THMMY.gr

Και μια άσχετη με την εργασια απορία.Μπορεί κανείς να εξηγήσει την 19 λυμένη απο το κεφαλαιο 2 των σημειωσεων Ατρέα?Συγκεκριμένα γιατι επιλέγει κατα τετοιο τροπο τα σημεια.

Στις άλυτες ασκήσεις στις σημειώσεις του, κεφ 2 άσκηση 10:
μήπως εννοεί [-2,2] ?

χαζή ερώτηση:

Σημειώσεις κεφάλαιο , ορισμός 3.10:
...
Για κάθε ε>0, υπάρχει δ=δ(ε,z0)>0 τέτοιο ώστε για κάθε z: 0<|z-z0|<δ συνεπάγεται |f(z)-α|<ε
...

το boldαρισμένο τι σημαίνει;

ελα ρε στην ιδια σελιδα ειμαστε! :P (δλδ εγω ημουν το πρωι...και απλα το προσπερασα...)

το έχει και παρακάτω όμως... :P

να ρωτησω κατι χαζο.Σελιδα 54 ασκ.15 των σημειωσεων.Λεει οτι οι εικονες ειναι υπερβολες με εστίες(-|συνα|,0) και (|συνα|,0).Εγω ομως ειδα στο internet οτι οι εστίες γενικα ειναι (-γ,0) και (γ,0) όπου γ²=β²+α² .

Εδω το α=συνα και το β=ημα αρα το γ=+-1.Παιζει λαθος στην ασκηση;

Ναι, τα σημεία που γράφει στις σημειώσεις σίγουρα δεν είναι οι εστίες. Έχει γράψει λάθος ο Ατρέας.

Αρνούμαι να πιστέψω ότι κανείς δεν ξέρει...

Σημαίνει πραγματικός, θετικός αριθμός δ που εξαρτάται από την επιλογή του ε και του z₀.

Κεφαλαιο 3 στη λυμενη ασκηση 7 στο (α) ερωτημα. Γιατι η συναρτηση να μην ειναι αναλυτικη στο 1?
Τυπογραφικο να φανταστω?

σαν πραγματική συνάρτηση δηλαδή;

Απ' ότι φαίνεται, ναι.

Κατά κάποιο τρόπο, νομίζω πως ναι.

Εχει κανεις κάποια ιδέα για το πώς λύνεται η 4β από τις σημειώσεις του Ατρέα στο 5ο κεφάλαιο?(Το αποτέλεσμα είναι σωστό από wolfram)

Νομίζω πως πρέπει να βρεις τις σειρές Laurent των συναρτήσεων f₁(z)=z² και f₂(z)=ημ(1/(z+1)) στο z₀=-1, να τις πολλαπλασιάσεις και ο συντελεστής α_-1 του z^-1 θα πρέπει να ισούται με το ζητούμενο ολοκληρωτικό υπόλοιπο.

Βασικα αρκει να βρω τη σειρα Laurent του ημιτονου,αλλα πώς θα την βρω στο  z₀=-1?

Δε νομίζω πως αρκεί μόνο του ημιτόνου (δοκίμασε και θα φανεί).
Δες εδώ (https://www.thmmy.gr/smf/index.php?topic=52934.msg932255#msg932255) για λυμένη άσκηση του Ατρέα που δείχνει πως υπολογίζεις σειρές σε διάφορα σημεία (πέρα από αυτά των γνωστών τύπων).

Τις έχω αυτές...Το θεμα ειναι οτι καμια απο αυτες δεν ειναι συνθετη συναρτηση όπως εν προκειμένω το ημιτονο

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;sinz=\sum_{k=0}^{\infty&space;}\frac{(-1)^{k}}{(1+2k)!}z^{1+2k}\Rightarrow&space;sin(\frac{1}{z+1})=\sum_{k=0}^{\infty&space;}\frac{(-1)^{k}}{(1+2k)!}(\frac{1}{z+1})^{1+2k},&space;\forall&space;z\epsilon&space;\mathbb{C})

χμμμ ναι αυτο εβγαλα κι εγω...αλλα επειδη δε με πολυβοηθούσε ήθελα να βγάλω αυτό που βγάζει για το άπειρο στη wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+sin%281%2F%281%2Bz%29%29  :D

Μια χαζή ερώτηση ίσως, αλλά έχω κολλήσει σε αυτό το σημείο. Στην άσκηση 9 του πρώτου φυλλαδίου μετά την τελευταία αντικατάσταση πώς βγαίνει το αποτέλεσμα που δίνει στην αρχή; Εγώ όταν αντικαθιστώ βγάζω (sin((2n+1)θ)/2)+sin(θ/2))/(2sin(θ/2))
δεν μπορώ να καταλάβω πως βγαίνει (1+sin())/sin(θ/2)!!!! !

Απ' ότι φαίνεται, έχει λάθος η εκφώνηση του Ατρέα. Θα έπρεπε να ζητάει να αποδείξεις πως:

Ευχαριστώ πολύ,
το συνειδητοποίησα και εγώ ότι έχει λάθος, αφού την έλυσα καμια 20αρια φορές για να συγουρευτώ ότι κάτι δεν μου ξέφυγε ;D ;D. Γιατί αρκετές φορές μου έχει τύχει να μου ξεφεύγει κάτι και να μην μπορώ να βρω το λάθος πουθενά και πλέον δε με εμπιστεύομαι πολύ.....

Παιδια, εχω μια δευτεροβάθμια εξισωση με μιγαδικους συντελεστες (3χ^2 - ix - 1=0). Τη λυνω κανονικα με διακρινουσα;

Ναι τρελιαρη

οταν μια συναρτηση δεν ειναι συνεχης σε ενα σημειο, δεν μπορει να ειναι ουτε αναλυτικη σε αυτο, ετσι; (προφανως ουτε και παραγωγισιμη)

Δεδομένου ότι μια συνάρτηση πρέπει να είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο για να είναι αναλυτική σε αυτό, προφανώς αν είναι ασυνεχής τότε δεν είναι και αναλυτική.

παιδια θα ηθελα να ρωτησω το εξης οποιος μπορει ας βοηθησει:
λοιπον υπαρχουν η συνθηκες κουσι-ριμμαν για την αναλυτικοτιτα της συναρτησης για τις καρτεσιανες αν εχουμε φ(ζ) την  αναγουμε σε χ,ψ
οι πολικες τι ρολο βαρανε που εφαρμοζοντε? ο καππος ειχε πει μια φορα οτι μας γλυτωνουν απο πραξεις ισχυει αν ναι ενα π.χ?
μπαρουφες λεω?

Πολλές φορές βολεύει να χρησιμοποιείς πολικές συντεταγμένες στις u και v, όπως όταν έχεις, για παράδειγμα, όρους (x²+y²)^1/2.
Τότε οι εξισώσεις Cauchy-Riemann παίρνουν τη μορφή:

αν δηλαδη εχω ορους της μορφης αντι για διαναμη 1/2 εχω 2  τους χρησιμοποιω?

Εφόσον θέλεις να ορίσεις τις συναρτήσεις u και v με πολικές συντεταγμένες, μπορείς να χρησιμοποιήσεις αυτές τις σχέσεις.

σε ευχαριστω!

ερωτηση στις ασκησεις τις τελευταιες  του Ατρεα μας εκανε περι ανωμαλου σημειου πανω στο συνορο του τοπου ο οποιος ηταν ενα τετραγωνο, και χρησιμοποιησμε το λημμα τζορνταν για να το βρουμε ,εκτος απο αυτην την περιπτωση και την περιπτωση  ολοκληρωματων φουριε που δεν δεχοντε ριζα στον πραγματικο αξονα που αλλου εφαρμοζουμε το λημμα?

Νομίζω πως εμείς μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε χρησιμοποιήσει το Λήημα Jordan.

5o κεφαλαιο - 9 αλυτες - α ερωτημα. πως;  δε λειτουργει το μυαλο μου.

κεφάλαιο 5 ασκηση 5 από τις λυμένες:γιατί  τα φτιάχνει έτσι ώστε το z να ειναι μια στον αριθμητή και μία στον παρανομαστή??Και στο β ερώτημα της ίδιας η δεύτερη περίπτωση δεν πρεπει να'ναι μεχρι |z-i|<sqrt(2) αντί για |z-i|<2 ???

εμπερεικα παρατηρησα οτι αν εχω τη maclaurin μιας γνωστης σειρας και βαλω οπου z το a*z η το z^2 κτλπ βγαινει μια χαρα η σειρα αλλων συναρτησεων.
αντιθετα αν βαλω οπου z το z+a δεν φαινεται να βγαινει σωστο. ωστοσο ο ατρεας καπου(δυστυχως δεν θυμαμαι που) κανει αυτην ακριβως την αντικασταση.
γνωριζει κανεις τι παιζει, δηλαδη σε ποιες σειρες μπορω να αντικαθιστω τι;

Πρεπει να δεις τι γινεται με την ακτινα συγκλισης της σειρας. Για παραδειγμα, για την γεωμετρικη σειρα, θα πρεπει |z+a|<1.

α μαλιστα εγω νομιζα οτι απλα οπου γραψω σειρα πεταω διπλα z>1  ;D
thx θα το κοιταξω

επισης 5ο κεφ - 11 λυμενες - α ερωτημα τα ολοκληρωτικα υπολοιπα εχουμε ενα "π" που δε πρεπει; αλλιως απο που προκυπτει;

λογικά είναι λάθος το 2ο 'π',ετσι κι αλλιως στο τελικο αποτελεσμα πανω δεξια το εχει με ένα...

κεφ 5 άλυτες 2 (γ) δεν καταλαβαίνω απόλυτα πως το βγάζει το αποτελεσμα...  :(

+1

Μπορεί κάποιος να εξηγήσει την άσκηση με το ορθογώνιο που έκανε στο τελευταίο μάθημα ο ατρέας;

παιδιά άσκηση 18 σελίδα 56 ξέρει κανένας πως εξαφανίζει τα α??

στη σχέση με τα c και d έχει ξεχάσει αν βάλει ένα a στον αριθμητή,οπότε στην τελική σχέση το a βγαίνει κοινός παράγοντας σε αριθμητή και παρονομαστή και απαλείφεται

θα απαντήσω στον εαυτό μου,
αν θέσουμε u=z+1 και αναπτύξουμε την παράσταση σειράς του ημ(1/u), έπειτα από αυτόν τον ορισμό έχουμε ότι z=u-1 άρα z^2=u^2+1-2u έτσι έχουμε πολλαπλασιασμό αυτού του πολυωνύμου με τη σειρά ημ(1/u) κάνοντας λίγες πράξεις βρίσκουμε ότι ο συντελεστής του 1/u είναι το 5/6

Κεφ 5, άλυτες, Ασκηση 11 το α
Πως λυνεται???

Στο κεφαλαιο 4 αναφερει σε μια ασκηση οτι μια συναρτηση συνεχης σε κλειστο δισκο |z| <= R ειναι φραγμενη. Αυτο προκυπτει απο θεωρηματα ελαχιστης και μεγιστης τιμη η εχω χασει κατι πολυ βασικο?  :o

αν ειναι συνεχης σε |z| <= R τοτε υπαρχει Μ>0: |f(z)|<=M για καθε z που ανηκει στο κλειστο χωριο
(αυτο που ειπες) το Μ βρισκεται καπου στο κλειστο χωριο
αν επιπλεον ειναι αναλυτικη στο εσωτερικο του χωριου |z| < R τοτε το Μ
βρισκεται πανω στο  R

Κεφ. 5, στην 6)στ) το z=2 δεν ειναι απλοσ πολος αφου μηδενιζει κ τον παρονομαστη;

στη 2γ?πού λεει 5/6?  :D

Αν θυμαμαι καλα ειναι ριζα πολ/τας 3 του αριθμητη και ριζα πολ/τας 1 του παρανομαστη (αυτα μπορεις να τα βρεις με λιγες πραξεις συμφωνα με εναν κανονα με παραγωγους που μας ειχε πει ο ατρεας στο μαθημα ασκησεων, νομιζω ο Exomag εχει ανεβασει και τις σημειωσεις απο εκεινο το μαθημα). Αρα προκυπτει οτι το z = 2 ειναι απαλειψιμη ανωμαλια. Σε καλυψα?

Στις λυμένες ασκήσεις για τη σειρά φουριε και τον αντίστροφο λαπλας, ο ατρέας βλέπει πρώτα αν ισχύει η συνθήκη για το μέτρο της f. Αλλά στην άσκηση που έλυσε μέσα στην τάξη, σαν μοναδική προυπόθεση ελένξαμε αν το όριο της συνάρτησης στο άπειρο είναι 0.
Είναι το ίδιο πράγμα ή πρέπει να δούμε και αν ικανοποιείται η συνθήκη για το μέτρο της;

(http://latex.codecogs.com/gif.download?\dpi{120}&space;\lim_{z\rightarrow&space;\infty}f(z)=0\Leftrightarrow&space;\lim_{z\rightarrow&space;\infty}\left&space;|&space;f(z)&space;\right&space;|=0)

ρε παιδιά στην λυμένη άσκηση 14 στο 4 κεφάλαιο...η αρχή μεγίστου δεν ισχύει μόνο για τις αναλυτικές??η μέτρο z στο τετράγωνο δεν είναι αναλυτικά σωστά???τι παίζει???

βασικα πανω σε αυτο γιατι το μετρο z η ο συζηγης δεν ειναι αναλυτικες?? λογω του Arg??

Ξέρω ότι η άσκηση 24 της εργασίας έχει συζητηθεί σε αντίστοιχο τοπικ αλλά εξακολουθώ να μην μπορώ να δω πως λύνεται, γιαυτό ζητάω μια τόση δα βοηθειουλα  ::).

Και για τις δύο αποτυγχάνουν οι εξισώσεις cauchy remain.

το e^(1/z) όταν z->0 παει στο άπειρο οπότε υποψιάσεζαι ότι ίσως είναι ουσιώδης ανωμαλία.αναλύεις την παράσταση στο γινομενο των σειρων taylor e^z kai 1/1-z(τυπολογιο) και καταλήγεις ότι ο συντελεστής του 1/z που σε ενδιαφέρει είναι 1+1/2!+1/3!....+1/n =1-e

Εχει λύσει κάποιος την 11α) και 11β) από το κεφάλαιο  5 ?
Επίσης στην 9α) τα διαστήματα για το ω πώς προκύπτουν ;

Edit: Άκυρο για την 11β.  :)
Edit #2: Ακυρο και για την 9α.  :)  :D

παίδες σόρρυ αν το έχουμε ξαναπεί αλλά απτο κεφ.6 έχουμε μόνο αρμονικές συναρτήσεις έτσι? Το πρόβλημα Ντιρχλε είναι γενικά έξω?
Γιατί το γράφει στην ύλη, αλλά νομίζω κάτι παρέδωσε στην τάξη

ότι δεν είναι αναλυτικές το βρίσκεις αν πάρεις τις εξισώσεις Cauchy-Riemann

Στην τάξη δεν παρέδωσε ακριβώς, έκανε μόνο μια νύξη για όσους θέλουν να το ψάξουν
παραπάνω, αφού πρώτα είπε (10010)10 φορές ότι η ύλη έχει τελείωσε στις αρμονικές

μάλιστα ευχαριστώ, δυστυχώς δεν ήμουν εκεί για να το ακούσω ούτε μια απο αυτές  :P

αν το ότι διέγραψες την 9.α σημαίνει ότι την έλυσες δεν μας λες και μας τίποτα...??? :)

Λοιπόν, αντικαθιστάς το sinx με (e^i*x-e^-i*x)/2*i.
Σπας τα ολοκληρώματα και έχεις :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2*i}\int_{-\infty&space;}^{&plus;\infty}&space;\frac{e^{i*(w&plus;1)*x}}{x}dx&space;-&space;\frac{1}{2*i}\int_{-\infty&space;}^{&plus;\infty}&space;\frac{e^{i*(w-1)*x}}{x}dx (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{2*i}\int_{-\infty&space;}^{&plus;\infty}&space;\frac{e^{i*(w&plus;1)*x}}{x}dx&space;-&space;\frac{1}{2*i}\int_{-\infty&space;}^{&plus;\infty}&space;\frac{e^{i*(w-1)*x}}{x}dx)

Έπειτα παίρνεις το 1ο ολοκλήρωμα και υπολογίζεις πόσο κάνει για ω>-1 και αντίστοιχα για ω<-1. Το ίδιο για ω>1 και ω<1 για το 2ο. (με ολοκληρωτικά υπόλοιπα)
Τέλος συνδυάζεις τις περιπτώσεις.
Δηλαδή λες για ω στο (-1,1) πόσο κάνει το άθροισμα και αντίστοιχα  για ω>1 και για ω<-1.
Αν κάνει σωστά τις πράξεις βγαίνει το αποτέλεσμα που λέει ο Ατρέας.

thanks a lot ! ;)*

Παιδια, μπορει να με διαφωτισει καποιος σχετικα με το προσημο της γωνιας στο λημμα Jordan; Παιρνουμε τη μικρη μειον τη μεγαλη γωνια κατ'απολυτη τιμη; Η αναλογα με τον προσανατολισμο της καμπυλης; (τελικη-αρχικη)

Παίρνεις τελική-αρχική γωνία, μαζί με τα πρόσημά τους

Εξαρτάται από τον προσανατολισμό της καμπύλης.

Απ'τις άλυτες στο 5ο κεφάλαιο, η 11 α πώς λύνεται;

Η συναρτηση ειναι αρτια. Αρα το ζητουμενο ολοκληρωμα ειναι το μισο απο το ολοκληρωμα με ορια ολοκληρωσης -οο,+οο.
Μετα κατα τα γνωστα. Βρισκεις τους πολους και χρησιμοποιεις ολοκληρωτικα υπολοιπα.

Εδιτ: Αυτο που ειπα παραπανω δεν πρεπει να ισχυει σ΄αυτη την περιπτωση γιατι η συναρτηση παρουσιαζει ουσιωδεις ανωμαλιες. Οταν συναντας ουσιωδεις ανωμαλιες το μονο που μπορεις να κανεις ειναι να χρησιμοποιησεις τη σειρα Λορεντ.
Προσπαθησα να το λυσω ετσι αλλα να πω την αληθεια δεν το καταφερα. Αν κανω κατι θα ενημερωσω.

δηλαδη; βαζω το arg που τελειωνω μειον το arg που αρχιζω; Η το αντιστροφο;

Νομιζω το καταλαβα, thanks.

Γωνία τέλους - Γωνία αρχής

Το κάθε ένα από τα ολοκληρώματα δεν έχει μόνο έναν πόλο πρώτης τάξης στο μηδέν?? το υπόλοιπο στο μηδέν   το βρήκα μονάδα και το πολλαπλασιάζω με πi*1 επειδή είναι πάνω στον πραγματικό άξονα. αλλά κάτι δεν πάει καλά γιατί αντί για 2π βγάζω π εντέλει.

π είναι το σωστό. Καλά το βρήκες.

Να σαι καλά ευχαριστώ.

Η ημ²(χ)/χ² δεν έχει απαλείψιμη ανωμαλία στο μηδέν??

νομιζω οτι ειναι ουσιωδης ανωμαλια αυτο

πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ανεξάρτητη από τον δρόμο ολοκλήρωσης ολοκλήρωση?

οταν η συναρτηση σου ειναι αναλυτικη η γινομενο αναλυτικων.

Όταν δίνει την f(χ,ψ)=u+iv και ζηταει την f(z), τότε η απάντηση γιατι έχει και συζυγη ενω δεν πρεπει? Γιατι εφοσον η συναρτηση ειναι αναλυτικη, δε θα πρεπε να υπαρχουν συζυγη!!

Και μας ειχε πει ο Καππος να αντικαθιστουμε το χ με το z και ψ=0
πολύ πιο γρήγορα δλδ

στην άσκηση 10 από τις άλυτες του 4ου κεφαλαίου, το (-) στη σχέση πως το βρίσκουμε?

στο 4ο κεφαλαιο ασκηση λυμενη 5 στο γ ερωτημα πως βγαινει οτι η καμπυλη ειναι απλη και κλειστη ?

Πρόκειται για μια περίμετρο τετραγώνου, που είναι προφανώς μια απλή και κλειστή καμπύλη. Σε ποιο σημείο προβληματίζεσαι; :???:

βασικα νομιζα πως επαιρνες ξερω γω το πρωτο και το τελευταιο σημειο οπως εκανε και στα υπολοιπα απο την ιδια ασκηση
τνξ ! 

Στην ασκηση 6 σελιδα 145 (σημειωσεις ατρεα) εχει καταλαβει κανενας πως ελεγχει για αυτες τις συναρτησεις αν ειναι αναλυτικες στο απειρο?

Γενικά, μια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο άπειρο αν η f(1/z) είναι αναλυτική στο z₀=0.
Γενικά ο Ατρέας δεν ασχολήθηκε με τη συμπεριφορά μιγαδικών συναρτήσεων στο άπειρο, και στη συγκεκριμένη άσκηση γράφει για την αναλυτικότητα στο άπειρο χάριν πληρότητας.

Ok ευχαριστω :)

Kεφαλαιο 5, λυμενες ασκηση 9 α+β
πως βρισκει την ανισωση στην αρχη??  :???:

Οι ανισώσεις αυτές πρέπει να ισχύουν, προκειμένου να χρησιμοποιήσει το θεώρημα 5.6 για να λύσει την άσκηση. Τώρα, για το πώς τις βρίσκει, δεν έχει κάποια μεθοδολογία, απλά παρατηρητικότητα.

αυτο φοβομουν :P
επισης ξερεις για την ασκηση 12 α) που εχει παλι ανισωσεις? μαλλον κατι τετοιο παιζει και δω  :-[

Ναι, πάλι χρησιμοποιεί ανισότητες που τον βολεύουν, που προκύπτουν απλά με παρατηρητικότητα (και εμπειρία, προφανώς).


ΥΓ: Η άσκηση 12 από τις λυμένες, και η αντίστοιχη άσκηση 11 από τις άλυτες, είναι από τις πιο hardcore ασκήσεις (σε σχέση με τις υπόλοιπες του Ατρέα), οπότε μην δεις μόνο αυτές και απελπιστείες ;)

Παιδιά στο κεφάλαιο 4 στη λυμένη άσκηση 2γ πώς πάει απτην 2η ισότητα στην 3η?? Για τον παρονομαστή μιλάω εκεί π τον κάνει (t^2 - t + 1)

Αν κάνεις πράξεις, δηλαδή όπου e^iπ/3=... και μετά πάρεις το μέτρο του μιγαδικού αυτού βγαίνει αυτή η παράσταση.

Κεφάλαιο 5 , απο τις Αλυτες Ασκήσεις,   η Ασκηση 5..

 στο α)    παιρνοντας το κανονα παραγώγισης για τον παρανομαστή , βλέπω οτι  οι 2 πρώτες παράγωγοι του ειναι = 0 ,
 και μετά η 3η ειναι διάφορη του μηδενός.
 
Άρα αυτο δεν σημαίνει οτι είναι πόλος 2ης τάξης?   Γιατί η απάντηση έχει " πόλος 4η τάξης" ?  Μ'ήπως εγω δεν κατάλαβα κάτι?

Av η 3η ειναι διάφορη του μηδενός, τότε έχεις πόλο 3ης τάξης

Ναι , όντως σωστός..!  :)  Αλλά γτ η απάντηση δίνει 4ης?  Αυτή δεν είναι η λογική που ακολουθείς , ή υπάρχει κάτι ακόμα?

βασικά είναι 4ης τάξης. Παραγώγισε τον παρονομαστή 4 φορές και βρες την 4η παράγωγο στο 0. Έχει δίκιο η λύση, είναι 4ης τάξης

Ρε παιδιά μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πώς βρίσκει τα Res(f,0), Res(g,0) και Res(h,0) στην άσκηση 7 του 5ου κεφαλαίου απτις σημειώσεις??

κεφαλαιο 5 λυμενες 6.(δ) πως βρισκει το αποτελεσμα στο ολοκληρωτικο υπολοιπο?
επισης,στο 9α γιατι επιλεγει μονο τις ριζες που βρισκονται στο ανω ημιεπιπεδο?

τα ολοκληρωτικα υπολοιπα στο α,β,γ τα υπολογιζει και τα τρια βρισκοντας τις Σειρες laurent των 3ων αυτων σηναρτησεων .Διοτι οταν εχουμε ουσιωδεις ανωμαλιες μονο ετσι μπορουμε να υπολογισουμε το Res() (οταν δηλαδη εχεις sin(1/z) το οποιο οριο απειρο για ζ=0 ή e^(1/z) )
Τωρα υπολογιζοντας την Σειρα Laurent  βγαζεις αυτην την σειρα που βρισκει αυτος και λες οτι α-1=Res(f,0)=...
το μονο δηλαδη που χρειαζεσε ειναι να ξερεις να υπολογιζεις την σειρα .

Από τις ασκήσεις που έγιναν στην τάξη κεφάλαιο 5 άσκηση 4δ. Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει ποιον τύπο παίρνει για τη σειρά Laurent της συνάρτησης;;;Bασικά γενικά ποιον τύπο παίρνουμε για την σειρά Laurent συνάρτησης.... Ευχαριστώ. :)

Δεν καταλαβα ποιο παραδειγμα εννοεις..
Για την αναπτυξη ομως κατα  Laurent για μια f(z) αν αυτη ειναι ρητη συναρτηση  f(z)=a(z)/b(z)  κανουμε αναλυση σε απλα κλασματα

και χρησιμοποιουμε το βασικο εργαλειο 1/1-z=Σ (z)^n 
και για τις υπολοιπες συναρτησεις υπαρχουν ετοιμα τα βασικα αναπτυγματα ταυλορ των  βασικοτερων συναρτησεων

Δεν ξερω αν σε καλυψα καθολου..

ναι βασικά κατάλαβα τι γίνεται.... ευχαριστώ πάντως....   :)

Ναι αυτό που δεν κατάλαβα είναι πότε το Res είναι 0 και πότε 1.

Το Res ισούται με τον συντελεστή του όρου 1/(z-_z0) της σειράς Laurent. Δεν ισούται, αναγκαστικά, με 0 ή 1.

μπορει σε μια συναρτηση να ισχυουν οι cauchy riemann αλλα να μην ειναι παραγωγισιμη?

νομίζω πως ναι

χμ γιατι ομως αυτο?  :-\

οι εξισωσεις ειναι για μια περιοχη του (χο,ψο)

βασικα αναφερομαι στην ασκηση 11 σελιδα 88.. που λεει οτι ισχυουν οι εξισωσεις στο zo αλλα δεν ειναι παραγωγισιμη στο zo

οταν η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη μονο σε ενα σημειο δεν ειναι αναλυτικη
για να ειναι αναλυτικη και συνεπως παραγωγισιμη πρεπει να ειναι σε περιοχη του σημειου

στην ασκηση 13 απο το πρωτο κεφαλαιο στο β ερωτημα γιατι οταν αναλυει την ριζα ( -6 - i ) στον εκθετη του e εχει βαλει θ κι οχι arg(-6-i) ? εχει μια τετοια μορφη στην σελ 14 πανω μπορουμε να την χρησιμοποιουμε κι αυτην ? 

αα αυτο δε το ειχα καταλαβει ευχαριστω :)
αλλα και παλι , στην ασκηση αυτη δεν καταλαβαινω... εφοσων ικανοποιουνται οι εξισωσεις c-r αρα δεν θα επρεπε να ειναι παραγωγισιμη στο zo? δεν μιλαει για περιοχη του σημειου  :???:

Παραγωγίσιμη είναι στο z=0, αφού πληρούνται οι Cauchy-Riemann (ή αν υπάρχει το όριο του ορισμού), Αναλυτική δεν είναι πουθενά. Είναι αναλυτική->παραγωγίσιμη, το αντίστροφο δεν ισχύει γιατί η αναλυτική θέλει να είναι παραγωγίσιμη σε δισκάκι γύρο από το σημείο και όχι μόνο στο ίδιο το σημείο. Εδώ όμως οι εξισώσεις θα ισχύουν μάλλον μόνο για z=0 και τίποτα άλλο εκεί γύρω...
Δες τη λυμένη 6γ (cos(z*)), ίδια περίπτωση πρέπει να είναι.

ισχυουν οι εξισωσεις cauchy riemann, αλλα οι μερικες παραγωγοι των u,v δεν ειναι συνεχεις στο 0 . επομενως, η συναρτηση δεν ειναι παραγωγισιμη στο 0

Χμμμ. Όντως. Δεν το είχα προσέξει ότι θέλει να είναι και συνεχείς...

ευχαριστω παιδια :)

Ο Ατρέας έδωσε έμφαση στην άσκηση όπου στην ολοκλήρωση σε κλειστή καμπύλη κάποιο ανώμαλο σημείο μιας υπό ολοκλήρωση συνάρτησης βρίσκεται πάνω στην καμπύλη ολοκλήρωσης?

Η e^1/z γιατί έχει ανωμαλία στο z=0?

ειναι ουσιωδης, μηδενιζει παρονομαστη!
σελ . 148

Eπειδή μηδενίζει παρονομαστή του αναπτύγματος δηλαδή? Και είναι γενικό?


Εδιτ : Ακυρο το έπιασα. Μάλλον δεν είναι καλή η ώρα

???

Αν κατάλαβα καλά, μπορείς με το θεώρημα των γενικευμένων, να υπολογίσεις το ολοκήρωμα είτε χρησιμοποιώντας τις ανωμαλίες που βρίσκονται πάνω από τον πραγματικό άξονα, είτε από αυτές που βρίσκονται κάτω από αυτόν.
Αν δεις στον ορισμό που δίνει τα ολοκληρώματα γράφει ένα "Ισοδύναμα" , άρα...

Στο τελευταίο μάθημα είχε λύσει μια με πολύ αναλυτικό τρόπο.

Ναι, ακριβώς έτσι είναι!

Αχα, μάλιστα.. Ευχαριστώ!

Άσκηση 11 απτις λυμένες σελ. 85 την θχ και θy πώς τις βρίσκει? Για το ρχ κατάλαβα αλλά συνάρτηση του θ δεν μπορώ να βρω.

μπορει καποιος να εξηγησει πως βρισκω την ταξη ενος πολου ? ?

ποσο βρηκατε τα α,β στην 1)β) του ιουνιου '13;

 
στην ουσια η ταξη ενος πολου ειναι ποσες παραγωγους μηδενιζει

πως ξερω ποτε να χρησιμοποιησω ολοκληρωτικο τυπο cauchy κ ποτε  Res(f,z0)???

Για να χρησιμοποιήσεις τον τυπο του Cauchy πρεπει η συναρτηση να είναι αναλυτική πανω και μέσα στην καμπύλη που ολοκληρωνεις, ενω στα Res εχεις ανωμαλίες στο εσωτερικο

βγαζουν το ιδιο αποτελεσμα :)
τσεκαρε το!

ποιες παραγωγους ?
σορυ αλλα κολλησα
 

τις παραγωγους της συναρτησης του παρονομαστη

okk , τνξ !

kefalaio 4 alutes to 6e.giati einai mhden?
(sorry gia ta greeklish alla eimai se pc p den exei gr sti glossa)

γιατι το πi δεν ειναι μεσα στην καμπυλη ολοκληρωσης σου!

Oταν εχουμε απειρο στο mobius τι κανουμε?
Οπως στην ασκ 9 της εργασιας που βγαζει απειρο/απειρο

alyth askhsh 5 kefalaio 5 ti akribos kanei?

Κεφ.4 αλυτες...η 7 και 8 τις λυνω μεολοκληρωτικο τυπο cauchy και δεν βγαινει το αποτελεσμα...τι πρεπει να κανεις σαυτες? :-\

Κεφάλαιο 6, άσκηση 1 β)

Πως βγαίνει το u=3lnr ΜΗΝ ΤΑ ΣΠΑΣΩ ΟΛΑ  :)