THMMY.gr

οκ λοιπόν :D

πώς ακριβώς εξετάζω μια ακολουθία ως προς την σύγκλιση???

καταρχάς έχεις ρόθο ή ξένο;

μια ακολουθία συγκλίνει σε αριθμό Λ όταν

Lim (n->inf) a_n=Λ

*σημείωση προς εμένα: να μάθω πως λειτουργεί το LaTex.

θέλεις επιμέρους κριτήρια και θεωρήματα;...(αν ναι, πότε φτάσατε εκεί; )

ροθο

αν εχω καταλαβει σωστα
μια ακολουθια ειτε συκλινει ειτε απολκλινει στο +-απειρο ειτε κυμαινεται.
στο βιβλιο του ξενου στο αντιστοιχο κεφαλαιο εχει μονο τους ορισμους  κ μερικα παραδειγματα που μεσω αυτων αποδεικνυει τι κανει η ακολουθια.

ο ροθος μας εδωσε κατι ασκησεις-εργασια κ μια απο αυτες ζηταει
: Να εξεταστουν ως προς την συγκλιση οι παρακατω ακολουθιες και να βρεθουν τα ορια των.

  an= (-1)^n /2*n+1
  an=(3*n+2)/n^2 +n+1
κλπ

η απορια μου ειναι: πως ακριβως δουλευω μια τετοια ασκηση.  :P

τη συγκεκριμένη τη βγάζεις εύκολα με όριο.
lim an= lim (3n+2)/(n^2+n+1)= lim 3n/(n^2)=lim 3/n=0
αρα συγκλινει στο 0.
Χωρις να παίρνω και όρκο,αλλά σωστό μου φαίνεται..

Την αλλη ακόμα την παλεύω κ γω  :P

Ερώτηση άσχετη:
Τα τμήματα φέτος πως είναι Α - Κ  Ρόθος;

ναι :)
και λ-ω πρέπει να ναι Ξένος.

κ εγω το σκεφτηκα αλλα σε κανενα παραδειγμα στο βιβλιο του ξενου δεν το συναντησα.. ολες αν θυμαμαι καλα τις ελυνε απο ορισμο κ επαιρνε ως συμπερασμα οτι το οριο ειναι "τοσο" αφου συγκλινει "εκει" 'η απειριζετε..

o Ρόθος έλυσε πολλές με όρια πάντως.Εκανε και με ορισμό,αλλά πολλές φορές χρησιμοποίησε όρια.

πρωτοετα οι ακολουθιες συγκλινουν στο α(ν+1)/αν

Πόσο σίγουρος είσαι γι αυτό? :???:

καθολου
μλκιες λεει
κατεβαστε απο δω http://users.auth.gr/~valexiad/index.files/Page571.htm τις σημειωσεις για λογισμο και διαβαστε τες
αυτο που ζζζζζζζζζζζζζζζ (το πατησα λιγο παραπανω το "ζητα", μαλλον γιατι νυσταζω :D )
αυτο που ζητατε, λοιπον, ειναι πολυ απλο :P
βλεπε και βιβλιο Ξενου, σελιδες 35 εως 61, πραγματευεται συγκλισεις σειρων.εχει παρα πολλα παραδειγματα και τροπους να το αποδειξεις

εμμ μάλλον εννοείς το κρητήριο D'Alambert για τη σύγκλιση σειρών που λέει ότι η συγκλίνει αν 

ρε παιδια, σε μια ακολουθια μπορει να αλλαζει η μονοτονία της;
πχ. σε αυτην εδω πως εξεταζω την μονοτονια της   

An = (n^2 + 3) / n

 :o

a_n+1 > a_n
και λυνεις την ανισωση.

εσυ τι εκανες?

αυτο εκανα , απλως τι θα πω...οτι η ακολουθια ειναι φθινουσα για  ν=1,2 και αυξουσα για ν = 2,3,... ?

δε θυμαμαι, αλλα μαλλον ναι :D

ευχαριστω οπως και να'χει  :D

Ε σε νοιαζει τι κανει γενικα για n αρκετα μεγαλο. Μπορει να παρουσιαζει μια ανωμαλια για n<3 ξερω γω, αλλα απο κει και περα ειναι αυξουσα!

στις ασκήσεις του Ξενου,σχεδόν όλες οι συγκλίνουσες σειρές έχουν όριο 0 (μηδέν) ή είμαι στόκος;

kle

οι ριζεσ εμενα μου βγηκαν [-1(+-) (13)^1/2 ]/2

δλδ 1,3 κ -2,3 περιπου
αρα μονο για ν=1 ειναι φθινουσα κ για καθε αλλο ν αυξουσα.

και εγω ετσι το εκανα  ;)

Και μενα ετσι μου βγήκε!!! ^hello^
μόνο που τον ρωτήσαμε χτες και μας είπε ότι δεν θα πουμε οτι ειναι φθίνουσα στο ν=1,Αλλά αυξουσα από ν=2.

Αn = ν^2 / ( ν^3 - 10)

Πως θα δείξω οτι αυτη η ακολουθία είναι φραγμένη ;  :o

Υπάρχει θεώρημα που λέει πως κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη. Αυτή εύκολα αποδυκνείεται ότι συγκλίνει στο 0.

Ευχαριστωωω   8))

Ρε παιδιά.

an=(-1)^n *n / (2*n+1)

Ti όριο έχει αυτή?

εγώ βρίσκω -1.
αλλά έχει περάσει καιρός
και οι ακολουθίες δεν ήταν ποτέ το φόρτε μου. :P

χαχα,καλέ ναι.
Αλλά πως στο καλό το βρίσκεις?

εγώ δοκίμασα το κριτήριο lim (a_n+1/a_n), το οποίο πρέπει να είναι του D'Alembert...

που όμως ισχύει μόνο για τις σειρές,σωστά?

γιατι ρωτας αφου οτι και να σου απαντησουν δεν θα πειστεις  ^idiot^

ευχαριστώ πολύ Tomahawk,θα το κοιτάξω :)
και ευχαριστώ png για το χρόνο σου :)

υπαρχει καποια περιπτωση το οριο να μην υπαρχει και η ακολουθια απλα να αποκλινει ?

Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μιλάς?

Γενικά, όταν το όριο μιας ακολουθίας δεν υπάρχει, δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι αποκλίνει.

ναι για αυτην μιλαω..υπαρχει περιπτωση το οριο της απλως να μην υπαρχει?
διοτι το (-1) ^ ν  συνεχως αλλαζει προσημο και δεν συγκλινει προς τα καπου

Μόνη της η ακολουθία (-1)^n πράγματι είναι αόριστα αποκλίνουσα και το όριο της όταν n τείνει στο άπειρο δεν υπάρχει. Όμως δεν ισχύει το ίδιο για την ακολουθία an.

Bασικά η αν πρέπει να συγκλίνει,γιατί είναι και φραγμένη και γνησίως φθίνουσα.Έχει ένα θεώρημα στο βιβλίο που λέει ότι αν ισχύουν αυτά τότε η ακολουθία συγκλίνει.
Το θεμα είναι ποιο στο καλό είναι αυτό το όριο.

Δες τις σημειώσεις του Ρόθου στο ethmmy πάνω στις ακολουθίες εκεί που λέει βασικά όρια παρατήρηση 4 και ίσως να σου λυθεί η απορία.  ;)

 8))

Η ακολουθία που συζητάτε δεν συγκλίνει και το καταλαβαίνετε ως εξής:
είναι φραγμένη (κατά απόλυτη τιμή είναι μικρότερη του 1) αρά δεν μπορεί να αποκλίνει στο +-οο.
Μένει μόνο να δείτε αν συγκλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό L ή αποκλίνει αόριστα. Αν δεχτείτε ότι συγκλίνει στο L τότε θα πρέπει να συγκλίνει και απόλυτα στο |L|. H |an| φαίνεται εύκολα ότι οδηγείται στο 1/2 και επομένως το L θα πρέπει να είναι ή -1/2 ή 1.2. Δεν μπορεί να είναι όμως κανενα από αυτά γιατί αν διαλέξετε μία ε-γειτονιά με ακτίνα 1/8 γύρω από το 1/2, δηλαδή την (3/8,5/8), τα περιττά n θα δίνουν πάντα αρνητικές τιμές που είναι έξω από αυτή τη γειτονιά. Όμοια για το -1/2, για ε=1/8 έχουμε γειτονιά (-5/8,-3/8) και επειδή τα άρτια n δίνουν θετικές τιμές θα είμαστε πάλι εκτός γειτονιάς. Άρα αποκλίνει αόριστα. Και πιο εποτπικά δείτε το συννημένο.

αρα δεν υπαρχει και το οριο της ?

μήπως θα μπορούσε κανείς να μου εξηγησει πως γίνονται οι γραφ.παρ. σε πολικές συντεταγμένες?????
1)βρισκω συμμετρίες
2)βάζω κάποιες βασικές τιμές για το θ
3)βρίσκω τα σημεία
4)πως τα ενώνω???????
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

ποιο προγραμμα χρησιμοποιησες για να το παραστησεις γραφικα?

Ναι, αφού δε συγκλίνει σε αριθμό σημαίνει ότι δεν έχει όριο   ;)

MATLAB. Εν καιρώ θα το μάθετε από όλες τις πλευρές του (και θα σιχαθείτε να το χρησιμοποιείτε  :P)

+1

με ποια εντολη στ matlab κανω γραφικες παραστάσεις σε πολικές???
είδα οτι σε παλιά θέματα ζητα ν κάνουμε εμείς καποιες γραφικές σε πολικό σύστημα.

χρησιμοποίησε το WolframAlpha είναι πιο απλό: www.wolframalpha.com (http://www.wolframalpha.com)
Η εντολή σ'αυτό είναι polar plot

thx orfikoss!!!! ;)να ρωτησω κατι τους παλιούς....... για την εξεταστική εκτος απ τ βασικές γραφικές σε πολικές πρέπει ν 3έρω και τα αλλα γραφηματα πως γίνονται?????

να ξέρεις αυτούς τους κανόνες που λέει ο ξένος στο βιβλίο του για τις γραφικές παραστάσεις και θα τα βγάλεις...

πρεπει να ξερουμε τις βασικες γραφικες σε πολικες ???

Ξέρει κανείς πώς υπολογίζονται τα ολοκληρώματα   dx/(x^2+4)*Ρίζα(x^2-1),       dx/sinx*(cosx)^4,  dx/(1-(sinx)^4. Είναι από το φυλλάδιο του Ξένου.

http://www.wolframalpha.com/

oti olokliroma thes tha to vreis ekei

ναι αλλα δεν θα σου πει πως να φτασεις στο "εκεί"....

στα ορισμενα ολοκληρωματα σου δειχνει πως εβγαλε το αποτελεσμα αν πατησεις show steps.

ξερει κανεις τι θα πει να υπολογιστει το αθροισμα

Σn*x^n     n=0-->apeiro

Σn*(1/2)^n

??

Απο το φυλλαδιο ασκησεων του ξενου, συναντησα μια ασκηση που λεει βρες το dy/dx kai d^2y/dx^2 αν η συναρτηση οριζεται παραμετρικα ως εξης:

x = 3at/(t^3+1) , y = 3at^2/(t^3+1) . To τροπο το ξερω βαζοντας dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) και το υπολογιζω. Το ερωτημα μου ειναι, επειδη στη συγκεκριμενη ισχυει y=xt , μηπως υπαρχει και αλλος τροπος για τον υπολογισμο 1ης και 2ης παραγωγου. Αν το εχει κανεις το φυλλαδιο ας ριξει μια ματια, γιατι και στις προηγουμενες εχει καποιες οτι να ναι παραγωγησεις με πολυπλοκα κλασματα. Ευχαριστω προκαταβολικα.

ForestBlack ο Ρόθος ότι να ναι ασκήσεις μας έβαλε πάλι. Εγώ σε αυτή που λες πρώτα βρήκα για ποιά x η σειρά συγκλίνει (-1<χ<1) και μετά τη πέταξα στο wolframalpha. Δώστου sum n*x^n και θα καταλάβει ότι εννοείς σειρά. Αλλά δεν έχω ιδέα πως φτάνει εκεί. Επίσης αν κάποιος ποστάρει καμιά ιδέα για την Σ n^2*(1/3)^n θα είμαι ευγνώμων. (n: 0->άπειρο)

EDIT: Βασικά, μπορεί κάποιος να εξηγήσει πως πας από δυναμοσειρά σε συνάρτηση και αντιστρόφως?

αυτο με την συγκλιση το εκανα κ εγω αλλα μετα τι?
δν καταλαβαινω τι ζηταει βσκ....

σε αυτο που λες για το λυκοραμαλφα δν σε πιανω αν κ δν νομιζω ο ροθος να θελει να χρησιμοποιησουμε κατι τετοιο...




τσεκαρε τις σημειωσεις του κεχαγια για τν λογισμο πιστευω θα σε βοηθησει


αληθευει οτι ο ξενος δεν εχει taylor ουτε McLaurin στο βιβλιο του η εγω δεν τα βρισκω ? :S

Ένα hint:
Απλά χρειάζεται μία κατάλληλη ομαδοποίηση στη συνέχεια.
Το είναι μάλλον δύσκολο να υπολογιστεί απευθείας (τουλάχιστον εγώ δεν τα κατάφερα, χωρίς αυτό να σημαίνει και τίποτα), αλλά μπορεί να πατήσει πάνω στην προηγούμενη σειρά με κάποιο τρικ.

thnks !

Ωραίος ο Orfikoss. Μπορείς να λύσεις και την ?

ξερεις οτι : Σ ν*(χ^ν) = χ/(1-χ)^2
παραγωγησε την σχεση αυτη και θα καταληξεις Σ (ν^2)*(χ^ν) = (χ^2+χ)/(1-χ)^3
βαλε οπου χ=1/3 και σου βγηκε αυτο που θες

Α ναι σωστό. Αν και για να βγεί πλήρως, μετά τη παραγώγιση θέλει να κάνεις και ένα *x και στα δύο μέλη. Και βγήκε.

εχει κανεις ιδεα πως βρισκω αν συγκλινει ή αποκλινει αυτο το ολοκληρωμα : απο 0 ως απειρο sin(x)/x dx

νομιζω πως το χωριζεις σε ολοκληρωμα απο το 0 μεχρι το 1 και απο το 1 ως το απειρο. Το πρωτο επειδη ειναι 2ου τυπου κανεις τη μεθοδολογια που μας ειπαν. Για το αλλο κανεις το κολπακι με το απολυτο ωστε να φυγει το sinx(x) και μετα βρισκεις το ολοκληρωμα απο το 1 στο απειρο του 1/χ, που ειναι απλο. Εγω τουλαχιστον ετσι το εκανα.
 Ξερει κανεις πως δειχνω το Σ απο ν=1 μεχρι απειρο του ν^2/ν! = 2e ?
(αν βοηθαει εχω σειρα taylor της f(x)=(x^2+x)*e^x

Η σειρά Taylor που έχεις βρεί λογικά ειναι Σ(ν^2/ν!*χ^ν). Και ειναι f(x)= Σ(ν^2/ν!*χ^ν). Ε, για χ=1 => f(1)= Σ(ν^2/ν!). Όμως f(1)=(1^2+1)e^1=2e και βγήκε. Αυτή που θέλω να ρωτήσω είναι η 1.5, που λέει να αποδείξουμε ότι οι δύο πρώτοι όροι της σειράς Maclaurin (sinhx)^3 είναι οι 1 και -3/2*χ^2. Παίρνοντας όμως τις παραγώγους ο πρώτος μη μηδενικός όρος βγαίνει για την 3η παράγωγο, δλδ για τον f"'(x)*x^3/3! όρο. (δλδ για τον χ^2 όρο η f''(0) βγαίνει 0 ενώ το 1 δεν εμφανίζεται καν γιατί όλα τα προηγούμενα είναι επίσης μηδέν). Κάνω κάποιο λάθος?

εχει σιγουρα λαθος ο ροθος σε αυτην

ναι ουτε εμενα μου βγαινει αυτη. Μου βγαινουν οι δυο πρωτοι μη-μηδενικοι οροι 1 , +3/2χ^2 για τη συναρτηση (coshx)^3 . Λαθος εχει ο ροθος. Καμια ιδεα για την 1.7 ασκηση, εχω κανει σειρα taylor για την ε^χ , αλλα δεν μπορω να συνεχισω για τον υπολογισμο

κανε taylor για την ε^(-χ)

mipos xerei kaneis an isxuei kai fetos oti boroume na epilexoume sta themata poiou ka8hghth tha exetastoume?

Αν είσαι δευτεροετής νομίζω ναι

genika gia ola ta megalitera eth ektos 1ou diladi?

έτσι τουλάχιστον είπε ο ξένος στο μάθημα..

θα μπορουσε καποιος να λυσει αυτη την ασκηση?


α) Να ελεγχθεί ως προς τη σύγκλιση της η αριθμητική σειρά .    Σ (n^n) / ((2^n) *( n!) )

Η "επίμαχη" πρώτη ακολουθία έχει όριο 1, μιας και υπακούει στον γενικότερο κανόνα μηδενική επι φραγμένη.
lim(1/2*n)=0 => liman=0+1=1.
Βέβαια ο ορισμός της ακολουθίας έχει ασάφειες.
 π.χ an=(-1)^n/(2*n+1) (όριο 0) ή
an=(-1)^n/(2*n)+1 (όριο 1 όπως προανέφερα)

γιατί δεν δοκιμάζεις κριτήριο λόγου? ;)

εφαρμοζοντας το κριτηριο του d alembert εχουμε Lim [(n+1)^n  / 2n^n] (n--> ΙΝF )

που μας κανει 1/2
αρα συγκλινει

πρεπει να ξεχνουσα το 2 στον αριθμητη γτ εβγαζα 1 κ αρα δν βολευε το εν λογω θεωρημα..

lack of concentration...

thnks!

 liman=1/2*lim((n+1)/n)^n=1/2*lim(1+1/n)^n=1/2*e=1.35>1 άρα αποκλίνει.
λάθος μου lima_n/a_n+1=1/2*lim((n+1)/n)^n=1/2*lim(1+1/n)^n=1/2*e=1.35>1

Μπορει να μ πει καποιος πως βρισκω το οριο της ακολουθιας riza(n)/(n+2) ?

Edit: Το βρηκα :P  Απλα κανεις το n+2. riza((n+2)^2) kai το βαζεις μαζι με το n στην ιδια ριζα.

to e που το βρηκες?

ισχύει lim[(1+1/n)^n] = e άμα έχεις το βιβλίο του ξένου το έχει σελ 25-27

(n+1)^n         n^n +........ +1         n^n
------------ =   -------------------------- = ----------- = 1 otan n-->INF
n^n               n^n                         n^n


λαθος σκεψη προφανως

thnks

Πως υπολογιζω το οριο n-οστή ριζα του n^2+n+1 ?

Hint: a^x = e^(xlna)

μπορει καποιοσ να περιγραψει τ αναπτυγματα mac laurin k taylor??απ τ βιβλιο τ ξενου δεν καταλαβαινω χριστο :P

Να το κανω τι?  :-\ Την ιδιοτητα αυτη τη χρησιμοποιουμε οταν θελουμε να παραγωγισουμε απο οτι θυμαμαι.

για να κάνεις cauchy το θες?

οχι. ενα οριο ακολουθιας ειναι

Θέλεις να μας γράψεις την ακολουθία για να νιώσουμε καλύτερα??????? ;)

Λεει απλα βρες το οριο. η ριζα με το υποριζο ειναι η ακολουθια! Σορρυ αν δεν το εκανα ξεκαθαρο  :-[

Χρησιμοποιουμε το κριτηριο παρεμβολης (απο τα της γ' λυκειου)
εχουμε:

n^2+n+1<n^2+n^2+n^2=3n^2
και n^2+n+1>n^2 και τα 2 για καθε n φυσικο αριθμο (εκτος του 0).
αρα αφου n>0 τα παντα ολα ειναι θετικα και μπορω να παρω ριζες και εχω:

(n^2)^(1/n)<(n^2+n+1)^(1/n)<(3n^2)^(1/n)
και lim (n^2)^(1/n) = 1^2 = 1 (ξερω απο θεωρια οτι lim n^(1/n)=1
και lim (3n^2)^(1/n)=lim 3^(1/n)* lim (n^2)^(1/n)=(3^0) * 1 =1
αρα και lim (n^2+n+1)^(1/n)= 1
επειδη τα εχω γραψει λιγο οπως να 'ναι ρωτηστε με αν εχετε απορια!
σε ολα τα ορια εχω n--> +oo

Είναι σίγουρο οτι μπορούμε ενα εφαρμόσουμε το κριτήριο παρεμβολής σε αυτήν την περίπτωση..??? Το n πέρνει μεμονομένες τιμές δεν ειναι συνάρτηση και δεν ξέρω κατα πόσο μπορεί να "εγκλοβήσει" σωστά..

Επίσης η ιδέα που είχα εγώ είναι lim e^(n*ln*sqrt(n^2 + n + 1)) αλλα πάλι καταλήγαμε σε απροσδιόριστη μορφή και έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο του de l'hospital, το οποίο δεν μπορούμε να το εφαρμόσουμε γιατί η συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς όπως είπε ο Ξένος..

to n μπροστα απο το ln πως προεκυψε????

Δεν ειναι ακριβως κριτηριο παρεμβολης.Αν εχεις το βιβλιο λογισμου
του Ξενου θα το βρεις στη σελιδα 18, ειναι το θεωρημα 2.12!

ValmadiaN έχεις δίκιο..
Silvershot: sqrt(n^2 + n + 1) = (n^2 + n + 1)^(1/n) = e^ln((n^2 + n + 1)^(1/n)) = e^(1/n * ln(n^2 + n + 1)) .. Απλά βιαζόμουν λίγο πριν, και το έγραψα όπως να'ναι.. παρόλα αυτά με τον δικό μου τον τρόπο σε αυτήν την περίπτωση δεν καταλήγεις κάπου.. But keep it in mind ;-)

μην αγχωνεστε για τον Λογισμο Ι.Θα δειτε σε λιγο καιρο Λογισμο ΙΙ και θα καταλαβετε πονο και αγχος.ο Λογισμος Ι ειναι ενα κακογραμμενο αστειο μπροστα στον ΙΙ

Ποιος ξέρει αν μπορούμε να πούμε:
(2n)!=2n!        ?

φυσικα και ................................................. ............





δε μπορεις :P

2n!=(1*2*...*n)*2
(2n)!=(1*2*...*n*)(n+1)*...*(2n-1)*2n

βαλε n=4 και δες αν ισχυει..

Ρίξε μια ματιά και στις σημειώσεις του κεχαγιά...

σε λαθος ατομο εστειλες μηνυμα :P

εννοώ τις σημειώσεις του κεχαγιά για λογισμό I . Nομίζω πως τα εχει και αυτά!  :P

ok ευχαριστω ειχα καταλαβει τι εννοουσεσ!

guys..το οριάκι επαρκεί για να πούμε ότι μια ακολουθία συγκλίνει και να βρούμε το όριο ταυτόχρονα ή υπάρχουν προυποθέσεις;

Μπορεί να μου εξηγήσει κάποιος γτ η Σ(-1)^n αποκλίνει???(απο 0 στο +απειρο)

Παιδιά μήπως ξέρετε ο αναδρομικος τύπος 4.15 από σελ246 στο βιβλίο του ξένου μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατευθείαν ή χρειάζεται απόδειξη?

ουτε το ενα ουτε το αλλο..η αναδρομικοι τυποι δινωνται σε τυπολογιο.... αν θυμαμαι καλα..... :)

دینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستاندینمانە ئایینمانە كوردستان

μπορεισ να γινεισ πιο σαφης?

αυτο ακριβως.τιποτα παραπανω.

αχμ..σε πίνακα τιμών (r,θ) όταν βγαίνει r<0 το βάζουμε κανονικά όπως έχει σε τεταρτημόριο όπου r<0 έτσι;ή όχι;

χωρίς να είμαι σίγουρη για το τι ακριβώς εννοείς με τον πίνακα τιμων...
Αντιγράφω από το βιβλιο του ξένου,σελ.220:
"το πρόσημο του r διαλέγεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ότι το σημείο βρίσκεται στο κατάλληλο τεταρτημόριο".

Πινακα τιμων εννοει οτι δινουμε καποιες τιμες για να φτιαξουμε τη γραφικη παρασταση. Επισης για να απαντησω στην ερωτηση σου pentium4, οταν βρισκεις r<0 βαζεις το συμμετρικο. το ρ ειναι η αποσταση απο το πολικο κεντρο 0. Μετα τις τιμες βρισκεις τισ συμμετριες και καταλαβενεις οτι δεν μπορει το r να ειχε αρνητικη τιμη.. Δε ξερω αν με καταλαβενεις αλλα και εγω το ειχα απορια και δεν ειμαι ομως απολυτα σιγουρος. Αν εξερει καποιος 100% ας πει!

Διαισθητικά το καταλαβαίνεις γιατί θα είναι κάπως έτσι:
. Οπότε όσα -1 και +1 να προσθέσεις πάλι 1 ή 0 θα πάρεις.

Αν τώρα θες κανονική απόδειξη, βγαίνει με κριτήριο εναλλάσουσας σειράς:
, όπου
Προφανώς ο άσσος ούτε φθίνει, ούτε τείνει στο 0. Άρα η σειρά αποκλίνει. ^_^

Το r μετραει αποσταση συνεπως στο σχημα σου δεν μπορει να εχει αρνητικες τιμες.Αν π.χ. για
θ=π/3 παρεις r= -5 τοτε αφου βρεις τη θεση του σημειου με θ=π/3 και r=5 παιρνεις το συμμετρικο
του ως προς το πολικο κεντρο και εχεις το σημειο σου (δηλαδη το θ=π/3 ,r= -5 )!
εδω ας πουμε το θ=π/3 , r= -5 βρισκεται στο 3ο τεταρτημοριο.

Βασικά η σειρά αφου ούτε συγκλίνει, ούτε αποκλίνει (αφου οι τιμες τις ειναι η 0 ή 1). Συνεπως ονομάζεται αόριστα αποκλίνουσα..!

ασ μας πει καποιος που εδωσε περσι η το σεπτεμβρη λογισμο τι θεματα περιπου ζητα ο 3ενος????παρομοια μ αυτα των downloads????

βασικά όχι.
όταν λέμε ότι μια σειρά αποκλινει εννοούμε ή ότι αποκλίνει αόριστα ή ότι απειρίζεται θετικά/αρνητικά.

Διαισθητικά η σύγκλιση σειράς σημαίνει ότι όταν περάσει άπειρος χρόνος(άπειροι όροι δηλαδή) τότε η σειρά θα έχει "σταθεροποιηθεί"(θα έχει καταλήξει σε έναν αριθμό δηλαδή).

Στα μαθηματικά αυτό μπορούμε να το γράψουμε ως εξής(δεν ξέρω latex,bear with me)

δεδομένης μιας σειράς {α1,α2....an} , λέμε ότι η σειρά αυτή συγκλίνει αν υπάρχει ένα όριο Ο τέτοιο ώστε για κάθε (αυθαίρετα) μικρό ε>0, υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος ακέραιος N έτσι ώστε για κάθε n>=N να ισχύει

|an-Ol<=ε


Προφανώς η σειρά Σ(-1)^n από 0 μέχρι οο εναλλάσσεται μεταξύ 1 και 0, και έτσι όσο μεγάλο n και να επιλέξω το αποτέλεσμα θα είναι είτε 1 είτε 0, ανάλογα με το αν το n είναι περιττός ή ακέραιος, και άρα δεν συγκλίνει. period.

Ρε παιδιά σελ 315 από ξένο τελευταία σειρά τι ακριβώς συμβαίνει? Μικραίνει το τ κατά μία δύναμη ώστε το β^1/2 να ξαναγίνει β? :D

μηπωσ 8α μπορουσε κανεισ ν μ βοηθησει μ τ παρακατω δυναμοσειρα????για ποια χ συγκλινει???
Σ(χ^ν/ν^ν)/(ν!)
παιρνω κρ D ALEMBERT kai βγαζω για  -1/e<χ<1/e για χ=1/e kai για χ=-1/e πωσ θα βρουμε αν συγκλινει η αποκλινει???
αντικαθιστω το χ και μετα δ 3ερω πωσ ν παω παρακατω......

Γιατί δε σας αρέσει η απόδειξη μου με το κριτήριο εναλλάσουσας σειράς?

Μπορει καποιος να βοηθησει?  :)
μια ασκηση δινει:
ολοκληρωμα απο 1 μεχρι 3, 1/ριζα(x-1) dx
το οποιο το καναμε μεσα στην ταξη και βγηκε οτι συγκλινει (το μετατρεψαμε σε 1ου ειδους)

πως λυνετε το ολοκληρωμα απο 1 μεχρι 3, e^x/ριζα(x-1) dx ??
λογικα θα πρεπει να χρησιμοποιησουμε το πρωτο ολοκληρωμα για να τα δινει μαζι..  :???:

δε λυνεται κλασσικα αν θεσεις t^2=x-1?
 εδιτ Συγκλινει εκανα μαλακια

πιο ειναι το καταλληλο τεταρτημοριο?
δλδ σε ποια τεταρτημορια r>0 ?

το διαισθητικα δουλευει για n ανοικει στους φυσικους
το (-1)^n για n--> ΙΝF ομως τι σ κανει?

Είπαμε, αποκλίνει!   :D

Ανάλογα με την άσκηση. Εκφωνήσεις:
1. Εξετάστε τις ακολουθίες/σειρές ως προς τη σύγκλιση.
Σίγουρη λύση είναι η απόδειξη ύπαρξης με μονοτονία και φράγμα(D'Alembert Cauchy κτλ σε σειρές).Θα μου πεις άμα το υπολογίσω το όριο δε θα υπάρχει κιόλας;
Σ'αυτή την απορία ο ξένος μου είπε "...". Άρα το θέλει φασόν με μονοτονία & φραγή(D'Alembert Cauchy κτλ σε σειρές). Ο ρόθος δε γνωρίζω.
2.Υπολογίστε τα όρια.
Γενικά η λύση είναι κάποια εφαρμογή θεωρημάτων υπολογισμού (Στάνταρ ακολουθίες κτλ).Ψαγμένη και καλά λύση είναι να το αποδείξεις πρώτα ότι συγκλίνει/αποκλίνει αλλά σε 10 παραδείγματα είναι αδύνατον ;-)
3.1 κ 2 Δλδ εξετάστε αν συγκλίνει και αν ναι υπολογίστε το όριο.
...
(Σόρυ αν λέω προφανή πράγματα απλά ήθελα να τα καλύψω όλα)

D ALEMBERT lim=...=lim((x^(n+1)*n^n*n!)/(x^n*(n+1)^(n+1)*(n+1)!))=

=lim((x*n^n)/(n+1)^(n+1)*(n+1))=lim((x*n^n)/(n+1)^n*(n+1)^2)=

=lim((x/(n+1)^2)*lim(n/n+1)^n=0*lim(1/(n+1/n)^n))=0*lim(1/(1+1/n)^n)=0*(1/e)=0

εγω που δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρά τί θα κάνω; (Γ@μW τον υπνο μου)
η ( (-1)^n * n)/(2*ν+1) αποκλίνει έτσι;

γιατι γραφεις καπως etCiiiii ? :???:

το ν στον παρονομαστη ειναι ελληνικο και στον αριθμητη ειναι αγγλικα?

ελα μπερδευτηκα :P σκορδοψωμε  :D

Παιδια, (2(n+1))! = (2n)! * (2n+2)    ισχυει ετσι?

αν κατάλαβα καλά δεν ισχύει...

είναι:

Για n = 5 έχουμε: (2(n+1))! = (2(5+1))! = 12! = 1 *2 *3..10*11*12
στην δεξιά μεριά έχουμε: (2n)! (2n+2)= 10! (2*5 + 2) = 10! * 12 = 1*2*3..*10*12

++

α ναι μου διεφυγε το 2ν+1 :-[
ευχαριστω

εμένα γιατί δε μου απαντάει κανείς ??  :-\ :'( :-[ :???:

Αν τότες άρα από κριτήριο εναλλάσουσας σειράς, ναι αποκλείνει

Ειναι σιγουρο αυτο? ισχυει an>an+1? Αν μπορεις εξηγησε το λιγο :)

Η συγκεκριμένη σειρά όταν παίρνεις το όριο κατ'απόλυτη τιμή συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό 1/2 , που σημαίνει ότι συγκλίνει απόλυτα άρα συγκλίνει. Αν κάνω λάθος διορθώστε με !

hehe για αυτόν ακριβώς το λόγο ρώτησα

Η ακολουθία συγκλίνει στο , η σειρά δε συγκλίνει.
Το κριτήριο εναλλάσουσας σειράς μας λέει ότι όταν έχουμε μια εναλλάσουσα σειρά του τύπου αυτή συγκλίνει όταν:
1. Η φθίνουσα
2. Η θετική
3.

Έστω και ένα απ'αυτά να μην ισχύει, η σειρά αποκλίνει. Ε, εγώ έδειξα ότι δεν ισχύει το 3ο.

βιβλίο Ξένου :
ποιά η διαφορά σελ 22 πρόταση 4.4 με σελ 24 θεώρημα 5.4
?

Γενικα αν εχει πανω φραγμα( σελιδα 22 ), δε ξερεις αν το Μ ειναι ανω περας δηλαδη το μικροτερο, οποτε ειναι =<Μ. ομως αν το Μ ειναι το ανω περας, τοτε ισχυει η ισοτητα. Το ιδιο ισχυει και για φθινουσα με κατω περας.

μπορει καποιος να μ εξηγησει πως γραφουμε μια συναρτηση σε μορφη δυναμοσειρας??

εχω την εντυπωση πωσ με το κριτηριο του leibnitz μπορεισ ν δειξεισ οτι μια σειρα με εναλλασομενουσ ορουσ συγκλινει αν ικανοποιουται οι 3 συνθηκεσ που αναφερεισ.......αν μια απο αυτεσ δεν ικανοποιειται δ σημαινει οτι η σειρα αποκλινει..(TO KRITHRIO TOY LEIBNITZ ΕΙΝΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΝ->ΤΟΤΕ ΟΧΙ ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΑΝ)...αν σου δινει σειρα μ ενελασομενουσ ορουσ τοτε αν δε δουλευει το κριτηριο του  leibnitz προσπαθεισ με τουσ αλλουσ τροοπουσ να βρεισ αν συγκλινει η αποκλινει πχ γ την σειρα που ρωτησε ο pentium πριν αν θεωρησεισ την Σ(-1)^ν  (h oποια αποκλεινει) και παρεισ το LIM του λογου αn kai βn (an λεω την ακολουθια που ειναι μεσα στην πρωτη σειρα και βν για τη 2η) θα βγει 1/2.Αρα απο θεωρημα 4.7 σελ 50 ΞΕΝΟΣ προκυπτει οτι αποκλεινει και αυτη η σειρα.....τωρα ελπιζω μη λεω βλακειεσ και σας παρω στο λαιμο μ :(

πως δειχνουμε οτι Σ (-1)^ν αποκλινει?

an = 1 lim(an)=1 διαφορο του 0 αρα δεν συγκλίνει οποτε :P  ;D ;D ;D :D :D :D

σελ 38 βιβλιο Ξενου μηπως και

Θεώρημα De Moivre. Αν μιά πρόταση Π=Α και Β και Γ είναι αληθής τότε η πρόταση Π'=Α' ή Β' ή Γ' είναι ψευδής.

Η σειρά συγκλίνει <= Θετική ΚΑΙ Φθίνουσα ΚΑΙ Όριο το μηδεν
(Η σειρά συγκλίνει)' => (Θετική)' ή (Φθίνουσα)' ή (Όριο το μηδέν)'.  
Η σειρά αποκλίνει => Αρνητική ή αύξουσα ή όριο 0.

Σκέψου το λογικά,  και είναι και θετική. Οπότε ξέρουμε ότι η  παίρνει θετικές τιμές και τείνει στο  στο άπειρο. Αν αθροίσεις άπειρα τέτοια , θετικά, που τείνουν στο  τί παίρνεις? Μα τί άλλο εκτός από άπειρο!!  ;)

παιδια καποιοσ που ειχε τα θεματα του ξενου β ομαδα ασ μου απαντησει στο παρακατω plz........ο ογκοσ εβγαινε 12π^2?????και το εμβαδον στο 2ο θεμα 4π+4?????thx............

κανονικα θα λεγα φιλε giannis12 "τωρα πλακα μας κανεις;;;;" αλλα σκαλωσα και εγω με μια λυση οποτε κατανοητο :P

Για το εμβαδον ναι, για τον οογκο δε ξερω μιας και δε προλαβα να το λυσω. Παρεπιπτοντως βγηκαν οι βαθμοι, γιαννης. δε χρειαζεται να ταλαιπωρησε αλλο  ;)

ok φιλε silvershot thx :).........εχεισ δικιο δεν αξιζει ν τ κουραζουμε αλλο μ τ λογισμο και το 3ενο που εχει την εντυπωση οτι αυτα τ 8εματα 8ελουν 2 ωρεσ γ ν λυθουν!!!!!!!!! :P :P :Pελπιζω στη γεωμετρια-αλγεβρα ν τ καλμαρουν λιγο ο κεχαγιασ κ ο ατρεασ κ ν μ βαλει τοσεσ πραξεισ!!!!!!

Ναι ρε φιλε σιγα.. χαλαρα :)