροποιησιμο και μετα ελεγκτη

ο αλλος το εκανε αυτο εγω απλα ελεγτκη εβαλα στο ελεγξιμο μερος μετα απο εκεινη τη μετατροπη με τον πινακα Τ

Πιστευω πως θελεις σταθεροποιησιμοτητα. Σεπτέμβριος 2014 θέμα πρωτο η λυση για γ=√2

Γενικά xsinx >0 γιατί το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση, sin(-x)=-sinx

... για  παράδειγμα  το x'=-x Στην  περίπτωση  αυτή  το  διάνυσμα  κατάστασης  θα  μεταβεί  στο  μηδέν  όχι  λόγω  κατάλληλης  εισόδου αλλά  διότι  το  0  αποτελεί  ολικά  ασυμπτωτικά  ευσταθές  σημείο  ισορροπίας

Να καθιστά το σύστημα ολικά ασυμπτωτικα ευσταθες δεν σας ζητούσε;

ελπιζω να εχεις δικιο γιατι κ γω αυτο εθεσα σαν εισοδο αλλα μετα μπλοκαρα και το αφησα στην Lyapunov ::)

sin 180 με 360 αρνητικό

Έχεις δίκιο σ αυτό που λες, δεν ισχύει πάντα, απλά για τις lyapunov έχουμε συνήθως ΣΙ το (0,0), όπως και εδώ, άρα μπορείς να το πάρεις για μικρά χ. Ή τουλάχιστον έτσι το έχω καταλάβει εγώ.

Τότε θα έχεις τοπική ασυμπτωτική ευστάθεια λογικά.

Νομίζω πως είναι δυο διαφορετικά πράγματα, η lyapunov δίνει ολική ευστάθεια αλλά ορίζεται στη γειτονιά του ΣΙ. Τελοσπαντων δε ξέρω και σίγουρα, αυτό κατάλαβα διαβάζοντας, αν δεν τα λέω καλά ας με διορθώσει κάποιος

Γενικα ως θεματα κομπλε ηταν πως σας φανηκαν?

ΠΑΝΩΛΕΘΡΙΑ

Έστω

μια σφαίρα κέντρου x=0 και ακτίνας r. Αν υπάρχει r>0 τέτοιο ώστε η
V να είναι θετικά ορισμένη και η V' αρνητικά ημιορισμένη
(ορισμένη) ∀ x ∈ Β r (0), τότε το x=0 είναι τοπικά ευσταθές
(ασυμπτωτικά ευσταθές) κατά Lyapunov σημείο ισορροπίας.

Ολική Ευστάθεια: Αν

Γενικά έχει κάποιος καμία ιδέα για το πως λύνονται τα θέματα του Φλεβάρη του 2018;

Φεβρουάριος 2018 / θέμα 2 η δική μου προσσέγγιση. Ποια η γνώμη σας για το ερώτημα 3

Δεν έχω δει πράξεις, φαίνεται να ακολουθείς σωστή λογική. Κάποια points για να αποφύγεις άσκοπα τσεκούρια


Το σύστημα δεν είναι ελέγξιμο και δεν το κάνεις ελέγξιμο. Είναι όμως σταθεροποιήσιμο και το αποδεικνύεις. Αυτό που κάνεις είναι να ελέγχεις το ΣΙ και να το κάνεις ασυμπτωτικά ευσταθές. Πρέπει να τονίσεις σε ποιες τιμές πρέπει να κινείται το k που επιλέγεις σαν παράμετρο ελέγχου. Επίσης αν κάνεις μετασχηματισμό μην χρησιμοποιείς ξανά το x για να συμβολίσεις τις εξισώσεις κατάστασης. Γράψε \dot{z} = ... ή κάποιο άλλο σύμβολο.

Επίσης μην λες ότι το μη ελέγξιμο μέρος είναι σταθεροποιήσιμο. Το σύστημα εξ ολοκλήρου είναι σταθεροποιήσιμο επειδή το μη ελέγξιμο μέρεος είναι ασυμπτωτικά ευσταθές ως ανεξάρτητο σύστμα

Ευχαριστώ για τα τιπς. Απλά για το Κ εγραψα στο τελος τι τιμες πρεπει να έχει (Κ1>5) αρκει ετσι;;

Ώπα ναι σόρρυ αγνόησα τελείως τους αριθμούς.

Πως αποδυκνείω οτι είναι σταθεροποιήσιμο ? Αφού ο πίνακας Μ που βγαίνει [ 1 5 ; 1 5] δεν έχει καμία γρ. ανεξάρτητη στήλη ( μόνο γραμμικώς ανεξάρτητες γραμμές).
Ποιό Τ επιλέγω μετά? Ένα εντελώς αυθαίρετο?

Αν είναι εύκολο σε κάποιον να ανεβάσει την πλήρη λύση θα ήταν ευπρόσδεκτη :)

Εχει ανεβει μια λυση πιο πανω αν δεις. Λες οτι ειναι μη ελεγξιμος και μετα τον χωριζεις σε ελεγξιμο και μη και για να δειξεις οτι ειναι σταθεροποιησιμος αποδεικνυεις οτι το μη ελεγξιμο μερος ειναι ασυμπτωτικα ευσταθες. Τον Τ νομιζω τον παιρνεις αυθαιρετα.

Την είδα τη λύση σου, και αυτή μου δημιούργησε την απορία. Άρα παίρνω οποιοδήποτε T? Εγώ δοκιμάζω π.χ. με Τ = [ 1 1; 0 1 ] και δεν μου βγαίνει το κάτω αριστερά μηδέν στο αποτέλεσμα...

οχι ακριβως αυθαιρετα , την πρωτη στηλη την παιρνεις ιση με Β και μετα αυθαιρετα συγγνωμη το παρελειψα

ναι αλλα βρηκες μονο για το κ1...δε θα επρεπε να πουμε ακτι και για το κ2?

Αυτο που καταλαβαίνω εγω ειναι ότι :
Το κ2 δεν εισέρχεται στο ΧΠ που βγάλαμε άρα δεν επηρεάζει τις ιδιοτιμές του ΣΚΒ (για μετακίνηση πιο αριστερά , αρα και ευστάθεια) επομένως κ2=0 .

επισης στο τελος δε πρεπει αν χρησιμποιησουμε τον μετασχηματισμο χ=Τz για να βρουμε τον ελεγκτη ως προς χ...γιατι αυτος βρηκαμε ειναι απο το τροποποιημενο συστημα...

ναι ισχυει οτι δεν επηρεαζει...κ2=0, η απλα κ2 αυθαιρετο?

Το πιο σωστο νομίζω είναι η ελαχιστη υλοποίηση και ας μην στο ζητάει. Γιατι να περιέχει ο ελεγκτης σου άλλη μια μεταβλητή κατάστασης χωρίς λόγο?Δεν προσφέρει κάτι στο σύστημα. κ2=0

Φεβ 2018 - Θέμα 3α
Γνώμη για τη λύση που ανέβασα ;

Lyapunov σε γραμμικό σύστημα? Δεν νομίζω οτι ισχύει... Εγώ πήρα ότι u=1/θ και θ>0 και επειδη θέλουμε |u|<=1 => θ>=1. Καταλήγεις στο x_dot=-x που είναι γραμμικό σύστημα με ιδιοτιμή-ιδιοτιμες το -1 άρα ασυμπτωτικα ευσταθές στο ΣΙ του που ειναι το x*=0.

Γτ u = 1/θ , αφού το θ λέει ότι είναι άγνωστο ;
Επίσης, έστω ότι μπορούσες, το x_dot δεν έιναι ίσον με -x+1 όπου το x* = -1 ;

1. Μπορείς να χρησιμοποιήσεις το θεώρημα Lyapunov και σε γραμμικά συστήματα.
2. Η σταθερά θ είναι άγνωστη, οπότε όπως λέει και ο Valkyrie δεν μπορείς να τη χρησιμοποιήσεις στη σχεδίαση του ελεγκτή u.
3. Ακόμα και να μπορούσες, όπως επίσης επισημαίνει ο Valkyrie (με ένα μικρό typo), το τελικό σύστημα θα είχε Σ.Ι στο +1 και όχι στο 0.

All in all δε βλέπω να γίνεται να λυθεί η άσκηση με κάποιον τρόπο πέρα από το να θέσει κανείς u = 0, όπως έκανε και ο Valkyrie στη λύση του.

Για το θ λεει άγνωστη θετική σταθερα. Σορρυ έβαλα (1/θ)*ν που καταλήγει σε χ_dot=-x+v και μετα v=0 καταλήγω στα ίδια(ουσιαστικά κανουμε το ίδιο).  Εκει που δεν είμαι σίγουρος  αν χρειάζεται  η αναλυση Lyapunov στην αρχή.Για Lyapunov σε γραμμικά νόμιζα ότι δουλεύαμε μονο με V=xT *P*x (σαν είδική περίπτωση_ οπου έβρισκες το P μέσω του -Q.Μαλλον δεν έχει νόημα μπορεις να κάνεις αναλυση με οποιαδήποτε Lyapunov . Οπότε γλιτώνεις και την έξτρα είσοδο που έβαλα.

Ισχύει ότι σε γραμμικά συστήματα το quadratic form V = x' * P * x αρκεί ως Lyapunov. Γενικά σχολίασα ότι δε σε εμποδίζει κανείς από το να χρησιμοποιείς τα αποτελέσματα της ανάλυσης Lyapunov για γραμμικά συστήματα.

Για τη σταθέρα θ πάντως, ακόμα κι αν είναι θετική, παραμένει άγνωστη οπότε δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις νόμο ελέγχου της μορφής u = v / θ.

εχει λυσει κανεις φλεβαρη 2018 το 1γ?

εχει κανεις του φλεβαρη 2018 το 1γ?

πιστεύω ούτε ο Ρόβι το έχει

Νομίζω πως αφού ορίσεις 3 καταστάσεις x1/x2/x3 (Ia/Ω/Φ), μπορείς να βάλεις u2 = Vf = 0 και έτσι x3(t) = 0 για κάθε θετικό t. Οπότε μετά το σύστημα γίνεται γραμμικό (και πλέον 2 καταστάσεων).

Κανείς για το πώς λύνονταν το Θέμα 2 (Ιουνιος 2018) ? Στη γραμμικοποίηση τί κάνατε με την είσοδο u?

εβγαινε ο Β (αν δεν εκανα λαθος πραξεις) μηδενικος, αρα μη ελεγξιμο ... κι αν εβρισκες και τις ιδιοτιμες του 4χ4 εβγαινε μη σταθεροποιησιμο

+1 για τον μηδενικο Β.. εγω τις ιδιοτιμες αρνητικες τις εβγαλα  :P

μαλλον θα εκανα τιποτα λαθος στις πραξεις :P

Το u επρεπε να το βαλουμε 0 ή σταθερα u* ;

Όταν έβγαζες το ΣΙ ελεγες οτι ειναι u*, μετά αφού μου είπε σε μια γειτονιά του 0, πήρα u* = 0.
Βέβαια και να μην το έπαιρνες έτσι θα σου εβγαινε ο Β = 0, αρα θα ηταν μη ελεγξιμο το σύστημα. Δεν ξέρω βεβαια τι θα γινόταν με τη σταθεποιησιμότητα

Ωραία και γω αυτο σκεφτηκα. Ναι λογικά μονο στη σταθεροποιησιμοτητα μπορει να βγαζει περιοχές του u* που το συστημα να ειναι σταθεροποιησιμο και αλλες που δεν ειναι γιαυτο ειχα σκεψεις στο πως επρεπε να το παρω

Τελικα ο πινακας Α αν θυμαμαι καλα ειχε στοιχεια μονο αριθμους ή μηπως ειχε και ενα στοιχειο 3+ υ αστερακι αν θυμαμαι σωστα ?

Ναι 3+u ήταν το στοιχείο Α(4,4), το οποίο το άφησα ως 3,γιατί μιλάμε για γειτονιά του 0.

Αν κάποιος κατάφερε να τα λύσει, ας ανεβάσει τις λύσεις του, έστω συνοπτικά για να έχουμε μια ιδέα :)

+1

Οποιος μπορει ας βάλει εδω ή στα downloads λύσεις θεμάτων Ιουνίου 2018

για το 1ο νομιζω ειμαι σωστος, για το 2ο καταφερα μεχρι το δ) σταθεροποιησιμοτητα δεν ηξερα πως να βρω οποτε αν εχει κανεις καμια ιδεα πειτε. Επισης αν εχετε καπου διαφωνια το συζηταμε

Για σταθεροποιησιμότητα,αφού δεν είναι ελέγξιμο, βρίσκεις τις ιδιοτιμές του πίνακα και βλέπεις αν είναι στο ΑΗΜ όπως θα έκανες για την ευστάθεια.

Αρα για τον Α που βγαζω μετα τη γραμμικοποιηση βρισκω τις ιδιοτιμες του και ειμαι οκ; nice thanks!

εδιτ: κοτσανα! για τον Α₂ βρισκω ιδιοτιιμες

εχει κανεις καμια ιδεα για το 3β του φεβ 18;

Στο θεμα 2ε, Ιουνιος 18' που  θελουμε να αποδειξουμε σταθεροποιησιμοτητα .Πρεπει  δλδ να αποδειξουμε οτι το μη ελεγξιμο μερος(ο πινακας Α2) ειναι ευσταθες. Στις σημειωσεις κανει ενα παραδειγμα με πινακα 2Χ2 που ο Α2 ουσιαστικα ειναι το στοιχειο α2. Στον 4Χ4 ποιος ειναι ο πινακας Α2; τα 4 στοιχεια κατω δεξια;(δλδ στην περιπτωση μας [ 0 1 ; 0 3+u* ] )

Νομιζω πως ναι

Συγκεκριμένα στο θέμα του Ιουνίου έβγαινε μη σταθεροποιήσιμο. Επειδή ο Β ήταν ίσος με το μηδενικό διάνυσμα το σύστημα έβγαινε μη ελέγξιμο, και οποιοδήποτε κομμάτι αυτού, ευσταθές ή ασταθές δεν θα μπορούσε να ελεγχθεί κάπως, αφού όποιον ελεγκτη και να διαλέγαμε θα ήταν σαν να μην υπήρχε λόγω του Β. Επιπλέον μπορούσες να παρατηρήσεις πως ο πίνακας Α είναι ασταθής, και λόγω του παραπάνω το σύστημα ήταν μη σταθεροποιήσιμο.

Φεβρουαριος 18, για τα περισσοτερα νομιζω ειναι σωστα (με βαση παλιοτερα ποστ απο τημμυ) αλλα αν διαφωνειτε καπου πειτε γιατι κι εγω δεν ειμαι κανενας εξπερτ στα σαε. Δεν καταφερα με τιποτα το Θεμα 3β οποτε αν εχει κανεις καμια ιδεα it's more than welcome.

Στο θεμα 2 στο γ ερώτημα δεν πρεπει στο τελος αφού βρουμε τον ελεκτη με z να το γυρίσουμε σε x;; Αν ναι πώς;;

(επίσης εκει στις πράξεις εχεις ενα μικρο λαθάκι αντι για T^-1xAxT, κάνεις T^-1xAxT^-1)

Ναι οντως εχω λαθος σε αυτο που λες και επισης ναι μου φαινεται πιο σωστο να το γυρισουμε σε x. Για να το κανουμε αυτο υποθετω ότι παμε κατα τα γνωστα..ουσιαστικα για τη μετατροπη καναμε z = T^-1x αρα για καθε z εχουμε την αναπαρασταση του απο τις μεταβλητες x οποτε απλα κανεις μια αντικατασταση στην u οπου z το αντιστοιχο x.

Έχει κανείς ιδέα για το 2ο θέμα 2018 του Ιουνίου;
Αυτό που έχει το (1+χ^2) στην πρώτη εξίσωση με έχει μπερδέψει πάρα πολύ

Αφού είναι θετικό για κάθε τιμή του x μπορείς να διαιρέσεις και τα δύο μέλη με αυτό.

Ναι οκέι, μετά τι γίνεται; Μπορείς κάπως να με βοηθήσεις με μία πρότυπη λύση η κάτι τέτοιο;

Μετά κάνεις την κλασσική διαδικασία. Έχεις δύο ΔΕ δεύτερης τάξης, άρα έχεις 4 μεταβλητές κατάστασης. Ορίζεις x1=x, x2=x', x3=y, x4=y' και απο αυτές βγάζεις τις εξισώσεις κατάστασης.

Δες μια σελίδα πίσω εχω ανεβάσει λύσεις που στην ουσία κάνουν αυτο που λεει ο mr. Robot.

Οοοκέι άρα  οι εξισώσεις κατάστασης είναι αυτές του υποερωτήματος α) και απλά δε μπορώ να τις κάνω σε μορφή πινάκων. Και παρακάτω τη γραμμικοποίηση έτσι ώστε να τις φέρω σε αυτή τη μορφή.

Ευχαριστώ πολύ και τους δύο παίδες!

Από που παρατήρησες ότι ο πίνακας Α είναι ασταθής; Επειδή όλες οι τιμές του είναι θετικές;

παιρνεις χαρακτηριστικο και βλεπεις οτι οι συντελεστες του δεν ειναι ομοσημοι.

Και στο  2στ σε ιουνη 18 τι λεμε;;;

Αφου ειναι ασταθες το γραμμικοποιημένο θα είναι και το αρχικό. Δεν έχεις ούτε καν τοπική ευστάθεια, δεν μπορείς να έχεις ολική.

Στη λυση για το θεμα 3α του ΦΕΒ18 γιατι να μην βαλουμε απλα u=-kx (το γνωστο δηλαδη) αλλα με κ=1?

βγαινει: V ' = -x^2 (1+θ)
ολικα ασυμπτ ευσταθες βγαινει

θ αγνωστο αλλα θετικο (1+θ επισης θετικο)

Επισης πως δικαιολογουμε οτι το χ=0 ειναι το μοναδικο σημειο ισορροπιας?
(χωρις εξωτερικη εισοδο δηλαδη για u=0 ειναι το μοναδικο οκ αλλα... μπορουμε οντως να υποθεσουμε μηδενικη εξωτερικη εισοδο?)

edit: hmm μαλλον δεν ειμαστε σιγουροι οτι |u|<1 με αυτην την επιλογη ε?
 (|u|=|x| αν βαλουμε u=-x)

Έχει βγάλει κανείς άκρη με το τι πράξεις πρέπει να γίνουν στο τρίτο θέμα για να μπορείς να βγάλεις αποτέλεσμα; ρωτάω γιατί είναι περίεργη κάπως η τετραγωνική μορφή καθώς υπάρχει εξάρτηση από το q ακόμα και στον Μ οπότε δε νομίζω να βγαίνει κανονικά όπως στα παραδείγματα που έχει στις σημειώσεις του

σωστο το edit σου! για αυτον ακριβως το λογο επειδη με kx αν το x<1 χανεις την εννοια της ολικης ευσταθειας και πας στην τοπικη.

Επισης το οτι το 0 ειναι το μοναδικο Σ.Ι. το δικαιολογεις αφου εχεις μια εισοδο. Είναι μεσα στις προδιαγραφες της ασκησης, αφου σου λεει διαλεξε u ωστε να καθιστα το 0 μοναδικο Σ.Ι.


σε ποιο θεμα αναφερεσαι;

Νομιζω στο θεμα 3 του Ιουνιου του 2018 αναφερεται και θα ηθελα και εγω μια γνωμη για το πώς πηγαινουν οι πραξεις οταν παραγωγιζουμε την Lyapunov αν εχει κανεις καμια ιδεα.

Ναι σε αυτό αναφέρομαι ξέχασα εντελώς να γράψω τι και πως  :P

+1 κι εγω δεν εχω την παραμικρη ιδεα πως πανε. Σιγουρα μπλεκονται ιδιοτητες απο γραμ.αλγεβρα με πραξεις μεταξυ αναστροφων πινακων κλπ. που δεν θυμαμαι καθολου.

Θα κάτσω να κάνω τις πράξεις και θα το ανεβάσω ή κατα το απογεύμα ή μέχρι αύριο το μεσημέρι.

Όχι δεν είναι αυτός. Ο Α2 προκύπτει μετά από μετασχηματισμό με τον πίνακα Τ ο οποίος βέβαια στο συγκεκριμένο θέμα δεν μπορεί να υλοποιηθεί επειδή έχουμε Β=0. Γι'αυτό το λόγο νομίζω καταφεύγουμε στο να αναζητήσουμε την ευστάθεια του ίδιου του Α η οποία αποδεικνύεται οτι δεν υπάρχει τελικά και άρα είναι μη σταθεροποιήσιμο.

  :D :D :D :D
^wav^

you're a gentleman and a scholar

παιδια οσον αφορα το 2ο θεμα του ιουνιου 2018 οταν λεει γραμμικοποιηση στη γειτονια του 0 ενοει οτι γραμμικοποιω γυρω αο το (0,0,0,0,υ*)? οχι γυρω απο το Σ.Ι που ειναι το (κπ,0,0,0,υ*)?? κι αν ειναι ετσι τοτε γιατι στη γραμμικοποιηση κραταμε το υ* που ειναι Σ.Ι?

Κι εγω ετσι νομιζω οτι στην περιπτωση μας πρεπει να εξετασουμε ολοκληρο τον Α ομως για να βρεις ιδιοτιμες στο 4 επι 4 θελεις ποσες πραξεις...υπαρχει αλλος τροπος να αποδειξεις οτι υπαρχει ευσταθεια??

Η οριζουσα στον 4x4 που εχουμε εδω δεν ειναι τοσο τραγικη γιατι εχει πολλα μηδενικα οποτε φευγουν πολλοι οροι. Επισης εξεταζεις αν υπαρχει ευσταθεια, δεν αποδεικνυεις οτι υπαρχει. Αν κανεις τις πραξεις για το γραμμικοποιημενο θα δεις οτι ειναι ασταθες αρα και το μη-γραμμικοποιημενο ειναι ασταθες.


το κ παιρνει τιμες απο 0, αρα στην ουσια σου λεει να γραμμικοποιησεις γυρω απο ενα από τα Σ.Ι. Στην γραμμικοποιηση κρατας το υ* γιατι μετα την παραγωγιση σου μενει μια εισοδος για την οποια πρεπει να δωσεις τιμες οποτε δινεις τιμη υ*, δεν σε επηρεαζει καπου.

αα οκκ! ευχαριστω!!

Όταν είχαμε 2x2 σύστημα δε λέγαμε ΣΙ: (x*, u*) = (0,0) ?? Γιατί τώρα που είναι περισσότερα τα χ να μη θεωρήσουμε οτι το "γύρω από το 0" πάει και στο u και να το βάλουμε κι αυτό 0 στη γραμμικοποίηση?? Εγώ προσωπικά έτσι θα το έκανα

Αν το u* δεν ειναι το μηδενικο τοτε το γραμμικοποιημενο συστημα σου ισως να μην ανταποκρινεται 100% στο αρχικο ετσι οπως το βλεπω εγω. Νομιζω οτι πιο σωστο ειναι αυτο που λες απλα πριν το παρεις για (x*,u*) = (0,0) να κανεις μια μετατοπιση στο z = x - x* και v = u - u* ισχυει σιγουρα το (z*,v*) = (0,0).

Ιουνιος 2018
θεμα 3ο any ideas?

Στο θεμα 2 του φλεβαρη 2018 στο γ ερωτημα γιατι πρεπει να αποδειξεις σταθεροποιησιμοτητα? γιατι να μην παρεις κατευθειαν γρμαμικο ελεγκτη αναδρασης καταστ. για τον αρχικο πινακα Α...στη προοδο 2018 που ηταν ιδιο θεμα ο ριβιθακης δεν παιρνει πινακα Τ αλλα κατευθειαν υ_-κ1χ1-κ2χ2....

κι εκει ηταν μη ελεξιμο

good catch για αυτο με την προοδο! τη σταθεροποιησιμοτητα την αποδεικνυουμε γιατι με βαση τις σημειωσεις που εχει στα downloads δεν μπορουμε να παρουμε γραμ.αναδραση καταστασεων χωρις το συστημα να ειναι ελεγξιμο. Οποτε μαλλον εγινε λαθος στη λυση. Συγκεκριμενα στην προοδο εγω θα επαιρνα πινακα Τ και θα εκανα στανταρ διαδικασια για το μετασχηματισμενο συστημα.

Καταρχάς λύνεις το σύστημα ως προς q(2 τελίτσες). Μετά αρχίζεις τις παραγωγίσεις αργά και αναλυτικά προσέχοντας οτι όταν κάνεις ανάστροφο γινομένου, η σειρά των όρων αντιστρέφεται. Αν το κάνεις αυτό θα σου βγουν εν τέλει τρεις όροι οι οποίοι αν τους μαζέψεις (και κάνεις και την παραδοχή οτι ο C είναι συμμετρικός) θα βγεί η συνθήκη που σου δίνει και θα μηδενιστούν. Όσον αφορά το P(q) αφού το παραγωγίσεις ως προς χρόνο κάνε κανόνα αλυσίδας με το dq. Οι όροι που σου περισσεύουν στο τέλος είναι αντίθετοι (παρατηρείς οτι από τον πολλ/σμό διανυσμάτων βγαίνει στο τέλος 1x1) και εν τέλει λες V´=0.

Προτείνω να μη βάλεις από την αρχή u=0 γιατί θα σου χρειαστεί για το β ερώτημα και μετά θα πρέπει να κάτσεις να το ξαναπαραγωγίσεις!

Θα μπορούσες να ανεβάσεις μία λύση πάνω σε χαρτί άμα δε σου είναι δύσκολο;

πως σου εμειναν τα Μ(q)...εμενα νου εφυγαν αν και νομιζω κανω κατι λαθος στις πραξεις γτ δε μου βγαινει...ενοω να μεινουν και να τα διωξεις μετα με το 2C

Νομίζω έχεις ξεχάσει να παραγωγίσεις και το M(q), σε όλα τα άλλα παραδείγματα αυτός ο πίνακας ήταν μόνο αριθμοί, τώρα εξαρτάται από το q οπότε κάπως πρέπει να παραγωγισθεί και αυτός, απλά δεν έχω καταλάβει πως

Εμένα στο θέμα 3, Ιούνιος 2018 μου βγαίνει έτσι ..
Δηλαδή φεύγει το πρώτο μέρος της εξίσωσης που έβγαλα αλλά για το δεύτερο δεν κερω τι μπορώ να πω ..

Ειναι σωστό μέχρι εδώ. Μετά πρέπει να παρατηρήσεις ότι και η g και το x2 είναι διανύσματα διάστασης m x 1 και να πεις οτι g^Tx = (g^Tx)^T = x^T(g^T)^T = x^Tg. Το πρώτο ίσον ισχύει γιατί το γινόμενο δίνει έναν πίνακα διάστασης 1 x 1 οποτε αν παρεις τον ανάστροφο αυτού θα έχεις και πάλι τον ίδιο πίνακα. Μετά χρησιμοποιώ την ιδιοτητα (ΑΒ)^Τ = Β^ΤΑ^Τ. Και έτσ φεύγει το δευτερο κομμάτι της εξίσωσης

Επίσης για να μην ξανακάνεις τις πράξεις για το δεύτερο ερώτημα μπορεις να μη μηδενίσεις τον u απο την αρχή, ώστε να αντικαταστήσεις αυτό που σου δίνει.

Ωραία , σε ευχαριστω πολύ !
Νομίζω μου βγήκε

κι εμενα!! πρεπει να δειξω οτι το 0,0 ειναι και σι???

Ναι αλλά άμα βάλεις όπου χ1,χ2 το μηδέν σου βγαίνει και για διαφορετικά σημεία δεν έχεις μηδενισμό γιατί σου λέει ότι η g(q) μηδενίζεται μόνο στο απομονωμένο σημείο ισορροπίας του το q=0

Κανενας που ελυσε το πρωτο θεμα απτα σημερινα να μας δωσει τα φωτα του?

-Q=A^T P+P A ακουσα

Έχει ασχοληθεί κανείς με τα θέματα Σεπτεμβρίου 2018?

Έχεις κάποια συγκεκριμένη απορία;

Για το 1ο θέμα δεν έχω ιδέα πως λύνεται  :D  Στο 3ο πήρα u = -x^2 - δx, Lyapunov V(x) = 1/2x^2, οπότε βγαίνει V' <= 0 και άρα το χ=0 είναι τοπικά ευσταθές ΣΙ. Αλλά πως κάνω Lasalle για σύστημα με μόνο μια μεταβλητή κατάστασης? Με μπερδεύει λίγο

Για το τρίτο μπορείς απλά να θέσεις u=-x^2-ax και να ακολουθήσεις μετά την ίδια διαδικασία. Μετά επειδή θες V'<0 αρκεί να πεις τι τιμές πρέπει να πάρει το a. Για το πρώτο θέμα θα επανέλθω!

Σεπτέμβριος 2018 1ο θέμα

Έχει κανείς λύσεις στο θέμα 2 Σεπτέμβριος 2018;

Έκανα μέχρι το Δ, όπου φαντάζομαι θέλει περιπτώσεις για να καταλήξεις σε μια γενική συνθήκη για τον ενισχυτή, που δεν την βρήκα. Στο Ε φαντάζομαι θέλει κάτι σαν το σχήμα στο θέμα 2, σελ. 47 από το pdf με τις λυμένες. Αν έχετε καμία ιδέα ή κάποια επισήμανση...

νομίζω μπορείς να το κάνεις και πιο γρήγορα, εφόσον σου λέει ότι δ = γνωστό τότε μπορείς να θέσεις u=-x^2-δx.
το σύστημα γίνεται x' = x[d(u,x)-δ] και με lyapunov V=1/2*x^2 έχεις V' = x^2(d-δ) όπου μπορείς λόγω της ανισότητας που δίνεται βγάζοντας το απόλυτο να πεις ότι V<= 0 . μετά με LaSalle δείχνεις ότι αν x <> 0 τότε x' <> 0 άρα βγαίνω έξω από το σύνολο.
Νομίζω, με την ίδια λογική αν κάποιος προβληματίζεται με το δ λόγω και της ισότητας στην σχέση που δίνεται, μπορεί αντί για δ να επιλέξει u=x^2-(d+1)x, ώστε d(x,u) <= δ < (δ+1) άρα d(x,u)-δ-1<0 καθαρά αρνητικό.

Σωστό σε βρίσκω. Προσωπικά θα διάλεγα την 2η λύση για πιο safe, διότι με την 1η έχεις x' = x(δ(χ) - δ), που μπορεί να μηδενιστεί για χ<>0, αφού το δ(χ) = δ είναι εφικτό.

Εχει λυσει κανεις το Θεμα 1 και το Θεμα 3 απο Σεπτεμβριο 2018 ?

Σεπτέμβριος 18 , Θέμα 2
Έχει κανείς καμιά ιδέα για το διάγραμμα του ερωτήματος ε;

μηπως ειναι σαν το σχημα που εχει στο pdf με τα λυμενα  σεπτεμβριος 17 θεμα 2β?

Για το 1 δεν είμαι 100% σίγουρος

Σχετικα με το θεμα 1 Σεπτεμβριου 18 αν ακολουθησουμε τον τροπο επιλυσης του Ροβιθακη για συστηματα με διαταραχες οδηγουμαστε σε λυση ομοιομορφα τελικως φραγμενη για το συστημα..τι γινεται σ αυτη την περιπτωση που μας ζηταει ολικη ασυμπτωτικη ευσταθεια του ΣΙ?

Δεν έχω ασχοληθεί με το θέμα, αλλά θυμάμαι από το μάθημα που είχε πει πως στην περίπτωση εξωτερικών διαταραχών, μπορώ να συρρικνώσω το |x|>ε (ε: το μακρυνάρι) επιλέγοντας τιμές για το Κ (δηλ. επιδρώντας στο πηλίκο ||P||/λmin(Q)). Άρα αν επιλέξεις τέτοιο Κ ώστε να το στείλεις στο 0 τότε ίσως να μπορούσες να μιλήσεις για ολική ασυμπτωτική ευστάθεια; Δεν είμαι σίγουρος για το τελευταίο, αλλά δεν μπορώ να σκεφτώ και κάτι άλλο..

ωραια παντως το k θα βγει συναρτησει λmin(Q) και ||P||, οπως εβγαζε κ ο ροβιθακης?

σετπ 18 θεμα 3 η αποψη οτι αφου γνωριζω το δ επιλεγω α < -δ <= δ(x,u) (απο ιδιοτητα απολυτων) και αρα με την κλασικη lyapunov να καταληξω
V_dot = -x^2 [δ(x,u) - α] η οποια βγαινει αρνητικα ορισμενη (ουτε καν ημιορισμενη)  αφου ο ορος δ(x,u)-a ειναι αυστηρα θετικος,

ποσο valid ειναι;

Σωστός είσαι

σεπτ 18 θεμα 1 ο φίλος xristosioan εργαζεται με την κλασικη lyapunov x^τPx όπως και ο Ροβι στο αντιστοιχο παραδειγμα του στο PDF Καναβουρα σελ 38 ( http://prntscr.com/otwxnt ). Ξέρει κανείς γιατί ο Ρόβι στο παράδειγμα του μηδενίζει τη u σε αντίθεση με την επίλυση του Θέματος 1;

Ισχύει ότι στο θέμα του Σεπτεμβρίου δεν την μηδενίζουμε επειδή μας ζητάει ελεγκτη γραμμικης αναδρασης καταστασεων ενώ στην άσκηση που εκανε μες την ταξη μιλουσε απλώς για ελεγκτη;

Γενικα απο οτι ειχα καταλαβει οσο διαβαζα δεν μηδενιζουμε ποτε την u οταν θελουμε να αποδειξουμε κατι (ακομα και σε παραδειγματα γραμμικοποιησης) γιατι κατευθειαν ακυρωνεται η καθολικοτητα του αποτελεσματος, εκτος αν αναφερει η εκφωνηση οτι εχουμε μηδενικη εισοδο. Ειχα και γω αυτην την απορια για την σελ 38 και το μονο που σκεφτηκα ηταν οτι παραλειπει την αντικατασταση του u = -kx και τον νεο πινακα Α-Βk τον εχει σαν Α εφοσον οι πραξεις δεν αλλαζουν. Ελπιζω να βοηθησα!
Παρ ολα αυτα ας με διορθωσει καποιος αν κανω λαθος.  :D

edit:  κατι αλλο που παιζει οταν εχεις πολλες εισοδους ειναι οτι καθε φορα που ασχολεισαι με την μια μηδενιζεις ολες τις υπολοιπες μπορει να κανει και αυτο στο συγκεκριμενο παραδειγμα. Στα τελευταια μαθηματα ειχε κανει κατι σχετικο

ναι οντως η πρωτη εξηγηση που δινεις εχει νοημα οποτε μαλλον αυτο θα ναι. ευχαριστω

Εχει λυσει καποιος/α το Φεβ 2018 3 β?

Επισης,  στο θεμα 3 Ιουνιου 2018 τι πληροφορια μας δινει το οτι η C περιεχει φυγοκεντρους? Ισχυει οτι Ctranapose=C? Γιατι εχω φτασει στο 1/2 x2transpose(M'-C-Ctranspose)x2 και δε μπορω να το προχωρησω για να φτασω στον τυπο που μας δινεται.

Ιούνιος 2018 Θέμα 1

Πριν γραψουμε και σχεδιάσουμε τον ελεγκτή. Δε θα πρέπει να ελέγξουμε εάν είναι ελέξιμο?

plz εχει καποιος ολοκληρωμενη επιλυση  του θεματος 2δ - Σεπτεμβριος 18. Ίσχύει οτι στο τελος πρεπει να παρουμε περιπτωσεις για τα γ και δ αναλογα ποιο βγαινει πιο μεγαλο για να δουμε βασει ποιου θα γραψουμε την ανισωση με το k_bar?

Εχεις δικαιο. Αυτο γινεται ουσιαστικα ΚΑΘΕ φορά που κάνουμε γραμμικοποίηση με ανάδραση. Βάζουμε δηλαδή ελεγκτή στο μη γραμμικο σύστημα χωρίς να αποδεικνύουμε αν ειναι ελέγξιμο προφανώς αφού δεν μπορούμε καθ' ότι δεν είναι γραμμικό. Μπορείς ωστόσο να βάλεις έναν ελεγκτή u = (απάλειψη γραμμικοτήτων) + v. Και πριν αντικαταστήσεις τον v με -κ1χ1-κ2χ2 να αποδειξεις ότι αυτό το σύστημα είναι ελεγξιμο (όπου και ισχύει)

1)Για το Ιουνιο 18/Θεμα 3 το οτι βγαζουμε την lyapunov 0 σημαινει οτι ειναι απλα ευσταθες; Γενικα ισχύει αυτό: "Αν V'=0 τοτε εχω απλη ευσταθεια;"
2)Για το ιδιο θεμα, την παραδοχη οτι ο C ειναι συμμετρικος την κανω απο μονος μου; Ή βγαινει με καποιον τροπο μεσα απο τα συμφραζομενα της εκφώνησης;

Ξέρουμε ότι όταν μας ζητάει να σχεδιάσουμε ελεγκτή πρέπει να δείχνουμε πρώτα ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο.

Τι γίνεται στις περιπτώσεις που έχουμε μη γραμμικό σύστημα? Πως δείχνουμε ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο?
Παράδειγμα: Ιούνιος 2018 - Θέμα 1^ο

και εγω ειχα την ιδια απορια και λογικα η απαντηση ειναι οτι προφανως δεν μπορεις να κανεις τιποτα. βαζεις τον ελεγκτη χωρις να δειξεις οτι ειναι ελεγξιμο αφου δεν μπορεις να το δειξεις ουσιαστικα λογω μη γραμμικοτητας. υπαρχει περιπτωση ο ροβι οταν λεει οτι για να βαλουμε ελεγκτη πρεπει να δειξουμε οτι ειναι ελεγξιμο, να εννοει ουσιαστικα, για να βαλουμε ελεγκτη ελεγχου των ιδιοτιμων καθ οτι αυτο πετυχαινουμε με τους γραμμικη αναδραση καταστασεων

Νομιζω στην περιπτωση οπως αυτη που βαζεις ελεγκτη γραμμικοποιησης δεν χρειαζεται καν να το αποδειξεις αλλα δεν ειμαι και σιγουρος

Γενικά όταν σε ένα θέμα λέει να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας (όπως στο θέμα 2 ιούνιος 2018) αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν πάνω από ένα σημεία ισορροπίας ή μπορεί να υπάρχει και μονο ένα;  επειδή εγω βρίσκω μόνο ένα

ο όρος sinx=0 έχει λύσεις x=kπ, k ακέραιος, άρα τα σημεία ισορροπίας είναι άπειρα.

Δοκίμασα να Λύσω απο τον Φεβρουάριο του 2018 το ερωτημα β) του θεματος 3. Δείτε και πείτε μου αν εγκρινετε ή αν υπάρχει κάποια πιό εύκολη λύση!

Επίσης παραθέτω και την λύση για τον Σεπτεμβριο 2018 θεμα 1ο, καθως δεν νομιζω οτι ηταν σωστές οσες ειδα μέχρι τωρα. Την εκανα επισης αρκετα λεπτομερη ωστε να ειναι ξεκάθαρο το καθε βήμα της επίλυσης και οχι γιατι η λυση πιανει αντικειμενικα τοσο πολυ, μην σας τρομαξουν οι 3 σελιδες -.-

Στο Ιούνη Θέμα 2 όταν κάνω γραμμικοποίηση αφήνω και τη παράγωγο; πχ. cos(x) = x' sin(x);

Αν κατάλαβα καλά λες γενικά για τη γραμμικοποίηση. Εκεί παραγωγίζεις ως προς x άρα χ'=1!

Συνεπώς d(cosx)/dx = -sinx χωρίς τίποτα άλλο!  Απλά μετά υπολογίζεις αυτό που έχεις βρει στο x*

Αυτό εννούσα, ευχαριστώ  :D

Θεμα 3 Σεπτεμβρης.

Δειχνεις οτι V παραγωγος < 0.

Ωστοσο δε πρεπει να αναφερουμε και κατι για το ΣΙ? Για να το υπολογισουμε τοποθετουμε τον ελεγκτη που βαλαμε στην εξιωση που δινει για να πουμε οτι ειναι το μοναδικο ΣΙ;