THMMY.gr

Στο μάθημα 5 στην τελευταία άσκηση γιατί η V' είναι αρνητικά ορισμένη;

γιατί να μην είναι;
Αφού στη σφαίρα μέσα βγαίνει V'<0

Δε μπορώ να το αντιληφθώ. V'=z^2(z+3)/(z+2) ? Αυτό δεν είναι θετικό για |z|<2? Δεν έχω καταλάβει κάτι μου φαίνεται

μισό να δω τις σημειώσεις exomag, εγώ αλλιώς το χω

Έχει και ένα πλην εκεί κανονικά!

Οκ, ευχαριστώ για την άμεση απάντηση!

τίποτα  ;)

fixed ;)

Όταν κάνουμε το μετασχηματισμό z=Tx για να διαγωνοποιήσουμε τον Α, ο Απερισπωμένη= (ΤΑΤ^-1) προκύπτει διαγώνιος πινακας; Η διαγωνοποίηση του πίνακα δε γίνεται κανονικά με το μετασχηματισμό Τ^-1ΑΤ;

Σχετικά με τη διαγωνιοποίηση υπάρχουν δύο ορισμοί. Ιδιοδιανύσματα από αριστερά και ιδιοδιανύσματα από τα δεξιά. Νομίζω έχει να κάνει με αυτό. Εδώ να χρησιμοποιείς το ΤΑΤ^-1.

Μπορει καποιος να βοηθησει με τα μαθηματικα στο μαθημα 13 σελιδα 5; Συγκεκριμενα:
α)στην μερικη παραγωγο ως προς u γιατι dV/dT ως προς u ειναι ισο με 2*xΤ*A*x' ;
β)τι παιζει στην παραγωγο dV/dt ;
γ)ο ορος P*B*R(-1)*B(T)*P πως προκυπτει;

παιδιά εκτός από τις ασκήσεις που μας ανέβασε ο exomag δεν έχουμε κάτι άλλο να δούμε;
Είναι η πρώτη φορά που βάζει θέματα μόνος ή έχει ξαναβάλει;

Έχει αλλάξει η ύλη φέτος, οπότε δεν ξέρω αν έχουν νόημα τα θέματα!
Γενικά ακολουθείστε σημειώσεις exomag!

Μαθημα 5, πρωτη σελιδα. Πως γινεται το σημειο 0,0 να βγαζει ετσι τον πινακα; Αλλα κ ετσι να βγαινει μετα η εξισωση δεν θα επρεπε να ειναι: s^2+γs-1=0q

Άμα δεις τη σχέση μεταξύ x' και x είναι ξεκάθαρο γιατί το στοιχείο (1,1) του πίνακα είναι 0. Αν παρατηρήσεις θα δεις πως x₁' = 0 * x₁ + 1 * x₂.

Για το άλλο έχεις δίκιο, έχω γράψει λάθος, το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο θα έπρεπε να είναι s² + γs - 1.

Το σημειο 1,1 ειναι το μονο που καταλαβαινω. παιρνουμε το Σ.Ι. το οποιο ειναι (χ1*,χ2*)=(0,0). Πως γινεται το 1*χ2* να βγαζει 1; κ αντιστοιχα τα υπολοιπα σημεια; μηπως δεν αντικαθιστω το χ2* στον πινακα; Δεν καταλαβαινω; τι κανω λαθος;


εδιτ: τραγικο λαθος!! μολις καταλαβα τι συμβαινει!! ευχαριστω πολυ εξομαγκ!!!

Λοιπον αλλη ερωτηση: Στο επιθυμητο χαρακτηριστικο πολυωνυμο ετσω 2ου βαθμου εχουμε s^2+a1s+a2. θελουμε τα α1 κ α2 να εχουν ιδιο προσημο με τον συντελεστη του s^2. Γιατι; Σε περιπτωση που εχουμε 3ου βαθμου κ πανω λεει ο ροβυ οτι παιρνουμε κριτηριο. Ποιο κριτηριο παιρνουμε; Τι θελουμε να εχει σαν αποτελεσμα;(αυτα μαλλον εχουν γινει ΣΑΕ1 αλλα δεν τα θυμαμαι. ψαχνω, αλλα δεν ξερω κ ακριβως τι ψαχνω  :-\ :-\)
Ευχαριστω!

Το κριτήριο Ruth Hurwitz για την ευστάθεια παίρνεις. Συγκεκριμένα, για 2ου βαθμούς θέλεις όλοι οι συντελεστές να είναι ομόσημοι για να μην έχεις πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο και αφού ο συντελεστής του s^2 είναι 1 , θες να είναι όλοι θετικοί .
Εφαρμόζοντας το κριτήριο μπορείς να βγάλεις ανισότητες για τα k έτσι ώστε να επιλέξεις κατάλληλες τιμές . 

Ευχαριστω πολυ! Αυτο νομιζα, αλλα τωρα ειμαι σιγουρος ;)

Στην άσκηση στη σελίδα 14 το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που προκύπτει είναι σωστό; Και εγώ στις σημειώσεις μου έχω αυτό που έχει και ο exomag αλλά όταν το κάνω μόνος μου βγάζω έναν ακόμη σταθερό όρο..

Λογικά κάποιο ορθογραφικό θα έκανε ο Ροβιθάκς στον πίνακα, το οποίο μετέφερα μετά και στις σημειώσεις μου. Για να βγάζει νόημα η άσκηση θα πρέπει:

• τα στοιχεία του πίνακα Α, στη 2^η γραμμή, να είναι και τα δύο -k₂
• Το δεύτερο στοιχείο του πίνακα Β να είναι 0

Το δεύτερο στοιχείο του Β εγώ το έχω όντως 0. Το στοχείο Α₂₁ εγώ το έχω k₂. Έτσι, βγαίνει πάντως ευσταθές για οποιοδήποτε ελεγκτή. Πάντως με τις αλλαγές που λες νομίζω πάλι δε βγαίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο στο οποίο καταλήγει ο Ροβιθάκης  :-\

Κάτσε, για τη μορφή του πίνακα που έχω μέσα στη παρένθεση det(...) συμφωνείς;

Ναι σε αυτήν καταλήγω και εγώ με αρχικό πίνακα όπως σου είπα πιο πάνω

Και για χαρακτηριστικό πολυώνυμο βγάζω αυτό που βγάζει ο Ροβιθάκης +k₂(k₀+k₁)

Ναι, έχει κάνει λάθος ο Ροβιθάκης, μάλλον. No matter, αφού πιάνεις τη λογική της λύσης! ;)

Απλώς ρε συ με αυτό το χαρ. πολ/μο καταλήγω σε εξισώσεις που ισχύουν ό,τι τιμή και να έχει ο ελεγκτής..  :-\

Ε, εντάξει, απλά έχει λάθος στα νούμερα αυτού του παραδείγματος ο Ροβιθάκης. Μην κολλάς σε ένα παράδειγμα!

Οκ κομπλέ!

Στο παράδειγμα σελίδα 25 που βρίσκει τον πίνακα μετάβασης με τον αντίστροφο laplace, πώς υπολογίζει τον αντίστροφο laplace; Αυτό που βρίσκει δεν είναι ο αντίστροφος laplace του κάθε στοιχείου πάντως.

Προφανώς ο παρανομαστής του κλάσματος (στον αντίστροφο πίνακα) θα έπρεπε να είναι s²+3s+2. Έπειτα βρίσκεις τον αντίστροφο Laplace του κάθε στοιχείου.

Όντως δίκιο έχεις.

Παιδιά, πως βρίσκουμε "σωστή" συνάρτηση Lyapunov σε μη γραμμικά συστήματα; Μέσα στην τάξη έχει κανει κάτι με ολοκληρώματα, με cosx κλπ, που μόνο προφανή δεν είναι.. Καμία ιδέα κάποιος;  :'(


edit: τουλάχιστον σε μένα δεν είναι προφανή. κάποιος άλλος αν το έχει καταλάβει ας μας βοηθήσει...

Γενικά όντως δεν είναι προφανές, γι' αυτό αμφιβάλλω αν θα ζητηθεί κάτι τέτοιο.

Πώς βρίσκουμε ευστάθεια όταν έχουμε x'=Ax+Bu? Φτάνουν μόνο οι ιδιοτιμές του Α?

+++

Εφοσον το σύστημα είναι γραμμικό,ναι σας φτάνουν οι ιδιοτιμές.

αρα αρκουν μονο οι ιδιοτιμες του Α για να εκφερουμε αποψη για την ευσταθεια τ συστηματος??

Ναι λέμε...

Νομίζω πως χρειάζεται να εξετάζουμε και το κριτήριο Routh-Hurwitz αν εμπλέκονται και τα κέρδη k_i του ελεγκτή για τις ανισότητες ή τα πρόσημα των συντελεστών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Σωστά;;;;

Το κριτήριο Routh που αναφέρεις είναι ισοδύναμο με το να ελέγξεις τις ιδιοτιμές του πίνακα Α.

Άσχετο, αλλά με το Κεφάλαιο 7 "Ζητήματα Ευρωστίας", τι παίζει γενικά; Κάναμε μία άσκηση, αλλά γενικά πολλούς τύπους και θεωρία έχει το κεφάλαιο... Κάποιος να μας δώσει τα φώτα του; Θεωρείται "sos";

Ισχύει πως το κεφάλαιο έγινε στα γρήγορα και δεν φαίνεται πολύ πιθανό-θέμα-friendly. Μπορεί βέβαια να μπει κάποιο μέρος θέματος ή υποερώτημα από αυτό, imho.

Στην άσκηση που κάναμε στο κεφάλαιο αυτό, δεν μπορώ να καταλάβω πως εξάγονται οι συνθήκες... Κάποια βοήθεια;;  :-\

+1

Επίσης όταν θέλουμε να πάμε με την εξίσωση Q=-(A^TP+PA) μπορούμε πάντα να παίρνουμε Q=I?

Εσύ θες ο Q που θα διαλέξεις να είναι θετικά ορισμένος. Οπότε ο μοναδιαίος σου κάνει.

Δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα. Έχεις μια σχέση της μορφής x' = A*x και θες ο πίνακας Α να είναι αρνητικά ορισμένος. Οπότε παίρνεις τις ελάσσονες υπο-ορίζουσες του αρνητικές και προκύπτουν οι ανισότητες που έχω στις σημειώσεις.

Στο 2ο θέμα της προόδου πρέπει πρώτα να γραμμικοποιήσουμε το σύστημα και μετά να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα για γραμμική ανάδραση καταστάσεων ή εννοεί κάτι άλλο όταν ζητάει να λυθεί με επιχειρήματα Lyapunov; Δηλαδή να θέσουμε μια συνάρτηση V απευθείας κτλ;

Αφού λέει Lyapunov, Συνάρτηση θέλει, την προφανή 1/2 χ^2 και μετά Lassale από ότι θυμάμαι!

Και κάτι ακόμα. Το u που παίρνω είναι -kx ή -kx+k_rr?

μιας και λεμε για γραμμικοποίηση, μπορεί κάποιος να μας διαφωτίσει και για το 3ο θέμα; Συγκεκριμένα όλα τα παραδείγματα στις σημειώσεις έχουν F(x) δηλαδή δεν πρέπει να υπάρχει u.... στο θέμα όμως υπάρχει οπότε καταλήγω το ''γραμμικοποιημένο'' να είναι F = - cδ/2u ( x - x*) που προφανώς είναι λάθος.

Τίποτα, θα το πάρεις ώστε να σου βγει V'<=0 και μετά Lassale


Σαν το παράδειγμα με το τραίνο που κρατάς x*!

χαζή ερώτηση: ποιες είναι οι ελάσσουσες υπο-ορίζουσες ενός πίνακα;  :-[ :-\

Η ανάδραση ήταν εκτός στην πρόοδο!
Θα πάρεις u τέτοιο ώστε να σου βγαίνει V'<=0!! Όπου V=1/2 x^2!

Οκ, ευχαριστώ!  :)

batman Οταν λες παραδειγμα με τραίνο εννοείς σελίδα 10 απο exomag; Διότι αυτό το θεώρησα τραβηγμένο και δεν έχω καταλάβει χριστό  :D

σόρρυ για το σπαμ:

χαζή ερώτηση: ποιες είναι οι ελάσσουσες υπο-ορίζουσες ενός πίνακα;  :-\ :-[ please κάποιος;

Είναι το πχ σελίδα 31-32!

1,1 στοιχείο, τα 4 πρώτα μετά τα 9 πρώτα!

χρειάζεται μήπως να μάθουμε απέξω μοντέλα που έκανε στην τάξη ή θα δίνει αυτός λογικά τις εξισώσεις κατάστασης?

Θα δίνει τις διαφορικές λογικά!
Τις εξισώσεις θα τις βγάζεις εσύ!

κάπου στα θέματα προσομοίωσης λέει ΄΄ η πιο αργή ιδιοτιμή ΄΄. Ποια είναι αργή και ποια γρήγορη; Ούτε το google δεν ξέρει  :D

Νομίζω είναι η πιο μεγάλη.

Εγώ θέλω να ρωτήσω πώς λύνεται το 4ο θέμα της προόδου γιατί στις σημειώσεις δεν βρήκα λυμένο παράδειγμα πάνω στην γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης.

Θέτεις u έτσι ώστε να απολοποιείται το cos (ή sin δεν θυμάμαι)

Δεν κοίταξες αρκετά καλά, υπάρχει ένα ξεκάθαρο παράδειγμα στη σελίδα 34 των σημειώσεων μου.

Το κοίταξα αυτό το κομμάτι, το μόνο που καταλαβαίνω είναι ότι θέτει q''=v αλλά δεν καταλαβαίνω πώς λύνεται το θέμα έτσι.

(και να πω και ένα ευχαριστώ για τις σημειώσεις και την βοήθεια που έχεις δώσει μέσα από το forum  ;))

Ξέρει κανείς να μου εξηγήσει τι παίζει με την παράγωγο dV/dt? Σε όλη την έκταση των σημειώσεων και των διαφανειών εναλλάσσεται μεταξύ δύο τύπων. Η απορία μου είναι στη σελίδα 5 του μαθήματος 13, από σημειώσεις Exomag (φυσικά), όπου ο Ροβιθάκης κάνει ένα ακροβατικό με τον πίνακα xTPAx και τον αναστρέφει για να του βγει σωστή η εξίσωση Riccati. Για ποιο λόγο είναι αυτό το γινόμενο πινάκων ίσο με το ανάστροφό του?

Πως κανω την γραμμικοποιηση ακριβως; για την προοδο μιλαω 3ο θεμα. Ποια ειναι τα βηματα;

Σελίδα 31-32 όπως στο παράδειγμα!

Ναι αλλά, αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος, μετά την αλλαγή των μεταβλητών κατάστασης βγαίνει z'=a(cz)^1/2 +.. το οποίο αν το παραγωγίσουμε ως προς z και βάλουμε z=0 παίρνουμε 0 στον παρονομαστή  ^que^

Έβαλες u = 0 και σου προέκυψε το μηδενικό στον παρονομαστή;

Ναι, σαν σ.ι. πήρα το (γ/c, 0)

Δοκίμασε να πάρεις το x* σαν συνάρτηση του u* ή το ανάποδο.  Έτσι αποφεύγεις να εμφανίζεται μηδενικό στον παρονομαστή. Αν δεις και στις σημειώσεις δεν επιλέγει αυθαίρετα τιμή για το x1*, αλλά το κρατάει μέχρι τέλος.

Οκ, σ ευχαριστώ πολύ!

Άρα,εδώ ψάχνω κατάλληλο u και αφήνω το μ ως παράμετρο αφού δεν μας λέει τίποτα?
Επίσης,στο πρώτο θέμα για να δείξουμε ότι είναι ασταθές αρκεί να βρούμε τις ιδιοτιμές του Α και αν μας βγει κάποια θετική μπορούμε να πούμε κατευθείαν ότι είναι ασταθές?

yep

η πιο μεγαλη σε απολυτο? ::)

εχει κανενα παραδειγμα για το 1ο θεμα μεσα στις σημειωσεις?

και μετά; κριτήριο routh για να αξιποιήσουμε τα δεδομένα για τις ιδιοτιμες?

Στο τρίτο θέμα πώς βρίσκουμε το σημείο ισορροπίας? :-\

Αφού δεν απαντάει κανείς να ξαναρωτήσω...Μπορώ να πω πως θα θεωρήσω ως σημείο ισορροπίας το (x,u)=(γ/c,0) και μετά ναπάρω τους πίνακες A,B,C,D?Βγαίνει έτσι??

Και εγώ έτσι είχα προσπαθήσει να το κάνω. Κάποιος που να το χει σίγουρα, υπάρχει να μας βοηθήσει;  :)

O συντελεστής Α πώς βγαίνει?Το z θα είναι μέσα στη ρίζα...

Για το 1β καμιά ιδέα? :'(

+1β, κολλησα και εγω λιγακι..

εγω στο 1β τσεκαρα αν ειναι ελεγξιμος που δεν ειναι. το μετετρεψα σε ελεγξιμη κανονικη μορφη αντικατεστησα το u που μας εδινε και βγαινει x'=(A-BK)x

βρισκω ιδιοτιμες του Α'=(Α-ΒΚ) και μετα εκανα κριτηριο routh απο κει και περα δε ξερω πως αξιοποιειται οτι η πιο αργη ιδιοτιμη να ειναι -1

πρεπει ντε και καλα να κανουμε ελεγξιμοτητα????

εχω εκανα τον πινακα [α-βκ] μετα det[si-a+bk], κριτηριο ρουθ και μετα ανισωσεις για να είναι θετικά τα στοιχεία της πρώτης στήλης απο το κριτηριο ρουθ

μονο το κ1 εμενα μου μενει μετα την οριζουσα οποτε μονο γι αυτο βγαζω αποτελεσμα.... επισης οταν λεει η πιο αργη ιδιοτιμη νομιζω ότι εννοεί ότι το συστημα  με τον ελεγκτή δεν παίρνει ιδιοτιμές παραπάνω απο το -1....
άλλες απόψεις

αντε τελείωσε ο αγωνας απαντήστε τωρα :D

παντα μα παντα να τσεκαρεις αν ειναι ελεγξιμος εγω κοπηκα την αλλη φορα απ αυτο... την αλλη επειδη δεν ειχα κανει σχηματα και εφτασα να λουζομαι αυτες τις καινουριες μαλακιες τωρα. οποτε καντο τζαμπα ειναι...

Πρώτον , δεν είχε παραδώσει ελεγξιμότητα όταν ήταν η πρόοδος(αλλά γενικά δεν βλάπτει).  :P
Για να κάνουμε το σύστημα ευσταθές αρκεί να αλλάξουμε μόνο το 1 στην κύρια διαγώνιο, αφού οι ιδιοτιμές θα είναι τα στοιχεία της
κύριας διαγωνίου. Μόνο το k1 επηρεάζει αυτό το στοιχείο οπότε μπορούμε να βάλουμε k2=k3=0 για να ικανοποιήσουμε αυτό με τις ελάχιστες καταστάσεις που λέει.
Κάθε ιδιοτιμή ουσιαστικά δίνει την ταχύτητα σύγκλισης του εκθετικού στο μηδέν(εφόσον είναι ευσταθές) , οπότε η πιο αργή είναι αυτή με την μικρότερη απόλυτη τιμή. Άρα θέλουμε το στοιχείο (1,1) να είναι μικρότερο του -1 : 1-k1<=-1 => k1>=2 και είμαστε εντάξει .
Αυτή την λύση θα έδινα.  :)

Σωστό! Αυτό ήθελε!

 ^notworthy^

edit:
Και καμιά ιδέα για τα 3 και 4 πολύ θα βοηθούσε! :D

Για το 4 νομίζω το έγραψε και ο Batman 1-2 σελίδες πιο πριν , αρκεί να επιλέξετε τον ελεγκτή έτσι ώστε
u = N/ω * sinq + v ( v μία άλλη αυθαίρετη είσοδος ελέγχου) και μετά εύκολα βγαίνει σε μορφή συστήματος .
Για το 3 έχει παρόμοιο παράδειγμα στις σημειώσεις που έχει ανεβάσει ο Exomag , όπου κρατάει τη μία μεταβλητή σαν παράμετρο και γράφει τις τελικές εξισώσεις συναρτήσει αυτής.

Εδιτ : Μακάρι πάντως να βάλει σαν αυτά που έβαλε στην πρόοδο πάντως.

 ^super^

που ειναι στις σημειωσεις αυτο το παραδειγμα για το 3ο θεμα? (μας εχουν βγει και τα ματια τοση ωρα μπροστα στο πισι...)

31-32 !

danke!

και για πεστε τι βρηκατε στο 4ο?

Θυμάμαι απλοποίησα το sin! και βγήκε γραμμικό μετά!

Αν χρειαστεί να δώσουμε τιμή στο u, δεν αναφέρομαι στο συγκεκριμένο-γενικά, ποιο από τα παραπάνω είναι το σωστό;

Στο τρίτο θέμα της προοόδου πώς βρίσκουμε την ευστάθεια?

+1 !!!

Κανένας?? Οκ, γραμμικοποιήσαμε το σύστημα όπως στις σημειώσεις του έξομαγκ...μετά τι κάνουμε για την ευστάθεια?

σαν το παράδειγμα στη σελίδα 31 από τις σμειώσεις του exo!

 :P :P :P  χαίρω πολύ!!! για ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ λέω!! το παράδειγμα έχει τη γραμμικοποίηση μόνο...

Ιδιοτιμές του Α.....προφανώς!  :P

Ο Α είναι ένας αριθμός!!Τι θέλουμε να είναι???

Αρνητικός πιστεύω...........σκέψου το σαν πίνακα 1χ1!
Αλλά αν δεν είναι....τι κάνω; Και την είσοδο πώς τη δουλεύω;

Παίζει να μπορεί να ανεβάσει κάποιος λυμένο το θέμα 3 της προόδου?

Και το θεμα 4 της προοδου λυμενο οποιος μπορει να το δουμε!!

To 4o θέμα.
To 3o θέμα θα το προσπαθήσω αργότερα...
 (Έκανα λάθος από βιασύνη. Στον τελευταίο πίνακα είναι [0;1]*v και όχι [0;ω]*v)

στο 4 θεμα της προοδου  ο πινακας Α που έχεις έχει οριζουσα μηδεν... τι γίνεται με αυτό????

Παιδια από γραμμική άλγεβρα τι πρέπει να μάθουμε; γιατί πανε 3 χρονια που εδωσα το μαθημα και δε θυμαμαι σχεδον τπτ απο διαγωνιοποιησεις κτλ....

Πειράζει? Δεν είμαι 100% σίγουρος ότι έχω σωστή λύση. Αν κάποιος έχει καλύτερη ιδέα ας την μοιραστεί.


Η γραμμική άλγεβρα χρειάζεται για τις ορίζουσες, τις ιδιοτιμές και γενικά για πράξεις με πίνακες. 

δλδ δε θα χρειαστει πουθενα καμια διαγωνιοποιηση ε; >.>

λογικά όχι...

Θα χρειαστεί ίσως να βρεις ιδιοδιανύσματα, να τα ξέρεις!

Έχει ορίζουσα μηδέν, τι πειράζει;

αμα δεν πειράζει είναι κομπλέ η λύση!

Τα ιδιοδιανύσματα για να τα βρω κάνω det(sI-A) ;

η αυτο ειναι οι ιδιοτιμες;

Ιδιοτιμές.

κομπλε, βρηκα ενα pdf που λεει πως βρισκεις ιδιοδιανυσματα ^^
danke

στο 1β της προοδου μπορουμε να βάλουμε u=-k1*x1 με κ1=2; ή ξερω γω κ1>2;
Ή μλκιες λεω παλι;

Hello να ρωτήσω στην προοδο θεμα 1α (εχω προχωρήσει πολύ  :P):

Εφαρμόζω Lyapunov με τον πινακα P, το προβλημα ειναι οτι βγάζω με την εξίσωση δύο τιμές για το P1 (που ειναι στην πρώτη γραμμή πρώτη στήλη). Μου βγαινει P1= -1/2 και μετα P1=0.

Οποτε ερωτησεις: Καταρχας ετσι λύνεται; Κατα δευτερον ειναι σωστο οτι βγαζω δυο λύσεις --αρα αδυνατο-- αρα ασταθές; Αν οχι τι κάνουμε;  :-\ :-\ :-\

Καταρχάς, είναι όλο λάθος.  :P :P

Η λύση: Βάζει u=0. Έχεις χ'=Αχ, άρα γραμμικό σύστημα, άρα ευστάθεια = ιδιοτιμές! Επειδή έχεις και θετική ιδιοτιμή (όχι όλες αρνητικές) το σύστημα είναι ασταθές.

 :D :D thx  :)

Ξεκιναει το 8ωρο για την λύση του 1β  :P :P

επειδη στο 1β ειμαι και εγω, αυτο πρεπει να κανω;
δλδ εχω τον πινακα
[1-κ1      1          1]
[0         -1-κ1      2]
[0          0     -2-κ3]

οι ιδιοτιμες του βγαινουν απο την εξισωση  (s+k1-1)(s+1+k2)(s+2+k3)=0

μπορω να πω οτι κ1>=2, κ2=0, κ3=0

ετσι ο πιο αργος πολος ειναι στο -1(διπλος μαλιστα)
ειναι σωστη αυτη η λυση;

^τελικα αυτο που ειπα ειναι σε περιπτωση που καποιος εχει απορια

https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=58517.msg1035340#msg1035340

για το 3ο θεμα της προόδου, μπορεί καποιος να επαληθευσει αν πρεπει x*>γ/c ?

επισης πρεπει α<0 για να ειναι ευσταθες;
αντε απαντηστε καποιος, εδω μου απανταει η μαθεματικα που ειναι σε αλλη σχολη Τ_Τ

ναι είσαι κομπλέ και στα δύο!

Μια προσπάθεια να λύσω τα θέματα της προόδου...Αν έχετε καμιά ιδέα για το 2ο πέστε...

στο δεύτερο θέμα θα πάρεις την V(x)' κανονικα με u μέσα και μετά θα θεωρήσεις την u έτσι ώστε η V'(x) να βγαίνει αρνητική και ίση με το μηδεν  δλδ u=-2μχ2(χ1^2+χ2^2) μετά κάνεις και lassalle για να δείξεις ασυμπτωτική ευστάθεια

φιλε μου το ελυσα εγω το 2ο αλλα δεν ειναι και πολυ ευαναγνωστο...

Να σε ρωτήσω, στον ελεκτη u οπου εβαλες (1/ω)(Nsinq+v). Το v χρειάζεται οπωσδηποτε; Θα ηταν λαθος αν το βαζαμε μηδεν; (just curious)

δε χρειαζεται να δουμε αν ισχυει η ελεγξιμοτητα ε;

Tο v θα είναι η νέα είσοδος ελέγχου ουσιαστικά την οποία θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις για να ελέγξεις το γραμμικό πλεον σύστημα.
Ελεγξιμότητα σε μη γραμμικό σύστημα δύσκολα , αλλά και στο σύστημα 1ης τάξης ένα στοιχείο θα έχει ο "πίνακας" οπότε απλά θα αρκεί αυτό να μην είναι μηδενικό .

Στο θεμα 3ο του Ιουνη,καπου ακουσα οτι ηθελε δυναμικη αναδραση καταστασεων.Εχω την εξης απορια,ποτε καταλαβαινουμε οτι θελει δυναμικη και ποτε γραμμικη.Σιγουρα η γραμμικη ειναι πιο "φτηνη" ας πουμε,Περα απο αυτο,το μονο που μπορω να καταλαβω ειναι οτι,οταν εχεις θορυβο η γραμμικη δεν συμφερει γιατι πρεπει να βαλεις μεγαλα κερδη για να ειναι η λυση σου κοντα   
στην επιθυμητη.

Πιο γρηγορη ιδιοτιμη ειναι αυτη με το μικροτερο κατα απολυτη τιμή πραγματικο μέρος;

Yeap.

αν εισαι καλος παπαγαλος και εχεις φωτοτυπικο μηχανημα στον εγκεφαλο σου
θα δεις οτι στη θεωρια, εκει που εχει τη γραμμικη αναδραση λεει η εξοδος y ταυτιζεται με το r
ενω εκει που εχει τη δυναμικη αναδραση λεει να συγκλινει ασυμπτωτικα το y στο r που το λεει και στην εκφωνηση...

https://www.youtube.com/watch?v=11YgMR_VtWI

με λιγα λογια yss=r και στις 2 περιπτωσεις.

Βασικά εντάξει εδώ δεν ειναι θεμα παπαγαλίας. Από τη στιγμή που έχεις εξωτερικές διαταραχές δε μπορείς να πετύχεις το στόχο ελέγχου χωρίς να έχει το σύστημα ελέγχου ολοκληρωτή,δηλαδή δυναμική ανάδραση καταστάσεων...

Νομίζω πως πιο γρηγορη ειναι η πιο αρνητική, άρα αυτη με το μεγαλυτερο κατ'απολυτη τιμη πραγματικο μερος...

Λοιπον σελ.32 απο σημειωσεις. Καταάβαινω πως βγαινουν οι παραγωγοι των ζ1,ζ2,ζ3. Μετα απο ότι καταλαβαίνω παραγωγίζω τις μερικές παραγώγους για να βγουν οι άλλοι πίνακες. δηλαδή έχω z^''=A z^'. σωστά; Αν όχι που κάνω λάθος; Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει την δεύτερη σειρα στον πίνακα Α πως προκύπτει;

Όταν ρώτησα τον κ.Ροβιθάκη τι θα έπρεπε να κάνουμε εάν ζητούσε σύγκλιση και στο σύστημα δεν υπήρχε θόρυβος, είπε πως αυτό είναι κλασική περίπτωση γραμμικής ανάδρασης..

Με απλα λογια,οταν εχουμε θορυβο,χρησιμοποιουμε δυναμικη?!?

Αν με θόρυβο εννοούσες τις εξωτερικές διαταραχές,τοτε καλα σου ειπε...

Αν δεις το παραδειγμα που εκανε πριν τους δεικτες επιδοσης,οταν εχεις διαταραχές δε μπορείς να συγκλίνεις στο r, αλλά κάπου κοντά ή μακριά ανάλογα με τα κέρδη του ελεγκτή σου. οπότε αν θες να πετυχεις ακριβως το στοχο ελεγχου σου,ναι θα πρεπει να χρησιμοποιησεις δυναμική. Χωρίς δυναμική το σύστημά σου είναι τύπου 0 που λέγαμε στα ΣΑΕ Ι,οπότε έχεις σφάλμα θέσης,ενώ με τη δυναμική γίνεται τύπου 1,οπότε το σφάλμα θέσης είναι 0.

Παρα πολυ ωραια απαντηση  :P Δεν μου ειχε κοψει.Ευχαριστω.

δεν έχω καταλάβει τη διαφορά μεταξύ του θεωρήματος ευστάθειας του Lyapunov και του θερωρήματος αμεταβλητότητας του Lasalle και πότε χρησιμοποιείται το κάθε ένα. μπορεί κάποιος να μου απαντήσει?

Με Λυαπουνοφ μπορείς να αποδείξεις οτι έχεις ασυμπτωτική ευστάθεια μόνο αν η V' προκύψει αρνητικά ορισμένη. Αν όμως προκύψει αρνητικά ημιορισμένη μπορείς να πεις μόνο οτι το σύστημα είναι απλά ευσταθές. Τότε στη συνέχεια με Λασαλ αποδεικνύεις ασυμπτωτική ευστάθεια

ευχαριστώ πολυ!

Αν μπορούσε κάποιος να ανεβάσει το 2ο θέμα της προόδου θα του χρωστούσα μεγάλη χάρη!

προοδος θεμα 2- β ερωτημα
οριζεις την V(x)=1/2x1^2+1/2x2^2 παιρνεις την παράγωγο και βγαίνει  V(x)' = μχ2^2(x1^2+x2^2)+x2u μετα θεωρουμε οτι η u=-2μχ2^2(x1^2+x2^2) έτσι προκύπτει ότι V(x)<=0 άρα το σημειο (0,0) ευσταθές

επείδη όμως θέλεις αυμπτωτική ευστάθεια κάνεις lassalle δλδ μηδενιζεις την παραγωγο της V(x)
ετσι δημιουργείται ένα διαστημα S το οποιο ορίζεται απο V(x)' =0 δλδ S:{για καθε x ανηκει ΙR^2 :x2=0}
αμα τωρα το χ2=0 =>χ1'=0 και χ2'=-χ1

τωρα ξεκινά το lassale
εστω χ1 διαφορο του μηδενος αρα χ2' διαφορο του μηδενος σε αυτή την περίπτωση οι λύσεις του συστήματο εγκαταλείπουν το S άρα μονο οταν χ1=0 τοτε οι λύσεις συγκλινουν στο αμετάβλητο σύνολο S δλδ στο σημειο (0,0)

Σελιδα 53 απο σημειωσεις εξομαγκ: τον πινακα W^~ πως τον βρισκει; Κανει παρατηρησιμη κανονικη μορφη το συστημα κ μετα το βρισκει κ απλα βαριοταν να γραψει τα ενδιαμεσα; ή μηπως κανει τπτ αλλο;

2ο θεμα προοδου, βλεπω την λυση κ ειναι ασαφης. αρχικα στη συγκεκριμενη λυση πρεπει k1=0 αλλιως γινεται χαμος. Μετα η συναρτηση περνει μια μορφη που μονο κοντα στο 0,0 ειναι μικροτερη του μηδενος, μιας που το κερδος k2 μενει σταθερο ( η συναρτηση ειναι V(x)=-x2^2*(k2-μ(χ1^2+χ2^2)) και πρεπει k2>μ(χ1^2+χ2^2)). Επομενως αναρωτιεμαι αν πρεπει να παρουμε αλλη u, οπως πχ σημειωσεις εξομαγκ σελιδα19 του PDF. Με u=-μχ2(χ1^2+2χ^2)-x1^2/x2 η παραγωγος της lyapunov ειναι -μχ2^4-x1^2( που ειναι παντα αρνητικη εκτος απο το (0,0) που ειναι 0, αρα εχουμε ασυμπτωτικη ευσταθεια).

Πιστεύετε ότι υπάρχει πιθανότητα να βάλει θέματα, στο παλιό πνεύμα θεμάτων, λόγω του ότι είναι διπλωματική? Τι μου προτείνετε να διαβάσω γενικά?

Δωστε κανα hint ρε παιδιά, τελευταίο μάθημα θα είναι αν περάσω ΣΑΕ Ι. Δεν καταλαβαίνω τίποτα..!

εγώ διάβασα σημειώσεις exomag μονο. βιβλίο μην αγγίξεις.
λύσε τα θέματα που έβαλε στην πρόοδο, τον ιούνιο και τον σεπτέμβρη.

γενικά μην περιμένεις να καταλάβεις και πάρα πολλά από τις σημειώσεις. δεν είχα πατήσει μάθημα και πολλά πράγματα μου φαινόντουσαν κινέζικα.
παρατηρησιμότητα/ελενξιμοτητα δε διαβασα καν. εν τελει έπεσε στις εξετάσεις θέμα αλλά κατάφερα να περάσω από Liapunov.

Συνοψη: διάβασε τις σημειώσεις. λύσε ότι θέματα έβαλε ο ρόβι. εστίασε σε liapunov γιατί μπορεί να περάσεις και μόνο με αυτό. αλλά ρισκάρεις.

edit: καλή τύχη.

Είναι εύκολο σε κάποιον που έχει τα θέματα της προόδου να τα ανεβάσει;

ή απλα μπορεις να πας στη σελιδα 9 αυτου του τοπικ κ να το κατεβασεις απο το ποστ του pap-x. το εχει συννημενο,

Δεν το πρόσεξα thanks

Να ξες το 2ο θεμα ειναι λαθος. Πιο σωστο ειναι η δικια μου λυση στο 1ο ποστ αυτης της σελιδας. Απλα εχω καποιες αμφιβολιες δεδομενου οτι το σημειο ισορροπιας ειναι το (0,0) κ επομενως η u θα απειριστη στο συγκεκριμενο σημειο.
Παντως επειδη ζηταει ελεγκτη αναδρασης και οχι γραμμικο ελεγκτη θα παρεις μια οποιαδηποτε εξισωση σε βολευει.

Στο συννημένο του pap-x είναι μόνο οι λύσεις, εννοούσα αν έχει κάποιος τις εκφωνήσεις γιατί από τις λύσεις μόνο δεν βγάζω συμπέρασμα για το τι ζητούσε ακριβώς

Καλο διάβασμα

Να 'σαι καλά

Αρχικά συμφωνώ με την λογική σου για την επίλυση της άσκησης. Διαφωνώ όμως όσον αφορά την επιλογή της u.

Συγκεκριμένα, επειδή το ΣΙ είναι το (0,0) υπάρχει πρόβλημα να βάλεις το χ2 στον παρανομαστή γιατί απειρίζεται ο όρος.

Εγώ εξασφάλισα την V'(x) <=0 βάζοντας όπου u=-μχ2(χ1^2+χ2^2)-x1^2*x2 και μετά με Lasalle απέδειξα ασυμπτωτική ευστάθεια.

Συμφωνω απολυτα σ αυτο που λες. Απλα η ασκηση ζηταει με επιχειρηματα Lyapunov να βγει ασυμπτωτικα ευσταθες. Για αυτο δν ξερω αν μπορεις να παρεις Lassale.

Κατάλαβα τι εννοείς. Αλλά άμα δεις και στα παραδείγματα που έχει κάνει μέσα στη τάξη όταν φτάνει σ αυτό το σημείο (V'(x) <=0) την ασυμπτωτική ευστάθεια την εξασφαλίζει μέσω lassale. Δεν νομίζω να είναι λάθος άμα συνεχίσεις με Lassale. Αυτή είναι η άποψή μου.

Σε ενα τετοιο σημειο ειναι πιο σωστο να παρεις Λασσαλε παρα να βαλεις στον παρονομαστη κατι που μηδενιζεται  8)) 8))

Σελιδα 20 σημειώσεων το ολοκλήρωμα στην V(x) πως προκύπτει;

Είναι μία από αυτές τις περιπτώσεις που πρέπει να έρθει το άγιο πνέυμα να σε φωτίσει και να σκεφτείς να πάρεις ολοκλήρωμα στη Lyapunov.
aka, προσπάθησε να θυμηθείς ότι υπάρχει κι αυτό ως δυνατότητα και μην το σκέφτεσαι πολύ.