THMMY.gr

Άντε να αρχίσω εγω με μια ερώτηση:

Στο φυλλάδιο που μας έχει δώσει, εμφανώς σε ασκήσεις όπως η 1 και η 2 έχουμε να κάνουμε με πολλαπλή επιλογή.
Την αιτιολόγηση θα την γράφουμε από πίσω; Χρειάζεται ή δεν χρειάζεται; Ή θα παραδώσουμε και extra κόλλες με λυμένες τις πολλαπλής;

Μερσί

το topic προέκυψε από διαχωρισμό

edit by Exomag

Ναι τι παίζει γενικά?

Θέλει τις λύσεις των ασκήσεων να είναι χειρόγραφες πάνω στο φυλλάδιο ή στον υπολογιστή?

Δεν χρειάζεται αιτιολόγηση και όλα πρέπει να συμπληρωθούν στο φυλλάδιο. Έχει και διευκρινήσεις κάτω κάτω.

Αμα δειτε το φυλλαδιο , στις ασκησεις που θελει αποδειξη 'η αιτιολογηση
αφηνει καμποσο κενο με την επομενη ερωτηση για να το συμπληρωσεις.

Την ασκηση 1 στην εργασια πως τη χειριζομαστε; Εχει σημασια αν το θ ειναι πραγματικός ή μιγαδικος;

Το θ υπονοείται πως είναι πραγματικός αριθμός, όπως και στη Λυμένη Άσκηση 9, του πρώτου Κεφαλαίου, στις σημειώσεις του Ατρέα (http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/kef-1.pdf).

Στην 3η πόσες λύσεις βρήκατε;

(http://latex.codecogs.com/gif.download?z=\pm&space;\frac{2}{\sqrt{5}})

Source: Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=2|z|^2%2B3z^2%2Bi*Im%28z%29-4%3D0)

yeah σ'αγαπω

Στη 13 μήπως παίζει κανένα λάθος στην εκφώνηση???

Τον ρώτησα και μου είπε πως εννοείται πως z=x+iy με x,y πραγματικούς.

Α οκ ευχαριστώ

Ναι αλλα τότε δε βγαίνει αμέσως ότι το οριο κανει 0?Ή κατι μου διαφευγει?

Και εμένα περίεργο μου φάνηκε το ότι βγαίνει κατευθείαν 0. Αλλά δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι που να υποδεικνύει πως δεν είναι σωστός αυτός ο τρόπος λύσης.

α ωραία,τουλαχιστον δεν ειμαι μονος....  ;D ;D

Απάντηση Ατρέα για την ασκηση 13
 Το σωστο ειναι

y -> (+ ή -) άπειρο και x τυχαιος πραγματικός..

Παρεπιπτοντως τωρα θυμήθηκα πως και καποιοσ αλλος με ρωτησε τι δουλεια εχει το z στη 13 αλλα η ερωτηση όπως ήταν διατυπωμένη δε με ωθησε να δω την ασκηση. Λάθος μου μεγαλο. Oποτε αν μπορείς διαδωσε τη σωστή εκφώνηση για να μη μπερδευτεί ο κόσμος.

y -> (+ ή -) άπειρο και x τυχαιος πραγματικός.

Ν. Ατρέας

Θα το διορθώσω στις 2 του μηνος. Τώρα και να θελα δε γίνεται

Ακους εκεί, δεν διατύπωσα καλά την ερώτηση μου :D :D

Στη 19 βγάζει άλλο αποτέλεσμα αν ξεκινάει από z=i και άλλο όταν ξεκινάει από το z=0;

Και μία δεύτερη ερώτηση.
Στην άσκηση 8 τι ακριβώς ζητάει;Δεν είναι λογικό να τέμνονται κάθετα οι εικόνες των u,v στο uv-επίπεδο όταν w=u+iv; :???:

Δεν έχω ιδέα, απλά μπορείς να το δοκιμάσεις λύνοντας και ένα δεύτερο ολοκλήρωμα (αν δεν βαριέσαι :P).

Δεν ξέρεις εκ των προτέρων ποιες είναι οι εικόνες των u και v. Μπορείς, για παράδειγμα, η u να έχει σαν εικόνα μια ευθεία y=ax και η v να έχει σαν εικόνα μια άλλη ευθεία y=bx, αλλά αυτές οι ευθείες να μην τέμνονται (κατ' ανάγκη) κάθετα.
Αυτό που σου ζητάει να αποδείξεις εδώ είναι πως οι αυτές οι εικόνες (στη συγκεκριμένη άσκηση έλλειψη και παραβολή) των u και v τέμνονται κάθετα.

και γιατί τις λέει ευθείες;

κι εγώ κατάλαβα ότι οι ευθείες στο σύστημα u-v που είναι έλλειψη και παραβολή στο x-y τέμνονται κάθετα. Χωρίς απόδειξη :P

Στην 10 οι απαντήσεις δεν είναι λάθος; Δεν χρειάζεται και ένα e ^ δίπλα σε κάθε μία ;

Χρειάζεται.Απλώς δεν έχεις κατεβάσει την τελευταια βερσιον της εργασιας....

Λολ.  :D Να σαι καλά.
Και στην 14 δεν είναι λάθος οι απαντήσεις ;   :D  ::)

ουσιαστικά παίρνεις πάντα τα grad(u) και grad(v) των οποίων το γινόμενο από τις εξισώσσεις Cauchy-Riemann είναι πάντα 0, άρα οι ισοσταθμικές u=c, v=c₁που σου δίνει θα τέμνονται πάντα κάθετα!!

edit: Γράφουμε με ελληνικούς χαρακτήρες

Στο ερωτημα 4 πού κολλάνε τα ln3? Εγω δεν μπορω με την καμια να τα βρω. Μπορει καποιος να δωσει καμια λυση?

όχι  :) :) :P

Σκέψου οτι για να βγαλεις ln θα πρέπει να έχεις λογαριθμο,και για να εχεις λογαριθμο θα πρεπει να χεις εκθετικο και αφου εχεις συνημιτονοημιτονα...

Οι απαντήσεις στην άσκηση 14 ΔΕΝ είναι λάθος. Αντιθέτως, η λυμένη 6δ στο 3^ο Κεφάλαιο (http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/kef-3.pdf) των σημειώσεων του Ατρέα έχει λάθος (η εν λόγω συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 0).

στην 10 μετά από 25 ντε λ οπιταλ καταλήγω στο ζητούμενο.
Αλλά,θεωρητικά θα έπρεπε πρώτα να αποδείξω ότι το log(sinz/z) είναι αναλυτική συνάρτηση στο z=0.Όταν προσπαθώ να το κάνω αυτό μου βγαίνουν κάτι μακρυνάρια που είναι πολύ δύσκολο να τα χειριστώ.Ξέρετε αν υπάρχει κάποιος τρόπος να αποδειχτεί χωρίς να ξημερωθούμε στις πράξεις;

Συμφωνω απόλυτα.Κι εγω ακριβως αυτη ειχα στο μυαλο μου οταν ειδα την άσκηση,αλλα πράγματι εκει εχει λάθος.

Κι εμενα με προβληματισε.Το έβαλα στη wolfram και παίρνει De L'Hospital χωρις να εξηγει γιατί(βασικά και μόνο που εβγαλε τα βήματα της λύσης 'ημουν ευχαριστημενος).Δεν έχω ιδέα πώς να το αποδείξεις και βασικά η log(sinz/z) αφού δεν ορίζεται για z=0 πώς γίνεται να είναι αναλυτικη στο z=0?

Ναι βγάζει άλλο. Η Wolfram  :P οταν ξεκιναει από z=i βγάζει επισυναπτομενο1 ενώ οταν ξεκιναει απο z=0 επισυναπτομενο 2(πώς βάζεις εικονα μεσα στο κειμενο?)

ναι,εκεί έχει λάθος,οκ.
Αλλά εγώ εξακολουθώ να μη βρίσκω καμία από τις απαντήσεις που μου έχει :Ρ

Αν πάρεις τις εξισώσεις Cauchy-Riemann θα δεις ότι επαληθεύονται για τα σημεία z=κπ, οπότε σωστή απάντηση είναι η (α).

Θυμήσου πως η αναλυτικότητα έχει να κάνει με το κατά πόσο η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε μια περιοχή γύρω απο το εν λόγω σημείο, και όχι με το σημείο αυτό καθαυτό.

καμιά βοήθεια με την 1;
κανά hint;πήγα να τη λύσω όπως την 9 από τα pdfs αλλά δεν με βγαίνει :(

χρησιμοποιησε τριγωνομετρικες σχεσεις και βγαινει σχετικα ευκολα.

Το φανταστηκα ότι ίσως ισχύει κάτι τέτοιο...στις σημειωσεις του όμως (χωρις να τις εχω μπροστα μου αυτη τη στιγμη) λέει παραγωγισιμη σε δισκο κεντρου z₀ οπότε γι'αυτο υπέθεσα ότι θελει και το z₀

"Θα λέμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f : E →C είναι αναλυτική (ή ολόμορφη) σε σημείο z0 ∈E αν η f είναι παραγωγίσιμη για όλα τα σημεία που ανήκουν σε κάποιο ανοικτό δίσκο Dε(z0) με κέντρο το z0 ."

Αν και για το De L'Hospital θελει παραγωγισιμη,όχι αναλυτικη

χμμ,ναι,αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει από την πρώτη εξίσωση (ux=vy).
Από τη δεύτερη όμως βγαίνει ότι z=kπ + π/2 .
Και υποτίθεται πρέπει να ισχύουν και τα δύο.Πράγμα αδύνατο. ^dontknow^

πρέπει να κάνεις ενα συνδιασμό ώστε να ισχύουν και οι δύο,οπότε έστω ότι δέχεσαι το χ=kπ + π/2 για το οποιο ισχυει η δευτερη,τότε δεν υπάρχει y για το οποιο να ισχυει η πρώτη,ενώ αν πεις χ=κπ και y=0 τοτε ισχυει και η δευτερη και η πρωτη

καποιο hint για την 2?

(http://latex.codecogs.com/gif.download?Im(\frac{z}{b})=Im(\frac{z\overline{b}}{\left&space;|&space;b&space;\right&space;|^{2}})=Im(z\overline{b})=-Im(\overline{z}b)=-Im(\frac{z\overline{b}}{\left&space;|&space;z&space;\right&space;|^{2}\left&space;|&space;\overline{b}&space;\right&space;|^{2}})=-Im(\frac{1}{z\overline{b}}))

Έχει δίκιο ο Exomag για την 14. Έκανα τραγικό λάθος και δεν μου έβγαινε.( ξεχνούσα να αντικαταστήσω 0 στο y) :P  ;D :D

Καλή χρονία καταρχάς!

Μήπως μπορεί να μου δώσει κανείς τα φώτα του για την 13? Χρησιμοποιώ τριγ. σχέσεις για το ημίτονο,αλλα μετά κολλάω.. :P

δηλ το (β) ειναι σωστό?

Ναι

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\small&space;\dpi{120}&space;lim_{y&space;\to&space;+\infty&space;}\left&space;|&space;\sin&space;(x+iy)&space;\right&space;|\cdot&space;e^{-\left&space;|&space;y&space;\right&space;|}=lim_{y&space;\to&space;+\infty&space;}\sqrt{(\sin&space;x&space;\cosh&space;y)^{2}+(\cos&space;x&space;\sinh&space;y)^{2}}\cdot&space;e^{-y}=\\\\&space;=lim_{y&space;\to&space;+\infty&space;}\frac{\sqrt{\frac{(e^{y}+e^{-y})^{2}}{4}-(\cos&space;x)^{2}}}{e^{y}}=lim_{y&space;\to&space;+\infty&space;}\frac{\sqrt{\frac{(e^{y}+e^{-y})^{2}}{4}-(\cos&space;x)^{2}}}{e^{y}}=\\\\&space;=lim_{y&space;\to&space;+\infty&space;}\sqrt{\frac{1+e^{-4y}+2e^{-2y}}{4}-e^{-2y}(\cos&space;x)^{2}}=\sqrt{\frac{1+0+2\cdot&space;0}{4}-0}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2})





(http://latex.codecogs.com/gif.download?\small&space;\dpi{120}&space;lim_{y&space;\to&space;-\infty&space;}\left&space;|&space;\sin&space;(x+iy)&space;\right&space;|\cdot&space;e^{-\left&space;|&space;y&space;\right&space;|}=lim_{y&space;\to&space;-\infty&space;}\sqrt{(\sin&space;x&space;\cosh&space;y)^{2}+(\cos&space;x&space;\sinh&space;y)^{2}}\cdot&space;e^{y}=\\\\&space;=lim_{y&space;\to&space;-\infty&space;}\frac{\sqrt{\frac{(e^{y}+e^{-y})^{2}}{4}-(\cos&space;x)^{2}}}{e^{-y}}=lim_{y&space;\to&space;-\infty&space;}\frac{\sqrt{\frac{(e^{y}+e^{-y})^{2}}{4}-(\cos&space;x)^{2}}}{e^{-y}}=\\\\&space;=lim_{y&space;\to&space;-\infty&space;}\sqrt{\frac{e^{4y}+1+2e^{2y}}{4}-e^{-2y}(\cos&space;x)^{2}}=\sqrt{\frac{0+1+2\cdot&space;0}{4}-0}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2})

καλησπέρα...

δύο ερωτήσεις...

πρώτον στην 9 για να βρω την τελευταία σταθερά στον τύπο για τον Μ/Σ mobius τι κάνω;;; έχω βρει τη σωστή απάντηση βάζοντας μία τυχαία τιμή σταθερά αλλά πως την βρίσκω την τελευταία σταθερά  :-\

επίσης στη 17 έχω βρει x και y ως προς u και v βάζω όπου x το 1 αλλά μετά το y πως θα το απαλείψω για να βρω την εξίσωση του κύκλου ;;;

ευχαριστώ..

 

Πς αποδεικνυεις οτι μια ελλειψη και μια παραβολη τεμνονται καθετα?

Βρίσκεις τις τρεις, από τις τέσσερεις, σταθερές συναρτήσεις της τέταρτης. Έπειτα τις αντικαθιστάς και τις τρεις, στον αρχικό τύπο του Mobius. Οπότε στο κλάσμα, πλέον, θα έχεις μόνο z και την τέταρτη σταθερά. Διαιρείς αριθμητή και παρανομαστή με αυτήν τη σταθερά και job's done ;)

Αφού βρεις τις σχέσεις u(y)=... και v(y)=... , βρίσκεις μια σχέση y=f(u,v) και την αντικαθιστάς σε μία από τις δύο προηγούμενες σχέσεις και προκύπτει μια σχέση μόνο με u και v.

Ένας τρόπος είναι να βρεις τις παραμετροποιήσεις τους r₁(t) και r₂(k), και βρίσκεις τα κοινά τους σημεία.
Έπειτα αποδεικνύεις πως τα διανύσματα ταχύτητας dr₁(t)/dt και dr₂(k)/dk είναι κάθετα στα εν λόγω κοινά σημεία.

Βεβαίως ... αν στον τύπο της συνάρτησης δεν υπάρχουν απόλυτα ή συζυγής ... θεωρείς ότι είναι αναλυτική ...  :)

^crap^ με κινδυνο να εκτεθω αλλα το πιστευω  :D

πίστεψε το ... και γω δεν το ένιωθα ... το ανέφερε η κοπέλα που κάνει τις ασκήσεις στα εφαρμοσμένα ... αν δεν υπάρχουν απόλυτα ή συζυγής στον τύπο της συνάρτησης τη θεωρούμε αναλυτική .. .τόσο απλά ...  :'( :'( :'(

Καλησπέρα,

Στην 16 για z=0 ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann. Όταν παίρνω τον ορισμό του f'(0) = lim_z->0[(f(z)-f(0))/z] βγάζω δύο διαφορετικές τιμές για το όριο (δίνοντας y=x και y=1). Προφανώς αφού έχω δύο τιμές για το όριο το όριο δεν υπάρχει. Άρα δεν υπάρχει και η f'(0). Βέβαια σε αυτό μου το συμπέρασμα διαφωνεί το Wolfram που μου βγάζει μια χαρά παράγωγο.

Καμία άποψη;

μα δεν είναι έλλειψη και παραβολή. Είναι η οριζόντια ευθεία v=c1 και η κατακόρυφη ευθεία u=c. Hello! οριζόντια και κατακόρυφη τέμνονται κάθετα!!!

Ελπίζω να trollάρεις, αλλιώς ξαναδιάβασε παραπάνω για να καταλάβεις καλύτερα :)

Αναλυτική στα σημεία που είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις από τις οποίες αποτελείται η εν λόγω παράσταση. Στη συγκεκριμένη άσκηση, θέλεις να το μελετήσεις (ή τουλάχιστον, αυτό είναι το ολοκληρωμένο).

Πως έβγαλες ότι ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann, ενώ δεν ορίζονται καν οι u_x, u_y, v_x, v_y στο σημείο z=0? :???:

u(0,0)=v(0,0)=0
u_x=lim_x->0((u(x,0)-u(0,0))/x)
κ.ο.κ.

Άλλα έστω ότι έχω άδικο επ αυτού. Έστω ότι δεν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann είναι ή δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0;
Γιατι ακολουθώντας τον τύπο  f'(0) = lim_z->0[(f(z)-f(0))/z]  και δίνοντας τον στο Wolfram έχω το επισυναπτόμενο...

Μπορει να δωσει καποιος μια βοηθεια για τη 18???

Σόρρυ, έκανα λάθος όταν έλεγα πως δεν υπάρχουν οι μερικοί παράγωγοι. Έχεις δίκιο στο ότι υπάρχουν, και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riemann.

Τώρα, όσον αφορά το κατά πόσο είναι παραγωγίσιμη, και εγώ βρήκα πως το όριο δεν υπάρχει. Άρα δεν είναι παραγωγίσιμη η f(z) στο z=0. Το Wolfram|Alpha χρησιμοποιεί κάποιες μεθόδους (παραγώγους του μέτρου μιγαδικού, παραγώγους του φανταστικού μέρους μιγαδικού, κλπ) που δεν έχουν ξαναχρησιμοποιήσει, οπότε δεν μπορώ να κρίνω κατά πόσο έχει δίκιο ή όχι :-\

Βρες την παραμετροποίηση της καμπύλης που δίνεται (ευθύγραμμο τμήμα).
Η συνz είναι αναλυτική σε όλο το C, οπότε το ολοκλήρωμα πάνω στην καμπύλη γ θα ισούται με την τιμή της αντιπαραγώγου, της συνz, στο τελικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος αν αφαιρέσεις τον τιμή της αντιπαραγώγου, της συνz, στο αρχικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος.

μία βοήθεια για την 11 κάποιος;;;

παίρνω το μέτρο που βρίσκεται μέσα στο όριοι αλλά με προβληματίζει αυτό το n^(k)

και μία γενική ερώτηση οι cauchy-rienman αν ικανοποιούνται δεν εξασφαλίζουν ότι είναι και παραγωγίσιμη η συνάρτηση εκεί που ικανοποιούνται;;;; έτσι δεν λέει στις σημειώσεις;;  :-\

ευχαριστώ.

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}(n^{k}(\frac{1+i}{2})^{n})=lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}(\frac{n^{k}}{(\sqrt{2})^{n}}e^{i\frac{\pi&space;n}{4}})=0)

hint: μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη, μας κάνει μηδενική

Στις σημειώσεις έχει δύο προϋποθέσεις προκειμένου να είναι παραγωγίσιμη μια f(z)=u(x,y)+i*v(x,y) στο σημείο z₀:

• Το πεδίο f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) να είναι διαφορίσιμο στο σημείο z₀
• Να ισχύουν οι δύο εξισώσεις Cauchy-Riemann

Και οι εξισώσεις Cauchy-Riemann μπορει να ισχύουν ακόμη και στην περίπτωση που οι u(x,y) και v(x,y) δεν είναι καν συνεχείς στο σημείο z₀ αφού η ύπαρξη μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης σε ένα σημειο δεν απαιτεί τη συνέχεια της συναρτησης στο σημειο αυτο

Μπορεις να το εξηγησεις λιγο παραπανω?
Δλδ δν θα παρεις τν τυπο που εχει για τα 3 σημεια?

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\left.\begin{matrix}&space;w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\overset{f(0)=2}{\longrightarrow}b=2d\\&space;w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\overset{f(1)=1}{\longrightarrow}c=a+d\\&space;w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}\overset{f(\infty&space;)=i}{\longrightarrow}a=ci&space;\end{matrix}\right\}w=f(z)=\frac{d\frac{i}{1-i}z+2d}{d\frac{1}{1-i}z+d}=\frac{iz+2-2i}{z+1-i})

Στην άσκηση 21 οι πόλοι που βρίσκω είναι ο z=i (διπλός) και οι z=ai, -ai εκ των οποίων μόνο ο ai και ο i είναι μέσα στην περιοχή...

Βρίσκω τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα, τα παίρνω και με αντίθετο πρόσημο μιας και είναι αντίθετης φοράς η γ, αλλά στο τελικό αποτέλεσμα βρίσκω μιγαδικό αριθμό που δε συνάδει με κανένα από τα "προτεινόμενα" αποτελέσματα (μοιάζει μεν αλλά τα αποτελέσματα είναι πραγματικοί αριθμοί)!

Αν κάποιος την έλυσε βρίσκει όντως πραγματικό αριθμό στο τελικό αποτέλεσμα?  :-\

Αν ο Exomag την έλυσε ας την ποστάρει εδώ!  8))

Βασικά δεν θέλω να ποστάρει τη λύση γιατί θεωρώ περισσότερο κακό κάνει παρά καλό...

Απλά ζητάω να μου πει κάποιος αν όντως η σκέψη μου όπως την περιγράφω είναι πάνω κάτω σωστή και αν δεν υπάρχει κάποιο λάθος στα προτεινόμενα αποτελέσματα. Μέσω της τριβής και της συζήτησης γίνονται καλύτερα κατανοητά κάποια πράγματα, από την άμεση παρουσίαση της λύσης.

Με ολοκληρωτικά υπόλοιπα δεν μπορώ να την εξηγήσω γτ δεν έχουν διδαχθεί ακόμη,αλλά μπορώ να σου πω πώς την έλυσα εγώ.Εφαρμόζεις αρχικά το γενικευμενο θεωρημα Cauchy συμφωνα με το οποίο το ζητουμενο ολοκληρωμα ισουται(λόγω αρνητικού προσανατολισμού) με το αθροισμα των ολοκληρωματων σε δυο τυχαιες καμπυλες γυρω από το z=i και z=ai.
Μετά ορίζεις την g(z)=e^(iz)/(z^2 + a^2) και παίρνεις ολοκληρωτικο τύπο Cauchy για την πρώτη παράγωγο στο z=i οπότε βρίσκεις το ενα ολοκληρωμα.
Μετά ορίζεις την h(z)=e^(iz)/((z+ai)*(z-i)^2) και παίρνεις ολοκληρωτικό τύπο Cauchy(τον απλό εδώ) για z=ai. και έτσι βρίσκεις το άλλο ολοκλήρωμα.
Και στις δυο παραπάνω θεωρήσεις βαζεις φυσικα πλην στον τυπο του Cauchy λόγω αρνητικού προσανατολισμού.
Επειδή εξεφρασες επιθυμια να μην ειπωθεί το αποτέλεσμα δε θα πω τι βγαίνει,πάντως βγαίνει ενα απο αυτα που έχει.
Ο τρόπος επίλυσης ειναι ιδιος με αυτον της 8β σημειώσεις ατρέα 4ο κεφαλαιο

Ευχαριστώ! Θα το κοιτάξω με αυτόν τον τρόπο. Δεν ήξερα ότι ακόμη δεν ειπώθηκαν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα γι'αυτό και την έλυσα έτσι που είναι πιο απλός τρόπος.

Έχει κάνει κάποιος την άσκηση 8;ας βοηθήσει!

Δες τα προηγούμενα posts, πολλά αναφέρονται στην 8. Αν ακόμα έχεις απορία, αν και δεδομένου του πόσα έχουν γραφτεί πριν το μόνο που μένει να πούμε είναι η λύση της, πες.

βγαινει και με υπολοιπα παντως. btw το γεγονος οτι αντιστρεφεις το αποτελεσμα εξαιτιας του αρνητικου προσανατολισμου αποδεικνυεται καπως η το θεωρησες προφανες;

Από την απόδειξη του θεωρήματος cauchy βγαίνει. Αλλά πλέον το θεωρώ δεδομένο και δεν εξηγώ γιατί και πως.

Νομίζω ότι ακομη κι αν γραψεις "λόγω του τρόπου απόδειξης του Θ.Cauchy" θα εισαι νερδ :D

Τι ακριβως εχεις κανει εδω?  Γιατι το y τεινει στο (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pm%20\infty)?

Καμια βοηθεια για την ασκηση 3;

Δες τη νέα έκδοση της εργασίας (http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/%CE%B5%CF%81%CE%B3%CE%B1%CF%83%CE%B9%CE%B1.pdf), που ανέβασε ο Ατρέας στο site του.

Θεωρείς z=x+iy (x και y πραγματικοί αριθμοί) και αντικαθιστάς στη σχέση. Μετά, το πραγματικό μέρος και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού που θα προκύψει στο αριστερό μέλος της ισότητας θα πρέπει να ισούται με 0. Άρα βγάζεις δύο σχέσεις με x και y, απ' όπου μπορείς να υπολογίσεις τα ζεύγη (x,y).

Source: Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=2|z|^2%2B3z^2%2Bi*Im%28z%29-4%3D0)

Ρίξε ξανά μία ματιά στις πράξεις σου. Το έλυσα και με Γενικευμένο Cauchy και με Ολοκλ. υπόλοιπα και βγαίνει το ίδιο αποτέλεσμα.  ;)

τελικά πότε θα παραδώσουμε την εργασία?

Νομίζω τη μέρα που δίνουμε και Εφαρμοσμένα Μαθηματική Ι. Ας επιβεβαιώσει κάποιος.

Το λέει στην εργασία... Τελευταία σελίδα.

Μόνο σε αυτό το σημείο έχει γίνει αλλαγή στην εργασία;

Και στην άσκηση 10 είχε κάνει, παλιότερα, μια διόρθωση.

Στην ασκηση 18 ολοκληρωνω κανονικα απο το αρχικο ως το τελικο σημειο αφου η συναρτηση ειναι αναλυτικη κ μ βγαινει sin(i)-cos(i)=...= -cosh(1)+isinh(1) που δν υπαρχει ως επιλογη...τι εχω λαθος??

Θα έπρεπε να βγάινει cos(i)-sin(i), ξαναδές τις πράξεις σου.

Λύση: http://goo.gl/AvynU (http://goo.gl/AvynU)

ναι εχεις δικιο λαθος σε ενα προσημο!!! >:(  :D

Στην 23, όταν |z-i|>ριζα(2) , δεν υπάρχει η σειρά taylor;
 Και αν δεν υπάρχει, πώς του το αιτιολογούμε; Του λέμε ότι δεν υπάρχουν όροι (z-i)^n για n>0, ή δεν χρειάζεται να πούμε τίποτα;

cosh(1)+isinh(1) βγαίνει

guess again (http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28i%29-sin%28i%29%3Dcosh%281%29-i*sinh%281%29) :P

Τότε θα πρεπε να πάρεις σειρα λοράν. Αρα για την περιοχή που λες ΔΕΝ ορίζεται σειρά τέιλορ

αν αυτό το αναλύσεις σε εκθετικά και ανεβάσεις το i απ'το ημίτονο, θα βγει αυτό που γράφω

δηλαδή
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos%20(i)-\sin%20(i)=\frac{\exp%201+\exp%20(-1)}{2}-\frac{\exp%201-\exp%20(-1)}{2i}=\frac{\exp%201+\exp%20(-1)}{2}+i\frac{\exp%201-\exp%20(-1)}{2}=\cosh%20(1)+i\sinh%20(1))

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\cos(i)-sin(i)=\frac{e^{i\cdot&space;i}+e^{-i\cdot&space;i}}{2}-\frac{e^{i\cdot&space;i}-e^{-i\cdot&space;i}}{2i}=\frac{e^{-1}+e^{1}}{2}+i\frac{e^{-1}-e^{1}}{2}=\\&space;=\cosh&space;(1)-i\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}=\cosh&space;(1)-i\sinh&space;(1))

ok. To 10 pws lunetai?

Δες τα προηγούμενα posts σε αυτό το topic. Έχει συζητηθεί η άσκηση 10.

καμια βοηθεια στην 24??

Αναλύεις αριθμητή και παρανομαστή, ξεχωριστά, σε σειρά Laurent στο σημείο z=0 και τις πολλαπλασιάζεις (τις δύο σειρές που θα βρεις).
Ο συντελεστής α_-1 του z^-1 θα είναι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο που ψάχνεις.

στη 15 σωστο ειναι το (α);

μπορει καποιος να εξηγησει πως δουλευουμε μ αυτο (sinxcoshy)^2+(cosxsonhy)^2 για να καταληξουμε στην απλουστερη μορφη της επομενης σειρας;;γιατι το sinx^2 και το sinhy^2 φευγουν;;
 

Στην 19 ,θετω z=e^it και προχοραω αναλογα,ωστοσο δε χρησιμοποιω καπου αυτο που λεει για τον κλαδο.εσεις πως την κανατε?

ki egw etsi to kana(z=e^iθ) αρα εχω μια λύση ανεξάρτητα απ τους περιορισμους που δίνει

Αντικατέστησε το (sinx)^2=1-(cosx)^2 βάλε κοινό παράγοντα τα συνημίτονα και θα σου βγει.

παιδια, στην 8 αρκει να πω οτι το εσ. γιν. των κλίσεων είναι ισο με μηδεν; Ή πρεπει να γραψω τπτ παραπανω;

πρεπει να πεις οτι η φ ειναι αναλυτικη στο πεδιο ορισμού της.Δεν το εχω κανει ετσι όμως οπότε δεν είμαι 100% σίγουρος!

ποια φ και ποια αναλυτικοτητα; αφου με πραγματικους αριθμους ασχολουμαστε μετεπειτα. με μπερδεψες :Ρ

για να παρεις το εσωτερικο γινόμενο κι να πεις είναι μηδέν πρέπει η φ να είναι αναλυτική.(πάντα δεν είμαι σιγουρος το έκανα αλλιώς αν θελεις σου λέω):D

Εγώ πιστεύω πως το (δ) είναι σωστό.

Στην Άσκηση 9, το σωστό είναι το (γ). Είχα κάνει τυπογραφικό λάθος, και τώρα έχω διορθώσει το αρχικό μου post.

+1 στο (δ)

exomag το ξερω οτι γραφτηκαν πολλα για την ασκηση 8 αλλα εξακολουθω να μην καταλαμβαινω πως ληνετε..αν μπορεις και σου ειναι ευκολο ανεβασε την ολοκληρωμενη λυση της ασκησης γιατι την θεωρω και πολλη σημαντικη και για εξετασεις..ευχαριστω

το 25 ειναι το (δ);

Εγώ το (α) βρήκα.

και εγώ το α πιστεύω.

εγώ έβγαλα το β !τι λέτε;;

Και εγώ (και το Wolfram|Alpha :P) το (δ) βρήκα.

24-b ,25-a for me.To 20 ειναι το 0  αφου ειναι αναλυτικη σε ολο το δισκο ε;

+1

Ναι, όλα τα ανώμαλα σημεία της συνάρτησης που ολοκληρώνεις βρίσκονται εκτός του δίσκου που ορίζει ο κύκλος γ.

Ναι και εγώ το β στην 24 ...λέω και εγώ!!

μπορεί κάποιος να το έχει ξαναρωτήσει αλλά δεν το βρίσκω.....την εργασία την παραδίδουμε την τρίτη??

η αληθεια ειναι πως με ειχες βαλεις σε σοβαρο προβληματισμο :Ρ

Μέχρι και την Παρασκευή (25/01) μπορείς να την παραδώσεις. Είτε στο μάθημα, είτε στο γραφείο του.

εγω εκανα.

φ= 2x^2 +y^2 -c
φ1= (y^2)/x -c1

gradφ*gradφ1= 4x(-(y^2)/(x^2)) +2y*2y/x = 0

ανεξαρτητως σημειου. οποτε στα σημεια τομης τεμνονται καθετα. Απο τη στιγμη που κατασκευασα τις εικονες δλδ τα χειριστηκα καθαρα σαν βαθμωτα πεδια-καμπυλες. Δεν ειμαι σιγουρος αν ο τροπος ειναι σωστος, ο batman κατι ελεγε για μια αλλη λυση.

Και εγώ σκέφτηκα αυτόν τον τρόπο και μου φαίνεται απόλυτα σωστός.

Παιδια, στη 12 το (α) βρηκατε ετσι; Η ευκολια λαθους στην ανισοτητα με τρομαζει :Ρ

Ναι το α ειναι το σωστό!

Πώς πηγαίνεις από τη δεύτερη στη τρίτη παράσταση; Για ποιο λόγο απαλείφεται το |b|²;

Δεν είχα γράψει και τόσο αναλυτικά/σωστά τη λύση της Άσκησης 2 (και είχα και τυπογραφικό :(). Η σωστή λύση είναι η εξής:

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;Im(\frac{z}{b})%3C0\Leftrightarrow&space;Im(\frac{z\overline{b}}{\left|b\right|^{2}})%3C0\Leftrightarrow&space;Im(z\overline{b})%3C0\Leftrightarrow&space;\\\Leftrightarrow&space;-Im(\overline{z}b)%3E0\Leftrightarrow&space;-Im(\frac{\overline{z}b}{\left|z\right|^{2}\left|\overline{b}\right|^{2}})%3E0\Leftrightarrow&space;-Im(\frac{1}{z\overline{b}})%3E0)

Οκ, κατάλαβα τί κάνεις. Αλλά μάλλον στη 1η παράσταση της δεύτερης γραμμής θέλει < 0 (και όχι μεγαλύτερο) αφού απλά κάνεις την αντικατάσταση του Im() με το -Im() του συζυγούς του, τα οποία ισούνται, έτσι δεν είναι;

όχι σωστό είναι, σκέψου ότι άμα βάλεις τους συζυγείς και των 2 αριθμών, το φανταστικό μέρος και των 2 αλλάζει πρόσημο, οποτε με το - αλλάζει η φορά της ανίσωσης

Συμφωνω με τον ανδρε.
Π.χ. Εστω  Χ = -Υ

Αν    Χ > 0 Τοτε και το  -Υ > 0. Η ιδια λογικη ειναι.

έστω z=x+yi και b=c+di άρα Im(zb)<0 σημαίνει ότι y και d έχουν αντίθετα πρόσημα. οπότε με συζυγείς των z και d , -y και -d έχουν πάλι αντίθετα πρόσημα. άρα για να αλλάξει η φορά τη ανίσωσης, θέλει ένα -

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?Im(z)=-Im(\bar{z}))

Αφου ειναι ισα ρε φιλε. Πως το ενα ειναι μεγαλυτερο του μηδεν και το αλλο μικροτερο ?

ουπς, ναι δίκιο έχεις. κάπως αλλιώς το σκεφτόμουνα αλλα ήταν λάθος. όπως τα λες ειναι :-[

Έχω κάνει χίλια-δυο λάθη :(
Ορίστε η τελική, οριστική και σωστή λύση (χάρει σε πολλά άτομα που με διόρθωσαν επανειλημμένα):

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;Im(\frac{z}{b})%3C0\Leftrightarrow&space;Im(\frac{z\overline{b}}{\left|b\right|^{2}})%3C0\Leftrightarrow&space;Im(z\overline{b})%3C0\Leftrightarrow-Im(\overline{z}b)%3C0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow-Im(\frac{\overline{z}b}{\left|z\right|^{2}\left|\overline{b}\right|^{2}})%3C0\Leftrightarrow-Im(\frac{1}{z\overline{b}})%3C0\Leftrightarrow&space;Im(\frac{1}{z\overline{b}})%3E0)

dont panic  :)

αρα το βου :)

μπορει καποιος να εξηγησει λιγο περισσοτερο την 8?? σορι για το μακρυναρι δεν ηξερα τι να πρωτοσβησω απο τα quote

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?f=%202x^2%20+%20y^2%20-c)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%20=%20\frac{y^2}{x}%20-%20c_{1})
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bigtriangledown%20f%20\cdot%20\bigtriangledown%20g%20=0)
Οι κλισεις τους ειναι καθετες, συνεπως θα τεμνονται καθετα στα σημεια τομης.


Τελικα σωστο ειναι το (β) ή το (α) ; To (β) ετσι;

Το (β) είναι το σωστό.

παίδες με την 5 τι παίζει?

Θέτεις z=x+iy, αντικαθιστάς, κάνεις πράξεις και παραγοντοποιείς για να προκύψει η γνωστή εξίσωση κύκλου.

για το Re(Az) βάζω και το Α=α+βi?

τα φωτα του για την 14 καποιος; εχω φτασει στις εξισωσεις C-R και βρισκω

ημχ coshy = ημχ coshy

συνχ sinhy = συνχ sinhy

δηλαδη τη βρισκω παραγωγισιμη παντου... :(

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;Re(Az)=Re(Ax+iAy)=Ax)

γιατί? Αφού σου λέει ότι το Α είναι μιγαδικός

Az=(a+bi)(x+iy)= ax-by +i(ay-by)

Re(Az)=ax - by

Να ρωτησω λιγο για τν 22...παιρνω τον τυπο με τα υπερβολικα οπως στν 6 που εχει στις σημειωσεις του ατρεα σελ 113...και στο τελος βγαζω |coshz/z|=1/R*sqrt(cosy^2+sinhx^2).
Τωρα ή εχω βγαλει βλακεια ή δν εχω κτλβ ακριβως πς σκεφτεται και λυνει την ασκηση....μπορει να με διαφωτισει κανεις?

Σόρρυ, έκανα λάθος. Δες το post του TrueForce, που το έγραψε σωστά.

Χρησιμοποιήσε τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy για να υπολογίσεις το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, το οποίο θα βγει 2πi.

Ξαναδές τις πράξεις σου, θα έπρεπε να σου βγει:

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\\f(z)=\cos(\bar{z})=\cos&space;x\cosh&space;y+i\sin&space;x\sinh&space;y\\&space;u(x,y)=\cos&space;x\cosh&space;y\\&space;v(x,y)=\sin&space;x\sinh&space;y\\&space;u_x(x,y)=-\sin&space;x\cosh&space;y\\&space;u_y(x,y)=\cos&space;x\sinh&space;y\\&space;v_x(x,y)=\cos&space;x\sinh&space;y\\&space;v_y(x,y)=\sin&space;x\cosh&space;y)

Εμένα μου βγαίνει σύστημα όπου οι λύσεις της 1ης εξίσωσης είναι χ=κπ και της 2ης χ=κπ+π/2, δηλαδή η μόνη λύση είναι η z=0. Έχει ακριβώς το ίδιο παράδειγμα στις σημειώσεις του Ατρέα και βρίσκει το ίδιο  :-\

Η έκδοση των σημειώσεων του Ατρέα που έχεις είναι παλιά και έχει λάθος στη συγκεκριμένη άσκηση. Τώρα την έχει διορθώσει (http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/kef-3.pdf) και έχει το σωστό αποτέλεσμα που ισχύει και για την άσκηση 14 της εργασίας.

Ααα οκ. Eυχαριστώ exomag :)

Οντως, λαθος προσημο, thanks! ^^

Μα αφου την ανισοτητα θελω να βγαλω...γτ να το υπολογισω?

Γιατί άμα το υπολογίσεις μετά βγαίνει πως 1<=cosh(R) που ισχύει εξ' ορίσμού.

Μπορούμε να πούμε |cosh(z)|<=cosh|z|?

Δεν νομίζω πως ισχύει κάτι τέτοιο, εκτός και αν μου διαφεύγει κάτι...

α οκ!δν ειχα σκεφτει οτι ισχυει αυτο!ευχαριστω!

Ισχύει πάντως |coshz|<=cosh(Re(z)). Δεν ξέρω αν έχει καμιά σχέση. Αν ισχύει βγαίνει κατευθείαν

μν με κραξετε γι'αυτο που θα ρωτησω,αλλα πς πολ/ζεις 2 σειρες?παιρνεις κανεναν τυπο?

Εσένα σε νοιάζει ο συντελεστής του 1/z. Από αυτό το γινόμενο των σειρών ο συντελεστής του θα είναι το άθροισμα Σ(1/n!) με n από 1 ως άπειρο το οποίο ισούται με e-1

ναι αλλα τη δευτερη ισοτητα τη θέλουμε με - δηλαδή τη θu/θy= -θv/θx οπότε εχω το προβλημα οτι δεν μπορω να εχω ταυτοχρονα κπ και κπ+π/2!!!τι κάνω λαθοοοοοοοος????

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\\u_y(x,y)=-v_x(x,y)\Leftrightarrow&space;\cos&space;x\sinh&space;y=-\cos&space;x\sinh&space;y\Leftrightarrow\\\\&space;\Leftrightarrow&space;\cos&space;x\sinh&space;y=0\xrightarrow[cosx\neq&space;0]{sinx=0}&space;sinhy=0\Leftrightarrow&space;y=0)

Στην ασκηση 16 η συναρτηση δεν μπορει να ειναι παραγωγισιμη καθως το οριο της στο μηδεν δεν υπαρχει. Οι εξισωσεις Caychy Riemann ομως με μπερδευουν λιγακι. Αν πολλαπλασιασουμε με (χ^2+y^2) και ΜΕΤΑ βαλουμε z->0 τοτε ικανοποιουνται. Οποτε τελικα ισχυουν ή δεν ισχυουν;

έχει συζητηθεί στην αρχή του topic, δες άμα θες

Στην άσκηση 7, τί εννοεί όταν λέει ότι sqrt(z) είναι η πρωτεύουσα τιμή της τετρ. ρίζας; Η τετρ. ρίζα γενικά δεν έχει δύο λύσεις; Λέμε ότι κάποια απ' αυτές είναι η πρωτεύουσα; Χωρίς να ξέρω πώς χρησιμοιποιείται το παραπάνω, βγάζω το (δ).

Στην 10, κατά τα γνωστά προσπαθούμε ουσιαστικά να βρούμε το όριο στο 0 της (1/z²) log(ημz/z). Δεν πρέπει όμως αρχικά ν.δ.ό η log(ημz/z) είναι παραγωγίσιμη στο 0 (ώστε να κάνω L' Hospital, το οποίο βγάζει τη λύση που αναφέρεται παραπάνω); Προσπάθησε κανείς να το δείξει αυτό (με C-R πχ. βγαίνει;; );

Και, στην 12 γιατί μας δίνει τη σχέση -π<=Arg(z)<=π; Το (α) δε βγάζετε εδώ;

Για την 7: καπου στις σημειωσεις του Ατρεα υπαρχει ο τυπος της (πλειοτιμης) συναρτησης νιοστης ριζας, που εχει στην εκθετικη ενα i*(Arg(z)-2kπ)/n, με k = 0, 1, ..., n. Η πρωτευουσα τιμη της νιοστης ριζας ειναι αυτη για την οποια k = 0.

Για την 10: μην ψειριζεις πολυ τετοια θεματα.

Για την 12: ουτε εγω θυμαμαι να την χρησιμοποιησα την σχεση.

Αμα εχουμε Argz ανηκει [-π,π) τοτε η συναρτηση δεν ειναι αναλυτικη στον αρνητικο ημιαξονα των πραγματικων. Αμα ανηκει στο [0,2π) τοτε δεν ειναι αναλυτικη στον θετικο ημιαξονα των πραγματικων.

Αναφερομαι στη συναρτηση Log(z)

Ακριβώς! Ενώ εδώ μας ενδιαφέρει η log((1+z)/(1-z)), άρα μάλλον αυτό που μας δίνει είναι μήπως περιττό;


Εδώ έχουμε τετρ. ρίζα, άρα n=2, και άρα δύο είναι οι λύσεις της, αναφερόμενοι πάντα σε κάθε έναν κλάδο ξεχωριστά. Άρα όταν λέει πρωτεύουσα τιμή της sqrt(z) εννοεί k=0; Δεν αναφέρει πουθενά στις σημειώσεις τον όρο πρωτεύουσα τιμή για τις λύσεις της sqrt(z), μόνο για την log(z), γι' αυτό κι η απορία.

Τα ίδια αποτελέσματα βγάζετε κι εσείς;

Μαλλον οχι, γιατι θα πρεπει να λαβεις τον περιορισμο C - { Re( 1+z / 1-z) =0 και Im( 1+z / 1-z)<=0}. Τωρα, να σου πω την αληθεια δεν την πολυθυμαμαι την ασκηση. Αλλα μαλλον ετσι ειναι...

Νομιζω ναι, βαζεις κ=0.

Ανάποδα βασικά C-{Re(1+z/1-z)<=0 και Im(1+z/1-z)=0}

^ Ναι, σωστος.  ;D

Παιδια, στην 19 θεωρησα εναν κυκλο ακτινας r και οταν το r να παει στο 0 (αφου υπολογισω το ολοκληρωμα) τοτε το ολοκληρωμα μου βγαινει 0. τι κανω λαθος; Εβαλα Z=r*exp(iθ)

To ημz μηδενιζεται δε μηδενιζεται πουθενα αλλου εκτος απο τα κπ ετσι; Γιατι τοτε στην 20 βγαζουμε το επικαμπυλιο ισο με μηδεν, εφοσον η συναρτηση ειναι αναλυτικη στον κυκλο.

Γιατί όλοι οι πόλοι είναι εκτός του κύκλου.

Μα δεν σου ζηταει να παρεις κανενα οριο... Σου λεει να ολοκληρωσεις πανω στον μοναδιαιο κυκλο, αρα θα θεωρησεις παραμετρηση z=e^iθ, με το θ εδω να ξεκιναει απο το π/2 (το ορισμα του z=i) και να φτανει μεχρι τα 5π/2.

Ναι, αυτο λεω, οποτε βγαινει μηδεν ε; Απλα με προβληματισε η ευκολια του.


Βασικα πηρα γεν. Θ Cauchy για το ολοκληρωμα. Αλλα μου βγηκε ισο με μηδεν, μαλλον κατι εκανα λαθος. Θα το δοκιμασω και συμβατικα.

Ναι και δες για τη 19 μήπως δεν έβαλες το dz=ire^iθ για r=1 εννοείται

οχι, το εβαλα. λαθος ορια ειχα βαλει btw, lol. ευχαριστω πολυ για τη βοηθεια παιδες. ξεκινω να το λυνω.
εχασα το σαββατοβραδο ο καημενος Τ_Τ

αφού άμα παραγωγιστεί ο παρονομαστής πάλι μηδενίζεται στο 1, πως είναι το α? μήπως κάτι χάνω?
edit: βρήκ τι χάνω, το α είναι  :P

Παιδιά να σας ρωτήσω. Στην λύση της 22 πιο πάνω , είπατε οτι ισχύει :|cosh(R)|=>1. Γιατί ισχύει αυτό? :???:

Μπορεί να πω πατάτα αλλά...

Για να είναι παραγωγίσιμη η f(z) στο 0 αρκεί να υπάρχει το όριο lim( (f(z) - f(0))/(z-0), as z->0

Αν εφαρμόσουμε την ίδια μπανανιά που έχει κάνει στην άσκηση 1.(ε) του κεφαλαίου 3

μελετώντας δηλαδή για z=x με x->0
βγάζουμε το όριο να είναι μηδέν.
κλικ εδώ (http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28%28%28%28x%5E2+-+x%5E2%29%2F2%29%281%2Bi%29%29%2F%28x%5E2+*+x%29%29%2C+as+x-%3E0)

και μελετώντας για z=yi με y->0
βγάζουμε το όριο πάλι μηδέν.
κλικ και εδώ (http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit%28%28%28%28%28yi%29%5E2+-+%28-yi%29%5E2%29%29%2F2*%281%2Bi%29%29%2F%28abs%28yi%29%5E2+*+yi%29%29%2C+as+y-%3E0)

άρα καλά τα λέει το wolfram στον tsolias.
Και αν κατάλαβε κανείς την μπανανιά που κάνει μπορεί να την εξηγήσει;
Τι είδους προσέγγιση είναι αυτή που μελετάμε ξεχωριστά το όριο στον άξονα των πραγματικών και στον άξονα των φανταστικών;

Γενικά για το υπερβολικό συνημίτονο ισχύει πως είναι μεγαλύτερο-ή-ίσο της μονάδας.

ΥΓ: Το R, εννοείται πως, είναι πραγματικός αριθμός...

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\textup{cosh}%28x%29=\sum_{n=0}^{\infty%20}\frac{x^{2n}}{%282n%29!}=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots%20\geqslant%201,\forall%20x%20\in%20\mathbb{R})

Στην ασκηση 28 για το γενικευμενο...αναλυω το sinz σε e^iz-e-^iz/2i και μετα παω να βρω το Res(f,i) αλλα μου βγαινει διαφορετικο αποτελεσμα!!

Το πας αναποδα. Πρωτα θα βρεις το επικαμπυλιο ολοκληρωμα του f(z)*e^iωz, μετα απο εκει θα βρεις το ολοκληρωμα του f(x)*e^iωx, και μετα θα το σπασεις σε f(x)*cos(ωx) + i*f(x)*sin(ωx), και θα εξισωσεις πραγματικα και φανταστικα.

Οκ καταλαβα ευχαριστω!απλα νομιζω το ω που εβαζες δν χρειαζεται...(μαλλον μπερδευτηκες με ολοκληρωματα φουριε??)

Βαζεις ω=1...

το δ) ειναι σωστό! το έχει κάνει στο μάθημα

συμφωνω μαζι σου!! γενικα αυτη τη μπανανια που λες την εκανε σε 2 ασκησεις νομιζω οταν εμπλεκεται μιγαδικος η πραγματικο και φανταστικο μερος
αναφερει κατι τετοιο στις σημειωσεις σελ 66 αλλα ειναι για ακολουθιες

χωρις το ^k βγαινει και με l' hospital
αλλά με n ^k δεν ειναι φραγμενη και με L' hospital οσα και να κανεις ακρη δε βγαινει..
μηπως δεν υπάρχει???

στην 30, μπορει καποιος να πει τι βρηκε στο τελος;
για να ξερουμε αν βρηκαμε τα σωστα...

επισης, αφου βρω τα u και v, μετα πως βρισκω την αναλυτικη; απλα αντικαθιστω;

με προλαβες...
αυτο πηγαινα να διορθωσω τωρα!!!
αρα βγαινει k(k-1)(k-2).../απειρο =0

6xy+y+c βρηκα την v.Ναι αντικαθιστας.

Τη v τη βρήκες τελικά 6xy+y+c ή 6xy+y+a(x) έχει διαφορά. Εγώ βρήκα το δεύτερο και τελικά η v μου βγήκε v=12xy+y+c

Ωραίος!

νομίζω πως στον wolfram έχεις βάλει το Re(z) ενώ ζητάει το Im

Για την h(z) μπορεί κάποιος να δείξει τις πράξεις γιατί κάνοντάς τες μου βγάζω λάθος αποτέλεσμα και δεν μπορώ να βρω που κάνω λάθος  >:(. Ευχαριστώ

κάνα hint για την 26?

Κάνεις αλλαγή μεταβλητής t=2θ.
Έπειτα (τα όρια στο νέο ολοκλήρωμα θα είναι 0 και 2π) εφαρμόζεις τη μεθοδολογία που χρησιμοποιεί ο Ατρέας για την επίλυση ολοκληρωμάτων της μορφής: (http://latex.codecogs.com/gif.download?\inline&space;\int_{0}^{2\pi}R(\sin&space;\theta&space;,\cos&space;\theta&space;)d\theta)

ευχαριστώ  :)
edit:άμα πούμε ότι είναι άρτια η συνάρτηση άρα το ολοκλήρωμα είναι το μισό απ αυτό στο [0,2π] πάλι σωστό  δν είναι?

Ξέρει κανείς σίγουρα πότε την παραδίνουμε? Δλδ ποία είναι η τελευταία ώρα του μαθήματος? Την Τρίτη?

και μετα θετεις z=e^(iθ/2)?γιατι εμενα μου εβγαινε το διπλασιο απο το σωστο με αυτο τον τροπο... :-\

Εγω, ΑΝ θυμαμαι καλα, ειχα βρει πως δεν υπαρχει οριο στο μηδεν. Αρα δεν ειναι παραγωγισιμη εφοσον δεν ειναι και συνεχης.Τεσπα, εχω βαλει το β) αν αλλαξει κατι πειτε :Ρ

Νομίζω πως αυτό που λες ισχύει για συμμετρικά διαστήματα [-c,+c].

Δεν ξέρω, ίσως να κάνω και λάθος, αλλά δεν μπορώ να βρω κάποιο λάθος σε αυτόν τον τρόπο. Δες ξανά και τις πράξεις σου ;)

παντως ετσι το εθεσες κι εσυ το z.Δεν το εβαλες ολοκληρο και εκανες κανενα μαγικο με ριζες κλπ... :D

αριθμητικά βγαίνει πάντως  ;)

Ρε συ Exomag, εδώ και 3 περίπου ώρες κοιτάζω τη λύση σου για την 13, και πραγματικά δεν μπορώ να καταλάβω πως προκύπτει η 2η σειρά, πως φεύγει δηλαδή σε κάποια φάση το ημίτονο τετράγωνο και το υπερβολικό ημίτονο τετράγωνο.
Αν δεν σου κάνει κόπο μπορείς να μου το εξηγήσεις σε παρακαλώ? (και να δεις που θα είναι κάτι το πανγελοίο και παιδεύομαι τζάμπα!)

Έκανα ακριβώς ότι προτείνεις και πράγματι τελικά έβγαλα το (δ)->(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi/2e)
Παρ'όλα αυτά δεν μπορώ να καταλάβω γιατί αν θέσω εξ'αρχής (http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(z)=\frac{z^3sinz}{(z^2&plus;1)^2})
 και πω ότι
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{-\propto&space;}^{\propto&space;}f(x)dx=2\pi&space;i*Res(f(z),i))
δεν μπορώ με τίποτα να βγάλω το σωστό αποτέλεσμα. Παίζει να κάνω επανειλημμένα λάθος στις πράξεις?? :???: :???:

καλά είσαι. Λύνεται και αλλιώς. Βάλε όπου sin(x+yi) το (e^iz - e^-iz) / 2i και προχώρα μέχρι να βρεις κάτι της μορφής:
1/abs(2i) lim abs( (e^xi - e^(-xi+2y)) / 2y) * e^(-abs(y)) as y->+-inf

μετά πάρε περιπτώσεις για το +inf και το -inf για να σου φύγει το abs(y) από την τελευταία δύναμη. Βάλτο μέσα στο προηγούμενο απόλυτο καθώς είναι πάντα θετικό και προχώρα

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\\\sqrt{(\sin&space;x\cosh&space;y)^{2}+(\cos&space;x\sinh&space;y)^{2}}=\sqrt{(\sin&space;x\cosh&space;y)^{2}+(\cos&space;x)^{2}(\cosh^{2}&space;y-1)}=\\&space;=\sqrt{(\cosh&space;y)^{2}(\sin^{2}x+\cos^{2}x)-(\cos&space;x)^{2}}=\sqrt{(\cosh&space;y)^{2}-(\cos&space;x)^{2}})

Καλημερα!
Εχω κολλησει στην ερωτηση 7 και βγαζω πραγματα εντελως διαφορετικα απο τις επιλογες..
Θα μπορουσε καποιος να δωσει ενα hint?? :)

Καλημερα,
ρε παιδια τι κανω λαθος οταν υπολογιζω τα u(0,0) kai v(0,0) :
u(0,0)=lim_x,y->0,02xy/x²+y²
θετω x=rcosθ και y=rsinθ
και εχω
u(0,0)=lim_r->02r²cosθsinθ/r²=2cosθsinθ
ομοιως για το αλλο
αρα δεν υπαρχουν!!
  :-\

Με επιφυλαξη:
Ισχθει f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) kai f(0)=0.
Αρα f(0,0)=u(0,0)+iv(0,0)=0+i0 =>u(0,0)=0 και v(0,0)=0

δικιο εχεις..ευχαριστω!


οσο για την 7 εχεις σαν δεδομενο οτι το y>=0
οποτε το ημθ>=0  δλδ 0<=θ<=π αρα υπολογιζοντας την τετραγωνικη ριζα και τον λογαριθμο αυτης, βγαζεις σαν φανταστικο μερος ενα θ/2 και βρισκεις την λυση 0<=Im(f(z))<=π/2!
χωρις να ειμαι σιγουρος!!

Kαταλαβαινω αυτο που λες. Αλλα βγαζει 0<=Im(f(z))<=π/2 ενω αν δεις τις απαντησεις διαστηματα του χ και του y δλδ τα Re(z) και Im(z) και οχι του Im(f(z)) :-\
Μπορει να μν καταλαβα καλα αυτο που εγραψες :(

μαλλον με το "y" εννοει το Im(f(z))...αλλιως δεν βγαινει.. :-\ :-\ 

νομίζω έχει να κάνει με τη θεωρία, στο θεώρημα 5.6 αυτά που λέει για την |f(z)| που πρέπει να είναι μικρότερη απο μια ποσότητα,  κάτι που δεν ισχύει άμα υπάρχει το ημίτονο(με επιφύλαξη)

Πρέπει η συνάρτηση σου να είναι φραγμένη,κατι που δεν ισχυει για το sinz που δεν ειναι φραγμενο στον C!

ΓΕΝΙΚΗ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ 19!ΟΤΑΝ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ sqrt(sqrt(1))=-i ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ κ ΒΑΖΟΥΜΕ Arg(z)=2pi ΓΙΑΤΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΥΜΕ ΑΠΟ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ pi/2 ΕΩΣ 5pi/2!(ΕΠΚΥΡΩΜΕΝΟ ΑΠΟ ΑΤΡΕΑ) ΑΡΑ ΤΟ κ ΒΓΑΙΝΕΙ 2!

Φακ! εγω εβαλα μηδεν και το κ το εβγαλα -1. Αντε διορθωνε...

Σ.Σ. δηλαδη για Arg(1) βαζουμε 2π;

Αυτο ειναι ολο επικυρωμενο απο τον Ατρέα ή μόνο το ότι ολοκληρώνουμε απο pi/2 έως 5pi/2?

Για να το λεει ρε παυλαρα... >.<

Ναι

Στην ασκηση 24, αναλυουμε σε σειρες Laurent την exp(1/z) και την 1/(1-z). Η δευτερη αναπτυσσεται μονο σε taylor και συνεπως θα μας ενδιαφερει μονο το υπολοιπο της exp(1/z); Αν ναι, μπορουμε να το βρουμε βαζοντας στη σειρα taylor της exp(z) οπου n το -n;

Έως πότε ακριβώς έχουμε δικαίωμα να την παραδώσουμε?

Το υπόλοιπο που ψάχνεις ισούται με τον συντελεστή του όρου z^-1, αφού πολλαπλασιάσεις τις δύο σειρές που θα βρεις μεταξύ τους.
Επομένως, θα παίξουν ρόλο όλοι οι όροι της σειράς της (1-z)^-1.

Η 1/(1-z) ομως δεν εχει μηδενικους αρνητικους συντελεστες; Εφοσον εχει σειρα taylor;

μεχρι τις 25 ειχε πει.

Η σειρά της (1-z)^-1 θα έχει μόνο θετικές δυνάμεις του z, ενώ η σειρά της e^1/z θα έχει μόνο αρνητικές δυνάμεις του z.

Μπορει καποιος να μου πει το αποτελεσμα στην 19? :)

Εγώ βρήκα το εξής (http://www.wolframalpha.com/input/?i=4%2F3*%28e^%28i*7pi%2F8%29-e^%28-i*5pi%2F8%29%29).

Ρε παιδια με βοηθατε λιγο με την 19? εχω κολλησει

αντικαθιστας τη ριζα με το (( |z| )^(1/4) )* exp(i(arg(z) +4π)/4) και υπολογιζεις το ολοκληρωμα. Μην ξεχασεις να βαλεις το dz=i exp(iθ)dθ.

στην 14 τελικά τι είπαμε? το (α) ή το (β)??

εγω εβαλα α)

ουτε που θυμαμαι γιατι...

(http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(z)=cos(x-iy)=cosh(y)cosx&plus;isinh(y)sinx)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Rightarrow&space;u=u(x,y)=cosh(y)cosx,v=v(x,y)=sinh(y)sinx)
(http://latex.codecogs.com/gif.latex?u_{x}=-cosh(y)sinx,u_{y}=sinh(y)cosx,v_{x}=sinh(y)cosx,v_{y}=cosh(y)sinx)
για τις u,v ισχούουν οι συνθήκες C-R στα σημεία κπ, και οι μερικές παράγωγοι είναι προφανώς συνεχείς σε όλο το R^2, όποτε πληρείται και η προυπόθεση της διαφορισιμότητας του πεδίου f=(u(x,y),v(x,y)) που υπάρχει στο θέωρημα.. Άρα δεν είναι αναλυτική στα κπ?? (δη΄. το (β)???)  :???: :???:


edit: τώρα είδα ότι το θεώρημα δίνει την παραγωγισιμότητα στο σημείο και όχι την αναλυτικότητα. Άρα η f είναι απλά παραγωγίσιμη στα κπ και μόνο εκεί άρα δεν μπορεί να είναι αναλυτική, δηλ. το (α).

..πάντως κι εγώ έχω μπερδευτεί αρκετά με αυτήν...(7) μπορεί κάποιος να εξηγήσει λίγο παραπάνω;

...ντάξ' θα απαντήσω στον εαυτό μου, αλλά μόλις κατάλαβα για ποιο λόγο είναι το (δ).
Όντως  y = Im{f(z)}, αλλιώς δεν έπαιζε με την καμία!
...νομίζω η εκφώνηση χωλαίνει λιγάκι!
Τέσπα!

Μήπως μπορει να μου πει καποιος, τι θετω στην ασκηση 1 για να μου βγει η αποδειξη?
νόμιζα λυνεται οπως η ασκηση 9 σελιδα 19 αλλα εχω κολλησει τωρα.

Σε ενδιαφέρει το πραγματικό μέρος του αθροίσματος της γεωμετρικής σειράς: e^i(θ+na), για n μη-αρνητικό ακέραιο.

Στην 19 κανά νούμερο έχουμε;
5 μονάδες πιάνει.. τουλάχιστον να συγκρίνουμε αποτελέσματα!

Κοίτα λίγο και τα προηγούμενα posts...

Τη 19 δεν μπορούμε να τη λύσουμε και με τη βοήθεια του Res(f,0) όπως στις ασκήσεις του κεφαλαίου 5,χωρίς να αντικαταστήσουμε το sqrt(sqrt(z))?

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει με την μεθοδολογία της 27??? Επειδή το ολοκλήρωμα ξεκινάει από 0 δεν μπορώ να εξισώσω το ολοκλήρωμα με 2πi*Res???

όχι γτ η συναρτηση σου δεν ειναι αναλυτική στον θετικο φανταστικο ημιαξονα!!

ο ατρεας παντως σημερα ειπε πως το κ ειναι 3 για το ορια ολοκληρωσης [π/2,5π/2] αλλα δεν ξερω αν εννοουσε το ιδιο κ...

Γιατί να μην μπορεί; Δεν υπάρχει τέτοιος περιορισμός.
Το Res(f,0) το βρήκες; Και αν ναι, πώς. Γιατί δεν μπόρεσα να το βγάλω.

+1 και εγώ 3 βρήκα το κ

2 ή 3 ειναι το k ρε μαγκες;αντε αποφασιστε μη κανουμε 850 διορθωσεις

στην αρχη 3 το ειχα και γω αλλα εκανε καποιος post εδω και το διορθωσα γαμω το κερατο μου

θ. cauchy - υπολοιπα
αναφερει ξεκαθαρα για συν/ση αναλυτικη εντος της καμπυλης εκτος πεπερασμενου πληθους ανωμαλων σημειων!!!!
εδω εχεις ολοκληρη ημιευθεια που δεν ειναι αναλυτικη!!!! δεν ειναι πεπερασμενα!!!!
για το κ θα τον ξαναρωτησω και θα ενημερωσω

ΤΕΛΙΚΗ ΛΥΣΗ ΑΤΡΕΑ ΓΙΑ ΤΗ 19
ορια ολοκληρωσης [π/2,5π/2]

συνολικο οριο ολοκληρωσης 2π=θ
αρα exp^i((2π+2kπ)/4)=-i
exp^i((2π+2kπ)/4)=exp^i(3p/2)
(π+κπ)/2=3π/2
κ=2

(α)
 υπαρχει λυμμενη στις σημειωσεις

15 ειναι (δ), ετσι ?

Ναι

Αυτό γιατι; Επειδή ο κλάδος της 4ης ριζας του ζ που μελετάμε είναι (για κ=2 τελικά) ο (π/2+4π) μέχρι (5π/2+4π);

Στην 30 το c που βρίσκουμε από τις cauchy-Riemann το αφήνουμε c; Ή υπάρχει τρόπος να το υπολογίσουμε;

Το αφήνεις έτσι δες και από λυμένες ασκήσεις του βιβλίου

Στην 26 μπορω να πω οτι το ολοκληρωμα ισουται με 1/2 του ολοκληρωματος απο [0,2π]; Αν οχι, τι μετασχηματισμο κανω; Γιατι, δοκιμασα να θεσω t=2θ αλλα μετα εχω συν(t/2). Μπορω να το μετασχηματισω με το z=exp(it) αλλα δε φαινεται να βγαινει κατι...

ο λογαριθμος οπως και η ριζα ειναι αναλυτικες στο C* στο οποιο εξαιρειται ολοκληρος ο αρνητικος πραγματικος ημιαξονας για οταν μετραμε απο[-π,π]
στην περιπτωση του δικου μας κλαδου ειναο ο -i αρα  ο θετικος φανταστικος πρεπει να εξαιρεθει και για αυτο παιρνω [π/2,5π/2]
δες σελ 65 στις σημειωσεις του ατρεα για το C*

Αφού θέσεις t=2θ θα μετασχηματίσεις με z=e^it/2.

Θετεις z=exp(it/2)

7 γαμα. Ε;

^ εγω ειχα βαλει δελτα.

Στην 26, εκτος αυτου που λετε, γινεται να πω οτι η συναρτηση ειναι αρτια και ισουται με το 1/2 του ολοκληρωματος απο 0 εως 2π; Δεν εχω τσεκαρει ακομα ομως αμα οντως ειναι αρτια ;ρ

Νομίζω πως όχι. :-\

Και γω δ΄ έχω.
Log(sqrt(z) = .... = Log(sqrt(abs(z))) + i * Arg(z)/2

x=Log(sqrt(abs(z))) που είναι λογάριθμος πραγματικού αριθμού που κυμαίνεται από το -Inf έως +Inf
y=Arg(z)/2

άρα Arg(z)=2y

Επειδή το ημιεπίπεδο {Z-{0}: Im(z)>0} είναι το πάνω κομμάτι του σ.σ. το Arg(z) παίρνει τιμές θο μεταξύ του 0 και π/2 και π-θο μεταξύ του π/2 και π
άρα 0<=Arg(z)<π
άρα 0<=y<π/2 ....

Τελικα τον εκανα με τον τροπο που ειπαν τα παιδια. ευχαριστω πολυ ^^

ειναι σωστο κι ετσι!!!!
το επαληθευσα σημερα απο ατρεα!
και εκανε και τετοια ασκηση στο μαθημα...αν και στο λεω λιγο αργα!!!

τελικα στην 7 ειναι το δ??
εγω βρηκα το γ

Εγώ το (δ) βρήκα :-\

εγω βρηκα ενα περιεργο φανταστικο... arctan(tan(Arg(z)/2))
μαλλον ειναι λαθος :(

στην 26 το γ βγάλατε;

στην αντικατάσταση t=4θ δεν πρέπει να θέσουμε; και z=e^(it/2) ;

Μια λίγο άσχετη ερώτηση, στο φυλλάδιο θα πρέπει να δώσουμε και τη λύση για το πολλαπλής επιλογής, έτσι δεν είναι;

νομιζω πως οτι δεν εχει κενο απο κατω απλα το κυκλωνεις... οι ερωτησεις που εχουν κενο (8,13,19,22 και 23) παιρνουν περισσοτερους ποντους λεει στο τελος..

απειρα quotes αλλα χρειαζονται

γιατι να μη το δουμε πιο απλά το θεμα
στο z=0 εχουμε ασυνεχεια
μπορει να ειναι ασυνεχης και παραγωγισιμη ???

επισης για z διαφορο του 0 οταν παιρνω cauchy riemann βρισκω 2 περιπτωσεις y=x και y=-x
τα βρηκε αυτα κανεις ?
τι λεμε σ αυτη τη περιπτωση ισχυουν ή οχι οι συνθηκες ?

εδιτ : ακυρα αυτα π λεω για την ασυνεχεια , ας απαντησει καποιος αν μπορει για τις συνθηκες μονο
edit 2 : τελικα νομιζω οτι ισχυει αυτο της σελ.73 σημειωση (α) για να βρουμε αν ειναι παραγωγισιμη στο 0 η οχι

2 ερωτήσεις μου έμειναν για να τελειώσω, 19 και 23. Στη 19 έχετε γράψει πάρα πολλά αλλά δε τη βρήκα την άκρη. Στην 23, φέρνω στη μορφή (1/(z-1)) + (1/(z+1)). Μετά τι?

στο 4 είναι το α) σωστά?

Σόρρυ αλλά σύμφωνα μ' αυτόν :http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/complex/functions/index.htm (http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/complex/functions/index.htm)

το sin(x+iy) = cosh(-y)sin(x) + i*sinh(-y)cos(x)      

οχι ότι τρέχει κάτι γιατι λογικά φεύγουν...αλλά κουβέντα να γίνεται ...  :P

για την 23 δες σελίδα 143 στις σημειώσεις του Ατρέα! κάνει κάτι "κολπάκια" για το 1/z+2 εκεί. εδώ απλά έχεις z+1.

Στην 19 τελικά ποιο αποτέλεσμα βρήκατε???

Ναι ας πει κάποιος για το αποτέλεσμα της 19... Εγώ έχω φτάσει στο (4/3-4/3i)*(-1)^(3/8) ...

Με το (-1)^(3/8) τι παίζει ???

Ναι. Στην 5 τι βρήκατε? Εγώ γ αλλά δεν είμαι σίγουρος..

Ναι, την έχω δει την άσκηση, απλά δεν με βοηθάει γιατί εγώ θέλω να αναπτύξω τη σειρά γύρω από το z=i. Εκεί δυσκολεύομαι. Μήπως να βρω τη Mclaurin και μετά να βάλω κάπου το z-i?

Γιατί, εγώ τι έγραψα :D ?

Και εγώ (γ) βρήκα.

Μα***κίες μωρέ....κουβέντα να γίνεται ...ξανά...

στην 6 βρηκατε το β ή το γ;

το γ

εμενα μου βγηκε το δ αλλα δν ειμαι ακθολου σιγουρη

και εγω στην 6 το γ βρηκα και μου ειπαν πως ειναι το β...

επισης, το ιδιο και στην 4 βρηκα το δ και μου ειπαν πως ειναι το α... Κανεις να μας διαφωτισει; :Ρ

Εγώ βρήκα το (α) στην 4, και το (γ) στην 6...

+1
exoume to apotelesma tis 19?

+1

μήπως ο κ Ατρέας το εξήγησε αυτό κάπως;
εγώ δεν θα το πήγαινα με τίποτα με αυτό τον τρόπο...
θα έλεγα ότι το θ του 1 είναι 0 και από κει θα έβρισκα κ=3. :-\ :-\

Το θελω και γω αυτο  ;D

Εγώ βρήκα (4/3)*(i-1)/e^πi/8

Εγώ, στην 19, βρήκα το εξής (http://www.wolframalpha.com/input/?i=4%2F3*%28e^%28i*7pi%2F8%29-e^%28-i*5pi%2F8%29%29).

Είσαι σίγουρος για το e^-5πi/8? εγώ το βρήκα 3πi/8  :-\
edit: αλλά χωρίς το μείον

Σχεδόν το ίδιο φίλος... (4/3)*(1-i)*e^(3πi/8)

κι εγω το ιδιο με τον Exomag βρηκα..

που είναι ίσο με 4/3*(ι+1)/e^πi/8 για ένα πλην το χαλάμε

εγω εβαλα γ) Μπορει να γινει και σημειο.

Βασικά το ίδιο αποτέλεσμα βγάζουν και τα 2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284%2F3%29*%28i-1%29%2Fe%5E%28i*pi%2F8%29 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284%2F3%29*%28i-1%29%2Fe%5E%28i*pi%2F8%29) :P

Την 23 πως την κάνατε ορέ? Φαίνεται ότι μόνο εγώ κόλλησα σ'αυτή την άσκηση.   :'(

απλά κλάσματα
και μετά προσπαθείς να κάνεις το κάθε κλάσμα να 'μοιάζει΄με μια γνωστή σειρά γύρω όμως από το σημείο i.

ναι, μέχρι εκεί έφτασα, αλλά μετά πως τα κάνω να μοιάζουν.

στην 21 τι βρηκατε;

το δ

για 19 κι εγω οσο ο exomag βρηκα!
παιρνουμε θ =2π γιατι τοσο ειναι το διαστημα ολολκηρωσης αφου εχουμε κυκλο για καμπυλη

οι πόλοι που βρίσκετε είναι οι (-3+sqrt(5))/2 kai (-3-sqrt(5))/2 οι οποίοι είναι δεύτερης τάξης; Οπότε με ενδιαφέρει το Res του 1ου διότι βρίσκεται εντός της |z|=1;

edit  To (γ) είναι; Βγάζω το διπλάσιο για κάποιο λόγο..

Μόνο εγώ βρήκα το β) ;  ::)  :-\

ΥΓ τον αρνητικό προσανατολισμό τον έλαβες υπ' όψην ;

Το σωστό είναι το β)
Στην 25 είναι σίγουρα το α) και όχι το δ)?

κι εγω β)  στην 21

Εγώ το (α) βρήκα...

Στην 16 τελικα καταλαβε καποιος τι συμβαινει, γιατί κολλησα ασχημα?

τι χρησιμοποιείς για να το βρεις?
γιατί εγώ είδα στο βιβλίο λέει αρκετά όταν p(z0)<>0 όμως εδώ p(1)=0 (με p(z)=(sinπz)^2)

woops..!

Όταν p(z0)<>0 μιλάμε για απαλείψιμη ανωμαλία. Εδώ αυτό δεν ισχύει, οπότε έχουμε πόλο. Προκειμένου να βρεις την τάξη του πόλου δες τις σημειώσεις του Ατρέα (καθώς και αντίστοιχες λυμένες που έχει).
Όταν μηδενίζεται παρανομαστής και αριθμητής ταυτόχρονα, και το όριο στο σημείο εκείνο δεν είναι κάποιος zεC, τότε μιλάμε για πόλο n=k-m τάξης. k είναι η πολλαπλότητα της ρίζας του αριθμητή και m είναι η πολλαπλότητα της ρίζας του παρανομαστή.

παιδια στην 11 το δ. 0 ειναι?

Ναι

ωραια!! να σαι καλα...

Έχεις δίκιο που λες ότι το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με το μισό του ολοκληρώματος με όρια 0 και 2π. Αυτό όμως δεν ισχύει επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αλλά επειδή στο διάστημα [0,2π] η συνάρτηση είναι ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ως προς την κατακόρυφη ευθεία x = π (αυτό το καταλαβαίνεις αν πάρεις απλά την γραφική παράσταση του συνημιτόνου).

Κουβέντα να γίνεται.

στην 24 είναι το β ή το δ??

Εγω το β βρηκα..

Στην 25 σιγουρα δεν ειναι το δ) το ειχα τσεκαρει. το α) βρηκα κι εγω

+1

στην 25 το α είναι

έκανες την αντικατάσταση?(γνκα σ αυτή την άσκηση, στις σημειώσεις του Ατρέα νμζω έχει λάθος, έπρεπε να βγάζει 2πλάσιο αποτέλεσμα, μήπως πήρες απο εκεί κάποιο αποτέλεσμα?)

Ρε παιδιά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει;; Εγώ γιατί βρίσκω e;  :o

Πρόσεξε πως η σειρά που βγάζεις στο τέλος που ισούται με το a_-1 ξεκινάει από το κ=1, και όχι από κ=0.

Έχεις δίκιο, θενξ!

xmmm

παιδιά και εγώ στην 26 βγάζω 2*(3π/sqrt(5))...

Στην 26 εγώ βρίσκω το γ (όντως ο Ατρέας έχει κάνει λάθος). Βρίσκετε το ολοκλήρωμα από 0 έως 2π και διαιρείτε με 2, είναι ο πιο απλός τρόπος που υπάρχει.

Στη σελίδα 155, στην τελική σχέση, διαιρεί το ολοκλήρωμα με 2i, ενώ κανονικά πρέπει να διαιρέσει με i.

ναι  οκ αυτο με μπέρδεψε κάπως αλλιώς έτσι είναι βγαίνει το γ τώρα που το ξαναείδα!

Ρε παίδες θα τρελαθούμε τελείως?
Αφου αν γράψετε στο Wolfram arg(1)=2π θα σας βγάλει FALSE !!! :o

Προφανώς, γιατί το Wolfram|Alpha χρησιμοποιεί το Arg(z) που παίρνει τιμές [-π,π]. Εδώ, χρησιμοποιούμε το Arg(z) που παίρνει τιμές [π/2,5π/2], και άρα Arg(1)=2π.

στην 1 βρισκω το (γ) μετα απο πολυ κοπο... αυτο ειναι??

Το (α) βρηκα εγω

βασικα νομιζω οτι καταλαβαινω το λαθος μου απλα βαριεμαι να κατσω να το γραψω  :D :D
thx παντως.

στην 3 βρισκω μια τελικη μορφη με x,y: 5x^2-y^2-4+iy*(6x+1)=0. Οταν παρω την περιπτωση y=0 ετσι ωστε να μηδενιζεται το φανταστικο μερος τοτε μου βγαινει το χ απο το πραγματικο οτι πρεπει να ειναι χ=+-2/sqrt(5) αρα z=+-2/sqrt(5) +i*0 το οποιο βρισκει και το wolfram alpha οτι ειναι το σωστ (http://www.wolframalpha.com/input/?i=2|z|^2%2B3*%28z^2%29%2Bi*Im%28z%29-4%3D0).

για ποιο λογο δεν παιρνουμε και την περιπτωση χ=-1/6 που μηδενιζει το φανταστικο και το απορριπτουμε;

Γιατί, για x=-1/6 προκύπτει φανταστικό y. Πράγμα άτοπο...

Για τη 16 έχεις κανείς ιδεά? Βασικά είμαι μεταξύ του α και του β, προς το α περισσότερο (αν λάβω υπ'οψιν μου κατα λέξη τη θεωρία)

Δεν έχει τίποτα ιδιαίτερο. Άμα πάρεις τις εξισώσεις Cauchy-Riemann θα δεις πως επαληθεύονται και άμα πάρεις το όριο της παραγώγου της f(z) θα δεις πως δεν υπάρχει. Άρα το (β).

Καταρχήν, σε ευχαριστώ για την απάντηση σου σε μια προηγούμενη ερώτησή μου.
ναι, έχεις δίκιο, ξαναδιάβασα το κομμάτι που με μπέρδευε για να σου απαντήσω, και το ξεκαθάρισα. My bad!

Στην 17 σωστο ειναι το βου?

Το γου :P

Κάποια ιδέα για την 23? φτάνω σε μία μορφή

1/((z-i)+(1+i))  + 1/((z-i)-(1-i))

σωστά το πάω η βλακείες κάνω?

Καλά το πας ;)

Mε κινδυνο να λεω βλακεια:
Οταν την φτασουμε σε μορφη [1 / (1+ι)] * [1 / 1+(z-i)/(1+i)] (γραφω μονο τον πρωτο ορο) μπορουμε να παρουμε το αναπτυγμα taylor της 1 / 1+z και απλα να κανουμε αντικατασταση η πρεπει να το φερουμε στην μορφη της 1 /1-z ?

είναι δυνατόν να ικανοποιούνται οι riemann-cauchy σε ένα σημείο και να μην είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση μου εκεί??

ναι στην άσκηση 16

Μπορούμε να παραδώσουμε και την Παρασκευή, έτσι?
Ξέρει κανείς πού είναι το γραφείο του Ατρέα?

Μια χαρά τα λες! Τώρα πρέπει απλά να εφαρμόζεις τον γνωστό τύπο της σειράς Taylor της 1/(1-z), μόνο που αντί για z έχει -(z-i)/(1+i). Αντίστοιχα και για τον άλλο όρο.

Στην 4, α ή β??? +ίln3 ή -ίln3 ???

(α)

o Aτρέας δέχεται εργασίες 11-2?

Αν και διαβασα ολα τα προηγουμενα ποστ,, μηπως θα μπορουσε καποιος να ανεβασει τη λυση της 19 (οχι μονο αποτελεσμα...) ?  :-\ :-\ :-\

στην 29 ειναι το γ?

Ναι

thanks guru!

Κανείς δεν ξέρει τελικά, πού είναι το γραφείο του Ατρέα???

ακριβως πανω απο του κορτεση,καπου,πιτσουλη κτλ.ανεβαινεις τις σκαλες και πας δεξια.δεν γινεται να μη το δεις μετα;)

Απέναντι από την πτέρυγά μας (αντί να στρίψεις δεξιά ερχόμενος από τη γραμματεία, στρίβεις αριστερά). Είναι κι έναν όροφο πιο πάνω.

Για την 19:
Πήρατε ότι το Arg(z) της τέταρτης ρίζας του 1 ότι είναι ίσο με 2π λόγω του ότι βρισκόμαστε στο π/2 έως 5π/2; Και αφού βρούμε k=3, ύστερα πώς δουλεύουμε;

Είναι λάθος να δουλέψουμε με τον ορισμό του επικαμπύλιου, θέτοντας όπου z=e^it (ή z=e^4it ενδεχομένως) και βάζοντας τα κατάλληλα όρια για το t; Έτσι πάντως δεν κάνω χρήση του ⁴sqrt(1), μόνο το ότι ξεκινά από το z=i.

Καμμιά βοήθεια της τελευταίας στιγμής;

Βασικά ανεβαίνεις τις σκάλες και πας αριστερά, στο δεξί σου χέρι θα το δεις.

Χμ, τελικά το κ είναι 2 ή 3?
Αν κάποιος μπορεί να επισυνάψει τη λύση θα βοηθούσε πολλούς! Εγώ βασικά το βρήκα μηδέν, εντελώς άσχετο από τα αποτελέσματα που έχω δει εδώ.

Παιδιά το ξέρω ότι έγινε πολλή συζήτηση για την 26.. Αλλά τελικά σε ποια απάντηση καταλήξαμε;

Μέχρι ποια ώρα μπορούμε να πάμε την εργασία;

μεχρι 3 μου ειπαν

παιδιά στην 16 το β είναι ? 

ναι το 16.β ειναι  ;)

Ευχαριστώ!!  ^notworthy^

Ο Ατρεας εξω απο το γραφειο του γραφει Παρασκευη 12-2. Επειδη ηταν και καποια ατομα για αποριες υποθετω οτι μπορει να κατσει και παραπανω, αλλα δεν ειναι σιγουρο.

Για όποιον δεν το 'χει δει: http://users.auth.gr/natreas/Efarmosmena/answers.pdf λύσεις των ασκήσεων της εργασίας.

Στη λύση της άσκησης 13, από τη 2η προς την 3η σειρά δεν τρώει τα: (ημ^2χ)/2 - (συν^2χ)/2; Υπάρχει κάτι άλλο που δεν βλέπω;

Ρε παιδια πως υπολογιζουμε ολοκληρωμα με τον ολοκληρωτικο τυπο Caushy οταν εχει αρνητικο προσανατολισμο η γ?

Κάνεις θετικό τον προσανατολισμό, βάζοντας ένα - μπροστά από το ζητούμενο ολοκλήρωμα.